Capítulo 2: Elementos de lógica proposicional por G 3 Agosto 2014 Resumen Describimos el uso de tablas de verdad, así como las definiciones de los principales conectivos lógicos:,,,, y. Nos extendemos un poco en la discusión del conectivo condicional. La lógica proposicional binaria, que brevemente estudiamos en este curso, está compuesta de los siguientes elementos Conceptos primitivos. Los conceptos no definidos de la lógica proposicional son: Verdadero y Falso. No nos interesa definir el sentido de tales palabras. Generalmente, este valor se adquiere dependiendo del universo de interpretación en el cual se está inmerso. Definición 1. Una proposición es toda oración declarativa de la que puede decirse que es verdadera o falsa pero no ambas. Notación. Cuando una proposición es verdadera, decimos que su valor de verdad es V, o bien 1. Cuando es falsa, diremos que su valor de verdad es F, o bien 0. Ley del tercero excluido. Los únicos objetos de la lógica proposicional son las proposiciones. Es decir, entre V y F, no hay valores de verdad intermedios. 1
Algunos ejemplos de proposiciones que encontramos en la vida cotidiana se enlistan a continuación: 1. El calor dilata los cuerpos. 2. Todo cambia, menos mi amor por ti. 3. Si no te hubieras ido, sería tan feliz. 4. Más sabe el Diablo por viejo que por diablo. 5. Muero porque no muero. 6. Todo hombre es honesto. 7. Hay hombres deshonestos. 8. Los elefantes son rosas porque la Luna es de queso. Observe que los valores de verdad de las proposiciones anteriores pueden ser relativizados, o condicionados a otros aspectos de la vida cotidiana (por ejemplo el enunciado 3). Otros en cambio son objetivamente decidibles (por ejemplo el enunciado 1). Lo importante aquí es que de algún modo u otro podemos asignar un valor de verdad, en todas ellas, aún cuando éste valor esté relativizado según un determinado contexto. Algo similar ocurre en la matemática. Por ejemplo, el valor de verdad de la proposición la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180 dependerá de si nuestro contexto es la geometría euclídea, o bien una geometría no euclídea. Pero en cuanto a la lógica matemática, nos interesa poco este contexto. Nos situamos en un nivel abstracto superior. Sólo nos interesa investigar cuáles son las reglas que rigen los modelos de razonamiento que asignan únicamente dos valores de verdad, no nos intersa la interpretación que tales modelos tengan. Algunos ejemplos de oraciones que no son proposiciones se enlistan a continuación: 2
1. (Paradoja de Epiménides el cretense). Esta afirmación es falsa. 2. (Paradoja del mentiroso). Estoy diciendo una mentira. 3. (Paradoja de Pinocho). Pinocho Ahora mismo me crecerá la nariz. 4. Quién viene? 5. Ratón. Observe que en las primeras tres oraciones anteriores no es posible asignar un valor de verdad sin caer en una contradicción. Todas ellas son autorreferentes. En cuanto a la lógica filosófica, existe un largo debate sobre si tales frases son legítimas proposiciones o no. Aquí no vamos a entablar ningún debate al respecto, simple y sencillamente, por que no es es tarea de la lógica determinar si tales frases son o no legítimas. En cuanto a las últimas dos oraciones de la lista anterior, ni siquiera tiene sentido hablar de su valor de verdad. Lenguaje de la lógica proposicional. Usamos las letras: p, q, r, s,..., o también mayúsculas: P, Q, R, S,..., para denotar proposiciones. Hay otros símbolos en el lenguaje de la lógica proposicional, como los paréntesis redondos (, ) y cuadrados [, ], y las variables x, y, z,..., X, Y, Z. Como cualquier lenguaje, hay ciertas reglas sitácticas que nos indican cómo construir elementos del lenguaje a partir de elementos básicos. Nosotros no discutiremos estas reglas aquí. Iremos aprendiendo de la experiencia y el buen sentido. Los Conectivos Lógicos son símbolos que forman parte del lenguaje de la lógica proposicional, con ellos podemos construir proposiciones a partir de otras. Definición 2. Una proposición compuesta es una proposición la cual ha sido construida, mediante los conectivos lógicos a partir de otras proposiciones, las cuales llamamos proposiciones componentes de la proposición compuesta. 3
A continuación enlistamos una descipción coloquial de los principales conectivos lógicos. En todo lo que sigue, p y q son proposiciones. Conectivo Nombre Operación Significado Negación p No p. No es cierto que p. Conjunción p q p y q Disyunción p q p o q Disyunción excluyente p q p o q pero no ambas Implicación (o condicional) p q Doble implicación (o bicondicional) p q p implica q. Si p entonces q. q si p. p es condición suficiente para q. q es condición necesaria para p. p si, y sólo si, q. q es condición necesaria y suficiente para p. p es condición necesaria y suficiente para q. p es equivalente a q. Veamos un ejemplo: Consideremos las siguientes proposiciones Tenemos entonces Operación p : El viento sopla muy fuerte. q : Se caen las hojas de los árboles. Significado p Las hojas no se caen de los árboles. p q p q p q p q p q El viento sopla muy fuerte y se caen las hojas de los árboles. El viento sopla o se caen las hojas. El viento sopla pero no se caen las hojas de los árboles, o bien se caen la hojas de los árboles pero el viento no sopla muy fuerte. Si el viento sopla muy fuerte, entonces se caen las hojas de los árboles. El viento sopla muy fuerte si, y sólo si, se caen las hojas de los árboles. 4
