TEMA 6: GEOMETRÍA EN EL PLANO

TEMA 6: GEOMETRÍA EN EL PLANO

Definiciones/Clasificaciones Fórmulas y teoremas Dem. Def. y Clasificación de polígonos: Regular o irregular Cóncavo o convexo Por número de lados: o Triángulos: clasificación por lados y ángulos. Elementos notables (mediatriz, bisectriz ) o Cuadriláteros: paralelogramos (rectángulos, rombos y romboides), trapecios y trapezoides Circunferencia y círculo Movimientos rígidos del plano (traslaciones, giros y simetrías) Fórmula del área de polígonos regulares Fórmula del área de triángulos, paralelogramos y trapecios, y del área del rombo por las diagonales Dado un polígono de n lados, sus ángulos interiores suman (n-2) x 180 Teorema de Pitágoras Fórmulas de la longitud de la circunferencia y de un arco Fórmulas del área del círculo y un sector circular Producto de movimientos Sí (Sí) Solo si n=3 Sí No No (Sí)

Polígonos Definición: Un polígono (en griego, muchos ángulos) es la superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada. Definición: Una línea poligonal es un conjunto de segmentos unidos sucesivamente por sus extremos (el extremo de cada segmento es origen del siguiente) tal que ningún par de segmentos no consecutivas se corta. Se considera cerrada cuando su principio y final coinciden.

Es un polígono? Cada uno de estos segmentos se denomina lado Cada punto de unión o de corte entre dos segmentos se denomina vértice

Elementos de un polígono Lado: cada uno de los segmentos de la línea poligonal de un polígono Vértice: cada punto de unión o de corte entre dos lados Angulo interior: ángulo formado, internamente al polígono, por dos lados consecutivos Diagonal: segmento que une dos vértices no consecutivos. Perímetro: es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono

Clasificación de polígonos: 1) Según el número de lados 2) Según sus ángulos 3) Según ángulos y lados

1) Clasificación de polígonos por nº lados:

2) Clasificación de polígonos según sus ángulos: Polígono cóncavo: al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180 grados Polígono convexo: todos sus ángulos interiores son menores de 180 grados

2) Clasificación de polígonos según sus ángulos: (Mediante definiciones equivalentes) Polígono cóncavo: tiene alguna diagonal externa al polígono Polígono convexo: tiene todas las diagonales internas (caen dentro del polígono)

En general, cuánto suman todos los ángulos de un polígono? Propiedad: Los ángulos interiores de un triángulo suman 180 http://www.geogebratube.org/student/m61294

En general, cuánto suman todos los ángulos de un polígono? Propiedad: Dado un polígono de n lados, sus ángulos interiores suman (n-2) x 180 Dem. Dividimos el polígono en triángulos con vértices los del polígono hay n-2. La suma de los ángulos interiores del polígono es igual a la suma de los ángulos de los triángulos, que es (n-2) x 180.

3) Clasificación de polígonos según sus lados y ángulos (igualdad entre ellos): Polígonos equiláteros: tienen todos sus lados iguales (misma longitud) Polígonos equiángulos: tienen todos sus ángulos iguales

3) Clasificación de polígonos según sus lados y ángulos (igualdad entre ellos): Polígonos regulares: tienen todos sus lados y ángulos iguales (es decir, son equiláteros y equiángulos) Polígonos irregulares: no tienen todos sus lados y ángulos iguales

Ejemplos de polígonos regulares según el número de lados

Elementos notables de un polígono regular Centro: el punto central equidistante de todos los vértices (centro de la circunferencia circunscrita) Radio: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices (también su medida). Apotema: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.

Ángulos centrales e interiores de un polígono regular -Ángulo central: ángulo que tiene como vértice el centro del polígono, y sus lados pasan por dos vértices consecutivos. Si el polígono regular tiene n lados, los ángulos centrales miden 360 : n -Ángulo interior: el formado por dos lados consecutivos. Se puede calcular mediante la fórmula (n-2) 180 : n donde n es el número de lados del polígono regular

Algunos tipos de triángulos y cuadriláteros tienen nombres especiales y necesitan ser mencionados por separado porque son objeto especial de estudio en Primaria

Clasificación INCLUSIVA de triángulos según la longitud de sus lados: Triángulo equilátero: tiene los tres lados iguales (en particular, también es equiángulo, es regular) Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales Triángulo escaleno: tiene los tres lados diferentes Cómo sería la clasificación EXCLUSIVA?

