TEOREMA DE DESARROLLO DE HEAVISIDE EN FRACCIONES PARCIALES

TEOREMA DE DESARROLLO DE HEAVISIDE EN FRACCIONES PARCIALES La técnica del desaollo de facciones paciales es establecida paa cuida todos los casos sistemáticamente. Hay 4 clases de poblemas, dependiendo del denominado D(s): Caso : C(s) tiene polos eales de e oden. Caso 2: C(s) tiene polos eales epetidos de pime oden. Caso 3: C(s) tiene un pa de polos complejos conjugados (un facto cuadático en el denominado). Caso 4: C(s) tiene paes epetidos de polos complejos conjugados (un facto cuadático epetido en el denominado). CASO : POLOS REALES DE ER ORDEN. La posición de estos polos eales dec(s) en el plano s se muesta en la figua. Los polos pueden se positivos ceos o negativos y ellos están situados en el eje eal en el plano s. En este ejemplo s₁ es positivo, s₀ es ceo, s₂ es negativo. Paa los polos mostados en la figua, la tansfomada F(s) y sus facciones paciales son: D(s) = s (s s ) (s + s 2 ) A 0 s + A s s + A 2 s + s 2 Jw plano s X x x -s₂ s₀ s₁ Figua. Localización de los polos eales en el plano s Hay tantas facciones como hay factoes en el denominado de C(s), ya que s₀=0, el facto s-s₀ es escito simplemente como s. la tansfomada invesa paa C(s) es: c(t) = A 0 + A e s t + A 2 e s 2t

El polo s₁ es positivo, po lo tanto el témino A e s t es un incemento exponencial y el sistema es inestable. El polo s₂ es negativo, y el témino A 2 e s 2t es una caída exponencial con valo final de ceo. Po lo tanto, paa que un sistema sea estable, todos los polos eales que contibuyen a complementa la solución deben esta en la mitad izquieda del plano s.(ve figua A) Figua A. Compotamiento de los polos: positivo y negativo. Paa evalua un típico coeficiente A k, multiplicando ambos lados de la ecuación po el facto (s s k ). El esultado es: (s s k ) (s s k ) D(s) = A s s k s s k s s k + A s s 2 + + A s s k + + A v 2 s s v La multiplicación del facto s s k sobe el lado izquiedo del a ecuación. Y el mismo facto D(s) debeá dividise fuea. Si s = s k, todos los téminos en el lado deecho de la ecuación son ceo excepto A k. Así, una egla geneal paa evalua las constantes paa polos eales de oden simple es: A k [(s s k ) D(s) ] s=s k = [ D (s) ] s=s k Donde D (s) es dd(s) ds polos coespondientes. Paa el caso de: Las constantes son: = D(s) (s s k). Los coeficientes A k son llamados los esiduos de C(s) de los s + 2 s(s + )(s + 3) = A 0 s + A (s + ) + A 2 (s + 3) s + 2 A 0 = [s C(s)] s=0 = [ (s + )(s + 3) ] s=0 = 2 3

A = [(s + )C(s)] s= = [ s + 2 s(s + 3) ] s= = 2 A 2 = [(s + 3)C(s)] s= 3 = [ s + 2 s(s + ) ] s= 3 = 6 La solución de c(t) es: c(t) = 2 3 e t 2 e 3t 6 CASO 2: POLOS REALES DE ORDEN MÚLTIPLE. La posición de los polos eales de F(s), algunos de los cuales son epetidos, se muesta en la figua 2. El símbolo ] es poyectado paa indica un polo de oden. Jw plano s X x 0 s₁ ] 3 s₁ Figua 2. Localización de polos eales en el plano s. Todos los polos eales están situados sobe el eje eal del plano s. paa los polos mostados en la figua 2, la tansfomada de C(s) y sus facciones paciales son: D(s) = (s s ) 3 (s + s 2 ) A 3 (s s ) 3 + A 2 (s s ) 2 + A s s + A 2 s + s 2 El oden de D(s) en este caso es cuato, y hay cuato facciones. Note que el polo múltiplo s, el cual es de oden 3, tiene esultados en tes facciones en el lado deecho de la ecuación C(s). Paa designa las constantes en las facciones paciales, un solo subíndice es usado paa un polo de pime oden. Paa polos de oden múltiplo, una notación de doble subíndice es usada. El pime subíndice designa el polo, y el segundo subíndice designa el oden del polo en la facción pacial. Los constantes asociados con los denominadoes de pime oden en el desaollo de las

