Probabilidad y Estadística

Probabilidad, un concepto básico el cual puede considerarse como indefinido, expresando de algún modo un grado de creencia, o la frecuencia límite de una serie aleatoria. Ambos enfoques tienen sus dificultades/deficiencias y la más conveniente axiomización de la teoría de probabilidad es cuestión de gustos. Afortudamente, ambos enfoques llevan al mismo cálculo de probabilidades. [Diccionario de términos estadísticos (Kendall and Buckland)]

Diferentes interpretaciones de la probabilidad... Interpretación clásica de probabilidad: Esta interpretación está basada en la idea de eventos igualmente posibles (probables). Ejemplo. Si existen n posibles resultados, todos ellos con la misma posibilidad de que ocurran, entonces la probabilidad de cada evento es 1/n Pero, el concepto de igualmente probable está basado en el concepto de probabilidad que queremos definir! Qué hacemos cuando los eventos no son igualmente probables?

Diferentes interpretaciones de la probabilidad... Probabilidad como frecuencia de sucesos: Aquí la probabilidad se obtiene a través de la frecuencia relativa, si el proceso se repitiera muchas veces bajo condiciones similares. Pero, cuánto es mucho? Qué significa condiciones similares?

Diferentes interpretaciones de la probabilidad... Interpretación subjetiva de la probabilidad: Esta es la probabilidad que una persona asigna a los posibles eventos de una situación. El juicio para la asignación de probabilidades está basada en creencias o información del individuo. Obviamente, aquí la probabilidad cambia de persona a persona.

Teoría de Probabilidades Aquí veremos una teoría de probabilidades sin considerar las controversias respecto a la interpretación de lo que es una probabilidad. Por supuesto, la teoría que veremos es formalmente correcta y podrá utilizarse para la asignación de valores de probabilidad en problemas reales. En resumen: La teoría de probabilidades nos dará una forma de cuantificar que tan verosímil/probable es que ocurra un evento en un experimento

Conceptos preliminares Un experimento es cualquier proceso, real o hipotético, cuyo posible resultado puede identificarse de antemano. Un evento es un conjunto bien definido de los posibles resultados de un experimento.

Conceptos preliminares Espacio muestral: es la colección de todos los posibles resultados de un experimento. Usualmente, denotaremos por S al espacio muestral. Un posible resultado x de S se dice que es un miembro del espacio muestral y se denota como

Conceptos preliminares Cuando se realiza un experimento y se dice que un evento ha ocurrido, significa que el resultado del experimento satisface las condiciones que especifican a ese evento. Cada evento puede considerarse como un subconjunto del espacio muestral

Conceptos preliminares Ejemplo: Experimento: lanzamiento de un dado de seis caras Espacio muestral S : Sea A el evento de obtener un número par:

Conceptos preliminares Sea B el evento de obtener un número mayor o igual que 2 Vemos que los elementos de conjunto A también están en B

Teoría de conjuntos Se dice que un evento A está contenido en otro evento B, si cada resultado que pertece al subconjunto que define a A también pertenece al subconjunto que define a B : o bien

Teoría de conjuntos Si dos eventos A y B son tales que y Entonces A y B tienen los mismos elementos, es decir,

Teoría de conjuntos (Transitividad) Si A, B y C son tres eventos tales que y se sigue entonces que:

Teoría de conjuntos Conjunto vacío: Algunos eventos son imposibles de obtener. Por ejemplo, obtener un número negativo al lanzar un dado. Es decir, el evento está definido por un subconjunto de S sin resultados. A este subconjunto de S se le llama conjunto vacío y se denota por: Para un evento arbitrario A es lógicamente correcto decir que cada elemento del pertenece a A:

Teoría de conjuntos Conjuntos finitos e infinitos El número de elementos de un conjunto puede ser finito o infinitos Un conjunto infinito puede ser a su vez contable o incontable Un conjunto es contable si hay una correspondencia uno a uno de sus elementos con los números naturales {1,2,3,...}. Un conjunto es incontable si no es finito ni contable