Clasificación de triángulos según sus ángulos: Triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso (mayor de 90 grados) Triángulo acutángulo: tiene todos los ángulos agudos (menor de 90 grados) Cómo saber de qué tipo es un triángulo? 1. Midiendo los ángulos. 2. Gracias al T. Pitágoras (lo veremos más adelante)

Propiedad de los triángulos La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es siempre mayor que la longitud del otro lado

Otros elementos notables del triángulo Alturas Las 3 se cortan en el ortocentro Medianas Las 3 se cortan en el baricentro Mediatrices Las 3 se cortan en el circuncentro Bisectrices Las 3 se cortan en el incentro

Alturas y ortocentro de un triángulo Definición: la altura del lado de un triángulo es el segmento de recta que es perpendicular a ese lado (llamado base) y que pasa por el vértice opuesto. Propiedad 1: Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro del triángulo.

Medianas y baricentro de un triángulo Definición: El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto de un triángulo se llama mediana. Propiedad 1: Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro del triángulo. Propiedad 2: El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos que cumplen la siguiente propiedad: el que une el baricentro con el vértice mide el doble que el que une el baricentro con el punto medio del lado opuesto.

Mediatrices y circuncentro Definición: la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio Propiedad 1: Las tres mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro del triángulo (centro de la circunferencia circunscrita). Propiedad 2: El circuncentro equidista de los 3 vértices del triángulo

Bisectrices e incentro de un triángulo Definición: la bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales. Propiedad 1: Las tres bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro del triángulo (centro de la circunferencia inscrita). Propiedad 2: El incentro equidista de los 3 lados del triángulo.

Observación: El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.

Clasificación (exclusiva) de los cuadriláteros según el paralelismo de sus lados Paralelogramos Son los cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos dos a dos. Se clasifican en: rectángulo (incluye al cuadrado), rombo (incluye al cuadrado) y romboide. Trapecios Son los cuadriláteros con solo un par de lados opuestos paralelos Se clasifican en: trapecio rectángulo, trapecio isósceles y trapecio escaleno. Trapezoides Son los cuadriláteros sin lados opuestos paralelos

Clasificación INCLUSIVA de los paralelogramos El cuadrado es un paralelogramo de cuatro lados congruentes (igual medida) y cuatro ángulos rectos. El rectángulo es un paralelogramo cuyos cuatro ángulos son rectos. El rombo es un paralelogramo de cuatro lados congruentes (igual medida). El romboide es un paralelogramo que no es ni rombo ni rectángulo.

Propiedad de los rombos Las diagonales de un rombo son perpendiculares

Clasificación de los trapecios El trapecio isósceles es el trapecio cuyos dos lados no paralelos son de igual medida. El trapecio escaleno es aquel trapecio que no es isósceles. Un trapecio se dirá recto si posee dos ángulos rectos.

Área de las figuras planas Definición: SUPERFICIE es una magnitud (una cualidad de los objetos) susceptible de tomar diferentes valores numéricos. Según la RAE, en física: Magnitud que expresa la extensión de un cuerpo en dos dimensiones, largo y ancho. Definición: ÁREA es la medida de la cantidad de la superficie. Para medir un trozo de superficie, se compara lo que queremos medir con otro trozo de superficie que llamamos unidad y luego vemos cuántas veces lo contiene.

