Maemáicas Aplicadas a las Ciecias Sociales I 1º Bachilleao Capíulo 2: Maemáica Fiaciea. LibosMaeaVede.k www.apuesmaeavede.og.es Auoes: José Aoio Ecabo de Lucas y Eduado Cuchillo Revisoa: Nieves Zuasi Ilusacioes: Baco de Imágees de INEF
43 Álgeba Ídice 4. PROBLEMAS DE MAEMÁICA FINANCIERA 4.1. ASAS 4.2. NÚMEROS ÍNDICE 4.3. INERÉS SIMPLE 4.4. INERÉS COMPUESO 4.5. ANUALIDADES DE CAPIALIZACIÓN 4.6. ASA ANUAL EQUIVALENE. (.A.E.) 4.7. ANUALIDADES DE AMORIZACIÓN Resume Ese capíulo se ocupa del Álgeba y e él epasaemos odos los cocepos elacioados co poliomios, ecuacioes e iecuacioes, paa adeaos e los sisemas de ecuacioes, su esolució y epeseacioes gáficas, basádoos e el méodo de esolució de sisemas de ecuacioes, Méodo de Gauss maemáico muy impoae e Álgeba pues fue el pimeo e da ua demosació del eoema fudameal del Álgeba: oda ecuació algebaica de gado iee solucioes. Seguiemos co las iecuacioes y sisemas de iecuacioes ue os seviá paa compede los paámeos fiacieos y las aualidades de amoizació y capializació ue se aplica cuado iveimos u capial o aduiimos u pésamo a u deemiado ieés simple o compueso y duae u deemiado iempo. Cal Fiedich Gauss Ma. Aplicadas a las Ciecias Sociales I. 1º Bachilleao. Capíulo 2: Álgeba LibosMaeaVede.k www.apuesmaeavede.og.es Auoes: José Aoio Ecabo de Lucas y Eduado Cuchillo Revisoa: Nieves Zuasi Ilusacioes: Baco de Imágees de INEF
92 Álgeba 4. PROBLEMAS DE MAEMÁICA FINANCIERA Vamos a plaea y a esolve poblemas de maemáica fiaciea e los ue ieviee el ieés simple y compueso, y se uiliza asas, mage de beeficio, amoizacioes, capializacioes y úmeos ídice. Paámeos ecoómicos y sociales. Podemos u ejemplo de cada uo y lo esolveemos expoiedo las fómulas y cocepos ue hace fala paa ello. Vamos allá: Empezaemos po las asas y los úmeos ídice ee los ue desacaemos la asa de aalidad y moalidad y los ídices de las bolsas y el de pecios al cosumo (I.P.C.) especivamee, paa después coiua co ieeses y pésamos bacaios y sus amoizacioes. 4.1. asas La asa de aalidad es u idicado social. E oda asa se da la caidad ue ieesa e elació a ua caidad de efeecia. Ejemplos: asa de aalidad: 21 64 0/00 Nace 21 64 bebés po cada 1000 habiaes. asa de pao: 12 % 12 paados po cada 100 pesoas e edad laboal. asa de alcoholemia: 0 15 0 15 cm 3 de alcohol po lio de sage. 4.2. Númeos ídice U úmeo ídice, NI, es ua heamiea o paámeo ceada paa esudia la vaiació e el iempo de ua deemiada magiud ecoómica. NI Medida acual de la magiud Medida aigua de la magiud Desacamos: El ídice de las bolsas efleja el valo global de las empesas ue se coiza e ellas. El valo del Ídice e cada momeo se obiee mediae cálculos muy complejos e los ue se valoa las coizacioes de las accioes y la caidad ue se comecializa de cada ua. Más ue su valo coceo, se puede pesa aeció a su vaiació poceual especo a ua fecha aeio: El IBEX 35 ha subido u 0 80 % duae esa semaa. Especialmee impoae es el ídice de pecios al cosumo (IPC): No iee, e cada momeo, u valo deemiado, sio ue se evalúa e efeecia al año (o al mes) aeio: El IPC ha subido e mayo u 0 28 %, co lo ue acumula