ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica Industrial, Especialidad de Electricidad Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Diciembre de 5. Primera parte Tiempo: horas. Se recuerda que todas las respuestas deben estar debidamente razonadas. PROBLEMA.. [5 puntos]. Siendo S el subespacio vectorial de R 3, generado por los vectores v =(,, ), v =(3, 8, ), v 3 =(, 3, 3), v 4 =(,, ), (a) Obtener una base ortonormal de S. (b) Determinar los vectores u S, v S tales que u + v =(,, ).. [5 puntos]. Siendo A la matriz cuadrada de orden 3 que verifica F ( )F 3 ( )F 3 ()A = F 3 ( )F 3 (), donde, en la epresión anterior, las otras matrices son matrices elementales, se pide: (a) Calcular la matriz A. (b) Estudiar si A es diagonalizable. Solución:. (a) Es obvio que el conjunto de vectores {v,v,v 3,v 4 } son linealmente dependientes ya que son vectores de IR 3 y v 4 = v.porello, S = lin{v,v,v 3,v 4 } = lin{v,v,v 3 } Ahora bien, {v,v,v 3 } son linealmente dependientes ya que el sistema de ecuaciones lineales a que da lugar la ecuación vectorial α v + α v + α 3 v 3 = es compatible indeterminado. En efecto, 3 F 3 ( ) 3 8 3 5 3 3 F 3 () 5 3 F 3 ( ) 3 5 3 De ahí, α 3 = α, α = 3 5 α, α = 9 5 con lo que, tomando α =, 9 5 v + 3 5 v + v 3 = = v 3 = 9 5 v 3 5 v
Así, S = lin{v,v,v 3,v 4 } = lin{v,v },siendo{v,v } una base de S. Para determinar una base ortonormal de S, procedemos, en primer lugar, por Gram- Schmidt para obtener una base ortogonal de S: y = v =(,, ), y = v v y ky k y =(3, 8, ) 9 (,, ) = (, 5, 5) 3 De ahí, una base ortonormal del subespacio S, sería: z = y y = 3 (,, ), z = y y = (,, ) (b) Si hay que determinar los vectores u S, v S tales que u + v =(,, ), entonces u = p S (,, ), y v =(,, ) p S (,, ) Cómo {z,z } es una base ortonormal de S, setieneque u = ((,, ) z ) z + ((,, ) z ) z = ((,, ) (,, )) 3 3 (,, ) + ((,, ) (,, )) (,, ) = 3 (,, ) + (,, ) = ( 3, 4 3, 3 ) y, por tanto, v =(,, ) ( 3, 4 3, 3 )=( 3, 3, 3 ).. (a) Si A es la matriz cuadrada de orden 3 que verifica F ( )F 3 ( )F 3 ()A = F 3 ( )F 3 (), donde, en la epresión anterior, las otras matrices son matrices elementales, entonces A = F 3 () F 3 ( ) F ( ) F 3 ( )F 3 () = F 3 ( )F 3 ( /)F ( )F 3 ( )F 3 () A = / A = / / (b) Para estudiar si A es diagonalizable, calculamos los autovalores de la matriz. A λi = λ λ / / λ =( λ) λ / / λ
A λi =( λ)( λ + λ )=( λ)(λ )(λ +) Es decir, la matriz A tiene por autovalores λ =, con multiplicidad algebráica, y λ =/, con multiplicidad algebráica. Por tanto, para decidir si la matriz A es o no diagonalizable, basta con estudiar la multiplicidad geométrica del autovalor λ =. Para ello, V ( ) = { w IR 3 : (A + I)w =} con lo que hay que resolver el sistema cuya matriz ampliada es / / = w = α, w = w 3 = En definitiva, V ( ) = { (α,, ) : α IR } = lin{(,, )}, la multiplicidad geométrica del autovalor λ = es uno y, por tanto, al no coincidir con la multiplicidad algebráica del mismo,la matriz A no es diagonalizable. PROBLEMA. Siendo f(, y) = y +3, se pide:. [ puntos]. Determinar y representar gráficamente la curva de nivel de f que pasa por el punto (, ).. [ puntos]. Calcular la máima derivada direccional de f en el punto (, ) y obtener el plano tangentealasuperficie z = f(, y) en el punto (,, ). 3. [3 puntos]. Siendo R = n(, y) R : y o 9 la región del plano delimitada por la recta y =y la semicircunferencia y = 9, calcular los valores etremos de f en R y los puntos en los que se alcanzan dichos valores. 4. [3 puntos]. Calcular la integral iterada 4 y (f(, y)+y ) ddy. Solución:. Al ser f(, ) =, la curva de nivel de f que pasa por el punto (, ) es el conjunto de puntos delplanoxytalquef(, y) =. Es decir, Su representación gráfica es = y +3 = = y
