Proporciones Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Instituto de Matemáticas Grupo de Semilleros de Matemáticas (Semática) Matemática Lógica Taller 202 La proporcionalidad es una relación que se establece entre magnitudes medibles. Cuando decimos que un objeto pesa el doble que otro, por ejemplo, estamos estableciendo una relación de proporcionalidad o razón entre dos magnitudes de la misma clase (los pesos). Secreequeelorigendelconceptodeproporciónyderazónseremonta a sociedades prehistóricas. Los primeros registros de estos conceptos aparecen en la Antigua Grecia. El concepto griego de λoγoς (logos), palabra que fue traducida al latín como ratio, significa entre otras cosas razón, proporción. La teoría de la proporcionalidad fue desarrollada por Euclides en un tratado de 3 libros llamados Los Elementos. En la Edad Media se utilizó la palabra proportio ( proporción ) para indicar razón y la palabra proportionalitas ( proporcionalidad ) para indicar la igualdad de dos razones. El Hombre de Vitruvio (figura ) es un famoso dibujo creado por Leonardo da Vinci en el año 87. Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpo humano, basado en el trabajo realizado por Figura el arquitecto romano Marco Vitruvio, en el que una palma equivale al ancho de cuatro dedos, un pie equivale al ancho de cuatro palmas (2 pulgadas), etc. Objetivo general Desarrollar habilidades para solucionar problemas aritméticos de proporcionalidad. Objetivos específicos. Comprender los conceptos de razón y proporción. 2. Realizar operaciones con fraccionarios y con porcentajes. 3. Enunciar problemas que se enuncian en términos de proporciones.. Resolver problemas aritméticos por medio de relgas de tres simples y compuestas. Copyright c 202 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática,
2 Copyright c 202 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática,. Fracciones Definición. (de fracción). Se le llama fracción a una o varias partes de la unidad dividida en un número cualquiera de partes iguales. Ejemplo.. Como ejemplos de fracciones podemos mencionar:, 8, 3/, 8 2,... Al término superior de una fracción se le denomina numerador y al inferior denominador. El denominador indica el número de partes en que ha sido dividida la unidad y el numeradorindica el número de partesaser tomadas.una fracción es nula si su numerador es cero: 0/2 = 0, 0/ = 0, etc. El denominador de una fracción nunca puede ser cero. Dos fracciones pueden representar el mismo valor, por ejemplo (a) 2 6 (b) 3 Figura 2: Fracciones iguales Se dice que una fracción es propia si su numerador es menor que su denominador, como por ejemplo /2 y 3/. Se dice que una fracción es impropia si su numerador es mayor que su denominador, como por ejemplo 3/2 y 9/. Un número mixto es una manera de expresar abreviadamente la suma de un entero y una fracción. Por ejemplo: 2 3 3 representa 2 más.. Operaciones con fracciones Las fracciones se pueden sumar, multiplicar y dividir como indicamos a continuación Propiedad... p q + r s = ps+qr qs p q r s = p r q s Actividad.2. Realiza las operaciones indicadas.. 2. 3. + 3 3 + 3 3 2 3.. 2 3 9 2 6 3 p q r s = p s q r 6. + 2 7 + 7 7. 8. 9. 2 3 + 3 + 3 + 3 ( 2 7 + 3 ) 6 7 2
Copyright c 202 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, 3 2. Proporcionalidad Definición 2... La razón de dos números a y b se define como al cociente que resulta de dividir a entre b. La razón de a y b se denota como a b o también a : b. Al número a se le denomina antecedente y al número b consecuente. La razón de 8 a es 2 porque 8 = 2; el antecedente es 8 y el consecuente es. Definición 2.2.. Una proporción es una igualdad entre dos razones: a b = c d Al número inicial a y al final d se les denominan extremos y a los otros (b y c) se les denominan medios. Ejemplos de proporciones son: 0 = 8, 6 2 = 2 8, 9 7 = 2 3, En toda proporciónel producto de los extremoses igual al producto de los medios. En la proporción por ejemplo, se cumple 3 = 2 6 y en general 2 = 6 3 Propiedad 2... a b = c d a d = b c () Si en una proporción se desconoce alguno de los extremos o medios, podemos determinar el término desconocido por medio de (), por ejemplo x 7 = 2 2.. Proporcionalidad directa = x = 7 2 = x = 7 2 = 3 Dos cantidades son directamente proporcionales cuando la multiplicación de una de ellas por un número dado cualquiera, hace que la otra cantidad quede multiplicada por el mismo número. Ejemplo 2.. Si 0 confites cuestan 300 pesos, entonces 20 confites cuestan 600 pesos. 2.2. Proporcionalidad inversa Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando la multiplicación de una de ellas por un número dado cualquiera, hace que la otra cantidad quede dividida por el mismo número. Ejemplo 2.2. Si hombres realizan un trabajo en 20 horas, entonces 8 hombres lo realizan en 0 horas. 3. Regla de tres La regla de tres es un procedimiento que nos permite resolver problemas de proporcionalidad. Las reglas de tres pueden ser de tres tipos: directa, inversa y compuesta. 3.. Regla de tres directa En la regla de tres directa las cantidades que intervienen en el problema son directamente proporcionales.