Área de los paralelogramos Área del rectángulo: está dada por la cantidad de unidades de superficie que contenga, es decir, si el rectángulo tiene lados a y b, su área es: Área del rectángulo= a x b a Área del rombo: en la figura, es la mitad del área del rectángulo dibujado. Así, utilizando las medidas de las diagonales, D y d se tiene que el área del rombo es: Área del Rombo= d D 2 b

Área de los paralelogramos Área del romboide: si uno de los lados mide b (base) y la altura del romboide es h, entonces el área es: h (altura) Área del romboide= b x h base http://www.geogebratube.org/student/m35093

Área del Triángulo Área del triángulo: si observamos la figura, vemos cómo hemos formado un romboide a partir del triángulo. La altura y la base del triángulo de partida coinciden con las del romboide que se forma. Así, Área del Rombo: en la figura se observa como el área del rombo es justamente Área del triángulo = b h la mitad del área del rectángulo 2 dibujado. Así, utilizando l Área del Rombo=

Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, el cuadrado del lado mayor (denominado hipotenusa) ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los lados que forman el ángulo recto (llamados catetos). Dem. (terminada en pizarra) Área del Rombo=

Cómo clasificar un triángulo según sus ángulos? Dado un triángulo de lados a, b y c (donde c es el de mayor longitud), podemos: Comprobar si su ortocentro está en el interior, exterior o es un vértice del triángulo (ya visto anteriormente): Área o Ortocentro del Rombo: en el la interior figura se del observa triángulo como Acútángulo el área del rombo es justamente la omitad Ortocentro del área en del el rectángulo exterior del dibujado. triángulo Así, Obtusángulo utilizando o Ortocentro las medidas en un de vértice las diagonales, Rectángulo D y d(y el ángulo recto es el que se tiene corresponde que el área a dicho del rombo vértice) es: Calcular a 2 + b 2 y c 2 y comparar ambas cantidades: o Si a 2 + b 2 = c 2 Rectángulo o Si a 2 + b 2 < c 2 Obtusángulo o Si a 2 + b 2 > c 2 Acutángulo Área del Rombo=

Área del trapecio b Área del trapecio= B+b h 2 Primera demostración: b B B Área del Rombo: h B h 2 b h 2 Área del Rombo=

Área del trapecio Segunda dem.: Romboide Área del Trapecio= Área del romboide 2 http://www.geogebratube.org/student/m35182

Área de un polígono regular Área del Rombo: en la figura se observa como el área del rombo es justamente la mitad del área del rectángulo dibujado. Así, utilizando las medidas de las diagonales, D y d e tiene que el área del rombo es: En general, se calcula el área de cada uno de los triángulos interiores y se multiplica por el número de triángulos (= nº de lados).

Área de un polígono regular Hexágono regular: Radio=lado Apotema = L 2 3 Área cada triángulo equilátero= L2 4 3 Área del hexágono= 3 L2 2 3

Circunferencia y círculo

Circunferencia Definición: una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto llamado centro Una circunferencia es por tanto una línea, y su medida es la longitud. Definición: Radio es la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro. Definición: Diámetro es el doble del radio Definición: Arco es un trozo de circunferencia Definición: Cuerda es el segmento que une dos puntos de la circunferencia cuerda

Circunferencia Definición: Ángulo central es el ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia Definición: Ángulo inscrito es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia. Propiedad 1. La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad del ángulo central correspondiente al arco que abarca.

Circunferencia Fórmula de la Longitud de la circunferencia: L = 2 π r Fórmula de la Longitud del arco de una circunferencia: L = 2 π r α 360

Circulo Definición: Un círculo es la superficie limitada por una circunferencia Definición: un sector circular es una porción de círculo limitado por dos radios y un arco de circunferencia.

Círculo Fórmula del área del círculo: A = π r 2 http://www.geogebratube.org/student/m279 Fórmula de la área de un sector circular: A = π r 2 α 360 A = π r 2 L 2πr r L =, donde L=Longitud de arco del sector 2

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO Definición: una transformación en el plano es una correspondencia de los puntos del plano con otros puntos del plano. Definición: Un movimiento en el plano es una transformación geométrica que conserva las distancias (y, en particular, la forma y el tamaño). TIPOS TRASLACIONES GIROS O ROTACIONES SIMETRÍA

TRASLACIONES Def.: Una traslación es el movimiento de cada punto a una distancia constante en una dirección dada. Viene definida por una dirección, un sentido, y la magnitud de la traslación. Definición: Vector es un segmento libre con un origen y un final (flecha) que marca una cierta dirección y sentido en el plano Definición: MÓDULO de un vector es la distancia entre el origen y el extremo, Definición: DIRECCIÓN de un vector es la recta que pasa por origen y el extremo o cualquier recta paralela a ella, y Definición: SENTIDO de un vector es el que va desde el origen hacia el extremo y lo marca la flecha. Un vector se puede representar con dos coordenadas (a, b), donde a representa el avance y b la altura. Es decir, las coordenadas del extremo del vector respecto del origen.

