VECTOR FIJO TEM IV PLNO VECTORIL. PRODUCTO ESCLR. PLICCIONES. Un vecto fijo es un segento cuyos exteos vienen ddos en un cieto oden. Ejeplo: El segento de exteos y (en este oden). Se not con (, ) ó con. l pie punto, l, se le ll oigen. l segundo punto, l, se le ll exteo. Po supuesto que. Si coinciden el oigen y el exteo del vecto fijo, es deci si el oigen y el exteo son el iso punto, el vecto se ll vecto fijo nulo. Ejeplo: MÓDULO, DIRECCIÓN Y SENTIDO DE UN VECTOR FIJO. Se ll ódulo de un vecto fijo, y se not, l longitud del segento. 0 Dos vectoes fijos no nulos, y CD, se dice que tienen l is diección y se epesent CD, si ls ects que psn po y () y po C y D (s) son plels o coincidentes: D C s s C D s
En cso contio, se dice que y CD tienen distint diección y se epesent CD C D Los vectoes fijos nulos no tienen diección. Ddos dos vectoes fijos, no nulos, con l is diección, y CD, dieos que tienen el iso sentido, y lo epesenteos CD, si: Estndo colocdos soe ects plels, los exteos y D se encuentn en el iso seiplno deteindo po l ect que une los oígenes y C. C D y D petenecen l iso seiplno deteindo po l ect. Estndo colocdos soe l is ect, (en vez de soe ects plels), tienen el iso sentido que oto vecto fijo vectoes. MN situdo soe un ect plel l que contiene dichos C D M N MN, y MN CD CD En cso contio, se dice que tienen sentido contio, y se epesent CD. C MN, y MN CD CD. C D M N D Los vectoes fijos nulos no tienen sentido. Osevción: De fo intuitiv, dieos que l diección del vecto fijo ps po los puntos y. es l de l ect que
El sentido del vecto fijo es el del ecoido de l ect cundo nos tsldos desde hst. Osev que en cd diección hy dos sentidos, el que v de y el de. VECTORES FIJOS EQUIPOLENTES Dos vectoes fijos, y CD, se dice que son equipolentes, y se epesent iso ódulo, diección y sentido, ó si son los dos nulos. Ddo un vecto fijo CD CD CD CD ó son los dos nulos, hy un único vecto fijo OC equipolente CD si tienen el con oigen en O. O C OC Hy infinitos vectoes equipolentes un vecto fijo del plno. C D E F G ddo; uno con oigen en cd punto H I J Los exteos,, C, D de dos vectoes equipolentes y CD, que se encuentn soe ects plels, siepe fon un plelogo, (cudiláteo de ldos plelos dos dos). Todos los vectoes fijos nulos son equipolentes. CC DD... 3
VECTOR LIRE l conjunto de todos los vectoes fijos equipolentes un vecto fijo ddo vecto lie., se le ll Ejeplo: En el últio diujo, el vecto lie fodo po y todos sus equipolentes:, CD, EF, GH, IJ,... Se not con culquie de ellos ente cochetes,, ó CD, ó EF, etc...; ó con un let inúscul y un flech enci, CD, EF, GH, IJ,... cd uno de los vectoes fijos, CD, EF, GH, IJ,... que fon el vecto lie, se le ll epesentnte de. El vecto lie nulo se le not con 0, y está fodo po todos los vectoes fijos nulos. 0,, CC, DD, EE,... MÓDULO, DIRECCIÓN Y SENTIDO DE UN VECTOR LIRE Se ll ódulo, diección y sentido de un vecto lie, l ódulo diección y sentido de cd uno de sus epesentntes. El vecto nulo o vecto lie ceo 0, tiene ódulo 0 y cece de diección y sentido. PROPIEDD FUNDMENTL DE LOS VECTORES LIRES El oigen y el exteo de un vecto fijo del plno, son siepe puntos fijos del plno. Los vectoes lies del plno, coo su noe indic, se pueden plic lieente culquie punto del plno que se quie. Con l únic condición de que tengn el iso ódulo, diección y sentido. Est popiedd es l ás ipotnte de los vectoes lies del plno, que enuncieos sí: Si es un vecto lie del plno y O un punto culquie del plno, existe un único epesentnte de con oigen en O. O 4
