CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen Final. 9 de Junio de 4 Primera parte Ejercicio. Un depósito subterráneo de gasolina tiene forma de cilindro elíptico con semieje orizontal a semieje vertical b yancural. Para medir su contenido se sumerge una vara asta la parte inferior del depósito y se mide la altura del nivel de gasolina. Calcular el volumen de la gasolina que contiene el depósito en función de. olución. Consideramos la elipse de semiejes a y b que es una sección del depósito. En primer lugar calculamos el área de la porción de la elipse que está comprendida entre el vértice ( b) y la recta y b +. Dado que la ecuación de la elipse es x a + y b tenemos que las coordenadas de dos puntos simétricos respecto al eje y son à r! à r! a y b y a y b y donde b y b. Entonces el área de la porción de elipse es Z r b+ A () a y b dy a Z b+ p b b y dy. b Para calcular la integral usaremos el cambio de variable y b sen t que verifica y b sen t t y b + sen t b t arcsen µ b dy b cos tdt p b y b cos t b cos t b cos t. b
En consecuencia Z arcsen( A ()ab t + b ) sen t ab à ab arcsen Z arcsen( cos tdt ab arcsen( b ) µ b b ) + π sen t arcsen( + ( + cos t) dt b ) Dado que sen t sentcos t el valor de cos t en t arcsen b viene dado por cos t q sen t b yademássen ( π) obtenemos sen t arcsen( ) µ s µ b b b.!. El volumen de la gasolina que contiene el depósito es µ V () abl arcsen b + π µ s µ + b b.
Ejercicio. Dada la serie de potencias n 3 x n n calcular su radio de convergencia su dominio de convergencia y su suma en dico dominio. olución. El radio de convergencia de la serie de potencias es R lim a n n a n+ lim n 3 n (n +) 3 lim n 3 n n 3 +3n +3n +. En el extremo x la serie P n n3 es divergente porque la sucesión n 3 n no converge a cero. Por la misma razón la serie P n n3 ( ) n también es divergente. Entonces el intervalo de convergencia es ( ). Para calcular la suma de la serie en los puntos tales que x < sabemos que x n x n n para x <. Derivando obtenemos à nx n d! X x n dx lo que implica P n nxn x n n x n d dx µ n x ( x) d µ dx x ( x). ( x). Derivando ambos términos ( x) +x ( x) ( x) 4 +x ( x) 3 para x <. Multiplicando por x obtenemos n x n x + x n ( x) 3. Derivando una vez más n 3 x n d µ x + x dx n ( x) 3 (x +)( x)3 +3 x + x ( x) ( x) 6 (x +)( x)+3 x + x ( x) 4 x + x x +3x +3x ( x) 4 x +4x + (x ) 4. Entonces la suma de la serie en el dominio x < es n 3 x n x x +4x + (x ) 4. n 3
CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen Final. 9 de Junio de 4 egunda parte Ejercicio 3. Hallar los extremos absolutos de f (x y) 4x + y 4x 3y sobre el conjunto M (x y) R : y 4x + y 4 ª. olución. En primer lugar buscamos puntos en el interior de M tales que f (x y) (8x 4 y 3) ( ) (x y) (/ 3/). Las coordenadas del punto P (/ 3/) verifican 4(/4) + 9/4 3/4 < 4 y 3/ > por lo que P pertenece al interior de M. La frontera de M es la unión de la semielipse 4x + y 4 y yelsegmentoy x. Usando multiplicadores de Lagrange f λ g con la restricción g (x y) 4x + y 4 obtenemos ½ 8x 4λ8x y 3λy ½ x ( λ) y ( λ) 3. Entonces 6x ( λ) 3y ( λ). i λ obtenemos 8x 48x por lo que necesariamente λ 6 y podemos dividir por ( λ). Así tenemos que 6x y 3x y por lo que 4x +9x 4 que implica 3x 4. Las soluciones son x ± ± 3 y sabemos que y 3x luego el único punto que verifica la restricción con y es P µ 3 6. 3 En el segmento y x tenemos que f λ con (x y) y implica 8x 4 x / y 3λ λ 3 y y. Por tanto el tercer punto es P 3 (/ ). La intersección de la semielipse con el segmento proporciona los puntos P 4 ( ) y P 5 ( ). Los valores de la función en dicos puntos son µ f (P )f 3 3 4 4 9 3 4 3 3 4 3.5 µ 6 f (P )f 4 8 8 4 6 3. 3 3 3 3 3 µ f (P 3 )f f (P 4 )f( ) 8 f (P 5 )f( ). En consecuencia el máximo absoluto se alcanza en P 4 mientras que el mínimo absoluto se alcanza en P. 4
Ejercicio 4. ea el octante positivo de la superficie esférica unidad.. Calcular la integral de superficie ZZ d. qx + y +(z ). H Calcular directamente y usando el teorema de tokes la integral de línea C F dr donde C es la curva frontera de orientada por la normal exterior y F (x y z) (x y z). (x + y + z 3/ ) olución. Parametrizamos usando coordenadas esféricas es decir (Φθ) (sen Φ cos θ sen Φ sen θ cos Φ) (Φθ) [π/] [π/]. El producto vectorial fundamental es i j k Φ θ cos Φ cos θ cos Φ sen θ sen Φ sen Φ sen θ sen Φ cos θ sen Φ cos θ sen Φ sen θ sen Φ cos Φ. En primer lugar obtenemos la norma del producto k Φ θ k sen 4 Φ +sen Φ cos Φ / sen Φ / sen Φ senφ porque Φ [π/]. A continuación calculamos el valor del integrando en qsen Φ cos θ +sen Φ sen θ +(cosφ ) sen Φ +cos Φ + cosφ cosφ. Finalmente calculamos la integral de superficie ZZ Z π/ Z π/ sen Φ d dφ dθ qx + y +(z ) cosφ Z π/ ( cos Φ) /i π/ dθ Z π/ dθ π. 5
olución. Para calcular directamente H C F dr observemos que la curva frontera de orientada por la normal exterior verifica C C C C 3 donde C está contenida en el semiplano θ π/ la curva C en el semiplano θ y C en el plano Φ π/ todas ellas con orientación antioraria. Parametrizamos C mediante ³ π Φ r (Φ) ( sen Φ cos Φ) Φ π. Dado que F (r (Φ)) ( sen Φ cos Φ) y r (Φ) ( cos Φ sen Φ) obtenemos Z Z π/ F dr (sen Φ cos Φ cos Φ sen Φ) dφ. C Una parametrización de C viene dada por r (Φ) ( Φ) (sen Φ cos Φ) Φ π. R Entonces F (r (Φ)) (sen Φ cos Φ) y r (Φ) (cosφ sen Φ) implican C F dr. La curva C 3 se parametriza con ³ r 3 (θ) θ π (cosθ sen θ ) θ π. Análogamente F (r 3 (θ)) (cos θ sen θ ) y r3 (θ) ( sen θ cos θ ) implican R C 3 F dr. En consecuencia la integral de línea H C F dr. El teorema de tokes asegura que I ZZ F dr rot F nd. C Para aplicarlo calculamos el rotacional del campo vectorial F (x y z) i j k rot F F D x D y D z x y z (x +y +z ) 3/ (x +y +z ) 3/ (x +y +z ) 3/ Ã! 3zy +3yz (x + y + z ) 5/ 3xz 3zx (x + y + z ) 5/ 3yx +3xy (x + y + z ) 5/ ( ). Entonces I ZZ F dr C ( ) nd. 6