Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 5 Pág. P RACTICA Operaciones con polinomios Opera y simplifica las siguientes epresiones ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 5) 4 ( ) ( )( ) (4 5) 6 9 4 4 6 7 4 4 4 0 75 0 77 4 ( 6 9) (9 ) (4 5) 4 8 4 5 4 5 8 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado (y )(y ) ( y) (y ) ( y) ( y) ( y)y (y )( y) ( y)( y) 4y y y y 5y y y y y y y 8y y 4y y y 4y y Multiplica cada epresión por el mín.c.m. de los denominadores y simplifica ( 5) ( ) ( 4)( 4) 5 4 (8 )( ) ( ) ( )( ) 0 5 6 0 ( 5) ( ) ( 4)( 4) [ 5 4 ] 60 5(4 4 ) 0( 6) 60 0 0 5 0 60 40 65 (8 4 5 ) (9 4 4) 5(4 9) 4 4 45 6 8 4 4 8 0 45 6 4 4 59 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas 4 Halla el cociente y el resto de cada una de estas divisiones (7 5 ) ( ) ( 7 5 ) ( ) ( 5 4)( ) 7 5 7 4 7 7 COCIENTE 7 9 4 RESTO 9 4 Pág. 7 5 4 6 COCIENTE RESTO 5 4 4 4 4 4 4 COCIENTE 4 8 RESTO 8 5 Calcula el cociente y el resto de las divisiones siguientes ( 5 4 ) ( ) ( 4 5 ) ( ) (4 5 ) ( ) 5 4 5 6 4 4 4 8 4 COCIENTE 4 5 RESTO 5 4 5 4 5 5 5 5 8 COCIENTE 5 8 RESTO 8 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas 4 5 4 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 COCIENTE 4 4 6 RESTO 6 Pág. 6 Divide y comprueba que Dividendo divisor Ò cociente resto ( 5 )( 5 ) 5 5 5 ( 5 ) 5 5 7 Epresa las siguientes divisiones de la forma D d c r. (6 5 9) ( ) ( 4 4 9) ( ) (4 4 9 5) ( 5) 6 5 9 6 4 9 9 6 6 5 9 ( )( ) 4 4 9 4 7 4 6 6 6 9 0 4 4 9 ( )( ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas 4 4 9 5 5 4 4 0 5 0 4 4 9 5 ( 5)( ) Pág. 4 Factor común e identidades notables 8 Epresa como cuadrado de un binomio. 6 8 6 5y 60y 9 4 y 6 y y 4 y (4 ) (6 5y) ( y) (y ) 9 Epresa como producto de dos binomios. 49 6 9 4 y 8 4 64 5 e) 00 f) 5 (7 4)(7 4) ( y)( y) (9 8)(0 8) (5 )(5 ) e) ( 0)( 0) f) ( 5 )( 5 ) 0 Saca factor común e identifica los productos notables como en el ejemplo. 4 8 ( 6 9) ( ) 0 60 45 7 y 6 y y 4 4 8 y 5(4 9) 5( ) (9 y ) ( y)( y) ( y y ) ( y) (4 8y ) ( 9y)( 9y) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas Regla de Ruffini. Aplicaciones Pág. 5 Aplica la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones (5 ) ( ) ( 4 5 7 )( ) ( 4) ( ) ( 4 5) ( ) 5 COCIENTE 5 7 5 0 4 0 RESTO 8 5 7 5 8 5 0 7 COCIENTE 6 6 6 6 RESTO 6 6 0 4 0 COCIENTE 5 9 5 RESTO 5 5 5 0 0 5 COCIENTE 5 0 0 0 0 40 RESTO 45 5 0 0 45 Utiliza la regla de Ruffini para calcular P(), P(5) y P(7) en los siguientes casos P() 5 7 P() 4 7 5 7 6 0 0 P () 5 7 5 0 75 40 5 8 407 5 7 7 4 6 490 9 70 49 0 0 7 9 8 54 6 8 6 0 0 7 5 5 5 0 550 5 0 557 P (5) 407 P(7) 49 P() 6 P(5) 557 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas 0 0 7 7 7 49 54 7 46 6 P(7) 6 Pág. 6 Averigua cuáles de los números,,,,, son raíces de los polinomios siguientes P() 5 6 Q() Recuerda que a es raíz de P() si P( 0. 5 6 6 6 0 5 6 8? 0 5 6 0 0 0 5 4? 0 5 6 8 6 4 0 5 6 6 0 5 6 5 0 5 0 4? 0 Son raíces de P(), y. 4? 0 0 0 0 4 5 4 5 8? 0 8 57 6 9 60? 