1. [01] [SEP-B] Halla el punto simétrico del P(,1,-5) respecto de la recta r definida por x-z = 0 x+y+ = 0.. [01] [SEP-A] Sean los puntos A(0,0,1), B(1,0,-1), C(0,1,-) y D(1,,0). a) Halla la ecuación del plano determinado por los puntos A, B y C. b) Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios. c) Calcula la distancia del punto D al plano. x+y-z = 6. [01] [JUN-B] Sean r y s las rectas dadas por: r x+z =, s x-1-1 = y+1 6 = z. a) Determina el punto de intersección de ambas rectas. b) Calcula la ecuación general del plano que las contiene. 4. [01] [JUN-A] De un paralelogramo ABCD conocemos tres vértices consecutivos A(,-1,0), B(-,1,0) y C(0,1,). a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene. b) Halla el área de dicho paralelogramo. c) Calcula el vértice D. 5. [011] [SEP-B] Dado el plano de ecuación x+y-z = 0 y la recta r de ecuaciones a) Halla el punto de intersección del plano y la recta r. b) Halla el punto simétrico del punto Q(1,-,) respecto del plano. x-y = 5 x+y-4 6. [011] [SEP-A] Considera los puntos A(-1,k,), B(k+1,0,), C(1,,0) y D(,0,1). a) Existe algún valor de k para el que los vectores AB, BC y CD sean linealmente dependientes? b) Calcula los valores de k para los que los puntos A, B, C y D forman un tetraedro de volumen 1. x+y = 1 7. [011] [JUN-B] Considera los puntos A(1,0,-1) y B(,1,0), y la recta r dada por x+z =. a) Determina la ecuación del plano que es paralelo a r y pasa por A y B. b) Determina si la recta que pasa por los puntos P(1,,1) y Q(,4,1) está contenida en dicho plano. 8. [011] [JUN-A] Determina el punto simétrico del punto P(-,1,6) respecto de la recta x-1 = y+ = z+1 9. [010] [SEP-B] Considera los planos 1,, dados respectivamente por las ecuaciones: x+y = 1 ; ay+z = 0 y x+(1+a)y+az = a+1 a) Cuánto ha de valer a para que no tenga ningún punto en común? b) Para a = 0, determina la posición relativa de los planos. 10. [010] [SEP-A] Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta r de ecuaciones por x = 1-5 y = -+. z = + x-y+11 = 0 y contiene a la recta s definida y+z-19 = 0 11. [010] [JUN-B] Los puntos P(,0,0) y Q(-1,1,4) son vértices de un triángulo. El tercer vértice S pertenece a la recta r de 4x+z = ecuación y = 0. a) Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r es perpendicular a la recta que pasa por P y S. Página 1 de 6
b) Comprueba si el triángulo es rectángulo. 1. [010] [JUN-A] Considera las rectas r y s de ecuaciones: x-1 = y = 1-z y a) Determina su punto de corte. b) Halla el ángulo que forman r y s. c) Determina la ecuación del plano que contiene a r y s. x-y = -1 y+z = 1. x-y+ = 0 1. [009] [SEP-B] Considera la recta r definida por x+y-z-1 = 0 y la recta s definida por y+1 = 0 x-z+ = 0. a) Determina la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. b) Existe algún plano que contenga a r y sea perpendicular a s? Razona la respuesta. 14. [009] [SEP-A] Considera el punto P(1,0,0), la recta r definida por x- = (x,y,z) = (1,1,0)+ (-1,,0). a) Estudia la posición relativa de r y s. b) Halla la ecuación del plano que pasando por P es paralelo a r y s. y = z+1 - y la recta s definida por x+y = 15. [009] [JUN-B] Considera la recta r definida por, y la recta s que pasa por los puntos A(,1,0) y B(1,0,-1). y+z = 0 a) Estudia la posición relativa de ambas rectas. b) Determina un punto C de la recta r tal que los segmentos CA y CB sean perpendiculares. 16. [009] [JUN-A] Se considera la recta r definida por perpendicular común a r y s. x = 1 y = 1 y la recta s definida por z = - x = y = -1. Halla la ecuación de la recta 17. [008] [SEP-B] Dados los puntos A(1,1,0), B(1,1,) y C(1,-1,1): a) Comprueba que no están alineados y calcula el área del triángulo que determinan. b) Halla la ecuación del plano que contiene al punto A y es perpendicular a la recta determinada por B y C. x- 18. [008] [SEP-A] Sea la recta s dada por y+z = a) Halla la ecuación del plano 1 que es paralelo a la recta s y contiene a la recta r, dada por x-1 = -y+ = z-. b) Estudia la posición relativa de la recta s y el plano, de ecuación x+y =, y deduce la distancia entre ambos. 19. [008] [JUN-B] Dados los puntos A(,1,1) y B(0,0,1), halla los puntos C en el eje OX tales que el área del triángulo de vértices A, B y C es. 0. [008] [JUN-A] Dada la recta r definida por x-1 = y+1 = z- : 1 (a) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r. (b) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a r. 1. [007] [SEP-A] a) Halla los puntos que dividen al segmento de extremos A 1,,1 y B -1,0, en tres partes iguales. b) Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio.. [007] [JUN-B] Considera los puntos A(0,,-1) y B(0,1,5). Página de 6
