Alonso Fernández Galián Geometría plana elemental Rectas RECTAS Y ÁNGULOS Una recta es una línea que no está curvada, y que no tiene principio ni final. Tipos de ángulos Los ángulos se clasifican según su apertura: -Agudos: menores de 90º. -Por cada punto pasan infinitas rectas: -Rectos: iguales a 90º. Semirrectas Una semirrecta es un trozo de línea recta con principio pero sin final. -Obtusos: mayores que 90º pero menores que 180º. Segmentos Un segmento es la porción de recta comprendida entre dos puntos A y B. Tiene principio y final: -Llanos: iguales a 180º. El segmento que tiene por extremos los puntos A y B se representa por AB. Ángulos Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con el mismo origen. * Los ángulos mayores que 180º se llaman cóncavos. A nosotros no nos interesan. Rectas paralelas y secantes 1) Dos rectas son paralelas si no se cortan nunca: Un ángulo con vértice en O se representa por Ô. ) Dos rectas son secantes si se cortan en un punto: Medida de ángulos Los ángulos se miden en grados (º), minutos ( ) y segundos ( ). Un grado son 60 minutos, y un minuto son 60 segundos. En particular, dos rectas secantes que se cortan en ángulo recto se llaman perpendiculares: 1º 60 1 60 grado º 60 minuto segundo ' :60 '' - 1 -
Ángulos en la intersección de dos rectas En la intersección de dos rectas se forman cuatro ángulos: Axioma de las paralelas Al cortar dos rectas paralelas por una tercera recta, los respectivos ángulos que se forman son iguales: -Los ángulos adyacentes suman 180º: A ˆ Bˆ 180º -Los ángulos opuestos son iguales: A ˆ C ˆ y Bˆ D ˆ Tenemos: A ˆ A ˆ SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS Suma de ángulos 1º) Sumamos minutos con minutos, segundos con segundos y grados con grados. º) Si los segundos resultantes son mayores de 60, a los minutos les añadimos 1, y dejamos el resto en los segundos. 3º) Hacemos lo mismo con los minutos. Ejemplo: Calcular 6º 51 3 41º 30 43 Solución: 68º 15. : 6º 41º 67º 67º 68º 51 30 81 8 3 43 75 15 15 Resta de ángulos 1º) Si los segundos del minuendo son mayores que los del sustraendo, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos. º) Hacemos lo mismo con los minutos. 3º) Restamos segundos con segundos, minutos con minutos y grados con grados. Ejemplo: Calcular 54º 38 1 7º 46 50. 54º 38 1 7º 46 50 Solución: 6º 51 31. 160 54º 7º 37 46 81 50 1º 60 53º 7º 6º 97 46 51 81 50 31 - -
TRIÁNGULOS Un triángulo es la región del plano limitada por tres segmentos unidos por los extremos. Vértices: A, B y C. Lados: a BC, b CA y c AB. Ángulos: Â, Bˆ, y Ĉ. Suma de los ángulos de un triángulo. Los tres ángulos de un triángulo suman 180º. A ˆ Bˆ Cˆ 180º Construcción de triángulos Para construir un triángulo necesitamos conocer tres de sus elementos, que pueden ser: 1) Los tres lados. ) Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. 3) Dos ángulos y el lado comprendido entre ellos. Clasificación de triángulos 1) Tipos de triángulos mirando los lados: -Equilátero: Si tiene los tres lados iguales. -Isósceles: Si tiene dos lados iguales y uno desigual. -Escaleno: Si tiene los tres lados distintos. ) Tipos de triángulos mirando los ángulos: -Acutángulo: Si tiene los tres ángulos agudos. -Rectángulo: Si tiene un ángulo recto. -Obtusángulo: Si tiene un ángulo obtuso. - 3 -
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Elementos de un triángulo rectángulo -Hipotenusa, a: Se denomina hipotenusa al lado opuesto al ángulo recto. -Catetos, b y c: Se denominan catetos a los dos lados que forman el ángulo recto. Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado: a b c Ejemplo: Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 cm y 8 cm. x x 8 6 64 36 x 100 x 100 10 cm Ejemplo: Calcula el cateto desconocido en el siguiente triángulo rectángulo. 13 1 x 169 144 x 169 144 x 5 x x 5 5 cm Ejemplo: Calcula la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 6 cm y,5 cm. x x 6,5 36 6,5 x 4,5 x 4,5 6, 5 cm Ejemplo: Se apoya una escalera de mano de 7,5 m de longitud contra una pared de manera que el pie de la escalera diste 4,5 m de la pared. Calcula hasta qué altura llega la escalera. 7,5 4,5 x 56,5 0,5 x 56,5 0,5 x 36 x x 36 6 Solución: la escalera llega hasta una altura de 6 m. - 4 -