El valor de verdad de una proposición compuesta depende de los valores de verdad de las proposiones componentes. De modo que los conectivos lógicos se definen a partir de tablas de verdad. Una tabla de verdad es un mecanismo exhaustivo para designar valores de verdad de una proposición compuesta. Es decir, agotamos todas las combinaciones de valores de verdad posibles de las proposiciones componentes, y en cada caso asignamos un valor de verdad para la proposición compuesta. En lo que sigue definimos formalmente, mediante la tabla de verdad correspondiente, los principales conectivos lógicos antes descritos. Negación de la propsición p es la proposición p, que se lee no p, definida según la tabla de valores de verdad siguiente p p V F F V Esto es, p tiene el valor de verdad contrario respecto al valor de verdad que tiene p. De modo que p es V si, y sólo si, p es F. O dicho de otra forma, p es F si, y sólo si, p es V. Conjunción (o Producto Lógico) de las proposiciones p y q es la proposición p q, que se lee p y q, definida mediante la tabla de valores de verdad siguiente p q p q V V V V F F F V F F F F Note entonces que p q es V si, y sólo si, p y q son ambas V. Dicho de otra forma, p q es F si, y sólo si, alguna de las proposiciones p y q es F. 5
Disyunción (o Suma Lógica) de las proposiciones p y q es la proposición p q, que se lee p o q, definida mediante la tabla de valores de verdad siguiente p q p q V V V V F V F V V F F F Es decir, p q es V si, y sólo si, al menos una de las proposiciones p y q es V. Dicho de otra forma, p q es F si, y sólo si, ambas proposiciones p y q son F. Disyunción excluyente de las proposiciones p y q es la proposición p q, que se lee p o q, pero no ambas, definida mediante la tabla de valores de verdad siguiente p q p q V V F V F V F V V F F F Es decir, p q es V si, y sólo si, exclusivamente una de las proposiciones p y q es V. Dicho de otra forma, p q es F si, y sólo si, ambas proposiciones p y q son V, o bien son F. Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q, que se lee p implica q, definida mediante la tabla de valores de verdad siguiente p q p q V V V V F F F V V F F V Decimos que p es el precedente, o la premisa o la hipótesis. Decimos que q es el consecuente o la tesis. 6
Note que p q es V si, y sólo si, el antecedente p es V o bien el consecuente q es F, pero no ambos casos. Dicho de otra forma, p q es F si, y sólo si, el antecedente p es V y el consecuente q es F. Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q, que se lee p si, y sólo si, q, definida mediante la tabla de valores de verdad siguiente p q p q V V V V F F F V F F F V Es decir, p q es V si, y sólo si, los valores de verdad de verdad de p y q coinciden. Dicho de otra forma, p q es F si, y sólo si, los valores de verdad de p y q difieren. Ejemplos. Enlistamos algunos ejemplos del uso de la implicación en distintos universos interpretativos. 1. Si hoy es lunes entonces mañana es martes. Definimos p : Hoy es lunes, q : Mañana es martes. Note que no puede suceder que p es V y q es F, por tanto, la proposición p q es verdadera. 2. Si la luna es cuadrada, entonces los elefantes son rosas. Definimos p : La Luna es cuadrada, q : Los elefantes son rosas. El antecedente de la implicación p q es F. Luego, la implicación p q es V. Note que el consecuente q es F. 7
3. 1 = 1 1 2 = ( 1) 2. El antecedente 1 = 1 es F, por tanto esta implicación es V. Note que el consecuente 1 2 = ( 1) 2 es V. 4. Si 2 + 2 = 5, entonces lo Tierra es plana. Como en el ejemplo anterior, el antecedente es F, y por tanto esta implicación es V. En el lenguaje cotidiano, que es accidentado y contingente, se presentan a veces ciertas anomalías aparentes y otras variantes en el uso de condicionales implicativos. Veamos algunos, 5. Si un asesino envenena al Rey, entonces éste se muere. Definimos p : Un asesino envenena al Rey. q : El Rey muere. Note que el valor de verdad de la implicación p q dependerá de si realmente el Rey muere después de ser envenenado. No obstante, si asumimos que p q es cierto, lo que no es lo mismo que decir que es verdadero (esto depende de si realmente el Rey muere envenenado), entonces si no se ha cumplido q, no se ha cumplido p, es decir, si q es F, p no es V. 6. Si el Rey está vivo, entonces no ha sido envenenado. Definimos p y q como en el ejemplo anterior. Note que esta nueva implicación es de la forma q p. Note también que si el rey está vivo, esto no quiere decir que no haya sido envenenado. Pudo haber sobrevivido a un atentado de esta índole. De modo que el valor de verdad de q p depende del valor de verdad de p q. Ahora, si p q es verdadero, será dudoso dar un argumento de la verdad de q q, estando el Rey muerto por envenenamiento. 7. El Rey no se ha muerto, pero fue envenenado por un asesino. Sean p y q como antes. Entonces esta proposición es de la forma q p, la cual no es un implicación. No obstante, observe que si q p es falsa, entonces p q es verdadera. 8