u cecimieo aual del 3 56 %. Paa calcula la vaiació mesual del IPC, se iee e cuea la vaiació del pecio de cada uo de los biees de cosumo y la caidad iveida e el mismo duae ese mes. El ídice de pecios al cosumo es u úmeo ídice ue se uiliza paa medi la vaiació de la iflació. Se calcula omado Ma. Aplicadas a las Ciecias Sociales I. 1º Bachilleao. Capíulo 2: Álgeba LibosMaeaVede.k www.apuesmaeavede.og.es Auoes: José Aoio Ecabo de Lucas y Eduado Cuchillo Revisoa: Nieves Zuasi Ilusacioes: Baco de Imágees de INEF
93 Álgeba el pecio de ua seie de aículos epeseaivos de cosumo habiual (cesa de la compa), p 1, p 2, p 3, Y muliplicado dichos pecios po su coespodiee peso o podeació, 1, 2, 3, segú la impoacia asigada e el momeo IPC Medidaacual de la magiud Medidaaiguade la magiud p p 11 10 11 10 p p 21 20 21 20 p p 31 30 31 30...... 4.3. Ieés simple Cuado deposiamos ua deemiada caidad de dieo capial e u baco lo ue hacemos es pesa ese capial a la eidad bacaia y ésa, a cambio, os da u ao po cieo del dieo ue deposiamos. Po ejemplo, Si deposiamos 50000 e ua libea de ahoo al 1 5% cada año ecibimos: 50000 1'5 50000 0'015 750 100 La caidad ue hemos deposiado, 50000 es el capial: El beeficio obeido, 750, se llama ieés. La caidad ue poduce 100 cada año, 1 5, se llama édio o ao po cieo. Y la caidad ue poduce 1 aualmee, 0 015, se llama ao po uo. C.R U capial colocado al R % e u año poduce de ieés, luego e años poduciá u ieés de: 100 I C. R. 100 C Capial, C, es la caidad de dieo ue deposiamos e ua eidad fiaciea. Ieés, I, es la caidad de dieo poducida po u capial de u ieés deemiado. Rédio o ao po cieo, R, es la gaacia ue poduce 100 e u año. ao po uo,, es la gaacia ue poduce 1 e u año. R Se veifica: 100 Ma. Aplicadas a las Ciecias Sociales I. 1º Bachilleao. Capíulo 2: Álgeba LibosMaeaVede.k www.apuesmaeavede.og.es Auoes: José Aoio Ecabo de Lucas y Eduado Cuchillo Revisoa: Nieves Zuasi Ilusacioes: Baco de Imágees de INEF
94 Álgeba Acividades esuelas Colocamos e u baco 10000 al 2 %, pecibiedo los ieeses semesalmee. Si hemos cobado 600 e cocepo de ieeses. Cuáo iempo hemos eido el dieo e el baco? Al se el cobo de ieeses semesal, la fómula ue aplicamos es: C 2I 2.600 I 6 semeses. 2 C 10000.0,02 Eso sigifica ue el dieo ha esado deposiado e el baco 6 semeses, o lo ue es lo mismo, 36 meses. 4.4. Ieés compueso Cuado o cobamos los ieeses e los disios peiodos de iempo sio ue ésos se va sumado al capial, ése se va icemeado. A ese poceso le llamamos capializació y afimamos ue hemos colocado el capial a ieés compueso. Coloca u capial a ieés compueso sigifica ue el capial se va icemeado co los ieeses poducidos e cada peiodo de iempo. Al capial exisee e cada momeo, le llamamos moae. Cuado colocamos u capial, C, al ao po uo,, al fial del pime año eemos u moae de: Al fial del segudo año, edemos: M 1 = C + C = C(1 + ) 1. M 2 = C(1 + ) + C(1 + ) = C(1 + )(1 + ) = C(1 + ) 2. Al fial del ece año, edemos: M 3 = C(1 + ) 2 + C(1 + ) 2 = C(1 + ) 2 (1 + ) = C(1 + ) 3. Razoado y siguiedo la misma paua, llegamos a obee ue el moae, al cabo de años, es: M C( 1 ) De foma aáloga, obeemos el moae cuado capializamos veces al año o e peiodos cada año: Siedo el úmeo de peiodos. M C 1 Ma. Aplicadas a las Ciecias Sociales I. 1º Bachilleao. Capíulo 2: Álgeba LibosMaeaVede.k www.apuesmaeavede.og.es Auoes: José Aoio Ecabo de Lucas y Eduado Cuchillo Revisoa: Nieves Zuasi Ilusacioes: Baco de Imágees de INEF