Como f, f f =, y = y son funciones continuas en IR,lafunciónf es diferenciable en cualquier punto (, y) y, entonces, el valor máimo de derivada direccional de f en el punto (, ) viene dado por f(, ). Así, el valor máimo de la derivada direcciónal de f en (, ) es f(, ) = (, ) = 5 El plano tangente a la superficie z = f(, y) en el punto (,, ) es z = f(, ) + f f (, )( ) + (, )(y ) = y z +4=. y. Dado que la función f no tiene puntos críticos, para calcular los valores etremos de f en R y lospuntosenlosquesealcanzandichosvaloresenlaregión R = n(, y) R : y o 9 habrá que estudiar solamente los etremos de f en la frontera de la región R. Así,setiene i) Frontera-: y =, [ 3, 3]. En esta frontera f(, y) =f(, ) = +3,con [ 3, 3]. Por tanto, si denominamos por g() =f(, ), hay que encontrar el máimo y el mínimo de g() = +3,con [ 3, 3]. Al ser g () =, g( 3) =, g(3) = 6, sealcanzaelmáimoen(3, ), siendosuvalorf(3, ) = g(3) = 6, y se alcanza el mínimo en ( 3, ) siendo su valor f( 3, ) = g( 3) =. ii) Frontera-: y = 9, [ 3, 3]. En esta frontera f(, y) =f(, 9 )= + 6, con [ 3, 3]. Por tanto, si denominamos por h() =f(, 9 ), hay que encontrar el máimo y el mínimo de h() = + 6, con [ 3, 3].
Al ser h () = += = /, h( /) = 5/4, h( 3) =, h(3) = 6, sealcanzaelmáimoen(3, ), siendo su valor f(3, ) = h(3) = 6, y se alcanza el mínimo en ( /, 35/) siendo su valor f( /, 35/) = h( /) = 5/4. En definitiva, la función f en R alcanza su valor máimo en el punto (3, ), siendo su valor f(3, ) = 6, y alcanza su valor mínimo en el punto ( /, 35/) siendo su valor f( /, 35/) = 5/4. 3. 4 y (f(, y)+y ) ddy = = = 4 y µ 4 y ( +3)ddy = +3 ddy µ y +3 p µ 4 y dy = y p 6 y3 +3 4 y dy = 8 3 +3 p 4 y dy = 8 3 +3I, con I = p 4 y dy. Ahora bien, haciendo el cambio de variable y =sen t, p π/ π/ I = 4 y dy = 4cos +cos (t) tdt=4 dt = π Por tanto, finalmente, 4 y (f(, y)+y ) ddy = 8 3 +3I = 8 3 +3π.
ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica Industrial, Especialidad de Electricidad Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Diciembre de 5. Segunda parte Tiempo: horas. Se recuerda que todas las respuestas deben estar debidamente razonadas. PROBLEMA 3.. [5 puntos]. Utilizando transformaciones elementales, estudiar, según los valores de los parámetros a IR y b IR, la compatibilidad del sistema de ecuaciones lineales + y + az + bt = a + b + +3y + az +bt =3a +b + + y +az +bt =b + +y +bt = a +b. [5 puntos]. Calcular es convergente. d, y estudiar si la integral ( +)( +) ( +)( +) d Solución:. Para estudiar, según los valores de los parámetros a IR y b IR, la compatibilidad del sistema de ecuaciones lineales podemos utilizar transformaciones elementales. Así, matricialmente, a b a + b + F ( ) a b a + b + 3 a b 3a +b + a a F 4 ( ) a b b + F 3 ( ) a b b a + b a +b F 4 ( ) a b b Entonces, a b a + b + a a a b b a + b b a i) Si a 6= y b 6=, el sistema es compatible y determinado. ii) Si a = b =, el sistema es incompatible. iii) Si a =y b 6=, obtenemos, mediante transformaciones elementales, la matriz b b + b b + b b con lo que el sistema es incompatible.