0 es una raíz de Q() (no probamos con y porque no son divisores de ). 4 Comprueba si los polinomios siguientes son divisibles por o. P () P () 4 0 P () 4 7 5 0 4 5 0 0 4 5 8? 0 P es divisible por. 4 0 4 4 6? 0 4 0 0 7 0 0 P es divisible por. Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas 7 5 0 8 8 0 Pág. 7 P es divisible por. No puede ser divisible por porque no es múltiplo de. PÁGINA 54 5 El polinomio 4 4 es divisible por a para dos valores enteros de a. Búscalos y da el cociente en ambos casos. 4 4 4 4 4 4 6 6 0 4 6 6 4 6 4 4 4 0 Es divisible por 4. Es divisible por 6. COCIENTE 6 6 COCIENTE 4 4 6 Prueba si el polinomio 4 6 6 es divisible por a para algún valor entero de a. 0 6 6 9 8 6 6 0 Es divisible por. 7 Si P() 8 45, halla los valores P(8,75), P(0,5) y P(7) con ayuda de la calculadora. Describe el proceso como en el ejemplo 8.75m *Ñ-*Ñ-8*Ñ45{ «} P(8,75) 70,88... 0,5 m *Ñ- *Ñ- 8 *Ñ 45 { Ÿ «} P (0,5) 489,7 7 ±m *Ñ- *Ñ- 8 *Ñ 45 { \} P (7) 756 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas Factorización de polinomios Pág. 8 8 Factoriza los siguientes polinomios 4 5 8 5 7 80 9 0 4 5 0 8 5, 4 5 ( 5)( ) 8 5 0 8 5, 8 5 ( 5)( ) 7 80 0 8 8, 5 7 80 7( 8)( 5) 9 0 0 8 0, 7 9 0 ( 0)( 7) 9 Busca, en cada caso, una raíz entera y factoriza, después, el polinomio 9 5 5 4 7 5 7 7 9 5 ( 5)( ) 5 ( )( 5) 4 7 5 ( )(4 5) 7 7 ( 8)( 9) 0 Saca factor común y utiliza las identidades notables para factorizar los siguientes polinomios 4 4 6 45 5 4 4 e) 6 6 f)6 4 9 ( 4) ( )( ) 4 4 6 4( 6 9) 4( ) 45 5 4 5 (9 ) 5 ( )( ) 4 ( ) ( ) e) 6 6 ( 4 6) ( 4)( 4) ( 4)( )( ) f) 6 4 9 (4 )(4 ) (4 )( )( ) Completa la descomposición en factores de los polinomios siguientes ( 5)( 6 9) ( 7)( 40) ( 5)( 6 9) ( 5)( 5)( ) ( 7)( 40) ( 7)( 8)( 5) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas Descompón en factores y di cuáles son las raíces de los siguientes polinomios 5 9 5 7 4 6 ( )( )( ) Sus raíces son, y. 0 0 Pág. 9 5 5 ( )( 4) Sus raíces son 0, y 4. 0 4 0 9 5 7 9 5 7 ( ) ( 7) 8 7 Sus raíces son y 7. 8 7 0 7 7 0 4 6 0 8 ; ; ; 4 6 ( )( )( )( ) Sus raíces son,, y. Factoriza los siguientes polinomios y di cuáles son sus raíces 7 9 60 6 4 4 4 4 ( )( ) Raíz 0 7 9 60 7 9 60 ( )( 4)( 5) 6 9 60 Raíces, 4 y 5 0 0 4 8 0 5 0 0 6 6 ( )( ) 4 6 Raíz 0 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas 4 4 4 4 4 4 4 4 8 5 ( )( )(4 4 ) 4 8 5 0 ( )( )( ) 4 4 Raíces, y 4 4 0 Pág. 0 Fracciones algebraicas 4 Comprueba, en cada caso, si las fracciones dadas son equivalentes 4 y y y y y y y Sí son equivalentes, porque ( 4). No son equivalentes, ya que ( )?. Sí son equivalentes, porque ( y)( y) y. Sí son equivalentes, porque ( ). 5 Descompón en factores y simplifica. 9 ( ) 4 5 0 y 5 y y e) f) y y 6 y 9 ( )( ) ( ) ( )( ) 4 ( )( ) 5 0 ( 5) 5 ( 5)( 5) y ( y) y y ( y) e) 6 ( )( ) y f) y y y( y) y y y y 5 5 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas 6 Reduce a común denominador y opera. 4 Pág. 4 5 4 4 4 6 ( ) 4 4 ( )( ) 6 4 4 7 Efectúa. 