95 Álgeba Acividades esuelas Duae cuáo iempo ha de ivei u capial de 12000 al 2 % de ieés compueso paa llega a obee u moae de 12325 si la capializació se poduce imesalmee? Como la capializació es imesal, es 4. Po ao: M C 1 4 log M logc log 1 4 log M logc = 5 5 imeses. log 1 4 Po lo ao el capial ha de iveise duae 5 5 imeses = 16 meses y medio. 4.5. Aualidades de capializació E muchas siuacioes se plaea el poblema de cosegui u obee u capial al cabo de u úmeo deemiado de años. Paa ello, hacemos uos pagos o apoacioes, siempe iguales, al picipio de cada uo de los años. Esos pagos o apoacioes se llama aualidades de capializació. Recueda ue: Las aualidades de capializació so pagos o apoacioes fijas ue hacemos al picipio de cada año paa foma, juo co sus ieeses compuesos, u capial al cabo de u úmeo deemiado de años. Supogamos ue la aualidad de capializació es a, ue el ao po uo aual es y el iempo de capializació es de años. Uilizado la expesió de ieés compueso, obeemos ue la aualidad ue eegamos al iicio del pime año se coviee o capializa e el siguiee moae: a (1 + ) La seguda aualidad, eegada al picipio del segudo año, capializa al cabo de 1 años el moae: a (1 + ) -1 La ecea aualidad capializa e 2 años el moae: a (1 + ) -2 y así sucesivamee, la aualidad -ésima, ue eegamos al comiezo del ésimo año o úlimo, capializa e 1 año el siguiee moae: a (1 + ) 1 La suma de odos esos moaes da luga a la capializació del capial C: C = a (1 + ) 1 + a (1 + ) 2 + + a (1 + ) -1 + a (1 + ) Aplicado la expesió de la suma de émios cosecuivos de ua sucesió o pogesió geoméica a la pogesió aeio de azó (1 + ) y úmeos de émios, obeemos: a( 1 ) (1 ) a(1 ) a(1 ). (1 ) 1 C (1 ) 1 Ma. Aplicadas a las Ciecias Sociales I. 1º Bachilleao. Capíulo 2: Álgeba LibosMaeaVede.k www.apuesmaeavede.og.es Auoes: José Aoio Ecabo de Lucas y Eduado Cuchillo Revisoa: Nieves Zuasi Ilusacioes: Baco de Imágees de INEF
96 Álgeba Recueda ue: Ua sucesió: a 1, a 2, a, se llama sucesió o pogesió geoméica si cada émio, excepo el pimeo, se obiee muliplicado el aeio po ua caidad cosae,, llamada azó de la pogesió: a 2 = a 1 ; a 3 =a 2.; a =a -1.. Po ao la suma de los pimeos émios a 1 + a 2 +. + a vale: Cuado los pagos o apoacioes los hacemos al picipio de cada mes, la capializació o es aual, lo ue capializamos cada mes es: a1 1 12 12 C 12 1 siedo a la apoació mesual y el iempo de capializació e meses. E geeal, cuado los pagos los hacemos veces al año, el capial obeido es: a 1 C siedo el úmeo de peiodos de capializació. Acividades esuelas 1 Ua pesoa, al cumpli los 40 años, decide hace u pla de ahoo. Llega co el baco a u acuedo de capializa imesalmee al 3 % aual, deposiado 90 al iicio de cada imese. Qué capial