Espacio de Probabilidad

Capítulo 1 Espacio de Probabilidad 1.1 Definiciones y Resultados Básicos Sea Ω un conjunto arbitrario. Definición 1.1 Una familia no vacía F de subconjuntos de Ω es llamada una σ-álgebra de subconjuntos de Ω si satisface las siguientes condiciones: 1. Si A F, entonces A c F. 2. Si A n F, para toda n 1, entonces A n F. En todo lo que sigue F denotará una σ-álgebra de subconjuntos de Ω y a los elementos de F los llamaremos eventos. Definición 1.2 Una probabilidad sobre (Ω, F) es una función P : F R que satisface las siguientes condiciones: 1. Para todo A F, 0 P [A] 1, 2. P [Ω] = 1, 1

2 CAPÍTULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD 3. Si (A n ), es una sucesión de eventos tales que A i A j = para toda i j, entonces [ ] P A n = P [A n ] Al conjunto Ω le llamaremos espacio muestral y a la terna (Ω, F, P ) espacio de probabilidad. A continuación consideraremos (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad fijo, arbitrario, todos los eventos en consideración serán elementos de la σ-álgebra F. Teorema 1.1 (Propiedades de la Probabilidad). 1. P [ ] = 0. 2. Si A 1,..., A n son eventos tales que A i A j = para toda i j, entonces [ n ] P A k = k=1 n P [A k ]. k=1 3. Si A es un evento, entonces 4. Sean A y B eventos, entonces P [A c ] = 1 P [A]. P [A] = P [A B] + P [A B c ]. 5. Si A y B son eventos tales que A B, entonces P [A] P [B]. 6. Sea A n, n I una partición finita o numerable de Ω (i.e. A i A j =, para toda i j, n I A n = Ω) tales que A n F para toda n I, entonces para todo evento A, P [A] = n I P [A A n ].

1.1. DEFINICIONES Y RESULTADOS BÁSICOS 3 7. Sean A y B eventos, entonces P [A B] = P [A] + P [B] P [A B]. 8. Más generalmente, sean A 1,..., A n eventos, entonces n P [A 1 A 2 A n ] = P [A i A j ] P [A j ] j=1 i < + P [Ai A j A k ] i<j<k + ( 1) n+1 P [A 1 A 2 A n ]. (1.1) A esta propiedad se le conoce como la Regla de la Adición-Sustracción. 9. Si A 1, A 2,..., A n son eventos, entonces j [ n ] P A k k=1 n P [A k ]. k=1 10. Si A n, n 1 es una sucesión de eventos, entonces [ ] P A n P [A n ]. Ejemplo 1.1 Sea Ω = {a 1,..., a n } un conjunto finito, F = P(Ω), la potencia de Ω, esto es, la familia de todos los subconjuntos de Ω. Supongamos que todos los elementos de Ω son igualmente probables, es decir, P [{a i }] = 1 n, i = 1,..., n Entonces para todo A P(Ω), P [A] = Card(A), n donde, Card(A) es la cardinalidad de A. A esta probabilidad se le conoce como la definición Clásica de la Probablidad.

4 CAPÍTULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD Ejemplo 1.2 Sea Ω R 2, tal que (Área de Ω) <, F una σ-álgebra de subconjuntos de Ω que contiene a todos los conjuntos a los cuales se les puede calcular el área. Para cada A F definimos la probabilidad de A como sigue: P [A] = Area de A Area de Ω. A la probabilidad así definida se le conoce como Probabilidad Geométrica. Teorema 1.2 Continuidad de la Probabilidad (i) Sea (A n ) una sucesión creciente de eventos (es decir, A n A n+1 ), entonces [ ] P A n = lim P [A n ]. n (ii) Sea (A n ) una sucesión decreciente de eventos (es decir, A n+1 A n ), entonces [ ] P A n = lim P [A n ]. n Definición 1.3 Probabilidad Condicional Sean A y B eventos tales que P [B] 0. La probabilidad condicional de A dado B denotada P [A B] está definida por: P [A B] P [A B] =. P [B] Teorema 1.3 Sea B un evento (fijo) tal que P [B] > 0. Entonces la función P [ B] : F [0, 1] es una probabilidad, por lo tanto satisface las propiedades 1-8 del Teorema 1.1 Definición 1.4 Sean A 1,..., A n eventos. Diremos que son independientes si P [A i A j ] = P [A i ]P [A j ], si i j, P [A i A j A k ] = P [A i ]P [A j ]P [A k ], si i j, j k, i k,. P [ n i=1a i ] =. n P [A i ]. i=1