La definición del conectivo ha sido siempre controvertida. Fue el matemático italiano Giuseppe Peano, hacia finales del siglo XIX, quien dio la definición actual de (de hecho se considera que el origen de la lógica matemática se haya en los trabajos de Peano). El problema radica en los renglones segundo y cuarto de la tabla de valores de, los cuales, como hemos visto en los ejemplos, admiten como V ciertas afirmaciones que a primera vista o intuitivamente nos parecen absurdas. En concreto, lo que entra en disputa es cuál es la forma correcta de entender un condicional de la forma si p entonces q. Por un lado, podemos aceptar lo que el antiguo filósofo griego Aristóteles llamaba silogismo, que es algo parecido a lo que ahora conocemos como implicación formal (o implicación lógica). Tradicionalmente, sobre todo en las áreas de la filosofía y del lenguaje, se entiende que una implicación formal consiste en establecer una cierta conclusión verdarera por necesidad, a partir de ciertas hipótesis también verdaderas. Dicho de otra forma, una implicación formal es todo condicional verdadero de la forma si p entonces q, de tal manera que la verdad de q se sigue por necesidad (formalmente) de la verdad de p. Es como si sólo aceptáramos como V el primer renglón de la tabla de, y el resto fueran F. En la vida cotidiana es común esta interpretación del condicional. En contraparte, una implicación material es todo condicional de la forma si p entonces q, de tal manera que la verdad de q no se sigue necesariamente (formalmente) de la verdad de p. Es decir, lo único que no se admite como verdadero (cierto), es que se obtenga una conclusión falsa a partir de premisas verdaderas. Dicho de otra forma, siendo verdadera la implicación si p entonces q, no sucede que q es F y p es V. Esta es justamente la definición del conectivo. De modo que, en cuanto a lógica matemática respecta, el condicional se define como una implicación material. Pero aún en algunos ejemplos de nuestra vida cotidiana damos mucho sentido a formas materiales del condicional. Por ejemplo, cuando decimos: Si Fulanito es honesto, entonces yo soy un astronauta, queremos explicar, sarcásticamente, que Fulanito es una persona deshonesta. En efecto, la 9
única forma de admitir que Fulanito es honesto, es admitiendo que yo soy un autronauta, lo cual (casi siempre) es falso y es evidente para todos. El sarcasmo rádica precisamente en admitir primero que la frase Si Fulanito es honesto, entonces yo soy un astronauta es verdadera. Desde luego, el tema es largo y la discusión es compleja. Sucede muchas veces que uno cree haber entendido perfectamente el sentido que tiene una u otra forma de entender la implicación, cuando al siguiente instante, frente a un sólo ejemplo de nuestra simple vida cotidiana, los viejos fantasmas de la duda vuelven una y otra vez. No seguiremos aquí esta discusión. Implicaciones Asociadas. Terminamos apuntando algunas cuestiones de nomenclatura. p q : Implicación directa p q : Implicación contraria (respecto a la implicación directa) q p : Implicación recíproca (respecto a la implicación directa) q p : Implicación contrarecíproca (respecto a la implicación directa). Ejemplo. Consideremos la oración Si apruebo el examen, entonces te presto los apuntes. Sean las proposiciones p : Apruebo el examen q : Te presto los apuntes. Entonces p q es la proposición anterior (implicación directa). Enlistamos las implicaciones asociadas: Implicación Contraria: p q : Si repruebo el examen, entonces no te presto los apuntes. Implicación Recíproca: q p : Si te presto los apuntes, entonces apruebo el examen. 10
Implicación Contrarecíproca: q p : Si no te presto los apuntes, entonces repruebo el examen. Ejemplo. Consideremos la oración Si p(x) es un polinomio de grado n > 1, entonces existe x 0 tal que p(x 0 ) = 0. Sean las proposiciones p : p(x) es un polinomio de grado n > 1. q : Existe x 0 tal que p(x 0 ) = 0. Entonces p q es la proposición anterior (implicación directa). Enlistamos las implicaciones asociadas: Implicación Contraria: p q : Si p(x) es polinomio constante, entonces p(x) 0 para todo x. Implicación Recíproca: q p : Si p(x 0 ) = 0 para algún x 0, entonces p(x) es un polinomio de grado n > 1. Implicación Contrarecíproca: q p : Si p(x) 0 para todo x, entonces p(x) es un polinomio constante. 11