Copyright c 202 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, Ejemplo 3.. Si naranjas cuestan $20, cuánto cuestan naranjas? Solución. El enunciado del problema lo escribimos por medio del siguiente esquema que nos conduce a la siguiente proporción = 20 x y por tanto naranjas cuestan $270. 3.2. Regla de tres inversa naranjas $20 naranjas x = x = 20 = x = 20 = 270 En la regla de tres inversa las cantidades que intervienen en el problema son inversamente proporcionales. Ejemplo 3.2. Si obreros realizan un trabajo en 0 días, cuánto necesitarán 8 obreros para realizar el mismo trabajo? Solución. El enunciado del problema lo escribimos por medio del siguiente esquema obreros 0 días 8 obreros x pero a diferencia de una regla de tres directa, las cantidades aquí involucradas son inversamente proporcionales y la proporción obtenida es 8 = x 0 = 8 x = 0 = x = 0 8 = En conclusión, 8 obreros realizan el trabajo en la mitad del tiempo, días. 3.3. Regla de tres compuesta La regla de tres compuesta involucra varias relaciones de proporcionalidad que pueden ser directas o inversas. Ejemplo 3.3. Si 20 trabajadores construyen km de carretera en 30 días, cuántos días necesitarán trabajadores para construir 6 km de carretera? Solución. El enunciado del problema lo escribimos por medio del siguiente esquema 20 trabajadores 30 días km trabajadores x días 6 km que involucra dos reglas de tres simples, una inversa y la otra directa:. A menos trabajadores, más días (inversa). 2. A más kilómetros, más días (directa). Finalmente aplicamos la siguiente regla: formamos una proporción cuyo primer miembro es el producto de la razón directa ( ( 6) por el inverso de la razón inversa 20 ) ; el segundo miembro de la proporción es la razón que contiene la incógnita: 6 20 = 30 x = x = 6 20 30 = x = 20 30 = 80 20 Los trabajadores necesitan entonces 80 días para construir 6 km de carretera.
Copyright c 202 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática,. Porcentajes Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 00 y se denota por medio del símbolo %. Por ejemplo, 2 por ciento se expresa mediante 2% y representa 2 partes de 00 o equivalentemente una cuarta parte de la unidad: 2% = 2 00 = = 0.2 Actividad.. Emplea una regla de tres simple para resolver los siguientes problemas.. Determina el 3% de 60. 2. Determina qué porcentaje (%) es 78 de 20. 3. Si 629 representa el 3% de una cantidad, determina dicha cantidad.. Ejercicios Fracciones [Problemas()-(8)] Realiza las operaciones indicadas.. 2. + 2 7 6 3 3 9 6. 72/3/2/6//2 3. 7 7. 3 + 6 ( 2. 3 3 8. + ) ( 2 3 3 ( 6) 6 7 ) ( + ) 6 9. El triple de la sexta parte del doble de 27 es: a) 9 b) 8 6. 2 7 + 2 7 7 8 c) 27 d) 36 0. Las 2/3 partes de una tubería de 0 m. de longitud se encuentran dañadas. La longitud en metros de tubería dañada es: a) 7 b) 00 c) 0 d) 22. Vendí una bicicleta por los 3/ de los 6/ de lo que me costó originalmente. Qué fracción del costo original gané o perdí en la venta? a) Gané /0. b) Perdí 9/0 c) Gané 3/0 d) Perdí /0 2. Alberto tiene 80 mil pesos, Beto tiene / del dinero de Alberto y Carolina /3 del dinero de Beto. La cantidad de dinero en pesos que tienen los tres es: a) 80 