A B G C F LADO D E A B G C F D E APOTEMA DIAGONALES RADIO 360º / n (180º- ) ELEMENTOS Y PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS REGULARES. (Ilustración nº 1). Diagonal: Es el segmento que une dos vértices no consecutivos. Todas las diagonales de igual longitud determinan un polígono estrellado. El número de diagonales de un polígono de n lados es igual a (n(n-3)) / 2. Ejemplo: Heptágono (7(7-3))/2= 14. La diagonal que une dos vértices opuestos perpendicularmente se denomina DIAGONAL PRINCIPAL, y es la mayor del polígono. Radio: Es la distancia del centro O del polígono a los vértices, es también el radio de la circunferencia circunscrita al polígono. Apotema: Es la distancia tomada perpendicularmente desde el centro de la circunferencia (O) hasta los lados. Es también el radio de la circunferencia inscrita. Ángulo Interno: El ángulo que forman dos apotemas o dos radios consecutivos (b). La suma de los ángulos internos es igual a 360º, por tanto le valor del ángulo b dependerá del número de lados (n) que tenga el polígono (n). b= 360º / n Ejemplo: Hexágono 360º / 6 = 60º. El ángulo entre los lados: Formado por dos lados contiguos de un polígono (2a). Considerando estos dos ángulos se establecen las siguientes relaciones: (2a) se deduce del anterior y depende también del número de lados (n) que tenga el polígono. 2a= (180º - b). Ejemplo: Hexágono 180º - 60º = 120º. La suma de los ángulos interiores (Sa l) de un polígono de n lados es igual a 180º por el número de lados menos dos: 180º(n-2). Ejemplo: Hexágono 180º (6-2) = 720. ILUSTRACIÓN Nº 1 POLÍGONO LADOS b (360º / n) 2a (180º - b) Sa l (180º(n-2) TRIÁNGULO 3 120º 60º 180º (3-2)= 180º CUADRADO 4 90º 90º 180º (4-2)= 360º PENTÁGONO 5 72º 108º 180º (5-2)= 540º HEXÁGONO 6 60º 120º 180º (6-2)= 720º HEPTÁGONO 7 51,4º 128,6º 180º (7-2)= 900º OCTÓGONO 8 45º 135º 180º (8-2)= 1080º ENEÁGONO 9 40º 140º 180º (9-2)= 1260º DECÁGONO 10 36º 144º 180º (10-2)= 1440º UNDECÁGONO 11 32,7º 147,3º 180º (11-2)= 1620º DODECÁGONO 12 30º 150º 180º (12-2)= 1800º n-ágono n 360 / n 0,0833333333 180º (n-2)= n a
Los polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos iguales. Se pueden construir a partir del lado o a partir de una circunferencia en la que el polígono quedará inscrito TRIÁNGULO A PARTIR DEL LADO El dato que nos dan es el lado del triángulo (a). 1-Con centro en un extremo del lado (C) y radio hasta el otro extremo (B), se traza un arco. 2-Con centro en el otro extremo (B) y el mismo radio se traza otro arco. 3-Donde se cortan los dos arcos anteriores tenemos el vértice (A) del triángulo que nos falta. 4-Se unen los dos extremos del lado que nos daban con el vértice hallado y queda construido el triángulo. TRIÁNGULO A PARTIR DE LA CIRCUNFERENCIA El dato que nos dan es la circunferencia en la que quedará inscrito el triángulo 1-Se traza un diámetro cualquiera que corta a al circunferencia en dos puntos. 2-Con centro en uno de los extremos del diámetro y radio hasta el centro de la circunferencia, se traza un arco que corta a la circunferencia en otros dos puntos. 3-Se unen esos dos puntos de corte con el otro extremo del diámetro y queda construido el diámetro. CUADRADO A PARTIR DEL LADO El dato que nos dan es el lado AD 1-Se traza una perpendicular por el extremo A del lado que nos dan. 2-Con centro en A y radio el lado AD se traza un arco que corta a la perpendicular anterior en el punto B. 3-Se traza una paralela al lado AD que pase por el punto B. 4-Se traza una paralela al lado AB que pase por el punto D. 5-El cuadrado ABCD queda definido. Polígonos regulares 1
