Integrales indenidas Adriana G. Duarte 7 de agosto de 04 Resumen Antiderivación. Integrales indenidas, propiedades. Técnicas de integración: inmediatas,por sustitución, por partes. Ejemplos y ejercicios. Antiderivación Sabiendo que g es derivable y h es su derivada ¾es posible a partir de h encontrar la función g?. Efectivamente, es posible a través de un proceso inverso a la derivación, denominado antiderivación. g Derivación Antiderivación h Se dice que g es la antiderivada de h, porque al derivar g se obtiene h. O bien, si llamamos primitiva a la antiderivada, tenemos que g es una primitiva de h porque derivando g se obtiene h. Si hacemos g = F y h = f, diremos entonces que F es una primitiva de f, porque derivando F hallamos f. Suponiendo que x es la variable independiente de las funciones y que ambas están denidas en un conjunto D, se tiene la siguiente denición: Def: F es primitiva de f en D x D : F (x) = f(x) Ejemplo. Dadas tan(x) y sec (x), estudiar quién es la primitiva de quién. En este caso, F (x) = tan(x) es una primitiva de f(x) = sec (x) porque F (x) = (tan(x)) = sec (x) = f(x)
La función F (x) = tan(x) + es una primitiva de sec (x), porque F (x) = (tan(x) + ) = sec (x) = f(x) La función F (x) = tan(x) es una primitiva de sec (x), ( porque F (x) = tan(x) ) = sec (x) = f(x) Podemos ver que numerosas funciones tienen por derivada a f, y que todas dieren en una constante. En la gura, se presentan los grácos de las primitivas (en azul), (en verde) y (en rojo): Y π π π X Figura : F, F y F, primitivas de f(x) Se observa que en un mismo punto del dominio, todas poseen recta tangente con la misma pendiente (gura ). Y tan(x) Y + tan(x) Y + tan(x) X X X Figura : Las pendientes son iguales F (0) = F (0) = = F (0) = Además, esto es así para todo punto del dominio de las funciones dadas. 0408773300 Adriana Duarte 9
Teorema. [No unicidad] Si F es una primitiva de f en D, entonces existen innitas primitivas de f, de la forma F + k, siendo k un número real. Demostración. nada Denimos una función F k (x) = F (x)+k, x R, derivamos miembro a miembro: F k (x) = F (x) + 0, por ser F una primitiva de f, entonces x D : F (x) = f(x). Por propiedad transitiva, se tiene que: F k (x) = f(x), cumpliéndose la denición de primitiva, se deduce que F k = f + k es primitiva de f. Notación: Podríamos usar el símbolo A como operador para la Antiderivación, y se expresaría, por ejemplo, A (sec (x)) = tan(x), o bien A (5 x 3 ) = 5 4 x4 y en general para cualquier función: A(f) = F + k. Sin embargo, es utilizado universalmente como operador de este proceso, el símbolo deformación de la letra S que se conoce con el nombre de símbolo de integración entendiendo integración como equivalente a antiderivación. Entonces, las expresiones anteriores se pueden escribir: sec (x) = tan(x), 5 x 3 = 5 4 x4 f = F + k Se dice que: f es la función integrando, y que F es la integral de f. Es así que los términos primitiva, antiderivada o integral son equivalentes. Es usual explicitar la variable independiente de la función, acompañando a la función integrando con el diferencial de la variable independiente, entonces: f(x) dx = F + k La presencia de la constante k indica que se trata de una integral indenida, para diferenciarla de la integral denida, que se estudiará más adelante... Propiedades de las integrales indenidas [ ]. Si f(x) dx = F (x) + k, entonces d f(x) dx = f(x) dx Demostración Diferenciando miembro a miembro la primera igualdad, tenemos: d f(x) dx = d [F (x) + k] = [F (x) + k] dx = F (x) dx por hipótesis, se tiene que F es primitiva de f, o sea F (x) = f(x), entonces la expresión anterior resulta: d f(x) dx = f(x) dx 0408773300 Adriana Duarte 3 9
, y el teorema queda demostrado. [ ] Ejemplo: d sen(x) dx = sen(x) dx. Si f(x) dx = F (x) + k, entonces df (x) = F (x) + k Demostración Diferenciamos la primitiva, d[f (x)] = F (x) dx = f(x) dx, integrando miembro a miembro: d[f (x)] = f(x) dx = F (x) + k, por lo tanto se obtiene que: df (x) = F (x) + k y queda demostrado. Ejemplo: d (e x ) = e x + k 3. Sean F y G primitivas de f y g respectivamente, entonces (F + G) es primitiva de (f + g) o bien (F G) es primitiva de (f g). Demostración: Derivamos la primitiva, (F + G) = F + G. Por hipótesis sabemos que F = f y que G = g, entonces: (F + G) = f + g, por lo tanto (F + G) es primitiva de (f + g), y el teorema se demuestra. De manera similar se demuestra para la diferencia de las funciones. Como también se cumple que F = f y que G = g, es habitual que esta propiedad se simbolice así: (f ± g) = F ± G = f ± g Ejemplo: (sen(x) + e x ) = sen(x) + 4. Sea c una constante y F la primitiva de f, entonces (c F ) es primitiva de (c f). O bien, se puede simbolizar: c f(x) = c F (x) = c f(x) Ejemplo: 6 ln(x) = 6 ln(x) e x 5. Si f(x) = x n, con n R, entonces su primitiva es F (x) = xn+ + k. O bien: n + x n dx = xn+ n + + k Ejemplos: a) x 3 dx = x4 4 + k, b) c) 4 5 x dz = z 3 3 + k, dt 5 = t 4 5 + k = 5 5 t4 + k t 4 0408773300 Adriana Duarte 4 9
La combinación de las propiedades 3), 4) y 5) permite encontrar primitivas o integrales de funciones más complejas, por ejemplo: (3x 3 + x 4) dx = 3x 3 dx + x 4 dx = 3 x 3 dx + x 4 dx = 3 x + 5 x5 + k Ejercicios. ¾Pueden las funciones F (x) = x x + y G(x) = x + f(x) = (x + ) ser primitivas de la función. En la propiedad 5) ¾puede ser n =? 3. ¾Cuál es el resultado de 0 dx? ( 4. Hallar las integrales siguientes: a) e x + ) x dx b) x 3 x x dx 5. Para un móvil con movimiento rectilíneo uniforme ¾Quién es la primitiva de la velocidad? ¾la función posición o la función aceleración? Exprese simbólicamente el resultado.. Integrales inmediatas Son aquellas que resultan de interpretar una tabla de derivadas de forma inversa, y en las cuales para hallar el resultado no es necesario aplicar ninguna propiedad. Por ejemplo, son inmediatas: cos(x) dx, e x dx, dx x, sen(x) dx, Sh(x) dx, + x dx, x + dx, etc....3. Integración por sustitución Este método de integración se utiliza cuando la función integrando es función compuesta. Teorema. [función compuesta] Si F es primitiva de f, entonces f [g(x)] g (x) dx = F [g(x)] + k Demostración. nada Derivando la primitiva F [g(x)] + k tenemos: (F [g(x)] + k) = (F [g(x)]) + 0 = F [g(x)] g (x) 0408773300 Adriana Duarte 5 9
como F es primitiva de f, queda (F [g(x)] + k) = f [g(x)] g (x) y queda demostrado que (F [g(x)] + k) es primitiva de f [g(x)] g (x) Ejemplo. se desea conocer la primitiva de f(x) = cos [ln(x)] x. La función integrando es el producto de una función compuesta (f g) por la derivada de la primera función en la composición. Por lo tanto, la primitiva es otra función compuesta (F g), siendo F la función seno. Entonces, la integral se expresa: cos [ln(x)] x dx = sen [ln(x)] + k Efectivamente, si controlamos el resultado derivando la primitiva, tenemos que por la regla de la cadena se obtiene la función integrando. Ejemplo 3. Resolver (5x + 3) 9 dx. En este caso las funciones de la composición (f g) son g(x) = 5x + 3 y f(x) = x 9 y se observa que no aparece g (x) = 5. ¾se podrá resolver por sustitución? Como el nombre lo dice, se realiza una sustitución, o bien un cambio de variables. Este cambio de variables debe favorecer que la función integrando sea más sencilla y poder resolverla utilizando propiedades de integrales o que sea una integral inmediata. En efecto, hacemos el siguiente cambio de variables: u = g(x), siendo du = g (x) dx, de donde dx = du g (x). En este ejemplo: u = g(x) = 5x+3, diferenciando queda: du = 5 dx dx = du 5. Sustituimos en la integral y queda una función que se puede integrar aplicando las propiedades 4) y 5): u 9 du 5 = u 9 du = u 0 5 5 0 + k Se observa que la primitiva quedó en función a la variable u, entonces hay que volver para expresarla en función a x: (5x + 3) 9 dx = (5x + 3) 0 + k 5 0 y ya está Ejercicios: Resolver las siguientes integrales. 6x 3 x 3 3x dx. tan(x) dx 0408773300 Adriana Duarte 6 9
.3.. Una sustitución especial Sea la integral ax + b ax + bx + c dx La función integrando es racional cociente de funciones polinómicas, y la función del numerador es la derivada del denominador. Se resuelve como sigue: u = ax + bx + c, diferenciando queda: du = (ax + b) dx. Sustituimos y queda una integral inmediata: u du = ln(u) + k = ln ( ax + bx + c ) + k. En el caso de que la función del numerador no sea igual a la derivada del denominador, primero se procede sustituyendo al polinomio del numerador por una nueva expresión equivalente en la cual sí aparece la derivada del denominador: x 5 Ejemplo 4. Resolver x + 3x + 3 dx. Hacemos u = x + 3x + 3 u = x + 3. Tomando el polinomio del numerador: x 5 m(x + 3) + n x 5 mx + m3 + n. Para que dos polinomios sean equivalentes, los coecientes de los términos semejantes deben ser iguales, y esto resulta cuando m = / y n = 3/. La integral queda: 3 (x + 3) + x + 3x + 3 dx = (x + 3) x + 3x + 3 dx 3 x + 3x + 3 dx [] Para resolver la segunda integral del segundo miembro, se completa cuadrados en el denominador: x + 3x + 3 = x + 3x + 9 9 + 3 = ( x + 3 4 4 ) + 3. 4 Luego hacemos t = x + 3 y dt = dx Por lo tanto, la expresión [] se escribe: Teniendo en cuenta que inicial es: y ya está du u 3 t + a dt ( 3 ) ['] t + dt = a arctan x 5 x + 3x + 3 dx = ln ( x + 3x + 3 ) 3 ( ) t, la solución de la integral a ( ) x + 3/ arctan + k 3 3/.4. Integración por partes En general, las propiedades de integrales estudiadas no son útiles para integrar productos de funciones, entonces se recurre al siguiente método: Por denición, el diferencial de un producto de funciones u y v que dependen de x es: d(u v) = v du + u dv, integrando miembro a miembro: d(u v) = (v du + u dv) 0408773300 Adriana Duarte 7 9
despejando la segunda integral queda: u dv = u v v du [] Supóngase que se quiere hallar la siguiente integral: f(x) g(x) dx, entonces se podrá decir que: primera posibilidad) f(x) = u y g(x) dx = dv o segunda posibilidad) g(x) = u y f(x) dx = dv Si tomamos la primera posibilidad, se observa que en el segundo miembro de la igualdad en [] solicita conocer v y du. Por lo tanto: u = f(x) dv = g(x) dx du = f (x) dx v = dv = g(x) dx [3] Se espera que [3] sea una integral más sencilla, que se pueda resolver por propiedades, por sustitución o que sea inmediata. Una vez hallada v, se reemplaza siguiendo la expresión []. De igual modo, al hacer este reemplazo, la integral v du deberá ser más simple que la integral dada, o que se pueda resolver por otros métodos ya estudiados. Si eso no ocurre, hay que probar utilizando la segunda posibilidad. Ejemplo 5. Hallar e x x dx. Hacemos u = e x dv = x dx du = e x dx v = x dx = x / (*) (*) Observe que se omite la constante de integración dado que ésta aparecerá al nal de todo el proceso. Utilizando la expresión [], tenemos: e x x dx = e x x x ex dx [3] Se observa que en el segundo miembro de la expresión [3] la integral obtenida es de mayor complejidad que la que se intenta resolver. Por ello, intentaremos con la segunda posibilidad: u = x dv = e x dx du = dx v = e x dx = e x Utilizando la expresión [], tenemos: e x x dx = x e x e x dx [4] En la expresión [4] la integral obtenida es inmediata!!, por lo tanto: e x x dx = x e x e x + k 0408773300 Adriana Duarte 8 9
En ocasiones, el método se debe repetir dos o más veces, hasta encontrar en el segundo miembro una integral sencilla de resolver. Ejemplo 6. Hallar e x sen(x) dx u = e x dv = sen(x) dx Hacemos du = e x dx v = sen(x) dx = cos(x) Entonces: e x sen(x) dx = e x cos(x) + cos(x) e x dx [5] Ésta última integral presenta la misma complejidad que la dada es un producto entre una función exponencial y una trigonométrica, entonces en ella se aplica el método nuevamente. Hacemos: u = e x dv = cos(x) dx du = e x dx v = cos(x) dx = sen(x) Entonces: cos(x) e x dx = ( e x sen(x) sen(x) e x ) dx sacando paréntesis y sustituyendo en [4]: e x sen(x) dx = e x cos(x) + e x sen(x) 4 e x sen(x) dx Reuniendo las integrales en el er miembro: 5 e x sen(x) dx = e x cos(x) + e x sen(x) e x sen(x) dx = 5 ex cos(x) + 5 ex sen(x) + k Ejemplo 7. Encontrar arctan(x) dx En este caso la única posibilidad es hacer: ¾cuál es el resultado? u = arctan(x) dv = dx du = + x dx v = dx = x versión L A TEX /pdf: colaboración de Jorge Omar Morel 0408773300 Adriana Duarte 9 9