OPERCIONES CON VECTORES LIRES En el conjunto de todos los vectoes lies del plno, que se not con V, se definen ls siguientes opeciones: SUM DE VECTORES LIRES Ddos dos vectoes lies, y del plno, se ll su de y, y se epesent, l vecto lie que se otiene del siguiente odo: Toos un punto O culquie del plno. Con oigen en O se to un vecto fijo O, epesentnte de, y con oigen en se to un vecto fijo, epesentnte de ; el vecto fijo O es un epesentnte del vecto lie. O O,, O L su de vectoes lies es independiente del punto O elegido. L su de dos vectoes lies es oto vecto lie que cuple ls siguientes popieddes:. socitiv: c c,,, c V. Conuttiv:,, V 3. Hy eleento neuto: 0 (vecto lie nulo) / 0, V 4. Hy eleento opuesto: V, - V / 0 se otiene coo un vecto lie que cuple:,, Ejeplo: Si 5
PRODUCTO DE UN NÚMERO REL POR UN VECTOR LIRE Ddos un vecto lie 0 del plno vectoil y un núeo el culquie k 0 del núeo el k po el vecto lie, y se not po de l siguiente fo: ; se ll poducto k, un nuevo vecto lie que se otiene Su ódulo es el vlo soluto de k po el ódulo de k k Su diección es l is que l de. ( k ) Su sentido es el iso que el de si k es positivo, u opuesto l de si k es negtivo. ( k si k>0 ; k si k<0) Si k 0 ó 0, se define k 0 Ejeplo: 3,5 El poducto de un núeo el po un vecto lie es oto vecto lie que cuple ls siguientes popieddes:. Distiutiv especto de l su de vectoes: k k k, k R,, V. Distiutiv especto de l su de núeos eles:, k, h R, ( k h) k h 3. Seudosocitiv:, k, h R, ( k h) k ( h ) V V 4., siendo el núeo el unidd y V Ests opeciones y sus popieddes nos peiten eliz opeciones coinds con vectoes lies con l is pioidd que p los núeos 6
Ejecicio: Ddos los vectoes siguientes: c Clcul: ) 3 c ) 3 c 3) COMINCIÓN LINEL DE VECTORES Utilizndo ests dos opeciones que se cn de defini en V, veos que pti de unos vectoes se pueden otene otos, sin ás que su los pieos peviente ultiplicdos po núeos eles: Ejeplo: u 3.Se dice que u.depende linelente de y.o que u.es coinción linel de y. Un vecto u.depende linelente de expes u α β, siendo α yβ núeos eles. y o es coinción linel de ellos, si u se puede DEPENDENCI E INDEPENDENCI LINEL DE VECTORES Dos vectoes lies del plno vectoil y se dice que son linelente dependientes (l.d.) ó colineles, si tienen l is diección, ó lguno de ellos es el vecto nulo. Ejeplo: En os csos, y son linelente dependientes. Se cuple l siguiente popiedd ipotnte: Ddos dos vectoes lies no nulos y linelente dependientes, siepe se puede expes uno de ellos coo poducto de un núeo el po el oto vecto y viceves (cd uno depende linelente del oto) En el ejeplo nteio,, y, y que Dos vectoes lies del plno vectoil y se dice que son linelente independientes, (l.i.) si ninguno de ellos es el vecto nulo y tienen distint diección. Ejeplo: 7
y son linelente independientes. SE DE V. SE ORTONORML. Un se de V, está fod po dos vectoes lies independientes (l.i.). u y v distintos de 0, que sen linelente Se suelen diuj sus epesentntes con oigen en un iso punto O. En el plno se pueden elegi infinits ses distints. v v v O u u O O u Un se { u v}, se ll se otonol, si se cuplen dos condiciones:. Que los vectoes que l fon sen unitios, es deci que u v.. Que u y v sen pependicules ( u y v sen otogonles, u v ) Son ses otonoles ls siguientes: v u v u u v v u Hy infinits ses otonoles. COORDENDS DE UN VECTOR LIRE DE V EN UN SE Si elegios coo se de V l se { u, v } del diujo: Osevos que en l se, los vectoes,, c, e v d u c d, y e, se expesn: u 3 v (, 3) u 3v (, 3) c u v, d u v d(, ) e u v, c( ) e( ) 8
