Deparameno de ngeniería Elécrica Univeridad Nacional de Mar del Plaa rea Elecroecnia El méodo operacional de Laplace uor: ngeniero Guavo Lui Ferro Prof. duno Elecroecnia EDCÓN 6
. nroducción al méodo operacional El méodo operacional de análii raniorio eá baado en el concepo de ranformar una función del iempo, f, en una función complea F. En el méodo operacional, para cada función del iempo hay una función de, e inveramene, para cada función de exie preciamene una función del iempo. La converión de una f en u repeciva F, e realiza por medio de la Tranformación de Laplace. Ee méodo reduce: diferenciación a muliplicación e inegración a diviión, implificando aí la reolución de ecuacione diferenciale.. La ranformación de Laplace La ranformación de Laplace Tranformada L e una herramiena maemáica que facilia coniderablemene la reolución de ecuacione diferenciale con coeficiene conane. Fundamenalmene, conie en que permie ranformar una ecuación diferencial en ora algebraica de relaiva encillez, la cual puede er expreada en la forma deeada. parir de ea úlima y mediane ora ranformación invera e obiene la olución complea de la ecuación diferencial de parida, iendo ora de u venaa la poibilidad de permiir la incluión de condicione iniciale o límie. Por ora pare, y debido a que la mayoría de lo problema pueden claificare en caegoría emeane, u olucione pueden er abulada para u empleo poerior. Eencialmene, la ranformación de Laplace, elimina la variable independiene en la ecuacione diferenciale que e generalmene el iempo uiuyendo en u lugar el operador, que e una canidad complea e decir coniene érmino real e imaginario. La mayor diferencia enre el Méodo Cláico y el de la Tranformación de Laplace, e que ée úlimo eablece regla definida, la cuale permien incluir en la ecuacione lo valore exaco de la condicione iniciale, obeniéndoe la olución complea al efecuar la ranformación invera y paar nuevamene al dominio del iempo variable independiene. El pao del dominio de la variable independiene a la forma de operador, e lleva a cabo inegrando la ecuación diferencial enre lo límie de dicha variable, eo e, enre y. La condicione iniciale e preenan para = +, iendo indeerminado el valor de la variable en inane aneriore, ya que la ranformación de Laplace no eá definida para. La inegral paricular uilizada e relaivamene encilla, por ora pare, ya que lo problema pueden er claificado en diina caegoría, la olución puede obenere a parir de una abla, no iendo neceario aplicar la ranformación inegral. ngeniero Guavo Lui Ferro Prof. duno Elecroecnia página
. Siema lineale y ecuacione diferenciale La leye fíica exprean relacione enre ciera canidade que generalmene e repreenan por medio de ecuacione. Por eemplo, la conocida Ley de Ohm, que eablece que i e aplica una enión de magniud v a una reiencia R, enonce circulará una corriene i por la reiencia al que: v = i. R [] Por ora pare, la ecuacione diferenciale e aplican ampliamene en la decripción de la leye fíica: Una ecuación diferencial e cualquier igualdad algebraica que incluya ya ea diferenciale o derivada. La ecuacione diferenciale reulan de gran uilidad pue permien relacionar la variacione o cambio de la variable y oro parámero involucrado. Reomando nuero eemplo de la Ley de Ohm, i reemplazamo la corriene i por u equivalene, e decir, por la relación de cambio de la carga q a ravé de la reiencia con relación al iempo, obendremo: v = R. dq/d [] Una ecuación diferencial ordinaria e aquella que involucra una o má variable dependiene, una variable independiene y una o má derivada de la variable dependiene con repeco a la variable independiene. La Ley de Ohm ecria como la expreión [], e una ecuación diferencial ordinaria donde la carga q = q y la enión v = v on variable dependiene y el iempo e la variable independiene. Un érmino lineal e aquel en donde la variable dependiene y u derivada on de primer grado. Una ecuación diferencial