CUADRADO A PARTIR DE UNA CIRCUNFERENCIA El dato que nos dan es la circunferencia en la que el cuadrado quedará inscrito. 1-Se traza un diámetro horizontal de la circunferencia que nos dan. 2-Se traza la mediatriz de ese diámetro obteniendo otro diámetro que es perpendicular al primero. 3-Los dos diámetros cortan a la circunferencia en 4 puntos ABCD 4-Se unen los puntos dos a dos y queda definido el cuadrado PENTÁGONO A PARTIR DEL LADO El dato que nos dan es el lado AB del pentágono 1-Se traza la mediatriz del lado AB. 2-Se traza una perpendicular por el punto B. 3-Con centro en B y radio AB se traza un arco que corta la perpendicular anterior en el punto S. 4-Se prolonga el lado AB por ambos lados. 5-Con centro en M (punto medio del lado AB) y radio MS se traza un arco para cada lado, que corta las prolongaciones en los puntos T y T. 6- Con centro en A y radio AT se traza un arco. 7- Con centro en B y radio BT se traza un arco. 8-Esos dos arcos se cortan en un punto D (que es un vértice del pentágono) 9-Con centro en A y luego en B y radio el lado AB se trazan dos arcos que se cortan con los anteriores dando los puntos C y E. 10- Se unen todos los puntos ABCDE y queda definido el pentágono. Polígonos regulares 2
PENTÁGONO A PARTIR DE LA CIRCUNFERENCIA El dato que nos dan es la circunferencia en la cual quedará inscrito el pentágono. 1-Se traza un diámetro horizontal. 2-Se traza la mediatriz de ese diámetro quedando dos diámetros perpendiculares entre sí. 3-Se traza la mediatriz del segmento OD, dando como resultado el punto N (punto medio de dicho segmento) 4-Con centro en N y radio NA se traza un arco que corta al diámetro CD en el punto S. 5-La distancia AS es el lado del pentágono. 6-Basta con llevar 5 veces el lado en la circunferencia y unir los puntos resultantes. HEXÁGONO A PARTIR DEL LADO El dato que nos dan es el lado AB del hexágono.en el hexágono se da la propiedad de que el lado es igual que el radio de la circunferencia en la que está inscrito el hexágono. 1-Con centro en A y radio AB se traza un arco. 2-Con centro en B y radio AB se traza otro arco que corta al anterior en el punto O, centro de la circunferencia en la que quedará inscrito el hexágono. 3-Con centro en O y radio el lado AB se traza una circunferencia que pasará por A y por B 4-Basta con llevar el lado del hexágono 6 veces en la circunferencia de centro O y unir los puntos resultantes. Polígonos regulares 3
HEXÁGONO A PARTIR DE LA CIRCUNFERENCIA POLÍGONOS REGULARES El dato que nos dan es la circunferencia en la que quedará inscrito el hexágono. 1-Se traza un diámetro vertical que cortará a la circunferencia en los puntos A y B. 2-Con centro en B y radio, el radio de la circunferencia BO, se traza un arco que cortará a la circunferencia en dos puntos C y D 3-Con centro en A y radio AO se traza otro arco que cortará a la circunferencia en otros dos puntos E y F. 4-Se unen los puntos obtenidos dos a dos y queda definido el hexágono. HEPTÁGONO A PARTIR DEL LADO El dato que nos dan es el lado AB del heptágono 1-Con centro en A y radio AB se trazan dos arcos, uno arriba del lado y otro abajo. Se hace lo mismo desde B. Se señala el punto C y se traza la mediatriz resultante. 2-Se traza una perpendicular por el lado B. 3-Se une A con C quedando dibujado el ángulo CAB, se traza la bisectriz de dicho ángulo. 4-Esa bisectriz corta a la perpendicular por B en el punto D. 5-Con centro en A y radio AD se traza un arco que corta a la mediatriz del lado AB en el punto O, centro de la circunferencia en la que quedará inscrito el heptágono. 6-Se traza la circunferencia con centro en O y radio hasta A o hasta B y se lleva 7 veces el lado sobre ella. HEPTÁGONO A PARTIR DE LA CIRCUNFERENCIA El dato que nos dan es la circunferencia en la que quedará inscrito el heptágono. 1-Se traza un diámetro cualquiera de la circunferencia. 2-Se traza la mediatriz de la mitad de ese diámetro obteniendo los puntos M y N. 3-La distancia MN es el lado del heptágono, basta con llevarlo 7 veces sobre la circunferencia. Polígonos regulares 4
