Fórmula integral de Cauchy Comentario: de acuerdo con esta fórmula, uno puede conocer el valor de f dentro del entorno, conociendo únicamente los valores que toma f en el contorno C!
Fórmula integral de Cauchy Otro resultado que se sigue de la fórmula integral de Cauchy es el siguiente: Sea C un camino cerrado simple, orientado positivamente y sea f una función analítica en el interior y sobre C. Si z es cualquier punto en el interior de C, entonces: (derivadas de funciones analíticas)
Fórmula integral de Cauchy Mientras que para f '' En general (extensión de la fórmula integral de Cauchy):
Fórmula integral de Cauchy Una consecuencia importante de la extensión de la fórmula integral de Cauchy es la siguiente: Si una función es analítica en un punto, existen sus derivadas (a todo orden) en ese punto y éstas son también funciones analíticas Similarmente, si f=u+iv es analítica en un dominio D, entonces todas las derivadas parciales de u y v existen y son analíticas.
Una consecuencia más de la extensión de la fórmula de Cauchy es el teorema de Liouville. Este último útil para demostrar el teorema fundamental del álgebra.
Cotas de funciones analíticas y Teorema de Liouville Lema: Se f(z) una función analítica en el interior y sobre los puntos de un círculo C R de radio R. Si M R denota el máximo valor de f(z) en C R, entonces conocida como desigualdad de Cauchy
Teorema de Liouville Teorema de Liouville: Si f(z) es una función entera y acotada en todo el plano complejo, entonces f(z) es constante en todo el plano. Así, las únicas funciones enteras son las funciones constantes.
Teorema fundamental del álgebra Utilizando el T. de Liouville podemos demostrar el T. fundamental del álgebra: Todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos un cero
Cotas de funciones analíticas Principio del modulo máximo : Si f(z) es una función analítica no constante en un dominio D, entonces f(z) no tiene máximo en D. Corolario: Sea f(z) una función analítica en un dominio acotado y cerrado (incluye su frontera), entonces f(z) adquiere su valor máximo en la frontera. Así pues, si f(z) es una función analítica y f(z) alcanza su máximo valor en un dominio D, entonces f(z) es constante.
Sucesiones y Series Vamos a estudiar cómo se expandir una función analítica en una serie de potencias. Preliminares (convergencia): Se dice que una sucesión infinita de números complejos tiene como límite z, si para todo existe un entero tal que siempre que Como puede ser arbitrariamente pequeño, se sigue que z n se aproxima a z
Sucesiones y Series El límite de z es único, si existe. Cuando el límite existe, se dice que la sucesión es convergente y que converge a z, es decir, Si la sucesión no tiene límite se dice que es divergente o que diverge.
Sucesiones y Series Teorema. Sea y. Entonces si y sólo si y
Sucesiones y Series Se dice que una serie de números complejos es convergente, si la sucesión de sumas parciales tiene un límite S, es decir,
Teorema. Sea y. Entonces Sucesiones y Series si y sólo si y
Comentario. Sucesiones y Series De forma similar a las series (reales), una condición necesaria para la convergencia de una serie de números complejos es que
Sucesiones y Series Serie absolutamente convergente: Se dice que una serie es absolutamente convergente si la serie de números reales es convergente. Además, como las series y son convergentes
Sucesiones y Series Por lo tanto la convergencia absoluta de una serie implica la convergencia de la serie misma. Pero puede pasar que converge y diverge. En este caso se dice que la serie es condicionalmente convergente.
Sucesiones y Series Algunos criterios de convergencia: Criterio del resto: Sea la diferencia (resto) entonces la serie converge a un número S si y solo si la sucesión de restos tiende a cero. Criterio del cociente: sea l el cociente: Entonce la serie converge si l<1 y diverge si l>1
Sucesiones y Series Criterio de la raíz: Entonces la serie converge si l<1 y diverge si l>1
Series de Taylor Similarmente al caso de funciones reales, supongamos que queremos encontrar un polinomio P n (z) que se aproxime a una función analítica f(z) en una vecindad del punto z 0 Las series de Taylor nos dan una forma de construir dicho polinomio: se busca que las derivadas (n derivadas) del polinomio sean iguales a las derivadas de f(z) en z 0
Series de Taylor Es decir, De modo que:
Así tenemos el siguiente teorema: Sea f una función analítica en un disco Entonces f admite la representación de potencias: donde conocida como serie de Taylor (o serie de Maclaurin cuando ). Además la serie de Taylor es única