Diagramas de Venn Una representación gráfica de los resultados de un experimento son los diagramas de Venn

Diagramas de Venn Regiones: i) Resultados que pertenecen al evento A, pero no al evento B ii) Resultados que pertenecen al evento B, pero no al evento A iii) Resultados que pertenecen a ambos eventos A yb iv) Resultados que no pertenecen ni a A ni a B

Teoría de conjuntos Algunas operaciones elementales entre conjuntos: Si A y B son dos eventos cualesquiera, la intersección de A y B esta definida por los resultados que pertenecen a ambos conjuntos, A y B. La unión de dos eventos A y B está definida por el conjunto de resultados que pertenecen a A, o a B, o a ambos A y B. Complemento: el conjunto de resultados que no pertenecen a A se le llama complemento de A.

Para un evento A:

Teoría de conjuntos Algunas relaciones entre las operaciones de unión e intersección: Conmutatividad Asociatividad Distributividad Idempotencia

Ejercicio: Una vez vistas las relaciones de conmutatividad, distributividad e idempotencia, muestre que para dos conjuntos A y B se satisface que:

Ahora consideremos la unión: Similarmente se podría demostrar la segunda igualdad del ejercicio

Teoría de conjuntos Leyes de Morgan:

Teoría de Probabilidades Queremos asignar un valor/número Pr(A) a cada evento de A en un espacio muestral S. Pr(A) indicará la probabilidad de que ese evento ocurra.

Teoría de probabilidades Axioma 1. Para cada A en un espacio muestral S, Axioma 2. Para un espacio espacio muestral S Axioma 3. Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes Para una serie infinita de eventos disjuntos asumimos que

Teoría de Probabilidades Definición matemática de probabilidad: Una probabilidad en un espacio muestral S es una especificación de números Pr(A) que satisfacen los axiomas 1, 2 y 3

Teoría de Probabilidades Algunos teoremas: 1) 2) Para cada serie finita de eventos disjuntos 3) Para cada evento A

Teoría de probabilidades 4) Si entonces 5) Para cada evento A 6) Para dos eventos A y B

Teoría de probabilidades Ejemplo: Un paciente visita al médico por un dolor de garganta. Después de examinar al paciente, el médico piensa que el paciente sufre, o una infección bacteriana o una de tipo viral. El doctor decide que hay una probabilidad de 0.7 que el paciente tenga una infección bacteriana y una probabilidad de 0.4 que la persona tenga una infección viral. Cuál es la probabilidad de que el paciente tenga ambos tipos de infección?

Teoría de probabilidades (espacio muestral simple) Muchos experimentos muestran cierta regularidad, i.e., la frecuencia relativa de un evento es aproximadametente la misma en una serie de intentos A un espacio muestral con posibles resultados se le llama simple, si la probablidad asignada a cada posible resultado es 1/n Si un evento A en ese espacio contiene m resultados, entonces

Teoría de probabilidades (espacio muestral simple) Similarmente, sea el número de resultados de un evento A y el número total de resultados del espacio muestral. Entonces Ahora, si A y B son dos eventos en S:

Teoría de probabilidades Ejercicio: Calcule la probabilidad de obtener un as o una pica de un paquete de cartas

Teoría de probabilidades Ejercicio: supongamos que lanzamos 3 monedas simultáneamente. Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras? Número posible de eventos (C:cara, R:cruz): 1-CCC 2-RCC 3-CRC 4-CCR 5-CRR 6-RCR 7-RRC 8-RRR

Teoría de probabilidades Ejercicio: Calcule la probabilidad de obtener de un paquete de cartas: un as o una pica o un número par {2, 4, 6, 8, 10} Solución: Sea A el evento de obtener un as Sea B el evento de obtener una pica Sea C el evento de obtener un número par Se nos pide entonces calcular

Teoría de probabilidades Para 3 eventos la probabilidad de la unión está dada por:

Métodos de conteo Como hemos visto, para espacios muestrales simples es importante saber contar el número de resultados posibles de un evento y el número de resultados posibles del espacio muestral, pues de ahí podemos calcular la probabilidad de un evento. - Multiplicación - Permutación - Combinación

Métodos de conteo Multiplicación Regla de multiplicación. Si en un experimento tenemos que: i) el experimento se realiza en dos partes ii) la primera parte tiene m posibles resultados: y, no importando cuales sean estos resultados, la segunda parte del experimento tiene n resultados: Cada resultado del espacio muestral está dado por la pareja y S está dado por:

Métodos de conteo De aquí que el espacio muestral tiene mxn resultados

Métodos de conteo Ejemplo: Lanzamiento de dos dados. Como cada dado tiene 6 posibles resultados, el número total de posibles resultados es 6x6=36 Por supuesto, la regla de multiplicación puede extenderse a experimentos con más de dos partes. Si un experimento tiene k partes (k>2), tal que la iésima parte del experimento tiene posibles resultados. Entonces el tamaño del espacio muestral es

Ejemplo: Lanzamiento de 6 monedas. Como cada parte del experimento tiene 2 posibilidades (cara o cruz) tenemos entonces que el número total de posibles resultados es 2x2x2x2x2x2 = 64

Métodos de conteo Permutaciones Una permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que forman un conjunto. Nos preguntamos de cuántas formas n objetos distintos pueden arreglarse/acomodarse (?)

Métodos de conteo Respuesta: Ejemplo: Cuántos arreglos pueden hacerse con las letras a, b y c? Respuesta: 3 x 2 x 1 = 3! =6 (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a)

Métodos de conteo Si ahora seleccionamos solamente k elementos (uno a la vez) de los n, entonces tenemos que:

Métodos de conteo Ejemplo: Sea Cuáles son las permutaciones de 2 elementos tomados del conjunto anterior? Respuesta:

Métodos de conteo Ejemplo: De un grupo de 25 personas, serán seleccionados un presidente y un secretario. Cuál es el número de formas posibles de escoger estas dos personas?

Conteo con reemplazamiento Consideremos ahora un experimento donde una bola, seleccionada de una caja con n bolas, se regresa a la misma caja. Si se hace un total de k selecciones de esta forma, el espacio muestral S contiene todos los vectores de la forma: donde :resultado de la i-ésima selección A este proceso se le llama muestreo con reemplazamiento. Como existen n posibles resultados para cada una de las bolas/selecciones, el número total de vectores en S es

Conteo con reemplazamiento Permutaciones con reemplazamiento. Si en el experimento anterior quisieramos saber la probabilidad del evento A en que cada una de las k bolas seleccionadas sean distintas. El número de vectores donde los k componentes son distintos está dado por Como el tamaño del espacio muestral es cada selección es igualmente probable, entonces la probabilidad del evento A es (y ),

Métodos de conteo Ejemplo: El problema del cumpleaños (versión simplificada) Un planeta gira alrededor del sol en 3 días. Cuál es la probabilidad de que Manolo y Juan cumplan años en fecha distinta (sin considerar el año) en ese planeta? Las posibilidades son: La probabilidad de cada uno de estos resultados es:

Métodos de conteo Problema del cumpleaños: Cuál es la probabilidad de que al menos dos personas de un grupo de k personas (2< k < 365) festejen su cumpleaños el mismo día. Supongamos que los nacimientos son independientes (gemelos son excluidos!). Entonces para cada una de las k personas hay 365 posibilidades. Por tanto, el espacio muestral es

Métodos de conteo La probabilidad de que todos los cumpleaños sean distintos es Así pues, la probabilidad de que al menos dos personas tengan el mismo día su cumpleaños es

Métodos de conteo Algunos valores de q: k q 5 0.027 10 0.117 15 0.253 20 0.411 25 0.507 30 0.706 40 0.891 50 0.970