facciones paciales son denominados esiduos; po lo tanto únicamente las constantes A y A 2 son esiduos de la ecuación C(s). La tansfomada invesa de C(s) es: Como calcula las constantes del oden múltiplo: c(t) = A 3 t 2 2 es t + A 2 te s t + A e s t + A 2 e s 2t Paa la tansfomada geneal con aíces eales epetidas: D(s) = (s s q ) (s + s ) A q A q( ) A q( k) (s s q ) + (s s q ) ( ) + + (s s q ) ( k) + + A q s s q + A s s + La constante A q puede evaluase simplemente, multiplicando ambos lados de la ecuación C(s) po (s s q ) obtendemos: (s s q ) (s s q ) D(s) = (s s ) = A q + A q( ) (s s q ) + + A q (s s q ) (s s q ) + A s s Nótese que el facto (s s q ) es dividido fuea de la pate izquieda de la ecuación Paa s = s q todos los téminos en el lado deecho de la ecuación son ceos excepto paa A q : A q = [ (s s q ) D(s) ] s=s q La evaluación de A q( ) no puede ealizase en una manea simila. Multiplicando ambos lados de la ecuación C(s) po (s s q ) ( k) y haciendo s = s q esultando en ambos lados su estado infinito, lo cual hace que A q( ) sea indeteminable. Si el témino A q queda eliminado en la ecuación (s s q ) C(s), A q( ) puede evaluase. Así puede ealizase po difeenciación de la ecuación (s s q ) C(s) con especto a s: Haciendo s = s q : d ds [ (s s q) D(s) ] = A q( ) + 2A q( 2) (s s q ) + d ds [ (s s q) D(s) ] s=s q +

Repitiendo la deivación obtenemos el coeficiente A q( z) d 2 A q( z) = 2 ds 2 [ (s s q) D(s) ] s=s q Este poceso puede epetise hasta que cada constante sea deteminada. Una fómula geneal paa descubi esos coeficientes asociados con el polo eal epetido de oden, es: A q( k) = k! d k ds k [ (s s q) D(s) ] s=s q Paa el caso de: (s + 2) 3 (s + 3) = A 3 (s + 2) 3 + A 2 (s + 2) 2 + A s + 2 + A 2 s + 3 Las constantes son: A 3 = [ (s + 2) 3 C(s)] s= 2 = [ s + 3 ] s= 2 = A 2 = d ds [ (s + 2)3 C(s)] s= 2 = d ds [ s + 3 ] = [ () s= 2 (s + 3) 2] = s= 2 d 2 A = 2! ds 2 [(s + 2)3 C(s)] s= 2 = 2 d 2 ds 2 [ s + 3 ] = d s= 2 2 ds [ () (s + 3) 2] = s= 2 A = 2 [+(2)(s+3) (s+3) 4 ]s= 2 = 2 [2 ]= A 2 = [(s + 3)C(s)] s= 3 = [ (s + 2) 3] = s= 3 Y la solución como una función de tiempo es c (t) = t2 2 e 2t te 2t + e 2t e 3t

CASO N 3. POLOS COMPLEJOS CONJUGADOS. La posición de los polos complejos de F(s) en el plano s se muesta en la figua 3. Figua 3. Localizaciones de los polos complejos conjugados en el plano s. Los polos complejos siempe son pesentados en paes complejos conjugados; su pate eal puede se positivo o negativo. Paa los polos mostados en la figua 3 la tansfomada F(s) y sus facciones paciales son: D(s) = (s 2 + 2δw n s + w 2 n )(s s 3 ) = A (s s ) + A 2 (s s 2 ) + A 3 (s s 3 ) A = + A 2 + A 3 (s+δw n jw n s 2 ) (s+δw n jw n s 2 ) (s s 3 ) La tansfomada invesa de C(s) es: f(t)=a e ( δw n+jw n δ 2) + A 2 e ( δw n+jw n δ 2) + A e (s 3t) Entonces los polos S y S 2 son complejos conjugados y entonces f(t) es una cantidad eal, los coefiientes A y A 2 tienen también que se complejos conjugados. La ecuación puede escibise con los pimeos téminos combinados paa una más usual foma senosoidal amotiguada: c(t) = 2 A e δw nt sen (w n δ 2 t + ) + A 3 e s 3t c(t) = 2 A e σt sen(w d t + ) + A 3 e s 3t

Donde el ángulo: = angulo de A + 90. Los valoes de A y A 3, del mismo modo que se fundamenta en la manea peviamente mostada, son: A = (s s )C(s) s=s A 2 = (s s 3 )C(s) s=s3 Así como s es complejo, la constante A es también compleja. Recuédese que A 3 está asociada con el polo complejo con la pate imaginaia positiva. En la figua 3, los polos complejos tienen una pate eal negativa, σ = δw n, donde la azón de amotiguamiento δ es positiva. Paa este caso la coespondiente espuesta tansitoia es conocida como una sinusoidal de amotiguada y se muesta en la figua 4. Su valo final es ceo. El ángulo mostado en la figua 4, es medido del eje eal negativo y se elaciona a la azón de amotiguamiento po : Cos n = δ Figua 4. Bosquejo de una senoide exponencial amotiguada. Si el polo complejo tiene una pate eal positiva, la espuesta con especto al tiempo se incementa exponencialmente con el tiempo y el sistema es inestable. Si las aíces complejas son en la mitad deecha del plano s, la azón del amotiguamiento es negativa. El ángulo n paa este caso es medido paa el eje eal positivo y está dado po: Paa el caso de: cos n = δ (s 2 +6s+25)(s+2) = A s+3 j4 + A 2 s+3+j4 + A 3 s+2 Las constantes son:

A (s + 3 j4) (s+6s+25)(s+2) s= 3+j4 = (s+3+j4)(s+2) s= 3+j4 = = = ( 3+j4+3+j4)( 3+j4+2) (j8)( +j4) (8 90 0 )(4.23 75.96 0 ) =0.0303 94.04 (32.984 90 0 +(80 0 75.96 0 ) A 3 (s + 2) = 94.04 + 90 0 = 04.04 (s 2 +6s+25)(s+2) s= 2 = (s 2 +6s+25)(s+2) s= 2 = 0.059 = La solución es: c(t)=0.06e 3t sen (4t 04.04 ) + 0.059e 2t Este ejemplo es usado paa ilusta las técnicas en facciones paciales de expansión. C(s) c(t) 0 t (s + c)[(s + a) 2 + b 2 ] e ct (c a) 2 + b 2 + e at sen(bt ) b (c a) 2 + b 2 = tan b c a El ángulo de fase en el témino sinusoidal amotiguada es: = tan b = = c a tan 4 = 04 2 3 Esto es impotante paa hace nota que: tan 4 tan 4 Paa obtene el valo coecto paa el ángulo de, es útil taza un esquema, como el mostado e la figua 5. Esto evita ambigüedades y confima que es evaluado coectamente.

Figua 5. Calculo del ángulo θ. POLOS IMAGINARIOS. La posición de los polos imaginaios de C(s) en el plano s se muesta en la figua 6. Como la pate eal de los polos es ceo, los polos se poyectan sobe los ejes imaginaios. Esta situación es un caso especial de polos complejos, u,g, la azón de amotiguamiento δ = 0. Paa los polos mostados en la figua 4-5, la tansfomada f(s) y sus facciones paciales son: = = A + D(s) (s 2 +w 2 n )(s s 3 ) s s A 2 s s 2 + A 3 s s 3 Figua 6. Polos de C(s) contienen dos polos imaginaios complejos en el plano s. La cuadática puede facto izase en témino de los polos s y s 2 ; asi: s 2 + w 2 n = (s jw n )(s + jw n )=( s s )( s + s 2 ) La tansfomada invesa de la ecuación (4-57) es: c(t)= A e jw nt +A 2 e jw nt +A 3 e s 3t como c(t)es una cantidad eal, los coeficientes A y A 2 son complejos conjugados. Los teminos de la ecuación pueden combinase paa una foma mas usual. c(t)=2 A sen (w n t + ) + A 3 e s 3t

Ya que no hay téminos de amotiguamiento multiplicando la senoide, esos téminos epesentan un valo de estado estable. El ángulo es: =angulo de A +90 Los valoes de A y A 2, establecidos de la manea convencional son: A = [(s s )C(s)] s=s Paa el caso donde A 2 = [(s + s 2 )C(s)] s= s2 00 (s 2 + 25)(s + 2) = A (s j5) + A 2 (s + j5) + A 2 (s + 2) Los valoes de los coeficientes son A = [(s j5)c(s)] s=j5 = [ 00 ] 00 (s+j5)(s+2) s=j5= = 00 = (j5+j5)(j5+2) (j0)(j5+2) 00 = 00 =.86 58.2 (0 90 )(5.385 68.2 ) 53.85 (90 +68.2 ) La solución es: 00 A 3 = [(s + 2)C(s)] s= 2 = [ ] (s 2 +25) s= 2 = 00 c(t)= 3.72 sen (5t-68.2 )+3.45e 2t φ = 58.2 + 90 = 68.2 ( 2 2 +25) = 00 (29) = 3.45 CASO 4: POLOS COMPLEJOS DE ORDEN MÚLTIPLE. Aunque los polos conjugados complejos de oden múltiple no ocuen muy fecuentemente, es impotante conoce de qué modo pocede si se pesentaan. Ellos pueden tatase en la misma manea como los polos eales epetidos. La expansión de la facción pacial de la tansfomada C(s) con polos complejos múltiples es.

C(s)= + (s 2 +2δw n s+w n 2 ) Q (s) = A A (s+δw n +jw n δ 2 ) A (s+δw n +jw n δ 2 ) + (s+δw n +jw n δ 2 ) + + A (s+δw n +jw n δ 2 ) + A (s+δw n +jw n δ 2 ) + A (s+δw n +jw n δ 2 ) Las constantes son evaluadas en la misma manea como paa aíces eales epetidas, la tansfomada invesa es de la foma: c(t)= 2 A t ( )! e δw nt sen(w n δ 2 t + ) + 2 A t 2 ( 2)! e δw nt sen(w n δ 2 t + ) +