mil. b) 220 mil. c) 20 mil. d) 360 mil. 3. He apostado contigo y ahora tengo los 2/3 de lo que tú ahora tienes. Si inicialmente teníamos lo mismo fracción de lo que teníamos apostamos es: a) 2 b) c) d) 3. Si tienes $.000 y me regalas $300, de lo que te queda, la fracción de lo que me diste es: a) 3 b) 3 7 c) 7 d) 7 3. Con quéfracciónde loque traigoquedarési te regalo la mitad del triple de los 2/7 de lo que traigo? a) 6 7 b) 3 7 c) 7 d) 2 3 6. Sicorroeldobledeloquetúenlas3/partes del tiempo que tardas en hacerlo. la relación de mi rapidez respecto a la tuya es: a) 0 a 3. b) 6 a. c) a 2. d) 8 a 3. 7. Un comerciante vende 00 reses; un comprador adquirió 2/ partes de las mismas y otro / del total. El número de reses que le quedaron es: a) 00 b) 2 c) 0 d) 7
6 Copyright c 202 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, Porcentajes 8. Luís ganó el 3% al cobrar una deuda de $800. La cantidad ganada es: a) $30 b) $78 c) $60 d) $972 9. Al pagar una factura de $6890 me han descontado el 3.7%. Qué rebaja he obtenido? a) $720.3 b) $80. c) $28.37 d) $72.7 20. Un hato contiene 260 reses. Por una epidemia murieron el %. El número de reses que quedaron es: a) 832 b) 700 c) 2726 d) 2083 2. Al pagar una factura de $789 me dieron el descuento de un.6%. El valor más aproximado que tuve que pagar es: a) $3 b) $6936.7 c) $3936.93 d) $786.7 22. Los gastos de mantenimiento de una empresa de reparación de equipos representan el 7% de las ventas. Si estos gastos (en dólares) ascienden a $72, el valor en dólares de las ventas es: a) $38 b) $797.87 c) $7328.2 d) $3796 23. Se vendieron dos casas a 2960 euros cada una. En una se ganó el 8% del costo y en la otra se perdió el 8% del costo. Se perdió o se ganó en total, y cuánto? a) No se ganó ni se perdió. b) Se ganó 226 euros. c) Se perdió 80 euros d) Se ganó 0.26 euros 2. Qué porcentaje del costo se gana cuando se vende en $8.000 lo que ha costado $6.000? a) % b) 27% c) 3% d) 8 2 % Regla de tres simple 2. Cuál será el precio de 00 Kg de aluminio a 200 dólares los 00 Kilos? a) 300 b) 000 c) 00 d) 600 26. Sabiendo que 00 litros de pintura cuestan 300 dólares, cuál es el valor de 700 litros de la misma pintura? a) 200 b) 70 c) 20 d) 630 27. Para construir un edificio, 0 hombres han empleado 90 días. Cuántos días emplearán para hacer otro edificio semejante al anterior 30 obreros? a) b) 30 c) 00 d) 0 28. Dos hermanos arriendan un restaurante. El primero ocupa los 2/9 del restaurante y paga $200 dólares por alquiler al mes. Cuánto paga por alquiler mensual el otro hermano? a) 7200 b) 200 c) 200 d) 3000 29. Una finca de un matrimonio pareja de casados al divorciarse es repartida así: a la mujerletocalos3/7delafinca,queestáavaluada en 90000 dólares. Cuál es el valor de lo que le corresponde al marido? a) 0000 b) 0000 c) 20000 d) 2000 30. En construir un acueducto, un grupo de trabajadores emplean 28 días trabajando 0 horas diarias Si hubiesen trabajado 2 horas menos al día en cuantos días habrían terminado la obra? a) 60 b) 220 c) 26 d) 0 3. 8 trabajadores pueden hacer una obra en 0 días Cuántos trabajadores más harán falta para hacer la obra en 2 días? Cuántos trabajadores menos para hacer la obra en 30 días?
