Introducción a la probabilidad Introducción a la probabilidad Introducción Objetivos del tema: l final del tema el alumno será capaz de: Comprender y describir los sucesos de un experimento mediante gráficos, tablas, etc. Equiprobabilidad Métodos combinatorios Calcular probabilidades de sucesos simples y compuestos Interpretar y calcular probabilidades condicionadas Concepto y propiedades Independencia de sucesos Teorema de ayes 1 Determinar la independencia de sucesos y utilizarla para calcular probabilidades Utilizar el Teorema de ayes para el cálculo de probabilidades condicionadas 2 Introducción a la probabilidad Introducción Introducción Un investigador puede tener el objetivo de: Describir los resultados de un experimento concreto Estadística descriptiva Extraer conclusiones generales aplicables en situaciones similares Equiprobabilidad Métodos combinatorios Inferencia Necesitamos probabilidad Concepto y propiedades Independencia de sucesos Teorema de ayes El cálculo de probabilidades nos proporciona las reglas para el estudio de experimentos con un componente aleatorio 3 4
Introducción a la probabilidad Introducción Equiprobabilidad Métodos combinatorios Concepto y propiedades Independencia de sucesos Teorema de ayes Experimento: Proceso de observar una característica s Lanzar una moneda tres veces y observar el número de caras Medir la corriente en un cable de cobre Contar el número de llamas que llegan a una centralita en una hora Medir la resistencia a la compresión del hormigón 5 6 Medir la corriente que atraviesa un cable de cobre Medir la corriente que atraviesa un cable de cobre Repetimos el experimento en distintas partes Repetimos el experimento en distintos momentos Obtenemos distintos resultados Errores de medida Debido a las variables no controladas Impurezas del cobre Calibre del cable 7 8
Diremos que un experimento es aleatorio si ve verifican las siguientes condiciones: Si esta variabilidad es pequeña no afectará a los resultados del experimento Si la variabilidad es alta puede encubrir resultados importantes Nuestro objetivo 1. Puede repetirse indefinidamente, siempre en las mismas condiciones 2. ntes de realizarlo no se puede predecir el resultado que se va a obtener 3. El resultado que se obtenga, pertenece a un conjunto previamente conocido de posibles resultados 9 10 Sucesos Sucesos Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (E). Se llama suceso contrario (complementario) de un suceso, al formado por los sucesos que no están en Se llama suceso a un subconjunto de resultados Suceso elemental Siempre ocurre uno de ellos Son mutuamente excluyentes Suceso compuesto Uniones de sucesos elementales El suceso seguro, E, es aquel que siempre ocurre al realizar el experimento El suceso imposible, Ø, es aquel que nunca ocurre como resultado del experimento 11 12
Operaciones con sucesos Operaciones con sucesos Se llama suceso intersección de y, o, al formado por los resultados experimentales que están simultáneamente en y INTERSEC. Se llama suceso unión de y, U, al suceso formado por los resultados experimentales que están en o en (incluyendo los que están en ambos) UNIÓN Se dice que dos sucesos y son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez, =Ø Se llama suceso diferencia de y, -, al formado por todos los sucesos de que no están en, es decir, Consecuencia: 13 = E- 14 Se utiliza una balanza digital para pesar las piezas producidas por una máquina. Se utiliza una balanza digital para pesar las piezas producidas por una máquina. Peso 11gr Peso 15gr C Peso 5gr Peso 11gr Peso 15gr C Peso 5gr I 11gr Peso 15gr U C Peso 15gr I C C 5< Peso 15gr C 15 11 15 16