obedá al cumpli los 60 años? La capializació es imesal, co lo cual el úmeo de peiodos e u año es = 4. El iempo de capializació es 60 40 = 20 años, ue expesado e peiodos de capializació o imeses, es de 420 = 80 imeses. Se aa de ua capializació o aual. 1 El capial ue obedá segú la fómula ue hemos viso aes seá: a 1 1 1 4 4 80 0' 03 0' 03 0' 03 C (( ) / 90) 1 1 1 989' 015 4 4 4 4 Qué aualidad edíamos ue aboa al picipio de cada año duae 12 años paa capializa o cosegui 18000 al 3 % aual? Se aa de ua capializació aual, po lo ao segú la fómula siguiee obedemos: a (1 )( 1 C 1) C a (1 ) ( 1 1) a S a 0'0318000 1 0'03( 1 0'03. p a1 p 1 12 1) 223'21 Ma. Aplicadas a las Ciecias Sociales I. 1º Bachilleao. Capíulo 2: Álgeba LibosMaeaVede.k www.apuesmaeavede.og.es Auoes: José Aoio Ecabo de Lucas y Eduado Cuchillo Revisoa: Nieves Zuasi Ilusacioes: Baco de Imágees de INEF
97 Álgeba 4.6. asa aual euivalee. (.A.E.) E cueas de ahoo, llamamos AE al ao po cieo de cecimieo oal del capial duae u año cuado los peiodos de capializació so ifeioes a u año. E pésamos bacaios, la AE, ambié es supeio al édio declaado. Al calculala se icluye los pagos fijos (comisioes, gasos) ue coba el baco paa cocede el pésamo Pago mesuales de ieeses: siedo C el capial y el úmeo de meses Acividades esuelas C 1 1 100 1200 Si colocamos 600 al 2 % aual co capializació imesal, e u año geea u moae de: 0'02 M 600 1 612'090. 4 Si ahoa os peguamos, a ué ao po cieo aual hemos de coloca el mismo capial paa geea el mismo moae co capializació aual? Opeado, obeemos el.a.e. = 2 015. A. E. 612'090 600 1 100 Eso idica ue el.a.e. es el ao po cieo aual, ue geea el mismo moae ue ua capializació e peiodos de iempo al año al % aual. 4 1 4.7. Aualidades de amoizació E la vida eal es muy fecuee pedi pesado a u baco o ua eidad fiaciea ua caidad de dieo ue llamamos deuda. Esa deuda la devolvemos o la amoizamos mediae pagos siempe iguales, duae u úmeo de años cosecuivos, haciedo cada pago o apoació al fial de cada año. Esos pagos o apoacioes iguales se llama aualidades de amoizació. Las aualidades de amoizació so pagos o apoacioes fijas ue hacemos al fial de cada año, paa amoiza o cacela ua deuda, juo co sus ieeses compuesos, duae u úmeo deemiado, de años. La deuda D, al cabo de años, al ao po uo aual,, capializa el siguiee moae: M D( 1 ) Las aualidades, a, ue apoamos al fial de cada año, capializa los siguiees moaes: La pimea aualidad e 1 años se coviee e: a (1 + ) -1 La seguda aualidad e 2 años se coviee e: a (1 + ) -2 Ma. Aplicadas a las Ciecias Sociales I. 1º Bachilleao. Capíulo 2: Álgeba Auoes: José Aoio Ecabo de Lucas y Eduado Cuchillo LibosMaeaVede.k Revisoa: Nieves Zuasi www.apuesmaeavede.og.es Ilusacioes: Baco de Imágees de INEF