Copyright c 202 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, 7 a) 36 y 6 b) 30 y 20 c) 90 y 6 d) 72 y 2 32. Se ha comprado tela para fabricar una bandera, el vendedor gana 630 pesos en cada metro de tela. Cuántos metros se han vendido si la ganancia ha sido 890000 pesos? a) 2000 b) 3000 Regla de tres compuesta c) 200 d) 300 33. Un grupo de 30 técnicos se comprometen a terminar el montaje de equipos electrónicos en una subestación eléctrica en 28 días. Cuando van 8 días sólo llevan 3/7 del montaje Cuántos técnicos tendrán que adicionarse para terminar el montaje en el tiempo fijado? a) 360 b) 0 c) d) 2 3. De acuerdo con el ejercicio anterior con cuantos técnicos se terminará el montaje? a) 30 b) c) d) 72 3. En una zona establecida para diálogos de paz hay 300 reinsertados, los cuales tienen alimentos para 0 días a razón de raciones diarias, si se retiran de la mesa de diálogos 00 de ellos. Cuántas raciones diarias podrán tomar cada reinsertado si se quiere que los alimentos duren 2 días más? a) b) 2 c) d) 3 36. De acuerdo con el ejercicio anterior Cuántas raciones diarias podrá tomar cada reinsertado si se quiere que dure 20 días más? 6. Pequeños retos [Problemas()-(8)] Realiza las operaciones indicadas. 2. Si el 7% de un número n es igual al % de 200, entonces el valor de n es: a) 3 b) c) d) 6 37. 20 albañiles han enchapado forrado en 0 días una piscina con baldosín. La piscina tiene 0 metros de largo, 2 metros de ancho y 2 metros de profundidad. En cuánto tiempo hubiesen forrado la piscina albañiles menos? a) 60 días b) 80 días c) 0 días d) 0 días 38. En cuánto tiempo hubiesen forrado la piscina albañiles más? a) días b) 20 días c) 0 días d) 32 días 39. En cuánto tiempo hubiesen forrado otra piscina de 0 m de largo, 30m de ancho y 3m de profundidad? a).8 días b) 3 días c) 7.6 días d) 6 días 0. En cuánto tiempo hubiesen forrado otra piscina de 0 m de largo, 30m ancho y 3m de profundidad si fueran hombres menos? a) 0 días b) días c) 72 días d).7 días. En cuánto tiempo hubiesen forrado otra piscina de 0 metros de largo, 30 metros de ancho, 3 de profundidad, si fueran hombre mas? a) 8 días b) 36 días a) 833 b) 3820 c) 37 días d) 60 días c) 000 d) 700 3. Cuando al tanque de gasolina de un avión le falta el % de su capacidad para llenarse contiene 20 litros más que cuando estaba
8 Copyright c 202 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, lleno al % de su capacidad. La capacidad del tanque del avión en litros es: a) 200 b) 220 c) 2300 d) 00. En una elección uno de los candidatos obtuvo el 6% de los votos y sacó 00votosmás que el otro candidato. Entonces el número de votos fue: a) 000 b) 00 c) 000 d) 00. En un estanque experimental se han sembrado dos especies de peces designadas como A y B respectivamente. Al cabo exactamente de un año se ha hecho un censo de ambas especies y se encontró que mientras la población de A se incrementó en el 20%, la población de B disminuyó en el 0% y el número de peces de ambas especies resultó al final igual. Entonces la razón entre las poblaciones iniciales de la especie A, con relacion a la especie B es: a) /2 b) 3/ c) /6 d) 8/9 6. Ana le dice a Lucy: si yo te doy 6 de mis colores entonces quedaría con 2/3 de la cantidad tuya. Lucy replica si yo te doy 0 de los mios, entonces quedaría con /2 de los tuyos. Las cantidades de colores que tienen Ana y Lucy respectivamente son: Referencias [] M. Sánchez, Aritmética, editorial Playor, 983. [2] I. Stewart, Historia de las matemáticas. Crítica, 2008. a) 8, 6 b) 30, 30 c), 2 d) 2, 30 7. Un estudio realizado a una máquina productora de tornillos ha establecido que de cada tornillos producidos, es defectuoso. Si se requiere cubrir un pedido de 8 tornillos, entonces de las siguientes afirmaciones la única verdadera es: a) Basta con producir 60 tornillos. b) Es necesario producir 6 tornillos. c) Es suficiente producir 6 tornillos o más. d) Es necesario producir más de 6 tornillos. 8. Cuando a un estanque le falta llenar el 30% de su capacidad contiene 0800 litros de agua más que cuando estaba lleno al 30% de su capacidad. La capacidad total del estanque, en litros es: a) 27000 b) 3200 c) 36000 d) 3200 9. En 2 litros de solución de agua y alcohol, la razón entre los volúmenes de alcohol y agua es 3/. Entonces el volumen de alcohol en litros de solución es: [3] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, undécima edición, editorial Thomson, 2006. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9