lineal e aquella formada por la uma de érmino lineale obviamene oda la demá on ecuacione diferenciale no lineale Un iema lineal por eemplo, un deerminado circuio elécrico, e aquel que poee la propiedad de que, i: a Una enrada x produce una alida y ; b Una enrada x produce una alida y ; c Una enrada c x + c x produce una alida c y + c y, para odo lo pare de enrada x y x y odo lo pare de conane c y c. El Principio de Superpoición eablece que la repuea y de un iema lineal, debida a varia enrada x ; x ;... ; x n, que acúan imuláneamene, e igual a la uma de la repuea de cada enrada acuando ola. E decir, i y i e la repuea debida a la enrada x i, enonce: n y y i i [] ngeniero Guavo Lui Ferro Prof. duno Elecroecnia página
4. negral de la Tranformación de Laplace Por definición, la inegral de la ranformación de Laplace e: que e imboliza aí: en lo anerior: F L f e el operador de Laplace f e una función conocida del iempo para > F e una función del operador [7] F e f d [6] El límie uperior de la inegral [6] e infinio. La inegrale con infinio como límie uperior on la llamada inegrale impropia. Si la inegración y la uiución de lo límie da por reulado un número finio, e dice que la inegral converge. Prácicamene oda la f de ineré en ngeniería Elécrica aifacen ea condición, por lo que no no deendremo a profundizar obre ee paricular. 5. plicación del méodo operacional de Laplace 5.. Tranformada de una conane Sea f = F = L = / [8] 5.. Tranformada de una función exponencial Sea f = e g F = L e g = / g [9] 5.. Tranformada de derivada primera Teniendo preene que: F = L f y que para = f = f, enonce: L d f /d =. F f [] 5... Tranformada de una enión a ravé de una inducancia Si a ravé de una inducancia L circula una corriene variable en el iempo i, podemo ecribir u ranformada como: L [ i ] =, iendo la caída de enión a ravé de la inducancia: v L = L di/d, y la ranformada de la derivada: L [di /d] =. i - Donde i - e el valor de i para = - ; i - puede er poiiva o negaiva. E poiiva cuando la dirección de i coincide con la dirección poiiva upuea de la corriene a ravé de la inducancia depué de la conmuación. Por lo ano: L [ L di /d] = L L i - [] 5.4. Tranformada de derivada egunda La ecuación correpondiene e: L [ d f /d ] = F f - [df/d] = [] Por lo ano, la ranformada de Laplace de la derivada egunda de la corriene e: L [ d i /d ] =.. i - [ di / d] = [] ngeniero Guavo Lui Ferro Prof. duno Elecroecnia página 4
5.5. Tranformada de una inegral F L[ f d ] [4] 5.5.. Tranformada de la enión a ravé de un capacior La expreión inanánea para la enión en borne de un capacior a ravé del que circula una corriene variable en el iempo i, e: v C v C i d En la expreión anerior e ha enido en cuena que, para el iempo, la enión a ravé del capacior depende no olamene de la corriene a ravé del mimo durane el inervalo de iempo dede a, ino ambién de la enión v C - que exiía para = -. De acuerdo con la expreión [4]: L [/ C y iendo v C - una conane: L [ vc - ] = vc - / i d ] / C L [ v C ] / C v C / C [5] 5.6.Tranformada de una Tranformación Lineal La ranformada de Laplace e una ranformación lineal enre funcione definida en el dominio del iempo y funcione en el dominio de la frecuencia complea. E decir, i F y F on la ranformada de Laplace de f y de f, repecivamene, enonce: L { a f + a f } = a F + a F [6] donde a y a on conane arbiraria. 5.7. La aniranformada de una Tranformación Lineal La aniranformada de Laplace e una función lineal enre funcione definida en el dominio de y funcione en el dominio de. E decir: L { b F } = b f y L { b F } = b f Enonce: L { b F + b F } = b f + b f [7] Donde b y b on conane arbiraria. 6. La Ley de Ohm en forma operacional Conociendo la meodología para enconrar la ranformada de Laplace de diina funcione, en ee arículo veremo la aplicación de la mima para la reolución de circuio elécrico. Pao en la aplicación de la ranformada de Laplace:. Tranformar el circuio del dominio emporal al dominio de. ngeniero Guavo Lui Ferro Prof. duno Elecroecnia página 5