HEPTÁGONO A PARTIR DEL LADO POLÍGONOS REGULARES El dato que nos dan es el lado AB del heptágono 1-Con centro en A y radio AB se trazan dos arcos, uno arriba del lado y otro abajo. Se hace lo mismo desde B. Se señala el punto C y se traza la mediatriz resultante. 2-Se traza una perpendicular por el lado B. 3-Se une A con C quedando dibujado el ángulo CAB, se traza la bisectriz de dicho ángulo. 4-Esa bisectriz corta a la perpendicular por B en el punto D. 5-Con centro en A y radio AD se traza un arco que corta a la mediatriz del lado AB en el punto O, centro de la circunferencia en la que quedará inscrito el heptágono. 6-Se traza la circunferencia con centro en O y radio hasta A o hasta B y se lleva 7 veces el lado sobre ella. OCTÓGONO A PARTIR DEL LADO El dato que nos dan es el lado AB del octógono 1-Se traza la mediatriz del segmento AB obteniendo el punto 1. 2-Con centro en uno y radio hasta A o hasta B se traza un arco que corta a la mediatriz en el punto 2. 3-Con centro en 2 y radio hasta A o hasta B se traza otro arco que corta a la mediatriz en el punto O, centro de la circunferencia en la que estará inscrito el octógono. 4-Con centro en O se traza la circunferencia que pasa por A y por B. 5-Basta con llevar 8 veces el lado AB sobre la circunferencia. Polígonos regulares 5
OCTÓGONO A PARTIR DE LA CIRCUNFERENCIA El dato que nos dan es la circunferencia en la que quedará inscrito el octógono 1-Se traza un diámetro cualquiera de la circunferencia. 2-Se traza la mediatriz de ese diámetro, obteniendo dos diámetros perpendiculares y 4 puntos de corte en la circunferencia. 3-Se traza la bisectriz de 2 de los 4 ángulos rectos que forman los dos diámetros, se prolongan esas bisectrices y se obtienen otros 4 puntos de corte con la circunferencia, ya son 8. 4-Se unen los 8 puntos de corte dando como resultado el octógono pedido. POLÍGONOS REGULARES Polígonos regulares 6
MÉTODO GENERAL DE CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES A PARTIR DEL LADO Este método sirve para construcción de cualquier polígono regular, con el número de lados que se quiera, los métodos anteriores son métodos particulares (un método para el pentágono, un método para el triángulo...) El dato que nos dan es el lado AB del polígono regular que vamos a construir. 1-Con centro en A y radio AB se trazan dos arcos, uno por arriba del lado y otro por abajo, se hace lo mismo desde B, obteniendo también la mediatriz del segmento AB. 2-En el punto de corte de los dos arcos por arriba del lado tenemos el punto 6, centro de la circunferencia en la que quedaría inscrito un hexágono. 3-Además se han obtenido los puntos D y E, donde corta la mediatriz con la circunferencia. 4-Se divide el diámetro DE en 12 partes iguales mediante el teorema de Thales y así se obtienen los centros de las circunferencias en las que quedarían inscritos los diferentes polígonos. 5-Si trazamos una circunferencia con centro en 7 que pase por A y por B, llevaremos 7 veces el lado sobre la circunferencia y obtendremos un heptágono.(por ejemplo) Polígonos regulares 7
MÉTODO GENERAL DE CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES A PARTIR DE LA CIRCUNFERENCIA El dato que nos dan es la circunferencia en la que quedará inscrito el polígono que vamos a construir. 1-Se traza un diámetro cualquiera de la circunferencia, ese diámetro corta a la circunferencia en los puntos A y B. 2-Se divide el diámetro en tantas partes como lados va a tener el polígono que vamos a construir (Teorema de Thales) 3-Con centro en A y radio el diámetro AB se traza un arco. Con centro en B y el mismo radio se traza otro arco, estos arcos se cortan en el punto C. 4-Se unen el punto C y la división nº2 del diámetro (siempre la nº2) y esa recta corta a la circunferencia en el punto E. 5-Se toma con el compás la distancia que hay entre A y E y ese es el lado del polígono que estamos construyendo, basta con llevarlo X veces por la circunferencia. 6-En el ejemplo se ha construido un polígono de 7 lados (heptágono) Polígonos regulares 8
Polígonos regulares 9