Universidad iego Portales Facultad de Ingeniería. Instituto de Ciencias Básicas Asignatura: Cálculo III Laboratorio N 9, Integrales Multiples. Introducción. En este laboratorio estudiamos las integrales dobles y triples. Para calcular integrales dobles sobre una región, estas se transforman en integrales iteradas teniendo en cuenta la forma de la región y buscando siempre la simplicidad de los d a = q1 ( c y= p2 ( ) cálculos. Por ejemplo, dada una región de integración de la forma indicada en la figura (i) tenemos: b p2 ( ) f (, ddy = f (, dy d. a p1 En cambio, si la región está dada en la forma indicada en la figura (ii) tenemos: d q2 ( y ) f (, ddy = f (, d dy c. q1 ( 3 e manera similar, dada una región R de R la integral triple puede calcularse transformándola a integrales iteradas, por ejemplo: (, ) (,, ) = (,, ) b y2 z2 y f yzddydz f yzdzdyd (, ) R a y1 z1 y Otras elecciones de los límites de integración también son posibles, de acuerdo a la región α uv, y = β u, v, la R. En las integrales dobles, dado el cambio de variables =, región de integración se transforma en una nueva región G y la integral se calcula mediante la fórmula: ( y, ) f (, ddy = f ( α( u, v), β( u, v) ) dudv ( uv, G ) α uvs,, y = β u, v, s, Para las integrales triples, dado el cambio de variables =, z γ ( u, v, s) =, la región R se transforma en una nueva región R y la integral se calcula mediante la fórmula: ( yz,, ) f (, y, z) ddydz = f ( α( u, v, s), β( u, v, s), γ ( u, v, s) ) dudvds uvs,, R En estas fórmulas transformación. y = p1 ( ) () i ( ii) b = q2 ( (, ( uv, ) y R (, yz, ) ( uvs,, ) son los determinantes de los jacobianos de
Ejemplos Resueltos: 1. Construya una función de usuario para calcular integrales dobles. a. Empleando la función de usuario calcule la integral pasando previamente a coordenadas polares. a a + ydyd con 0 0 0. La función de usuario obleint definida a continuación permite calcular integrales dobles: efine library\obleint(a,e,b,p,c)= (( (a,e,b[1],b[2])),p,c[1],c[2]) a >, a. Para graficar el dominio de integración con ayuda de la calculadora tomamos un valor particular para a, por ejemplo a = 1. La figura 1 muestra el dominio de integración. A partir de la gráfica podemos determinar que en coordenadas polares ( r, θ ) los límites de π integración corresponden a 0 r a y 0 θ. Por tanto, empleando coordenadas 2 polares = rcosθ, y = rsinθ, la integral se transforma de la siguiente manera π a a 2 a 2 + ydyd= rdrdθ. Las figuras 2 y 3 muestran el cálculo de esta integral 0 0 0 0 empleando la función de usuario obleint. Figura 1 Figura 2 Figura 3
2 2. Calcule la integral doble ( ) en los puntos O ( 0,0), A ( 4,1) y ( 1,1) y y ddy donde es un triángulo cuyos vértices están B. El lado OA del triángulo define la recta y =, el lado OB define la recta y =, mientras 4 que el lado AB define la recta y = 1. La región de integración está graficada en la figura 3. Observe que si integramos primero por la variable y y después por la variable debemos dividir la región de integración en dos partes. La primera esta representada en la figura 4 y está dada por los límites de integración 0 1, y. La segunda región se grafica 4 en la figura 5 y esta definida por los límites 1 4, y 1. En cambio si integramos 4 por primero y después por y podemos integrar por toda la región, definida en este caso por 0 y 1, y 4y. Las figura 6 y 7 muestran los cálculos por ambas vías usando la función de usuario obleint. Figura 4 Figura 5 Figura 6 Primeramente definimos todos los intervalos y la función (figura 6), después escribimos las integrales dobles, empleando la función de usuario más arriba definida (figura 7). ebemos escribir en la calculadora: obleint(f,y,h2,,h1)+obleint(f,y,h4,,h3) obleint(f,,h5,y,h1) Observe que el resultado es el mismo por ambas vías. Note además el orden correcto en que deben escribirse los intervalos en la función de usuario obleint. Figura 7
3. Halle el área limitada por la elipse ( y ) 2 ( y ) 2 2 + 3 + 3 + 4 1 = 100. Para calcular el área de la elipse introducimos nuevas variables u = 2y+ 3 y v 3 4y 1 uv. La 2 1 figura 8 muestra como hacerlo con la calculadora. Tenemos así que = u+ v 1, 5 5 3 1 y = u+ v+ 1. Con el empleo de este cambio de variables la elipse E y, : 10 10 = +. Epresamos las variables (, y ) en función de las variables (, ) ( y ) ( y ) 2 + 3 + 3 + 4 1 = 100 dada en el plano XY se transforma en la circunferencia 2 C uv, : u + v = 10 en el plano UV. Para calcular el área de la circunferencia podemos emplear coordenadas polares, es decir u = rcosθ, v = rsinθ. Este último cambio de variable permite transformar la circunferencia C uv, en el rectángulo { r } Rr, θ : 0 10,0 θ 2π. Teniendo en cuenta la fórmula para la transformación de coordenadas en las integrales dobles tenemos: ( y, ) ( y, ) ( uv, ) A = ddy = dudv = drdθ ( uv, ). ( uv, ) ( r, θ E ) y, Cuv, Rr, θ Esta última integral doble puede calcularse fácilmente. La figura 9 muestra los cálculos hechos con la función de usuario obleint. (, Para calcular el jacobiano se definió la función: uv, {getright(s[1]),getright(s[2])} f ( uv, ) ( r, θ ) y utilizamos la función de usuario f2_m. El jacobiano de transformación a coordenadas polares ya lo hemos calculado con anterioridad y es igual r. Figura 8 Figura 9 Figura 10
4. Halle el volumen del sólido limitado por el paraboloide elíptico plano + y = 1 y los planos coordenados. z y = 2 + + 1, el La calculadora no permite graficar dos superficies simultáneamente, sin embargo en muchas ocasiones necesitamos solamente conocer las tapas inferior y superior de un sólido, así como la proyección sobre el plano coordenado XY. Este ejercicio en particular ilustra este hecho. El plano + y = 1 no contiene la variable z, por tanto es infinito en la dirección del eje Z, por lo que no puede constituir la tapa superior o inferior del sólido. La tapa superior está dada por el paraboloide elíptico z = 2 + y + 1 (ver figura 10), mientras que la tapa inferior está dada por el plano coordenado XY, es decir el plano cuya ecuación es z = 0. La figura 11 muestra la región de integración definida por 0 y 1, 0 1 La figura 12 muestra los cálculos del volumen en el que se empleó la fórmula V = z2(, z1(, ddy. Figura 11 Figura 12 Figura 13 5. etermine el volumen del elipsoide y z a b c 2 + + = 1 2 efinimos primeramente una función de usuario que permita calcular integrales triples. efine library\tripint(a,e,b,p,c,q,s)= ( (( (a,e,b[1],b[2])),p,c[1],c[2]),q,s1],s[2]) Para calcular el volumen del elipsoide empleamos la fórmula Vol = ddydz e introducimos la siguiente transformación de coordenadas = a rcosφ sinθ, y = b rsinφ sinθ y z = c rcosθ. Por medio de esta transformación el elipsoide E yz,,: 2 y z + + = 1 en el espacio XYZ se transforma en el paralelepípedo P 2 r, φ, θ : a b c E yz,,
{ 0 r 1,0 φ 2 π,0 θ π} en el espacio rφθ. Usando estas nuevas coordenadas el ( yz,, ) volumen se calcula mediante Vol = ddydz = drdθdφ. Para calcular el r, θφ, Eyz,, Pr, φθ, jacobino empleamos la función de usuario f3_m. La figura 13 muestra los cálculos del jacobiano y la definición de los intervalos de integración. El jacobiano así calculado se le asigna a la variable J mediante: Simplify(det(f3_m(f,r,θ,φ ))) J La figura 14 muestra el resultado buscado. Figura 14