6 6 ( ) 6 ( ) 9 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 9 4 8 Opera. 4 6 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas 9 Opera y simplifica si es posible. ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 4 4 Pág. 0 Descompón en factores el dividendo y el divisor, y, después, simplifica. 4 5 6 4 9 6 8 7 ( ) 5 6 ( )( ) 4 ( )( 4) ( ) ( ) 9 6 ( ) 4 ( 6)( 7) 8 7 ( )( 7) 4 6 PÁGINA 55 P IENSA Y RESUELVE Sustituye, en cada caso, los puntos suspensivos por la epresión adecuada para que las fracciones sean equivalentes 9 ( ) ( ) 9 4 4 ( ) 4 4 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas Halla, en cada caso, el mínimo común múltiplo y el máimo común divisor de los polinomios siguientes ; ; ; 9; 6 9 ; 6; ; ; 4 Pág. 9 ( )( ) 6 9 ( ) ( ) ( )( ) 6 ( ) ( )( ) 4 ( )( ) má.c.d. [,, ] mín.c.m. [,, ] ( )( ) má.c.d. [, 9, 6 9] mín.c.m. [, 9, 6 9] ( ) ( ) má.c.d. [, 6, ] mín.c.m. [, 6, ] ( )( ) má.c.d. [,, 4 ] mín.c.m. [,, 4 ] (4 ) Resuelto en el libro de teto. 4 Opera y simplifica. ( ) ) ( ( ) ( ) [( ) ( )] ( ) 9 9 ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas 5 Efectúa. 5 4 ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 6 4 5 4 6 6 5( ) ( 4)( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Pág. 4 6 5 5 5 4 ( )( ) 4 4 ( )( ) ( )( ) 4 ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( 4)( ) 4 ( )(4 ) (4 ) 4 8 4 4 4 4 8 0 9 (4 ) (4 ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas 6 Opera y simplifica. ( ) ( ) 4 ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 ( ) Pág. 5 7 Efectúa. 9 ( ) ( ) 4 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 9 9 9 9 4 6 9 9 7 6 ( ) 8 Resuelto en el libro de teto. Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas 9 Calcula m para que el polinomio P() m 5 sea divisible por. P() m 5 será divisible por si P() 0. P() () m() 5() 0 m 5 0 8 m 8 Pág. 6 40 El resto de la siguiente división es igual a 8 ( 4 k 7 6)( ) Cuánto vale k? LLamamos P() 4 k 7 6. El resto de la división P()( ) es P(), luego P() 8 8 4 k 7 6 8 8 8 8k 4 6 8 8 8k 8 k 4 4 Halla el valor que debe tener m para que el polinomio m 5 9m sea divisible por. Llamamos P() m 5 9m. Dicho polinomio ha de ser divisible por, luego el resto ha de ser 0 P() 0 8 m() () 5 () 9m 0 8 8 8m 0 9m 0 8 m 4 Comprueba si eiste alguna relación de divisibilidad entre los siguientes pares de polinomios P() 4 4 y Q() P () 0 5 y Q() 5 P() y Q() P() ( )( ) Q() ( ) Q () es divisor de P(). P() ( 5) Q() ( 5) No hay relación de divisibilidad. P() ( )( 4) Q() Q() es divisor de P(). Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 56 Pág. 7 4 Tenemos un polinomio P() ( ) ( ). Busca un polinomio de segundo grado, Q(), que cumpla las dos condiciones siguientes má.c.d. [P(), Q()] mín.c.m. [P(), Q()] ( ) ( 9) Q() ( )( ) 44 Calcula el valor de k para que el polinomio P() k sea múltiplo de Q(). k k k Ha de ser k 0 8 k Traducción al lenguaje algebraico 45 Traduce a lenguaje algebraico empleando una sola incógnita El cociente entre dos números pares consecutivos. Un número menos su inverso. El inverso de un número más el inverso del doble de ese número. La suma de los inversos de dos números consecutivos. 