. Reolver el circuio uando el análii nodal, el análii de malla, la ranformación de fuene, la uperpoición o cualquier ora écnica del análii de circuio con la que e eé familiarizado.. Calcular la ranformada invera de la olución y, obener aí la olución en el dominio emporal. Solo el primer pao e nuevo y lo analizaremo aquí. Como e hizo en el análii faorial, e ranforma un circuio en el dominio emporal al dominio de frecuencia o dominio mediane la ranformada de Laplace de cada érmino en el circuio. Para una reiencia R la relación enión corriene en el dominio emporal e: v R. i Calculando la ranformada de Laplace, e obiene: V R. Para un inducor L: di v L d Calculando la ranformada de Laplace en ambo lado reula: V L [ i ] L L i i O ea la corriene valdrá: V L Lo equema circuiale pueden vere en la figura. Para un capacior reula: d v i C d Calculando la ranformada de Laplace en ambo lado reula: C [ V v ] C V C v V C v Si e uponen condicione iniciale nula lo circuio equivalene reulan: Reior: V = R nducor: V = L Capacior: V = /C ngeniero Guavo Lui Ferro Prof. duno Elecroecnia página 6
Su repreenación circuial reula: La impedancia en el dominio de e define como el cociene de la ranformada de la enión a la ranformada de la corriene, en la condicione iniciale nula, e decir: V Z Por lo ano, la impedancia de lo re elemeno del circuio on: Reior: Z =R nducor: Z = L Capacior: Z = /C La admiancia en el dominio de e el recíproco de la impedancia, o ea: Y V El uo de la ranformada de Laplace en el análii de circuio lineale facilia el uo de varia fuene de eñale, como el impulo, el ecalón, la rampa, exponencial y enoidal. 7.. Eemplo de aplicación Encuenre v en el circuio de la figura, uponiendo la condicione iniciale nula. Solución: Como primer pao e ranforma el circuio del dominio emporal al dominio de, para lo cual: u / H L = / F /C = / En el circuio ranformado aplicamo el méodo de la corriene de malla reulando: Para la malla Para la malla Reolviendo el iema reula que la corriene vale: Luego V valdrá: ngeniero Guavo Lui Ferro Prof. duno Elecroecnia página 7
niranformando reula: 8. La Leye de Kirchhoff en forma operacional 8.. La Ley de la Corriene de Kirchhoff en forma operacional plicando la ley de la corriene de Kirchhoff para el nodo a de la red de la figura : i + i + i = [] plicando la Tranformada de Laplace a la expreión [] y eniendo en cuena que la ranformada de la uma e igual a la uma de la ranformada, endremo: En el cao general: + + = [] = [4] La expreión [4] e la ley de la corriene de Kirchhoff en forma operacional. 8.. La Ley de la Tenione de Kirchhoff en forma operacional Conideremo la malla repreenada en la figura : L y L on inducancia acoplada. Con la convención adopada para la direccione de i e i, como e muera en la figura, L y L eán conecada adiivamene. La caída de enión a ravé de L e la uma de do érmino, L d i /d y M d i /d. La caída de enión a ravé de L e la uma de L d i /d y M d i /d. La enión inicial a ravé del capacior e v C - y eá en la mima dirección que i. El valor inicial de i e i - y de i -. plicando la ley de Kirchhoff de la enione y eniendo en cuena la convencione adopada, podemo ecribir para un enido horario de circulación en la malla: di di di di L M v i d i R L M e e [5] d d C C d d Suiuyendo cada érmino en la expreión [5] por u correpondiene ranformada, endremo: Z + Z + Z = E E + E i [6] Donde: Z = L M Z = M L R ngeniero Guavo Lui Ferro Prof. duno Elecroecnia página 8