TRASLACIONES Propiedades de una traslación: Sea A, B los transformados de A,B por traslación del vector v. Se verifica siempre que AB = A B La traslación transforma los segmentos en iguales y paralelos. La traslación transforma una recta en otra paralela (o ella misma). La traslación trasforma un punto en otro diferente a él (no puntos dobles). La traslación transforma triángulos en triángulos iguales (por tanto transforma ángulos en ángulos iguales; de hecho, cualquier forma queda constante). Composición de traslaciones: Si aplicamos dos traslaciones consecutivas, resulta una nueva traslación cuyo vector resulta de sumar los vectores de las traslaciones que intervienen.

GIRO Definición: Un giro, de centro un punto O y amplitud un ángulo α, es el movimiento que transforma cada punto P del plano en otro punto P de modo que el ángulo POP' es igual a α y las distancias OP y OP' son iguales. En cualquier rotación hay que tener en cuenta el sentido del giro. Se considera sentido positivo al contrario a las agujas del reloj y sentido negativo el sentido horario.

Propiedades de un giro: GIRO Los giros transforman segmentos en segmentos de igual longitud. Los giros transforman rectas en rectas siendo el ángulo entre ellas igual a la amplitud del giro. Los giros transforman triángulos en triángulos iguales (por tanto ángulos en ángulos iguales). El único punto doble en un giro de amplitud distinta de 0 y 360 es el centro de giro.

GIRO Propiedades de un giro: A los giros de amplitud 180 sexagesimales, se les denomina simetría central respecto del centro de giro. El producto de dos giros con el mismo centro es otro giro con el mismo centro de giro y amplitud de giro la suma de las dos anteriores.

SIMETRÍA AXIAL Una simetría axial respecto a un eje e es un movimiento que transforma cada punto P del plano en otro P' de modo que la recta e es la mediatriz del segmento de extremos P y P'.

SIMETRÍA AXIAL Una simetría axial respecto a un eje e es un movimiento que transforma cada punto P del plano en otro P' de modo que la recta e es la mediatriz del segmento de extremos P y P'.

SIMETRÍA AXIAL Propiedades de una simetría axial: Las simetrías axiales transforman los segmentos en segmentos iguales (en tamaño). Las simetrías axiales transforman rectas en rectas paralelas o en rectas que se cortan entre ellas en un punto sobre el eje de simetría o en las mismas rectas. De hecho: o Las rectas paralelas al eje de simetría se transforman en otra recta paralela al eje de simetría. o Las rectas perpendiculares al eje de simetría se transforman en sí mismas. Es decir, estas rectas son elementos dobles pero no de puntos dobles.

SIMETRÍA AXIAL Propiedades de una simetría axial: Si se aplica dos veces la misma simetría a una figura, esta se transforma en sí misma. Las simetrías transforman triángulos en triángulos iguales (por tanto ángulos en ángulos iguales).

Propiedades de una simetría axial: Composición de simetrías axiales: La aplicación consecutiva de dos simetrías axiales, de ejes e y e', da lugar a un nuevo movimiento que depende de la posición relativa de los ejes e y e': Si los ejes e y e' son paralelos, el resultado es una traslación. SIMETRÍA AXIAL Si los ejes e y e' se cortan en un punto, la composición da lugar a un giro alrededor de dicho punto. 1.... 3. 2

SIMETRÍA AXIAL Ejes paralelos: Si los ejes e y e' son paralelos, el resultado es una traslación, cuyo vector tiene una magnitud doble de la distancia entre los ejes, la dirección perpendicular a los ejes y sentido el que va de uno a otro. AA = AM + MA + A N + NA = 2MA + 2A N = 2MN

SIMETRÍA AXIAL Ejes secantes: Si los ejes e y e' se cortan en un punto, la composición da lugar a un giro de centro el punto de corte de los ejes y amplitud el doble del ángulo formado por ellos, con el sentido que va de uno a otro. 1.... 3. 2