Una propiedad importante sobre triángulos rectángulos: Se puede comprobar que en si dibujamos un triángulo con los tres vértices sobre una circunferencia, y de manera que uno de los lados coincida con el diámetro, entonces el triángulo es rectángulo. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO Mediatrices La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a él que pasa por su punto medio. Bisectrices La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. Las mediatrices de los tres lados de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro. Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro. Medianas En un triángulo, se llama mediana a cada uno de los segmentos que unen el punto medio de uno de los lados y el vértice opuesto: Alturas En un triángulo, se llama altura a cada uno de los segmentos perpendiculares a uno de los lados que pasan por el vértice opuesto: Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro. - 5 -
POLÍGONOS Un polígono es una figura plana limitada por segmentos. Por ejemplo: Los polígonos se nombran dependiendo del número de lados, n. n 3 Triángulo. n 6 Hexágono. n 9 Eneágono. n 4 Cuadrilátero. n 7 Heptágono. n 10 Decágono. n 5 Pentágono. n 8 Octógono. Polígonos regulares Un polígono regular es aquél que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales El ángulo que tiene por vértice el centro de la circunferencia se denomina ángulo central: Los polígonos regulares se pueden inscribir en una circunferencia que pasa por todos sus vértices. Si se unen los n vértices del polígono con el centro de la circunferencia se obtienen n triángulos isósceles iguales: El ángulo central de un polígono regular de n lados mide: 360º n Por ejemplo, en un pentágono regular, el ángulo central mide: Nota: La altura del triángulo se denomina apotema. 360º 7º 5 PERÍMETRO DE UN POLÍGONO El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de todos sus lados. Perímetro 4 5 5 8 6 8 cm - 6 -
ÁREA DE UN POLÍGONO El área de un polígono es la medida de su superficie. Veamos las áreas más importantes: Rectángulo A b a Cuadrado A l Rombo D d A Paralelogramo A b h Triángulo b h A Trapecio A B b h Polígono regular A perímetro apotema Nota: El área se expresa en unidades de longitud al cuadrado: 100 km hm dam m dm cm mm : 100-7 -
LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO La circunferencia Una circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están a la misma distancia de un punto interior llamado centro. Elementos de una circunferencia: -Radio: segmento que une el centro con un punto de la circunferencia. -Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. -Diámetro: Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Su longitud es el doble que la del radio. -Arco: trozo de circunferencia comprendido entre dos puntos de la misma. La longitud de una circunferencia de radio r es igual a: L r donde el valor de se aproxima por 3,14. Ejemplo: Calcula la longitud de una circunferencia 8 cm de radio. L r L 3,14 8 50,4 cm Ejemplo: Calcula la longitud del arco de una circunferencia de 6 cm de radio abarcado por un ángulo central de 50º. -La longitud total de la circunferencia es L 3,14 6 37,68 cm. -Para calcular la longitud del arco, usamos una regla de tres: 360º 50º 37,68 cm x 50 37,68 x 5,3 cm 360 El círculo Se llama círculo al interior de una circunferencia. El área de un círculo de radio r es: A r Ejemplo: Calcula el área de un círculo cuyo radio mide 6 cm. A r A 3,14 6 113,04 cm _ - 8 -