a) Calcula los valores de x sabiendo que el triángulo ABC de vértices A 0,,-1, B 0,1,5 y C x,4, tiene un ángulo recto en C. b) Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos 0,1,5 y,4, y es paralelo a la recta definida por las ecuaciones x-y+z = 0 x+y =.. [007] [JUN-A] Considera los planos de ecuaciones x-y+z = 0 y x+y-z =. a) Determina la recta que pasa por el punto A(1,,) y no corta a ninguno de los planos dados. b) Determina los puntos que equidistan de A(1,,) y B(,1,0) y pertenecen a la recta intersección de los planos dados. 4. [006] [SEP-B] Considera los puntos A(1,0,-) y B(-,,1). a) Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales. b) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C, donde C es un punto de la recta de ecuación -x = y-1 = z. Depende el resultado de la elección concreta del punto C? 5. [006] [SEP-A] Determina los puntos de la recta r de ecuaciones plano ' de ecuación y-z =. x = 0 y-1 = z- que equidistan del plano de ecuación x+z = 1 y del x+y-z- = 0 6. [006] [JUN-B] Considera el punto P(,,0) y la recta de ecuaciones x+z+1 = 0. a) Halla la ecuación del plano que contiene al punto P y a la recta r. b) Determina las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto de la recta r. 7. [006] [JUN-A] Considera el plano de ecuación x+y-z+ = 0 y la recta r de ecuación x-5 - = y = z-6 m. a) Halla la posición relativa de r y según los valores del parámetro m. b) Para m = -, halla el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano. c) Para m = -, halla el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano. 8. [005] [SEP-B] Sean los planos 1 x+y-z+5 = 0 y x+y+z+ = 0. a) Calcula las coordenadas del punto P sabiendo que está en el plano 1 y que su proyección ortogonal sobre el plano es el punto 1,0,-. b) Calcula el punto simétrico de P respecto del plano. 9. [005] [SEP-A] Considera el plano x+y+mz = y la recta r x = y-1 = z-. a) Halla m para que r y sean paralelos. b) Halla m para que r y sean perpendiculares. c) Existe algún valor de m para que la recta r esté contenida en el plano? 0. [005] [JUN-A] Considera el punto P(,0,1) y la recta r a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y a r. b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r. x+y = 6 z =. 1. [004] [SEP-B] Halla la perpendicular común a las rectas r x = 1 y = 1 y s z = x = y = -1. Página de 6
. [004] [SEP-A] Se sabe que el triángulo ABC es rectángulo en el vértice C, que pertenece a la recta intersección de los planos y+z = 1 e y-z+ = 0, y que sus otros dos vértices son A,0,1 y B 0,-,0. Halla C y el área del triángulo ABC.. [004] [JUN-A] Sean los puntos A(1,,1), B(,,1), C(0,5,) y D(-1,4,). (a) Probar que los cuatro puntos están en el mismo plano. Hallar la ecuación de dicho plano. (b) Demostrar que el polígono de vértices consecutivos ABCD es un rectángulo. (c) Calcular el área de dicho rectángulo. 4. [00] [SEP-B] Los puntos A(1,1,0) y B(,,1) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. Además, se sabe que los vértices C y D están contenidos en una recta que pasa por el origen de coordenadas. Halla C y D. 5. [00] [SEP-A] Se sabe que los puntos A(1,0,-1), B(,,1) y C(-7,1,5) son vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD. (a) Calcula las coordenadas del punto D. (b) Halla el área del paralelogramo. 