Se utiliza una balanza digital para pesar las piezas producidas por una máquina. Se utiliza una balanza digital para pesar las piezas producidas por una máquina. Peso 11gr Peso 15gr C Peso 5gr I 11gr Peso 15gr U C Peso 15gr I C C 5< Peso 15gr Peso 11gr Peso 15gr C Peso 5gr I 11gr Peso 15gr U C Peso 15gr I C C 5< Peso 15gr C 15 17 C 18 Se utiliza una balanza digital para pesar las piezas producidas por una máquina. Peso 11gr Peso 15gr C Peso 5gr C I 11gr Peso 15gr U C Peso 15gr I C C 5< Peso 15gr 19 5 15 Hay ciertas propiedades de la unión, intersección y suceso contrario que son conocidas bajo las leyes de Morgan U=I I=U Leyes de Morgan Intersección de Unión de 20
Introducción a la probabilidad Introducción Concepto Concepto de de probabilidad probabilidad y propiedades propiedades Equiprobabilidad Métodos combinatorios Concepto y propiedades Independencia de sucesos Teorema de ayes 21 En un experimento aleatorio, cuando el número de veces que se repite aumenta, la frecuencia relativa o n de veces que ocurre f n() = n converge hacia una cantidad que llamamos probabilidad: Frecuencia relativa del número de caras obtenidos en lanzamientos sucesivos de una moneda Converge a 1/2 Pr() = lim () f n n 22 En un experimento aleatorio, cuando el número de veces que se repite aumenta, la frecuencia relativa o n de veces que ocurre f n() = n converge hacia una cantidad que llamamos probabilidad: Pr() = lim () f n n También podemos entender la probabilidad como el grado de certeza que se posee sobre un suceso, basada en experiencias previas La probabilidad depende del grado de información disponible: Dado un espacio muestral, E, definimos probabilidad como una función, P, que asigna a un suceso un valor numérico P(), verificando las siguientes reglas (axiomas) 1. 0 P() 1 2. P(E)=1 3. P(U)=P()+P() si =Ø El tercer axioma se generaliza a cualquier número de sucesos de disjuntos: 2 1 4 4 3 5 5 Pr Ui = Pr i i=1 i= 1 ( ) Los sucesos posibles al realizar el experimento La evidencia empírica existente respecto a la ocurrencia de los Estadística: Profesora sucesos María Durbán 23 24
Dado un espacio muestral, E, definimos probabilidad como una función, P, que asigna a un suceso un valor numérico P(), verificando las siguientes reglas (axiomas) Estos axiomas no asignan probabilidades a sucesos, pero facilitan el cálculo de probabilidades de unos sucesos a partir de la probabilidad de otros: 1. 0 P() 1 2. P(E)=1 3. P(U)=P()+P() si =Ø El tercer axioma se generaliza a cualquier número de sucesos de disjuntos: 2 1 5 4 3 5 5 Pr Ui = Pr i i=1 i= 1 ( ) 1. P() = 1 - P() E = 1= Pr() + Pr() 2. P( ) = 0 3. Si P() P() 4. P(-) = P() - P( ) 5. P( ) = P() + P() - P ( ) 25 26 Estos axiomas no asignan probabilidades a sucesos, pero facilitan el cálculo de probabilidades de unos sucesos a partir de la probabilidad de otros: Estos axiomas no asignan probabilidades a sucesos, pero facilitan el cálculo de probabilidades de unos sucesos a partir de la probabilidad de otros: 1. P() = 1 - P() 2. P( ) = 0 = E Pr( ) = 1 Pr( E) = 1 1 = 0 3. Si P() P() 4. P(-) = P() - P( ) 5. P( ) = P() + P() - P ( ) 1. P() = 1 - P() 2. P( ) = 0 3. Si P() P() 4. P(-) = P() - P( ) 5. P( ) = P() + P() - P( ) = ( ) Pr() = Pr()+Pr( ) 27 28