46 Epresa mediante polinomios el área y el volumen de este ortoedro. 4 Área [( 4)( ) ( ) ( 4)] 6 8 6 Volumen ( 4)( ) 8 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas 47 Epresa, en función de, el área total de este tronco de pirámide. Pág. 8 [ Área lateral 4 ( ) ( ) 4( ) Área de las bases ( ) Área total 4( ) ( ) 6 8 ] 48 Un grifo tarda minutos en llenar un depósito. Otro grifo tarda minutos menos en llenar el mismo depósito. Epresa en función de la parte del depósito que llenan abriendo los dos durante un minuto. 49 Se mezclan kg de pintura de 5 /kg con y kg de otra de /kg. Cuál será el precio de kg de la mezcla? Eprésalo en función de e y. 5 y y 50 En un rectángulo de lados e y inscribimos un rombo. Escribe el perímetro del rombo en función de los lados del rectángulo. y ( ) ( ) y El lado del rombo es l Perímetro 4 y y ( ) y 5 Epresa algebraicamente el área de la parte coloreada utilizando e y. Área cuadrado grande y Área cuadrado pequeño (y ) Área parte sombreada y (y ) 4y 4 y Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas 5 Dos pueblos, A y B, distan 60 km. De A sale un coche hacia B con velocidad v. Al mismo tiempo sale otro de B en dirección a A con velocidad v. Epresa en función de v el tiempo que tardan en encontrarse. t 60 v Pág. 9 5 En el rectángulo ABCD de lados AB cm y BC 5 cm, hemos inscrito el cuadrilátero A'B'C'D' haciendo AA' BB' CC' DD'. Escribe el área de A'B'C'D' en función de. B A' B' C C' A D' D Sabiendo que AD' B'C 5 y A'B C'D, se tendrá El área del triángulo B'CC' es (5 ). El área del triángulo A'AD' es (5 ). El área del triángulo B'BA' es ( ). El área del triángulo D'DC' es ( ). El área del rectángulo ABCD es 5 5 cm. A PARALELOGRAMO 5 (5 ) ( ) 5 [(5 ) ( )] [ ] 5 ( 8) 8 5 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas 54 En el triángulo de la figura conocemos BC 0 cm, AH 4 cm. Por un punto D de la altura, tal que AD, se traza una paralela MN a BC. Desde M y N se trazan perpendiculares a BC. M A D N Pág. 0 B P H Q C Epresa MN en función de. (Utiliza la semejanza de los triángulos AMN y ABC). Escribe el área del rectángulo MNPQ mediante un polinomio en. A M D N 4 cm B P H Q 0 cm C Por la semejanza de triángulos BC MN 8 MN BC 8 MN 0 8 MN 5 AH AH 4 MP 4 A RECTÁNGULO MN MP 5 (4 ) 0 5 PÁGINA 57 R EFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 55 Escribe en cada caso un polinomio de segundo grado que tenga por raíces 7 y 7 0 y 5 y 4 (doble) Por ejemplo ( 7)( 7) 49 ( 5) 5 ( )( ) 5 6 ( 4) 8 6 56 Escribe, en cada caso, un polinomio que cumpla la condición dada De segundo grado sin raíces. Que tenga por raíces, 0 y. De tercer grado con una sola raíz. Por ejemplo ( )( ) ( ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas 57 Las raíces de P() son 0, y. Escribe tres divisores de P() de primer grado. Escribe un divisor de