6. [00] [JUN-B] Determina el punto P de la recta r x-1 = y+1 1 = z que equidista de los planos: 1 x+y+z+ = 0 y x= - + y= - +. z = -6-7. [00] [JUN-A] Sabiendo que las rectas r x = y = z y s respectivamente, que están a mínima distancia. x= 1 + y= + z= - se cruzan, halla los puntos A y B, de r y s 8. [00] [SEP-B] Considerar el plano x - y + z = y el punto A(-1,-4,). (a) Hallar la ecuación de la recta perpendicular a que pasa por A. (b) Hallar el punto simétrico de A respecto de. 9. [00] [SEP-A] Los puntos A(1,0,) y B(-1,0,-) son vértices opuestos de un cuadrado. (a) Calcular el área del cuadrado. (b) Calcular el plano perpendicular al segmento de extremos A y B que pasa por su punto medio. 40. [00] [JUN-B] Calcula el área del triángulo de vértices A(1,, ), B(1, 0, -1) y C(1, -, ). 41. [00] [JUN-A] Calcula la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección del plano x + y + z = 6 con la recta s x = y- = z+1 y es paralela a la recta r x+4y-4 = 0 4x-y+z-1 = 0. 4. [001] [SEP-B] Considera los puntos A(1,,), B(,,1) y C(,0,). Halla el punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano que contiene a A, B y C. 4. [001] [SEP-A] Considera los tres planos siguientes: 1 x+y+z = 1, x-y+z = y x+y+z = 5. Se cortan 1 y? Hay algún punto que pertenezca a los tres planos? 44. [001] [JUN-B] Calcula a sabiendo que los planos ax+y-7z = -5 y x+y+a z = 8 se cortan en una recta que pasa por el punto A(0,,1) pero no pasa por el punto B(6,-,). Página 4 de 6
45. [001] [JUN-A] Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A(1,0,-1), es perpendicular al plano x-y+z = 0 y es paralelo a la x-y = 0 recta z = 0 46. [000] [SEP-B] Calcula el punto de la recta de ecuaciones x-1 = y+ = z+1 más cercano al punto A(1,-1,1). - 47. [000] [SEP-A] (a) Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (0,), (0,-) y (-1,1). (b) Determina los valores de m tales que el punto (,m) esté en la circunferencia determinada en (a). 48. [000] [JUN-B] Los puntos A(,,5) y B(,,) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. El vértice C consecutivo de B está en la recta de ecuaciones x = y-6-1 = z+1. (a) Determina el vértice C. (b) Determina el vértice D. 49. [000] [JUN-A] Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A = (1,6) y B = (5,), y tiene su centro sobre la recta y = x. 50. [1999] [SEP-B] (1) Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C = (,) y una de cuyas rectas tangentes tiene de ecuación 4x-y-5 = 0. () Determina si el punto X = (,) es interior, es exterior o está en la circunferencia. 51. [1999] [SEP-A] Prueba que todos los planos de la familia (+ )x+(- )y+(5- )z = (con ) contienen una misma recta y halla unas ecuaciones paramétricas de dicha recta. 5. [1999] [JUN-B] (1) Calcula un punto R de la recta s dada por s Q = (,1,1). () Calcula el área del triángulo determinado por los puntos P, Q y R. x-y-5 = 0, x-y-z -7 = 0; que equidiste de los puntos P = (1,0,-1) y 5. [1999] [JUN-A] Halla el punto del plano de ecuación x-z = que está más cerca del punto P = (,1,4) así como la distancia entre el punto P y el plano dado. Soluciones 1. (-6,-1,1). a) x+y+z-1 = 0 c) x = 1+ 14. a) (-1,11,4) b) x-y+4z- = 0 4. a) y = z = 1- b) 4 6 c) (4,-1,) 5. a) (,1,4) b) (,,1) 6. a) no b) -1 5 7. a) y-z-1 = 0 b) no 8. (9,1,0) 9. a) 1 b) se cortan en una recta 10. 8x+6y+11z-18 = 0 11. a) (6,0,) b) si (en P) 1. a) (,,-1) b) 19º8'16'' c) y+z-1 = 0 1. a) x+y-z-5 = 0 x = 1+ b) no 14. a) se cruzan b) x+y+z- = 0 15. a) se cortan b) (,0,0), (1,1,-1) 16. y = 1-17. a) b) y+z- = 0 18. a) x-z+ = 0 b) se cortan en (4,-1,5) 19. 11,0,0, - 11,0,0 0. (a) 7x-y-5z = 0 ; (b) x+y+z = 0 1. a) 1,4,5, -1 x = 1,,7 b) x+y-z+1 = 0. a) 5 b) 1x-7y+9z-8 = 0. a) y = + z = + b) 1, 17 8,9 8 4. a) 0,1,-1, -1,,0 b) ; no 5. 0,4,9, 0,-4,-5 c) x+y-z-4 = 0 8. a) -7,-0,-19 b) 1,0, 1 6. a) x+y-4z-7 = 0 b) -1,0,- 7. a) m -, se corta; m = -, paralelos b) x-4y-z+7 = 0 9. a) -1 b) c) no 0. a) x+y-4z+ = 0 b) 18 5,16, 1. 5 x = 1+ y = 1-. 0,0,1 ; 10. (a) x - y + z - 1 = 0 (c) 6 4. C 5, 5, 5 y D,, x = -1 + 5. (a) D(-9,-1,) (b) 108 6. P(-1,-,-) 7. A(1,1,1), B(0,,1) 8. (a) y = -4 - ; (b) - 7, - 8, - 9. z = + (a) 10 ; (b) x+z = 0 40. 15 41. x- 4 = y- - = z -5 4. (4,0,4) 4. si ; no 44. - 45. -x+4y+z+5 = 0 46. 5 7, -18 7, -1 47. (a) (x-1) + y = 5 ; (b) 1 48. 7 Página 5 de 6
(a), 9, ; (b), 9, 5 49. (x-1) + (y-) = 16 50. (x-) + (y-) = 1 5 ; exterior 51. r x = y = 5-11 z = - + 6 5. 9, -1, -1 ; 66 5. (5,1,), Página 6 de 6