1.2. EJERCICIOS 5 Teorema 1.4 Regla de la Muliplicación. Sean A 1,..., A n eventos tales que P [A 1 A n 1 ] > 0, entonces P [A 1 A n ] = P [A 1 ]P [A 2 A 1 ]P [A 3 A 1 A 2 ] P [A n A 1 A n 1 ]. Teorema 1.5 Teorema de las Probabilidades Totales. Sea A n, n I una partición finita o numerable de Ω, tal que P [A n ] > 0 para toda n I, entonces para todo evento A P [A] = n I P [A A n ]P [A n ]. (1.2) Teorema 1.6 Fórmula de Bayes. Sea A n, n I una partición finita o numerable de Ω, tal que P [A n ] > 0 para toda n I, entonces para todo evento A P [A k A] = P [A A k ]P [A k ] n I P [A A, para toda k I. (1.3) n]p [A n ] 1.2 Ejercicios Ejercicio 1.1 Consideremos el experimento de lanzar dos monedas y un dado honestos. 1. Describir el espacio muestral Ω. 2. Expresar los eventos: A = { salen dos águilas y un número par } B = { sale un dos } C = { sale exactamente un sol y un número primo} 3. Expresar los siguientes eventos: A y B ocurren, sólo B ocurre, B o C ocurren. 4. Calcular P [A], P [B], P [C], P [A B], P [B C]. Ejercicio 1.2 Se lanzan cuatro dados honestos. 1. Describir el espacio muestral Ω.

6 CAPÍTULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD 2. Expresar los siguientes eventos A = { el mismo número sale en los cuatro dados }, B = { los números que aparecen en los dados son distintos}. 3. Calcular P [A] y P [B]. Ejercicio 1.3 Consideremos el lanzamiento de un dado no honesto, tal que los números pares tienen la misma probabilidad de salir, los números impares tienen la misma probabilidad de salir y cada número par tiene el doble de probabilidad de ocurrir que cada número impar. Calcular la probabilidad de los siguientes eventos: 1. A = { sale par}. 2. B = { sale un número primo }. 3. C = { sale un número impar }. 4. D = { sale un número primo impar }. Ejercicio 1.4 Supongamos: P [A] = 0.6, P [A B] = 0.1, P [A C] = 0.1, P [A B C] = 0.05. 1. Calcular la probabilidad del evento E 2 = A (B C). 2. Si P [B] = 0.4 calcular la probabilidad de que ni A ni B ocurran. Ejercicio 1.5 El Problema del Cumpleaños. Consideremos una población de N personas. Calcular la probabilidad de que al menos dos tengan el mismo día de cumpleaños. El Chevallier De Méré. La Teoría de Probabilidad para algunos autores tiene su origen en el siglo XVII, más precisamente en el año 1654. Un francés aficionado a los juegos de azar llamado Antoine Gombauld Chevallier de Méré, Sieur de Baussay, pasaba su tiempo entre Poitou y la corte en Paris y entre otras cosas lo dedicaba a los juegos de azar. Los dos ejercicios a continuación fueron planteados por el Chevalier de Méré a Blaise Pascal.

1.2. EJERCICIOS 7 Ejercicio 1.6 Primer Problema de De Méré. La casa apuesta uno a uno contra un jugador en el siguiente juego de dados: Se lanza 4 veces un dado, si sale al menos un as, la casa gana en caso contrario gana el jugador. El juego es favorable a la casa?. Ejercicio 1.7 Segundo Problema de De Méré. Se lanzan dos dados 24 veces, la casa gana si sale al menos un par de ases. El juego es favorable a la casa? Ejercicio 1.8 En un partido clásico de futbol de América-Guadalajara las apuestas están de 4 contra 5 a favor del Guadalajara. Según la estimación de los apostadores, cuál es la probabilidad de que gane el Guadalajara?. Ejercicio 1.9 Sean A, B y C tres eventos que satisfacen: Calcular: P [A] = P [B] = P [C] = 1 3, P [A B] = P [B C] = P [A C] = 1 9, P [A B C] = 1 27. 1. La probabilidad de que ocurra exactamente uno de los tres eventos. 2. La probabilidad de que ocurra al menos uno de los tres eventos. Ejercicio 1.10 El Problema del Encuentro. Abelardo y Eloisa han hecho una cita para encontrarse en la Iglesia de Nuestra Señora de Paris entre las 12:00 a.m y la 1:00 p.m.. Puesto que ambos tienen otros compromisos y además no les gusta esperar han acordado que cada uno de ellos esperará sólo 20 minutos al otro, (es decir, si su compañero no llega en el transcurso de los 20 minutos se retira). Supongamos que los tiempos de llegada de cada uno de ellos son independientes y uniformes en el intervalo de una hora. Calcular la probabilidad de que se encuentren Abelardo y Eloisa. Ejercicio 1.11 Una urna contiene N bolas numeradas del 1 al N. Se extraen n bolas sin reemplazo (1 n N). Se tiene además que las bolas numeradas del 1 al m son rojas (m < N) y las bolas numeradas del m + 1 al N son blancas. Sea A k el evento la k-ésima bola extraída es roja.