, 3 Se dice que tiene de coodends (, 3) en l se, y se not ( ). De igul ne p, c, d, y e. l ci de se, cin ls coodends de los vectoes,, c, d, y e, peo en cd se ls coodends de cd uno de ellos son únics. En genel, culquie vecto u,. únicos p x en l se { v} l pej odend ( α β ) x α, β not ( ). sí pues: Ejeplo: x u 3 v, 3 x V, se puede expes coo x u v α β, con α y β R, de núeos eles, se les ll coodends de x en l se, y se x( ) y, 4 y u 4 v Los vectoes u, v, y 0 se pueden expes: u u 0 v x u 0 (, ) s v 0 u v v( 0, ) 0 0 u 0 v 0 0 ( α, β ) x α u β v ( 0, ) Ejecicio: Expes los vectoes de l e d j i c figu en función de l se i, j, incluidos i y j. { } f g 9
OPERCIONES CON VECTORES LIRES, USNDO SUS COORDENDS. u, En l se { v}, supongos que (, ) u v, y que u v. Si suos y, tendeos que:, y que ( ). Es deci, que ( u v ) ( u v ) ( ) u ( ) v (, ) Con esto heos deostdo que ls coodends del vecto, son l su de ls coodends de los vectoes y. k Po ot pte, si ultiplicos un núeo el k po el vecto : k ( u v ) ( k ) u ( k ) v k ( k k ) Po tnto, ls coodends del vecto, Ejeplo: Ddos los vectoes ( ) Respuest: (4, 7), 3, k son ls coodends de ultiplicds po k. 3, 5 y ( ) 3 (3, 6),, clcul, 3, y 3 ( 33, ( ) 3 ( 5) ) 3 ( 7, ) DEPENDENCI E INDEPENDENCI LINEL, USNDO LS COORDENDS u, En l se { v}, supongos que (, ) y que (, ) Se veific que:.. y son l.d. Y que si y son l.d.. y son l.i. k (, ) k ( ) (, ) ( k, k ), 0
k k k k En cso contio seán linelente independientes (l.i.). PRODUCTO ESCLR DE VECTORES LIRES Ddos dos vectoes lies u y v, se define su poducto escl, y se not el que se otiene del siguiente odo: Siendo ( v) u v cos u v 0 si u, el ángulo que fon los vectoes u y v. si u 0 y v 0 u 0 ó v 0 ( u, v ) u v, coo el núeo Osev que el poducto escl de dos vectoes es siepe un núeo el, que puede se positivo, negtivo o ceo. PROPIEDDES DEL PRODUCTO ESCLR. u u 0 u V 0 u cos0 u u 0 Deostción: u u u u cos( u, u). Conuttiv: u v v u u, v V Deostción: u v cos ( u, v ) () () v u cos[ ( v, u) ] v u cos( v, u) u v () ( u, v ) y ( v u ), son ángulos opuestos. () Coo son ángulos opuestos, tienen el iso coseno k R, 3. Hoogéne: k ( u v ) ( k u) v u ( k v) u, v V 4. Distiutiv especto de l su de vectoes: u ( v w) u v u w v, ( u) v u, u ( v) v u u, v, w V EXPRESIÓN NLÍTIC DEL PRODUCTO ESCLR DE DOS VECTORES, EN UN SE ORTONORML. En l se otonol { i, j}, supongos que (, ) escl de po, se puede clcul en este cso de un fo uy fácil:, y que ( ). El poducto
Deostción: (, ) i j, i j ( ) plicndo ls popieddes del poducto escl: ( i j) ( i j ) ( ) ( i i ) ( ) ( i j ) ( ) ( j i ) ( ) ( j j ) Y coo: i i i i cos( i, i ) i j j i j i cos 0 0, j j j j cos( j, j ) ( j, i ) Qued: 0 0 c.s.q.d. EXPRESIÓN NLÍTIC DEL MÓDULO DE UN VECTOR, EN UN SE ORTONORML. El ódulo de un vecto u, se puede clcul usndo el poducto escl, y que: u u u u u u Est es l expesión vectoil del ódulo. Y coo el poducto escl es uy fácil de clcul si se conocen ls coodends con especto un se otonol, si ls coodends del vecto u con especto un se otonol fuesen x,, nos quedí que: u u u ( y) x x y y x u x, y Po tnto l expesión nlític del ódulo de ( ) y, con especto un se otonol es: u x y Ejeplo: v u, 3 Clcul el ódulo de ( ), si l se es otonol: u 3 3 VECTOR UNITRIO EN L DIRECCIÓN DE UN VECTOR DDO Ddo un vecto v 0, se pueden otene dos vectoes unitios u y u, con l is diección que v, (uno con el iso sentido que v, y oto con sentido contio v ) de l siguiente fo: u v, v u v v u u