Estos axiomas no asignan probabilidades a sucesos, pero facilitan el cálculo de probabilidades de unos sucesos a partir de la probabilidad de otros: Estos axiomas no asignan probabilidades a sucesos, pero facilitan el cálculo de probabilidades de unos sucesos a partir de la probabilidad de otros: 1. P() = 1 - P() 2. P( ) = 0 3. Si P() P() 4. P(-) = P() - P( ) 5. P( ) = P() + P() - P( ) = ( ) ( ) Pr() = Pr( ) + Pr( ) Pr() = Pr( ) + Pr(-) 29 1. P() = 1 - P() 2. P( ) = 0 3. Si P() P() 4. P(-) = P() - P( ) 5. P( ) = P() + P() - P( ) =(-) (-) ( ) Pr( )=Pr()-Pr( )+Pr()-Pr( )+Pr( ) 30 P() + _ P() P( ) P( U ) P( ) = P() + P() - P( ) o 31 1. Cuál es la probabilidad de que la duración de un faro sea satisfactoria? 2. Cuál es la probabilidad de que un faro tenga intensidad satisfactoria o no tenga duración satisfactoria? 32 : Faros de coche Un fabricante de faros de coches controla con regularidad la duración y la intensidad de la luz cuando son sometidos a elevada humedad y temperatura. En la siguiente tabla se presentan las probabilidades de tener un comportamiento satisfactorio en cuanto a intensidad y duración: Intensidad No 0.062 Duración No 0.023 0.015
: Faros de coche : Faros de coche Duración Duración Intensidad No Intensidad No 0.023 0.023 No 0.062 0.015 No 0.062 0.015 en intensidad en duracion Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) en intensidad en duracion Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) 1. Cuál es la probabilidad de que la duración de un faro sea satisfactoria? 33 Pr()? = ( ) ( ) 34 : Faros de coche : Faros de coche Duración Duración Intensidad No Intensidad No 0.023 0.023 No 0.062 0.015 No 0.062 0.015 en intensidad en duracion Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) en intensidad en duracion Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) 1. Cuál es la probabilidad de que la duración de un faro sea satisfactoria? Pr()? = ( ) ( ) Pr() = Pr( ) + Pr( ) = + 0.062 = 62 35 Tercer xioma P(U)=P()+P() si =Ø 2. Cuál es la probabilidad de que un faro tenga intensidad satisfactoria o no tenga duración satisfactoria? Pr( ) = Pr() + Pr() Pr( ) Pr( ) = 23 + 0.038 0.023 = 38 Pr() = Pr( ) + Pr( ) = + 0.023 = 23 Pr() = 1 Pr() = 1 62 = 0.038 36
Introducción a la probabilidad Introducción Equiprobabilidad Métodos combinatorios Equiprobabilidad Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número finito de resultados posibles, y no hay razón que privilegie a un resultado frente a otro. Calcularemos la probabilidad de un suceso de la forma siguiente: Dado un suceso compuesto que contiene f sucesos elementales, su probabilidad será: Concepto y propiedades Independencia de sucesos Teorema de ayes casos favorables( f ) Pr( ) = casos posibles( n) 1 n Probabilidad de cada suceso elemental Regla de Laplace 37 38 s Equiprobabilidad Lanzamiento de una moneda { } E = C, X Pr( C) = 1/2 En ocasiones no es fácil determinar los sucesos elementales contenidos en un suceso : Lanzamiento de un dado E = { 1, 2,3, 4,5,6} Pr(3) = 1/ 6 : Lote de ordenadores Extracción de cartas de la baraja E = { s de copas, dos de copas... } En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos: Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote? Pr(Sacar una carta de oros) = 10 / 40 39 Rechazar el lote = Encontrar dos defectuosos De cuántas maneras puedo casos favorables seleccionar 2 defectuosos = casos posibles De cuántas maneras puedo seleccionar dos ordenadores Pr( )