98 Álgeba La ecea aualidad e 3 años se coviee e: a (1 + ) -3 Y así sucesivamee, la aualidad ésima, ue apoamos al fial del úlimo año, es: a La suma de los aeioes moaes ha de coicidi co M M D(1 ) a a(1 )... a(1 ) 2 a(1 ) Aplicado la expesió de la suma de émios cosecuivos de ua sucesió o pogesió geoméica a la sucesió aeio de azó 1 + y de émios, obeemos: D (1 ) 1 a(1 ).(1 ) a (1 ) 1 Y de auí obeemos la expesió ue os da la aualidad de la amoizació: D(1 ) a (1 ) 1 Cuado los pagos o apoacioes los hacemos al fial de cada mes, la amoizació mesual viee dada po: D.. 1 12 12 a 1 1 12 dode D es la deuda y es el iempo de amoizació e meses. E geeal, cuado los pagos los hacemos veces al año, la cuoa de amoizació es: siedo el úmeo de peiodos de amoizació. Acividades esuelas D.. 1 a 1 E el Mecado de Ocasió del coche usado os vede u coche po 1800. La empesa iee ua eidad fiaciea, la cual coba u 2 % aual. Cuál debe se la amoizació mesual paa salda la deuda e 2 años? La amoizació es mesual, po lo ue el úmeo de peiodos e u año es de 12 y la expesió ue uilizamos es: 1 1 0'02 0'02 D 1 1800 1 12 12 12 a 12 76'58 24 0'02 1 1 1 1 12 12 24 Ma. Aplicadas a las Ciecias Sociales I. 1º Bachilleao. Capíulo 2: Álgeba LibosMaeaVede.k www.apuesmaeavede.og.es Auoes: José Aoio Ecabo de Lucas y Eduado Cuchillo Revisoa: Nieves Zuasi Ilusacioes: Baco de Imágees de INEF
99 Álgeba La empesa Fío Idusial ha aduiido ua máuia po la ue se compomee a paga 12000 e el momeo de la aduisició y 5000 al fial de cada año, duae 10 años. Si se aplica u 2 % de ieés aual, cuál es el valo de la máuia? La deuda, D, ue la empesa amoiza e 10 aualidades es: a( D 10 1 1) 5000( 1 0'02 (1 ) 0'021 0'02 Luego el valo de la máuia es: 44914 47 + 12000 = 56914 47. 1) 44914'47 10 Acividades popuesas 64. U empesaio icemea el pecio de sus poducos e u 5 % aual. Acualmee, uo de sus poducos vale 18. Respode a las siguiees cuesioes: a. Cuáo cosaá el poduco deo de 4 años? b. Cuáo cosaba hace 4 años? c. Cuáos años ha de pasa paa ue el pecio acual del poduco se dupliue? 65. Calcula el iempo ue debe de esa colocado u capial de 4500 e ua cuea coiee al 2 % de ieés compueso aual paa ue el capial se dupliue 66. Calcula el iempo ecesaio paa ue u capial impueso a ieés compueso al 3 % aual se dupliue. Y paa ue se ipliue? 67. Duae cuáo iempo hemos de aboa mesualidades de 60 al 4 % aual paa cosegui capializa 6500? 68. El abuelo de Luis, al ace ése, decidió igesa e u baco u capial de 3600 a ieés compueso aual del 3 %. Cuáo dieo ecibiá al cumpli 25 años? Si la capializació se hubiea hecho semesal, cuáo dieo hubiea ecibido? 69. Ua pesoa eega al picipio de cada mes y duae 4 años ua caidad fija de 60.La capializació es mesual al 3% aual. Qué capial edá al fial de los 4años? 70. Ua pesoa compa u piso e 90000. A la fima del coao eega 18000 y el eso lo paga ua eidad fiaciea ue le ha cocedido el pésamo coespodiee. Esa eidad le coba el 2 % aual y las cuoas de amoizació mesuales. A cuáo asciede cada ua de esas cuoas si ha de salda la deuda e 20 años? 71. Ua empesa madeea compa u camió, el cual se compomee a paga e 13 aualidades al 3 %.cada aualidad de amoizació asciede a 16200. Cuáo cosó el camió? Ma. Aplicadas a las Ciecias Sociales I. 1º Bachilleao. Capíulo 2: Álgeba LibosMaeaVede.k www.apuesmaeavede.og.es Auoes: José Aoio Ecabo de Lucas y Eduado Cuchillo Revisoa: Nieves Zuasi Ilusacioes: Baco de Imágees de INEF