iv) Si b =y a 6=, obtenemos, mediante transformaciones elementales, la matriz a a + a a a a + a con lo que el sistema es incompatible. En conclusión, el sistema de ecuaciones lineales dado es compatible si, y sólo si, ab 6=.. Descomponemos el integrando en fracciones simples ( + )( +) = A ( +) + B + C ( +) La igualdad algebráica anterior es cierta si, y sólo si, = A( +)+(B + C)( +).Para obtener los coeficientes A, B y C: Entonces, Si = : =4A, A = /4 Si = : =A + C, C = A =/ Si = : =4A +B +C, B =/ ( + )( +) d = = 4 ( +) d + ( +) d + = 4 ln( +)+8 4 ln( +)+ arctg = π 6 8 ln ( +) d Para estudiar si la integral d es convergente, ( + )( +) c d =lim ( + )( +) c ( +)( +) d =lim c 8 ln µ + ( +) + 4 arctg c = π 8
PROBLEMA 4.. [4 puntos]. Calcular el volumen de la región del espacio que esá acotada superiormente por la superficie z = p 5 y, está acotada inferiormente por el plano z =yesinteriora + y =6.. [ puntos]. Calcular el polinomio de MacLaurin de grado de la función y utilizarlo para aproimar el valor de f(/4). f() = arctg() ln +4, 3. [4 puntos]. Obtener una función potencial del campo conservativo de vectores F(, y) =[y + y] i + + +cos (y) sen 3 (y) j, y calcular la integral de línea F dr cuando C es la curva de ecuaciones paramétricas: C ½ (t) =t h, y(t) =t, t π i. Solución:. El volumen de la región del espacio que es interior a las superficies de ecuaciones z = p 5 y, + y =6, y al plano z =viene dado por V = 4 6 p 5 y dy d 4 6 Utilizando coordenadas polares, r 4 y θ π. Por tanto, V = 4 π r 4 5 r dθ dr =π. El polinomio de MacLaurin de grado de la función r 5 r dr = 3 π (5 r ) 3/ 4 = 96 3 π. f() = arctg() ln +4, viene dado por ya que P () =f() + f () + f () =,! f() =arctg() ln +4 f() = f () =arctg() f () = f 4 () = +4 f () = 4 Entonces f(/4) P (/4) = /8.
3. Una función potencial del campo de vectores será una función f(, y) tal que F(, y) =[y + y] i + + +cos (y) sen 3 (y) j, f(, y) =( f, f y )=(y + y, + +cos (y) sen 3 (y)) Como debe verificarse que f =y + y, entonces f(, y) = (y + y) d + g(y) = y + y + g(y) Como también debe verificarse que f y = + +cos (y) sen 3 (y), entonces y ( y + y + g(y)) = + +cos (y) sen 3 (y) g (y) =cos (y) sen 3 (y) De lo anterior, g(y) = cos (y) sen 3 (y) dy. Haciendo el cambio de variable cos y = t, setiene g(y) = cos (y) sen 3 (y) dy = (t 4 t ) dt = 5 cos5 y 3 cos3 y En definitiva, una función potencial del campo de vectores dado es f(, y) = y + y + 5 cos5 y 3 cos3 y Puesto que el campo vectorial dado es un campo conservativo en cualquier punto del plano, F dr = f( π, π) f(, ), ya que si C es la curva de ecuaciones paramétricas ½ (t) =t h, y(t) =t, t π i, C entonces, haciendo t =, el punto inicial de la curva es (, ) y, haciendo t = π/, elpunto final es (π/, π). Por tanto, C F dr = f( π π3, π) f(, ) = 4 + π + 4 5.