Z = / C E i = L M i - + M L i - v C - / En forma general, la ecuación [6] puede er ecria aí: La [7] e una expreión maemáica para la ley de la enione de Kirchhoff en forma operacional. En el cao general, E k ambién incluye oda la fem inerna. 9. lguno eorema úile relacionado con la Tranformada de Laplace Exien cuaro eorema que combinado con lo reulado obenido direcamene a parir de la inegral de Laplace, on capace de proveer un número uficiene de pare de ranformada como para cubrir la gran mayoría de lo cao que e pueden preenar en el eudio de la ngeniería Elécrica. 9.. Teorema del Reardo o de la Tranlación Real Eablece que i una función f e ranformada por Laplace, al que: L [f] = F, enonce: L f [ T ] = e T F [8] La función f T e la mima función f pero deplazada en el iempo en una canidad T, como e muera en la figura 4. La función repreenada en la figura anerior queda definida por: f = para T f = para T ; por lo ano: Si L f T = e T F ; enonce como F = /, erá: L f T = e T / [9] 9.. Teorema de la Tranlación Complea Supongamo que en cualquiera de la ranformada de Laplace hallada la variable e reemplaza por + : Cómo influye eo en la correpondiene f? La repuea la brinda, preciamene, ee Teorema que eablece que i L f = F, enonce la muliplicación de f por la función exponencial e - origina una ralación en el dominio y vicevera: L e f = F + [] Por aplicación de ee eorema a pare de ranformada adicionale, como, por eemplo. Si abemo que: f = co w L co w = / + w, aplicando el eorema reulará: L e - co w = + / [ + + w ] [] 9.. Teorema del valor final k Z k E k [7] Eablece que i f y u derivada primera f on ranformable por Laplace y i L [f ] = F y lo polo de F e encuenran en el emiplano izquierdo del plano, enonce: lím. F = lím f [] ngeniero Guavo Lui Ferro Prof. duno Elecroecnia página 9
La ecuación [] e úil cuando e conoce la función ranformada de un problema y odo lo que e neceia e información obre la olución final o de régimen permanene. Realizando la operación indicada en el primer miembro de la ecuación [], obendremo información obre el valor final in neceidad de evaluar la olución complea en el dominio del iempo. 9.4. Teorema del valor inicial Eablece que i f y f on ranformable por Laplace y el límie para F, cuando iende a infinio, exie, enonce: lím. F = lím f [] La ecuación [] permie evaluar el valor inicial en el dominio del iempo de la olución f in neceidad de obener la mima, formalmene. Podemo rabaar direcamene con la ranformada de la olución emporal para obener valore iniciale, llevando a cabo la operación indicada en el primer miembro de la []. No iempre reula encilla la evaluación de lo valore final y/o inicial, obreodo cuano má complicada e la expreión en el dominio. El proceo de hallar la olución en el iempo pariendo dede el dominio a ravé del uo de abla apropiada e conocido como la ranformada invera o aniranformada de Laplace. En la iguiene ección vamo a coniderar la manera de raar expreione complicada de olucione ranformada, de modo de llevarla a forma que e encuenren en nuera Tabla de Pare de Tranformada.. Méodo de dearrollo En el análii de circuio e neceario, exprear un cociene como uma de fraccione imple con obeo de hallar la ranformada de Laplace, ya que en el dominio de la variable la corriene uele venir definida como cociene de do polinomio en ; como: = P / Q, en donde Q e de mayor grado que P Vamo ahora a examinar la aplicación del méodo de dearrollo en fraccione imple a lo diferene cao que e pueden preenar con lo cociene de polinomio. Luego veremo oro imporane méodo baado en la fórmula del dearrollo de Heaviide.. Dearrollo en Fraccione Parciale La ecuación = P / Q e puede ecribir como una uma de fraccione cada una de la cuale enga por denominador uno de lo diviore de Q y por numerador una conane. En el dearrollo del cociene P/Q e deben coniderar la raíce de Q. Ea pueden er reale o complea, lo cual da lugar a lo iguiene cao: ngeniero Guavo Lui Ferro Prof. duno Elecroecnia página
ngeniero Guavo Lui Ferro Prof. duno Elecroecnia página CSO : RCES RELES SMPLES DE Q Conideremo la iguiene expreión de la inenidad de corriene en el dominio d ela variable : Decomponiendo en facore Q, la ecuación adquiere la forma: Para = - y = - la expreión anerior iende a infinio, eo valore de e llaman polo imple de la función. El coeficiene de un polo = viene dado por: Por lo ano, para hallar el coeficiene, muliplicamo ambo miembro de la ecuación por + : Suiuyendo = - reula que vale: nálogamene: Suiuyendo eo valore en la expreión de la corriene en el dominio reula: La ranformada invera de Laplace de reula: Oro méodo de reolución: Muliplicando lo do miembro de la expreión: por + + reula: gualando lo coeficiene de lo érmino de igual grado en, reulan: + B = y + B = -, por lo que reula = y B= - CSO : RCES RELES MULTPLES DE Q Conideremo la iguiene expreión de la inenidad de corriene en el dominio d ela variable ; Enonce: Q P B B B e e i B B B B 9 6 Q P C B
ngeniero Guavo Lui Ferro Prof. duno Elecroecnia página Muliplicando lo do miembro de la expreión anerior por y haciendo = reula que: En el cao de raíce múliple, el coeficiene del érmino de egundo grado viene dado por: Por coniguiene: El coeficiene del érmino lineal viene dado por la expreión E decir : Suiuyendo eo valore en la ecuación de la corriene erá: Con lo que la ranformada invera de Laplace e: CSO : RCES COMPLEJS DE Q Conideremo la iguiene expreión de la inenidad de corriene en el dominio de la variable : Como la raíce de Q on complea conugada, lo numeradore de la fraccione ambién deben er conugado: Muliplicando lo do miembro por + + y haciendo = - reula: Suiuyendo eo valore en la ecuación de la corriene reula: La ranformada invera erá:.. Fórmula del Dearrollo de Heaviide La formula de Heaviide eablece que la ranformada invera de Laplace del cociene = P/ Q e: 9 C [ d d 9 d d B / 9 / 9 / e e i 9 9 5 4 Q P * * y / / en e i
En donde lo coeficiene a k on la raíce diina de Q. plicando ee dearrollo de Heaviide a la expreión de la inenidad de corriene en el dominio de la variable del cao hora bien, P =, Q = + + y Q = +. La raíce on a = - y a = -. Luego la corriene valdrá:. Codificación de lo pare de ranformada P Q lo fine de uilizar la abla de pare de ranformada que forman pare como anexo del preene rabao, e uiliza un flexible iema de numeración a fin de que cualquier función racional en pueda idenificare rápidamene con u ranformada invera. cada fracción polinómica e le aigna una cifra de cinco dígio, denoando lo do primero la caraceríica del numerador y la re úlima la del denominador, eando ambo grupo eparado por un puno. El ignificado de cada digio e el iguiene: L i El primero de ello indica la poencia de que puede facorizare en el numerador, e decir la poencia de que puede exraere facor común en el numerador. El egundo digio exprea el orden de en el numerador. El ercero repreena la poencia de que puede exraere facor común en el denominador. El cuaro digio indica el número de raíce reale diina de cero que aparecen en el denominador. El quino digio correponde al número de pare de raíce complea del denominador. Como eemplo conideremo la iguiene ecuación: El código que correponde a dicha función erá:. dado que: k n k P Q P Q P ak Q ak F a No puede exraere ningún facor común en el numerador; b El orden de en el numerador e c Se puede facorizar una en el denominador; d Exien do raíce reale diina en el denominador = - y = -,5 e Hay un par de raíce complea conugada en el denominador aociada al facor + + e a k P Q P Q L e e e e ngeniero Guavo Lui Ferro Prof. duno Elecroecnia página
Se oberva en la abla de ranformada que hay vario cao en que do o má ecuacione ienen el mimo número código, no coniuyendo ninguna dificulad para el lecor el idenificar la adecuada a un problema paricular. pear de la diveridad de pare de ranformada puede no enconrare el que e neceia, en ale cao e puede deducir la olución decomponiendo la función en fraccione imple y aplicando la écnica dearrollada en el puno del preene rabao.. Función de Tranferencia La función de ranferencia e un concepo imporane en el proceamieno de eñale porque indica cómo e procea una eñal conforme paa a ravé de la red. Para la rede elécrica, la función de ranferencia ambién e conoce como