P() de segundo grado. ; ; Por ejemplo ( ) Pág. 58 Inventa dos polinomios de segundo grado que cumplan la condición indicada en cada caso mín.c.m. [P(), Q()] ( )( ) má.c.d. [P(), Q()] Por ejemplo P() ; Q() ( )( ) Por ejemplo P() ( ); Q() ( )( ) 59 Cuál es el mín.c.m. de los monomios A b; B a b ; C 5a? Escribe otros tres monomios D, E, F tales que mín.c.m. (A, B, C, D, E, F ) 0a b A b B a b C 5a mín.c.m. (A, B, C ) 0a b Tomamos, por ejemplo D b E 5a F 0ab mín.c.m. (A, B, C, D, E, F) 0a b 60 Si la división P() ( ) es eacta, qué puedes afirmar del valor P()? Si 5 es una raíz del polinomio P(), qué puedes afirmar de la división P() ( 5)? En qué resultado te has basado para responder a las dos preguntas anteriores? Si la división es eacta, el resto es 0, luego P() 0. La división P()( 5) es eacta, el resto es 0. En el teorema del resto. 6 Prueba que el polinomio (a ab es divisible por a y por b para cualquier valor de a y b. Cuál será su descomposición factorial? a b ab a a ab b 0 (a ab ( ( a b ab b b ab a 0 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas 6 En una división conocemos el dividendo, D(), el cociente, C(), y el resto, R(). D() 5 ; C() ; R() 7 7 Calcula el divisor. D d c R 8 Dividendo Resto divisor Cociente D R 5 7 7 6 6 0 6 0 0 El divisor es. Pág. 6 Cuál es la fracción inversa de? Justifícalo. Inversa El producto de ambas debe ser igual a P ROFUNDIZA 64 Saca factor común en las siguientes epresiones ( ) ( )( ) ( 5)( ) ( 5)( ) ( y)(a (a ( y) El factor común es un binomio. ( )[ ( )] ( )( ) ( )[( 5)( 5)] ( )() ( y)[(a (a ] ( y)( 65 Descompón en factores a y a. Prueba si son divisibles por a o por a. 0 0 a a a a a a a 0 0 0 a a a a a a a 0 a ( ( a a ) a ( ( a a ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas 66 Factoriza las siguientes epresiones como en el ejemplo. a ay b by a( y) b( y) ( y)(a a ay b by y y y y y y ab ab b a( y)b( y) ( y)(a y( )( ) ( )(y ) y( )y ( ) ( )(y y) ( )( )y ab(b ) (b ) (b )(ab ) Pág. 67 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas y y a b 6ab 4a b a b 0 5y a b 6a b ab a b 4b y y y( y) 0 5y 5( y) y 5 a b 6ab ab (a b a b 6a b a b(a a 4a b a b a b(b ) ab a b 4b b(a a a (b ) a a b 68 Efectúa y simplifica. y ( ) y y a ab ab b ab b a ab a (a ab b ab ( ) b a y y y ( y)( y) y y y y ( y)( y) a ab a ab b (a a a(a a a 4 a b (a b ) ab b a ab (ab b )(ab b ) a b b 4 b (a b ) b a (a b a (a b ab b ab a ab ( ) a b a b ab ab ab ab Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas
Soluciones a los ejercicios y problemas 69 Opera y simplifica. a b a ab 8b a b a b a 9b b b b y ( y y y ) y y ( ) ( y y a b a ab 8b a b a b a 9b a(a b(a (a ab 8b ) a 9b a 6ab ab 9b a ab 8b a 9b a 9b a 9b b b b b b b b( )( ) b( ) (b b b( )b b b b b b b b b b b b b( ) b [ y y y ( y) ( y) y ( ) ] y y y y y y y y y y 4y y y y y y y y y ( y) ( y) ( ) ( ) ( ) [ ] y y y y ( y)( y) [ b b b y y y ) y y y y y y y 4y y ( y)( y) y ( y)( y) y( y)( y) y y 4y( y) ] Pág. 4 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas