EXAMEN COMPLETO Baremo: Se elegirá el o el EJERCICIO B, del que SOLO se harán TRES de los cuaro problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL. Cada esudiane podrá disponer de una calculadora cienífica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su uilización indebida (para guardar fórmulas en memoria). Tiempo: 90 minuos Todas las respuesas han de ser debidamene razonadas. PROBLEMA 1. Deermina la mariz A que verifica la ecuación B represena la mariz ranspuesa de B. AB 3 B 0 A B, donde y PROBLEMA. Una desilería produce dos ipos de whisky blend mezclando solo dos malas desiladas disinas, A y B. El primero iene un 70 % de mala A y se vende a 1 /liro, mienras que el segundo iene un 50 % de dicha mala y se vende a 16 /liro. La disponibilidad de las malas A y B son 13 y 90 liros, respecivamene Cuános liros de cada whisky debe producir la desilería para maximizar sus ingresos, sabiendo que la demanda del segundo whisky nunca supera a la del primero en más del 80 %? Cuáles serían en ese caso los ingresos de la desilería? PROBLEMA 3. a) Deermina el valor de a para que la siguiene función sea coninua en x : a ax (x 1) /( x 3) x < b) Esudia la coninuidad de la función anerior en el caso a 0 c) Halla la inegral enre y de la función x 3 PROBLEMA 4. Un esudio revela que el 10 % de los oyenes de radio sinoniza a diario las cadenas Music y Rhyhm, que un 35 % sinoniza a diario Music y que el 55 % de los oyenes no escucha ninguna de las dos emisoras. Obén: a) La probabilidad de que un oyene elegido al azar sinonice la cadena Rhyhm. b) La probabilidad de que un oyene elegido al azar sinonice la cadena Rhyhm pero no la Music. c) La probabilidad de que un oyene, del que sabemos que escucha Rhyhm, escuche Music. C. VALENCIANA / SEPTIEMBRE 006
EJERCICIO B Todas las respuesas han de ser debidamene razonadas. PROBLEMA 1. En el primer curso de bachillerao de un insiuo hay mariculados un oal de 65 alumnos divididos en res grupos: A, B y C. Comen en el cenro 4 de ellos, que corresponden a la miad de los del grupo A, las cuaro quinas pares de los del B y las dos erceras pares de los del C. A una salida fuera del cenro acudieron las res cuaras pares de los alumnos del grupo A, odos los del B y las dos erceras pares de los del C, sumando en oal 5 esudianes. Cuános alumnos hay en cada grupo? PROBLEMA. x Dada la función, se pide: x 1 a) Dominio y punos de core con los ejes coordenados. b) Ecuación de sus asínoas. c) Inervalos de crecimieno y decrecimieno. d) Máximos y mínimos relaivos. e) Uiliza la información anerior para represenarla gráficamene. PROBLEMA 3. El dinero en efecivo, en euros, de una oficina bancaria durane las seis horas que permanece la caja abiera al público viene dado por la expresión C ( ) 000 34 7 siendo el iempo en horas ranscurrido desde la aperura. a) En qué momeno hay más dinero en efecivo y cuáno? b) En qué momeno hay menos dinero en efecivo y cuáno? Jusifica que son máximo y mínimo, respecivamene. PROBLEMA 4. Dados dos sucesos aleaorios independienes se sabe que la probabilidad de que ocurran los dos simuláneamene es 3/5 y la de que ocurra al menos uno de los dos es 17/5. Calcula la probabilidad de cada uno de los dos sucesos. SOLUCIONES PROBLEMA 1 AB A B A( B I) B Si la mariz A b d se endrá: b 3 d 0 1 0 3 1 b 4 d 0 6 3 4 C. VALENCIANA / SEPTIEMBRE 006
Muliplicando e igualando se iene: 4a 4c a 3b 6 c 3d 4 4a 6 4c a 3b 0 c 3d 4 a 3/ c / b 1/ d 7 / 6 La mariz 3/ A / 1/ 7 / 6 PROBLEMA Con los daos aneriores se obiene: Liros A B Ingresos Whishy 1 x 0,7x 0,3x 1x Whisky y 0,5x 0,5y 16y Disponibilidades 13 90 El objeivo es maximizar los ingresos. Eso es: Maximizar I(x, y) 1x 16y resringido por: 0,7x 0,5y 13 0,3x 0,5y 90 x 0; y 0 Represenando las recas asociadas a cada inecuación se obiene la región sombreada en la siguiene figura: Como sabemos, para regiones cerradas, las soluciones máximas y mínimas se dan siempre en alguno de los vérices de la región facible. Para deerminarlas basa con evaluar el valor de la función objeivo en cada uno de esos vérices, que son: C. VALENCIANA / SEPTIEMBRE 006
1,8 x y 0 O (0, 0); P: P (75, 135); 0,3x 0,5y 90 0,7x 0,5 y 13 Q: Q (105, 117); R (130/7, 0) 0,3x 0,5 y 90 El valor de la función I(x, y) 1x 16y en esos vérices es: En O, I(0, 0) 0 En P, I(75, 135) 3060 En Q, I(105, 117) 313 En R, I(130/7, 0) 8,8 Por ano, para maximizar los ingresos la desilería debe fabricar 105 liros del primer whisky y 117 del segundo. Los ingresos serán de 313 euros. PROBLEMA 3 a) Para que la función sea coninua en x deben coincidir los límies laerales en ese puno con su valor de definición. Por la izquierda: lím x x lím (3x a) 3 a Por la derecha: lím lím ( ax ) a x x Por ano, 3 a a 5 a La función coninua en x 1 es 5/ 5x / (x ) /( x 3) x < b) Si a 0 la función es (x ) /( x 3) x < Obviamene no es coninua en x Veamos qué pasa en x 1 Por la izquierda: lím lím Por la derecha: lím x 1 lím x 3 Como esos límies no son iguales la función no es coninua en x 1 9 C. VALENCIANA / SEPTIEMBRE 006
Tampoco es coninua en x 3, pues en ese puno no esá definida. c) La inegral pedida, que en ese caso no coincide con ningún área, es: ( x 3 4 x ) dx 4 x (4 4) (4 4) 8 PROBLEMA 4 Tenemos las siguienes probabilidades: P(Sinonizar Music y Rhyhm) P(M R) 0,10 P(Sinonizar Music) 0,35 P(No escuchar ninguna emisora) P[(M E) C ] 1 P(M R) 0,55 P(M R) 0,45 a) Por la probabilidad de la unión de sucesos: P(M R) P(M) P(R) P(M R) 0,45 0,35 P(R) 0,10 P(R) 0,0 Luego P(Sinonice Rhyhm) 0,0 b) Es la P(R M) Como P(R M) P(R) P(M R) 0,0 0,10 0,10 c) El la P(M/R) P(M R) P(R) 0,10 0, 50 0,0 Noa: Los resulados pueden ilusrarse con el siguiene gráfico: C. VALENCIANA / SEPTIEMBRE 006