función de red La función de ranferencia de una red decribe cómo e compora la alida repeco a la enrada. La función de ranferencia H e el cociene de la repuea Y a la alida y la exciación X a la enrada, uponiendo que oda la condicione iniciale on nula. Por lo ano: Y H X La función de ranferencia depende de lo que e define como enrada y alida. Pueo que la enrada y la alida pueden er la corriene o la enión en cualquier lugar del circuio, hay cuaro poible funcione de ranferencia: Por lo ano, un circuio puede ener mucha funcione de ranferencia. Cada una de la funcione de ranferencia puede enconrare de do forma: a Una e uponer cualquier enrada conveniene X, uilizar cualquier écnica de análii de circuio como el divior de corriene o de enión, el análii nodal o de malla para enconrar la alida Y, y luego obener el cociene de ambo. b Ora manera e aplicar el méodo ecalera, el cual involucra el análii del circuio. Mediane ee méodo e upone que la alida e V o, conforme ea má apropiado, y e aplican la Ley de Ohm y de Kirchhoff La función de ranferencia e conviere en el recíproco de la enrada. E conveniene ee enfoque cuando el circuio iene mucha malla o nodo. En el primer méodo e upone una enrada y e deermina la alida; en el egundo, e upone una alida y e encuenra la enrada. Lo do méodo e baan en la propiedad de la linealidad de lo circuio coniderado. ngeniero Guavo Lui Ferro Prof. duno Elecroecnia página 4
La ecuación upone que e conocen X y Y. vece e conoce la enrada X y la función de ranferencia H. Se deermina la alida Y como: Y H. X y e oma la ranformada invera para obener y. Un cao epecial e cuando la enrada e la función impulo uniario, x = de forma que X =. Para ee cao: Y H o y h donde h L [ H ] El érmino h repreena la repuea a un impulo uniario; e la repuea de la red en el iempo ane un impulo uniario. H e la ranformada de Laplace de la repuea de la red a un impulo uniario, una vez que e conoce h e puede obener la repuea de la red a cualquier ora eñal de enrada i e uiliza la ecuación en dominio de o i e ua la inegral de convolución en el dominio emporal, ema que veremo en el arículo iguiene.. Eemplo de aplicación Eemplo.- La alida de un iema lineal e y = e - co 4 u, cuando la enrada e x = e u. Deermine la función de ranferencia del iema. Eemplo.- Deermine la función de ranferencia H = V / para el circuio de la figura. ngeniero Guavo Lui Ferro Prof. duno Elecroecnia página 5
Eemplo En el circuio del dominio de la figura, encuenre: ala función de ranferencia H = V /V i, cla repuea cuando v i = u V, dla repuea cuando v i = 8 co 8 V. ngeniero Guavo Lui Ferro Prof. duno Elecroecnia página 6
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. La negral de convolución El ermino convolución ignifica volear. La convolución e una herramiena imporane para el ingeniero, porque proporciona un medio para ver y caracerizar iema fíico. Por eemplo, e ua para enconrar la repuea y de un iema a una exciación x, conociendo la repuea del impulo del iema h. Eo e logra a ravé de la inegral de convolución, definida como: Donde e una variable muda y el aerico denoa la convolución. La ecuación anerior eablece que la alida e igual a la enrada convolucionada con la repuea ane un impulo uniario. El proceo de convolución e conmuaivo. La inegral de convolución e puede implificar i e upone que un iema iene do propiedade. Primero i x = para, enonce: Segundo, i la repuea al impulo del iema e caual e decir, h = para, enonce h - = para - o, de manera que la ecuación e conviere en: Veamo el vínculo enre la ranformada de Laplace y la inegral de convolución. Dada la funcione f y f con ranformada de Laplace F y F, repecivamene, u convolución e: Calculando la ranformada de Laplace e obiene: Glf/6 y x h d o y x * h y x h d y h * x x h d f f * f f f d F L[ f * f ] F F ngeniero Guavo Lui Ferro Prof. duno Elecroecnia página 8
NEXO glf/6 ngeniero Guavo Lui Ferro Prof. duno Elecroecnia página 9