: Lote de ordenadores En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos: Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote? : Lote de ordenadores En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos: Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote? De cuántas maneras puedo seleccionar 2 defectuosos? De cuántas maneras puedo seleccionar 2 defectuosos? 41 42 : Lote de ordenadores En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos: Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote? : Lote de ordenadores En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos: Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote? De cuántas maneras puedo seleccionar 2 defectuosos? De cuántas maneras puedo seleccionar 2 ordenadores de entre los 9? De 3 maneras 43 44
Combinatoria Nos ayuda a calcular el número de reordenaciones de de en k k IMPORT EL ORDEN VRICIONES NO IMPORT EL ORDEN COMINCIONES SIN REEMPLZMIENTO (o sin repetición) k n! Vn = ( n k)! Si n= k Permutaciones k n Cn = k n objetos tomados CON REEMPLZMIENTO (o con repetición) CR VR k n k n = n n+ k 1 = k k 45 : Lote de ordenadores En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos: Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote? Los ordenadores se eligen simultáneamente sin reemplazamiento El orden dentro del grupo no importa Combinaciones casos favorables Pr( ) = casos posibles De cuántas maneras puedo seleccionar 2 defectuosos 2 3! C 3 = = 3 2!1! Hay 3 ordenadores defectuosos 46 : Lote de ordenadores En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos: Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote? Los ordenadores se eligen simultáneamente sin reemplazamiento El orden dentro del grupo no importa Combinaciones : Lote de ordenadores En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos: Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote? Los ordenadores se eligen simultáneamente sin reemplazamiento El orden dentro del grupo no importa Combinaciones Pr( ) casos favorables casos posibles = De cuántas maneras puedo seleccionar 2 ordenadores 2 9! C 9 = = 36 2!7! 47 Hay 9 ordenadores en el lote 3 Pr( ) = 36 48
Introducción a la probabilidad Introducción Equiprobabilidad Métodos combinatorios Concepto y propiedades Independencia de sucesos Teorema de ayes 49 Concepto y propiedades Centra el foco de atención en el hecho que se sabe que ha ocurrido el evento Estamos indicando que el espacio muestral de interés se ha reducido sólo a aquellos resultados que definen la ocurrencia del evento 2 casos favorables Entonces, P( ) mide la probabilidad relativa de con respecto al espacio 5 casos posibles reducido 2 2/9 Pr( ) Pr( ) = = = 5 5/9 Pr( ) 50. P() = 0,25 P() = 0,10 P( ) = 0,10 Pr( ) = 1 Pr( )=1 Pr( ) = P() = 0,25 P() = 0,10 P( ) = 0,08 Pr( ) Pr( ) Pr( )=0,8>Pr() P() = 0,25 P() = 0,10 P( ) = 0,005 Pr( )=0,05<Pr() P() = 0,25 P() = 0,10 P( ) = 0 = Pr( ) = 0 P( )=0 52
Concepto y propiedades Pr( ) = 1 = Pr( ) = 0 Pr( ) Pr( ) = Pr( ) Pr( ) = Pr( )Pr( ) = Pr( )Pr( ) Pr( ) Pr( ) Importante: Pr( ) > 0 Pr( ) Pr( ) 53 Por lo tanto el 90% no tienen fallos visibles en la superficie. También se ha encontrado que el 5% de la piezas que no tienen fallos superficiales son Pr( ) = 0.05 funcionalmente defectuosas 100% piezas Manufacturadas Se ha encontrado que el 25% de las piezas con fallos superficiales son funcionalmente defectuosas Pr( ) = 0.25 Se sabe que el 10% de las piezas manufacturadas tienen fallos visibles en la superficie. Pr( ) = Pr( ) = 0.1 Suceso = { pieza funcionalmente defectuosa} = { pieza tiene una fallo visible en la superficie} Qué porcentaje de piezas tiene fallos y no es funcionalmente defectuosa? Pr( ) = Pr( ) Pr( ) = (1 Pr( )) Pr( ) = 0.75 0.1 = 0.075 7.5% 54 Independencia de sucesos Diremos que dos sucesos son independientes si el conocimiento de la ocurrencia de uno no modifica la probabilidad de ocurrencia del otro y son independientes si: Una aplicación del concepto de independencia es el cálculo de la Fiabilidad de un sistema. Se denomina Fiabilidad de un sistema a la probabilidad de que el sistema funcione correctamente. Pr( ) = Pr( ) Pr( ) = Pr( ) Pr( ) = Pr( )Pr( ) = Pr( )Pr( ) 55 56
