Apuntes de Continuidad de funciones En el tema anterior estudiamos el concepto de función real de variable real y el concepto de límite. Ahora vamos a estudiar la aplicación de los límites en el estudio de la continuidad de una función. 1. Continuidad de una función en un punto La idea intuitiva de función continua en un punto es bastante evidente, es aquella que no da saltos ni presenta interrupciones, es decir, la que se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Lo contrario de continua es discontinua. Por ejemplo, la siguiente función es discontinua en el punto x =, pero es continua en los demás puntos. Es razonable, preguntarnos cuáles son las condiciones que deben darse para que una función f(x) sea continua en un punto x = a. Lo haremos de forma intuitiva a partir de situaciones que producen discontinuidades y que, por tanto, no deben darse. Las gráficas que vemos a continuación presentan una discontinuidad en x = 1 por motivos diferentes: 1. La función no está definida en dicho punto La función no está definida en x = 1, es decir, no existe f(1) 2. La función está definida en el punto, pero no coincide con el valor del límite En este caso, aunque la función sí está definida en x = 1 y f(1) = 2, no coincide con el valor del límite x 1 f(x) = 3. 1
3. Existen los límites laterales, pero son distintos La función no es continua en x = porque los límites laterales, aunque existen, son distintos, x f(x) = 2, x +f(x) = 4. No existen los límites laterales Los límites laterales no existen, son infinitos Por tanto, la condición necesaria y suficiente para que una función f(x) sea continua en x = a es que se cumplan a la vez: 1º existe f(a) f(x) continua en x = a { 2º existe f(x) x a 3º f(a) = f(x) x a 2. Propiedades de las funciones continuas 2.1 Funciones continuas en un intervalo Intervalo abierto Diremos que una función f(x) es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en todos y cada uno de los puntos del intervalo. Intervalo cerrado Podemos extender esta idea a un intervalo cerrado. Diremos que una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en todos y cada uno de los puntos del intervalo abierto (a, b) y además x a +f(x) = f(a) y x b f(x) = f(b). Intervalo semiabierto Igualmente podemos definir la continuidad en los intervalos semiabiertos. 2
Las operaciones con funciones continuas tienen como resultado otra función continua, siempre que tenga sentido la operación. Son las siguientes: 2.2 Operaciones con funciones continuas Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x = a, entonces: f(x) ± g(x) es una función continua en x = a f(x) g(x) es una función continua en x = a f(x) es una función continua en x = a siempre que g(a) g(x) k f(x) es una función continua en x = a (k R) f(x) continua en [a, b] { (g f)(x) continua en [a, b] g(x) continua en f([a, b]) 2.3 Funciones elementales Las funciones elementales que ya hemos estudiado (polinómicas, exponenciales, logarítmicas ) son continuas en sus respectivos dominios de definición. o Las funciones polinómicas son continuas en el conjunto R de los números reales. o Las funciones racionales f(x) = P(x), cocientes de polinomios, son continuas en R menos en Q(x) aquellos valores que anulen el denominador Q(x). o Las funciones exponenciales f(x) = a x, con a >, a 1 y, en particular, f(x) = e x son continuas en R. o Las funciones logarítmicas f(x) = log a x, con a >, a 1 y, en particular la función logaritmo neperiano f(x) = Lx, son continuas en su dominio (, + ). o En las funciones con radicales tendremos en cuenta, además del índice par o impar de la raíz, el tipo de función que sea el radicando. f(x) = x es continua en [, + ). o En las funciones a trozos se estudiarán con detenimiento aquellos valores en los que la función cambie de definición. o En otros casos tendremos en cuenta que, en un intervalo [a, b], la suma, resta, producto de funciones por números reales y producto de funciones continuas también lo es en dicho intervalo. El cociente de funciones continuas en [a, b], también es continuo en dicho intervalo si la