Ests son ls expesiones vectoiles de los vectoes unitios. Si conociéseos ls coodends de v (x, y) con especto un se otonol, coo v x y, nos quedí que: x y u,, x y x y u x x y, x y y Ests son ls expesiones nlítics de los vectoes unitios. ÁNGULO DE DOS VECTORES Seos que u v u v cos( u, v ) Luego: ( u, v ), (con u y v 0 ) u v cos. Expesión vectoil del ángulo de dos vectoes. u v u x, y Si conociéseos ls coodends deu y v con especto un se otonol, ( ) v ( x, y ) tendíos que:, cos ( u, v ) x x x y y y x y Est es l expesión nlític del ángulo de dos vectoes, especto un se otonol. VECTORES ORTOGONLES. CONDICIÓN DE ORTOGONLIDD Ddos dos vectoes lies no nulos, u y v, son otogonles ( u v ) u v 0 Est es l condición de otogonlidd vectoil. Deostción: ) Si u v ( u v ) ) Si u v 0 u v 0 0, 90º ó 70º cos ( u, v ) 0. Luego u v u v cos ( u, v ) 0, y coo u y v no son nulos, sus ódulos no son u v u v cos ( u, v ) ceo, luego cos ( u, v ) 0 ( u v ), 90º ó 70º, es deci que u y v son otogonles. c.s.q.d. u x, y Si conociéseos ls coodends de u y v con especto un se otonol, ( ) v ( x, y ), tendíos que: u v u v 0 x x y y 0 Est es l condición nlític de otogonlidd, especto un se otonol., 3
SISTEM DE REFERENCI FÍN Si consideos el plno coo conjunto de puntos, un siste de efeenci fín S es un conjunto fodo po un punto, lldo oigen, y un se del plno vectoil. S { O ; { i, j} } Nosotos siepe toeos p un siste de efeenci fín, un se otonol. eje j O i eje S { O ; { i, j} } oigen COORDENDS CRTESINS DE UN PUNTO DEL PLNO. el siste de efeenci nteio. Se S { O ; { i, j} } O j i Si P es un punto culquie del plno, consideos el vecto lie OP, que tendá uns coodends ( α β ),. otonol { i j} l vecto, en l se OP, ó p, se le ll vecto de posición del punto P, y se dice que el punto P tiene de coodends ( α, β ) en el siste de efeenci S, y se not P ( α, β ) S. p P P ( α, β ) OP p( α, β ) OP p α i β j S ls coodends de P en este siste de efeenci de efeenci S, se les ll coodends ctesins de P. (L se de S es otonol). Luego: Ls coodends ctesins de un punto P del plno, en el siste de efeenci S, son ls coodends de su vecto de posición p OP en l se otonol de dicho siste de efeenci S. 4
Ejeplo: P(, 3) P(, 3) S p, 3 p OP OP ( ) i 3 j j O i COORDENDS DE UN VECTOR LIRE, CONOCIDS LS DEL ORIGEN Y EXTREMO DE UNO DE SUS REPRESENTNTES. Si en S { O ; { i, j} }, seos que (, ) S y ( ) S,, entonces: (, ) Pues: O O j O i Y coo: (, ) ( ) S, (, ) (, ) S (, ) Ejeplo: Si (3, 4) y (, 4), entonces ( 3, 4 4), es deci (, 0). COORDENDS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Ddo el segento de exteos y, de coodends conocids (, ), (, ). Llo M su punto edio. j O i M Osev en el diujo que 5 M.
6 Coo, y M Sustituyendo: ( ) Opendo :. Si ls coodends del punto M les llo ( ),, opendo con ls coodends en l últi iguldd, tendeos que ( ) ( ),, ( ) ( ),,. Luego: Ejeplo: El punto edio M del segento de exteos (3, 4) y (, 4), tiene de coodends M(, 4)., M