Una aplicación del concepto de independencia es el cálculo de la Fiabilidad de un sistema. Se denomina Fiabilidad de un sistema a la probabilidad de que el sistema funcione correctamente. Si la probabilidad de que un interruptor cualquiera esté cerrado es 9, cuál es la probabilidad de que pase corriente de a? 2 Pr(pasar corriente de a ) = 9 = 801 57 unque la fiabilidad de cada componente sea alta, si hay muchos componentes, la fiabilidad del sistema puede ser baja. Para aumentar la fiabilidad podemos poner varios sistemas en paralelo: 1 2 S 1 3 4 Pr(pasar corriente de a ) = Pr(S1 S 2) = 1 Pr(no pasar corriente de a ) 1 Pr(S1 S 2) = 1 ( Pr(S 1) Pr(S 2) ) S 2 Pr(S ) = 1 Pr(S ) = 1 801 = 0.0199 1 1 2 Pr(pasar corriente de a ) = 1 0.0199 = 996 Ha aumentado la fiabilidad en un 2% 58 Teorema de ayes Teorema de ayes 1 2 Consideramos un experimento que se realiza en dos etapas: en la primera, los sucesos posibles 1 2 En la segunda etapa, todo suceso depende de lo sucedido en la primera etapa y puede ser descompuesto en sucesos disjuntos 1, 2, 3, 4 Son tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas. = ( 1 ) U ( 2 ) U ( 3 ) U ( 4 ) 3 4 3 4 59 60
Teorema de ayes Teorema de ayes 1 2 Si conocemos la probabilidad de que ocurra habiendo ocurrido i, entonces podemos calcular la probabilidad de. 1 2 Si conocemos la probabilidad de que ocurra habiendo ocurrido i, entonces podemos calcular la probabilidad de. Tercer xioma P(U)=P()+P() si =Ø Probabilidad Condicionada P( )=P( )P() 3 4 3 4 P() = P( 1 ) + P( 2 ) + P( 3 ) + ( 4 ) P() = P( 1 ) + P( 2 ) + P( 3 ) + ( 4 ) =P( 1 ) P( 1 ) + P( 2 ) P( 2 ) + P( 3 ) P( 3 ) + P( 4 ) P( 4 ) 61 =P( 1 ) P( 1 ) + P( 2 ) P( 2 ) + P( 3 ) P( 3 ) + P( 4 ) P( 4 ) 62 1 2 3 4 si ocurre, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada i. Pr( ) Pr( i) Pr( i) Pr( i ) = Pr() donde P() se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total: P() =P( 1 ) P( 1 ) + P( 2 ) P( 2 ) + P( 3 ) P( 3 ) + P( 4 ) P( 4 ) i 63 Por lo tanto el 90% no tienen fallos visibles en la superficie. También se ha encontrado que el 5% de la piezas que no tienen fallos superficiales son Pr( ) = 0.05 funcionalmente defectuosas 100% piezas Manufacturadas Se ha encontrado que el 25% de las piezas con fallos superficiales son funcionalmente defectuosas Suceso = { pieza funcionalmente defectuosa} = { pieza tiene una fallo visible en la superficie} Pr( ) = 0.25 Se sabe que el 10% de las piezas manufacturadas tienen fallos visibles en la superficie. Pr( ) = Pr( ) = 0.1 1. Cuál es la probabilidad de que una pieza sea funcionalmente defectuosa? 2. Si sabemos que la pieza es funcionalmente defectuosa, cuál es la Estadística: probabilidad Profesora María Durbán que no tenga fallos superficiales? 64
1. Cuál es la probabilidad de que una pieza sea funcionalmente defectuosa? 2. Si sabemos que la pieza es funcionalmente defectuosa, cuál es la probabilidad que no tenga fallos superficiales? 1. Cuál es la probabilidad de que una pieza sea funcionalmente defectuosa? Pr() = Pr( ) Pr() + Pr( ) Pr() = 0.25 0.1+0.05 =0.07 Pr() 0.1 Pr( ) 0.25 0.75 0.1 0.25 0.75 Pieza 0.05 5 65 Pieza 0.05 5 66 2. Si sabemos que la pieza es funcionalmente defectuosa, cuál es la probabilidad que no tenga fallos superficiales? Pr( ) Pr() 0.05 Pr( ) = = Pr() 0.25 0.1+0.05 0.045 = = 0.64 0.07 0.25 0.1 0.75 Pieza 0.05 5 67