función divisor no se anula en él. 3. Tipos de discontinuidad Una función es discontinua en un punto cuando no es continua en él, es decir, cuando falla alguna de las condiciones de continuidad. Las más sencillas son las siguientes: 3.1 Discontinuidad evitable Una función f(x) presenta una discontinuidad evitable en un punto x = a si no existe f(a) y existe f(x), o bien, cuando existe f(a), existe f(x) y f(a) f(x). x a x a x a En ambos casos, redefiniendo la función en x = a como f(a) = f(x) (verdadero valor de la x a función en ese punto), se evita la discontinuidad y se logra que la función sea continua. Ejemplo 1: La función f(x) = x2 no está definida en x = 1 pues no pertenece al dominio. f(1) En cambio, f(x) = = = (x + 1) = 2 x 1 x 1 x 1 Por tanto, presenta una discontinuidad evitable en dicho punto. x 1 x2 (x+1) () 3
Si redefinimos f(1) = 2 la función sería continua. 3.2 Discontinuidad de salto finito Una función f(x) presenta una discontinuidad de salto finito en un punto x = a si los límites laterales existen (son finitos) pero son distintos, es decir, x a f(x) x a +f(x) La medida del salto es x a f(x) x a +f(x) Ejemplo 2: La función f(x) = { x2 1 si x 1 x 3 si x > 1 presenta una discontinuidad de salto finito en 1, con salto 2. 3.3 Discontinuidad de salto infinito Una función f(x) presenta una discontinuidad de salto infinito en un punto x = a si uno de los límites laterales es infinito x a f(x) = ± o x a +f(x) = ± Ejemplo 3: La función f(x) = 1 presenta una discontinuidad de salto infinito en x = 2 x 2 4
Ejemplo 4 Estudia y clasifica los puntos de discontinuidad de la función f(x) = x2 +2x 3 Se trata de una función racional y, por tanto, es continua en el conjunto de los números reales salvo en aquellos valores que anulan el denominador. x 1 = x = 1 En consecuencia f(x)continua en R {1}. Veamos qué tipo de discontinuidad presenta: f(1) indefinido y x2 +2x 3 () (x+3) = = (x + 3) = 4 x 1 x 1 x 1 Se trata de una discontinuidad evitable en x = 1. Verdadero valor de la función en x = 1, f(1) = 4 Ejemplo 5 Si g(x) es una función polinómica, qué se puede afirmar sobre la continuidad de f(x) = g(x) x 3? La función f(x) es un cociente de dos funciones polinómicas, continuas las dos en el conjunto de números reales; por tanto, f(x) será una función continua en todos los puntos en los cuales la operación cociente tenga sentido. x 3 3 1 = x = 1 = 1 Teniendo en cuenta que el polinomio denominador se anula en x = 1, la función f(x) es continua en R {1}. Ejemplo 6 2x 2 si x Estudia la continuidad de la función f(x) = { 3x 2 + 3 si 1 < x < 1 y clasifica sus discontinuidades. Lx si x 1 Se trata de una función a trozos; los valores x = y x = 1, dividen la definición de la función. Procedemos como sigue: x R x <, f(x) = 2x 2 : continua por ser función polinómica. x R 1 < x < 1, f(x) = 3x 2 + 3: continua por ser función polinómica. x R x > 1, f(x) = Lx: continua porque la función logarítmica lo es. Estudiamos los valores que discriminan la definición de f. Caso 1 x = 1] f() = 2 2] f(x) { x (2x2 ) = 2 Existen pero no coinciden. No existe x x ( 3x2 + 3 ) = f(x) x + Discontinuidad de salto finito en x =, salto 2. Caso 2 x = 1 1] f(1) = L1 = 2] f(x) { ( 3x2 + 3) = (Lx) = f(x) = + 3] f(1) = f(x) f(x) continua en x = 1 Por tanto, f(x) continua en R {} 5
Ejemplo 7 Estudia la continuidad de la función f(x) = { 1 x 2 2 si x 1 si x = 1 clasificando sus discontinuidades La función g(x) = 1 x2, función racional, no es continua en los valores que anulan el polinomio denominador 1 x 2 =, que son x = y x = 1. Según está definida f(x) debemos estudiar que ocurre en x = (por anular denominador) y x = 1 (por tener distinta definición en el valor y en sus proximidades). Caso 1 x = 1] f() no definido 2] f(x) x { = x 1 x 2 = x + 1 x 2 + + Los dos límites laterales son infinitos; por tanto la función f(x) presenta una discontinuidad de salto infinito en x =. La recta x = es asíntota vertical Caso 2 x = 1 1] f(1) = 1 2 = 1 x 2 2] f(x) = 3] f(1) = f(x) f(x) es continua en x = 1. Por tanto, f(x) es continua en R {} = = 1 () (x+1) x+1 2 6