2.-GEOMETRÍA PLANA O EUCLIDIANA 2.1.-Triángulos. Definición, clasificación y notación. Puntos notables, ortocentro, circuncentro, baricentro e incentro. Propiedades de las medianas. Los Triángulos son polígonos de tres lados. La suma de sus ángulos es igual a 180º. Un lado es menor que la suma de los otros dos lados y mayor que su diferencia. A mayor lado se opone siempre mayor ángulo. Se clasifican, según sus ángulos en: Equiláteros. Si tienen tres lados iguales Isósceles. Si tienen dos lados iguales. Escálenos. Si tienen tres lados desiguales. Según la magnitud relativa de sus lados en: Acutángulos. Si tienen todos sus ángulos agudos. Rectángulos. Si tienen un ángulo recto. Obtusángulos. Si tienen un ángulo obtuso. La notación del triángulo se realiza con letras mayúsculas para los vértices y minúsculas para los lados, coincidiendo la letra de un vértice con la del lado opuesto. Los ángulos se nombran con las letras griegas correspondientes. También se pueden nombrar usando las letras mayúsculas correspondientes al vértice con el símbolo de ángulo: Rectas y puntos notables. Mediatrices Las mediatrices del triángulo son las mediatrices de sus lados. Se cortan en un punto que equidista de los vértices llamado circuncentro (O ), que es el centro de la circunferencia circunscrita. 1
Medianas Las medianas (m) son las rectas que unen los vértices del triángulo con los puntos medios de los lados opuestos. Se cortan en el Baricentro (G), que es el centro geométrico del triángulo. El Baricentro se encuentra a 2/3 del vértice y 1/3 del punto medio del lado opuesto. Alturas Las alturas son las rectas perpendiculares a los lados desde los vértices opuestos. La intersección de las alturas es el Ortocentro (H). A efectos prácticos, como altura, se consideran las distancias de los vértices a los lados opuestos. Como generalidad, es la mínima distancia entre un punto y una recta. Si la recta es fija, el vértice opuesto se encuentra en el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta fija, o sea, una paralela al lado a una distancia igual a la altura de ese lado. Para trazar la altura (h) de un triángulo se traza un arco desde el vértice opuesto al lado que se tome como base. Este arco corta a la base o su prolongación en dos puntos (1-2), la mediatriz de esos puntos nos da la perpendicular que une vértice y lado opuesto, en el dibujo Ha. Para hallar el ortocentro hay que hacer esta operación con los tres lados del triángulo. 2
Bisectrices Las bisectrices del triángulo se cortan en un punto notable del triángulo llamado Incentro (I), que por equidistar de los lados es el centro de la circunferencia inscrita. Para trazar la circunferencia inscrita debemos de hallar primero los puntos del triángulo por los que pasará, son puntos de tangencia que llamaremos Ta, Tb, Tc. Éstos se encuentran en los pies de las perpendiculares trazadas a los lados del triángulo. Las perpendiculares se obtienen al hallar la mediatriz de cada uno de los arcos que habrán de trazarse con centro en I y radio hasta que corten a cada uno de los lados del triángulo. 3
Construcciones de triángulos: 1. Triángulo equilátero conocido el lado. Conocida la altura. Con centro en los extremos del lado conocido B C y radio igual a su longitud, describir arcos, cuya intersección determina el tercer vértice A. Construir un triángulo equilátero arbitrario, transportando sobre su altura M T la dada M C, con lo cual queda determinado el vértice C, opuesto a la base. Trazando por este punto paralelas a los lados del triángulo auxiliar, quedará construido el triángulo equilátero ABC propuesto. 2. Triángulo conocidos dos lados y el ángulo comprendido. Tomar uno de los lados como base, construyendo en uno de sus extremos un ángulo igual al dado. Transportando sobre el lado del ángulo la magnitud del otro lado del triángulo, quedan determinados los tres vértices. 3. Triángulo conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Construir un ángulo igual al dado, transportando sobre uno de sus lados la magnitud de unos de los lados conocidos, obteniendo el vértice C. Con centro en dicho punto y radio igual al otro lado, describir un arco que determinará el tercer vértice del triángulo al cortar al lado que hace de base. Este problema tendrá una, dos o ninguna solución, dependiendo de ello que el arco trazado corte en un punto, en dos o en ninguno a la base. En el ejemplo, hay dos soluciones, los triángulos (A, B, C ) y (A, B, C ). 4. Triángulo isósceles conocida base y altura. Tomar la magnitud de la base a, trazándole la mediatriz, y transportando sobre la mediatriz la altura conocida. 4
5. Triángulo isósceles conocida base y ángulo adyacente. Se resuelve, construyendo sobre la base los ángulos conocidos, que se cortan en el vértice opuesto. 6. Triángulo isósceles conocida base y ángulo opuesto. Se resuelve de la misma manera del anterior, sabiendo que los otros dos ángulos serán la bisectriz del suplementario del conocido 7. Triángulo isósceles conocida base y radio de circunferencia circunscrita. Se traza la circunferencia, y un diámetro vertical de la misma, sobre el diámetro trazamos una perpendicular que mida lo mismo que la base y que quede centrada con el diámetro. Por los extremos de esa perpendicular trazamos paralelas al diámetro que nos dan dos vértices del triángulo. 8. Triángulo escaleno conocidos dos lados y la altura de uno de ellos. Tomamos el lado de la altura conocida como base (a). Trazamos una paralela a la base, con la medida de la altura (h). Por un extremo de la base, trazamos un arco con la medida del otro lado (b). Éste corta a la paralela en el vértice que nos falta. 5
9. Triángulo conocidos dos lados y la mediana de uno de ellos. Tomamos el lado (a) de la mediana conocida como base, y por el punto medio del mismo, trazamos un arco con la medida de la mediana (ma). Por otro extremo de la base, trazamos un arco con la medida del otro lado (b), ambos arcos se cortan en el tercer vértice. 10. Triángulo conocidos dos lados y la altura del tercero. Se trazan dos rectas paralelas con la distancia de la altura. Desde un punto (A) cualquiera de la paralela superior trazamos arcos con las medidas de los dos lados conocidos (b-c). Éstos cortan a la base en los vértices que nos faltan. 11. Triángulo conocido un lado y las medianas de los otros dos. Para resolver este ejercicio hay que conocer la propiedad de las medianas, y saber que el baricentro se encuentra a dos tercios de la longitud de la mediana, respecto de los vértices correspondientes. Usando el teorema de Tales, obtenemos dos segmentos que son dos tercios de las medianas dadas ( mb: mediana del lado b, mc: mediana del lado c ). Construimos un triángulo que tenga por lados los dos lados que son dos tercios de las medianas y el lado conocido (a). A ese triángulo le prolongamos los lados que miden 2/3 con la magnitud total de cada mediana. Prolongando rectas desde los extremos del lado conocido a los extremos de las medianas obtenemos el triángulo. 6
12. Triángulo rectángulo, cateto y ángulo adyacente. Basta construir sobre el cateto un ángulo recto en un extremo y el dado en el otro extremo, prolongando los lados de los ángulos se obtiene la figura. 13. Triángulo rectángulo, hipotenusa y un cateto (arco capaz de 90º) Para construir esta figura, basta saber que cualquier punto de la semicircunferencia que tiene por diámetro la hipotenusa es vértice de los posibles triángulos rectángulos para esa hipotenusa. Si trazamos dicha semicircunferencia y por un extremo trazamos un arco con la medida del cateto, donde éste corte a la semicircunferencia estará el vértice que nos falta. 7