8 CAPÍTULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD 1. Cuál es el conjunto Ω de resultados posibles?. Calcular la cardinalidad de Ω. 2. Calcular P [A k ]. 3. Calcular P [A k A j ]. Ejercicio 1.12 Se extraen tres cartas al azar de una baraja de 52 cartas. Calcular la probabilidad de que al menos una sea un as. Dar dos métodos para resolverlo. Ejercicio 1.13 Se divide al azar en dos partes iguales una baraja de 52 cartas. Cuál es la probabilidad de que cada una de las partes tenga el mismo número cartas de negras y rojas? Ejercicio 1.14 Se colocan N personas al azar en una cola. Cuál es la probabilidad de que el número de personas que separan a Pedro y Juan sea igual a k (1 k N 2). Ejercicio 1.15 Se colocan N personas al azar en una mesa redonda. Cuál es la probabilidad de que el número de personas que separan a Pedro y Juan sea igual a k (1 k N 2). (se cuentan las personas en el sentido en el que hay menos). Los siguientes ejercicios corresponden a problemas de colocación de bolas en celdas Ejercicio 1.16 Estadística de Boltzman. Consideremos n bolas numeradas del 1,..., n y N n celdas numeradas. Supongamos que para cada bola se elige una celda al azar para colocarla, de tal manera que en cada celda puede haber desde 0 hasta N bolas. Calcular 1. Describir Ω el conjunto de posibles resultados del experimento y calcular Card(Ω) 2. Calcular la probabilidad de que n celdas específicas contengan una partícula. 3. Calcular la probabilidad de que haya n celdas (arbitrarias) con una partícula.

1.2. EJERCICIOS 9 Ejercicio 1.17 Estadística de Bose-Einstein. Consideremos N celdas numeradas del 1 al N y n bolas (no numeradas, es decir, indistinguibles). Se elige una celda al azar y se coloca una bola en ésta. El experimento se repite hasta colocar todas las bolas en las celdas, es decir, n veces. 1. La probabilidad de que n celdas específicas contengan una partícula. 2. La probabilidad de que haya n celdas (arbitrarias) con una partíıcula. Ejercicio 1.18 1. Un cartero reparte al azar n cartas en n buzones, una por buzón. Calcular la probabilidad p(n) de que al menos una carta vaya a su destinatario y calcular lim n p(n). 2. El cartero tiene p papeles publicitarios, elige uno de los buzones al azar y mete uno de los papeles. Continúa con este procedimiento p veces (tantas veces como papeles publicitarios tiene). (a) Cuál es el número de posibles reparticiones de los papeles publicitarios en los buzones? (b) Cuál es la probabilidad q k (n, p) de que un buzón contenga k papeles publicitarios? Ejercicio 1.19 Paradoja y Continuidad de la Probabilidad Al faltar un minuto para las 12:00 se introducen en la urna las bolas del 1 al 10. y sacamos la bola con el número 10. Al medio minuto para las doce metemos de la 11 a la 20 y sacamos la 20, y así sucesivamente. Cuántas bolas hay en la urna a las 12? Si en lugar de sacar la bola 10, sacamos la 1 y la 2 y la 3 la urna queda vacía. Ahora cambiemos, metemos las bolas y elegimos al azar una bola y la sacamos. Ejercicio 1.20 En una reunión, n personas lanzan cada una de ellas una moneda honesta. Si n 1 monedas caen sol y una águila, el propietario de la moneda que resultó en águila, los invita a comer. Si n 1 monedas caen águila y una sol, el propietario de la moneda que resultó sol los invita a cenar. 1. Calcular la probabilidad de que alguien los invite a comer. 2. Calcular la probabilidad de que alguien los invite a cenar.

10 CAPÍTULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD 3. Calcular la probabilidad de alguien invite a cenar o a comer. Ejercicio 1.21 Se lanzan un dado rojo y uno negro, ambos equilibrados. Calcular las probabilidades siguientes: 1. Obtener un 3 con el dado rojo sabiendo que la suma de los puntos es 6. 2. Obtener un número par con el dado rojo sabiendo que la suma de los puntos es 6. 3. Obtener un número par con el dado rojo sabiendo que la suma de los puntos es a lo más 6. 4. Obtener al menos un número par, sabiendo que la suma de los puntos es a lo más 10. Ejercicio 1.22 Supongamos que tenemos una urna I con 20 focos de los cuales 4 son defectuosos y 16 no son defectuosos y otra urna II que contiene un foco defectuoso y uno no defectuoso. Consideremos el siguiente experimento: Se lanza un dado honesto si la cara que cae es la 1 o la 2, se selecciona al azar un foco de la urna I, si no caen esas caras se elige al azar un foco de la urna II. Calcular la probabilidad de que el foco elegido sea defectuoso. Ejercicio 1.23 En un sistema de alarma, la probabilidad de que se produzca un peligro es de 0.1. Si éste se produce, la probabilidad de que la alarma funcione es de 0.95. La probabilidad de que la alarma funcione sin haber habido peligro es de 0.03. Calcular: 1. La probabilidad de que habiendo funcionado la alarma, no haya habido peligro. 2. La probabilidad de que haya peligro y la alarma no funcione. 3. La probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma, haya peligro. Ejercicio 1.24 Urna de Polyá. Consideremos una urna con 4 bolas rojas y 3 bolas negras y el siguiente experimento que consta de dos partes: 1. Se extrae una bola al azar de la urna, se mira el color y se regresa a la urna con 1000 bolas del mismo color.

1.2. EJERCICIOS 11 2. Se extrae una bola al azar de la urna. Sean R i, (N i ) la bola extraída en la i-ésima extracción es roja (negra), i = 1, 2. Calcular P [R i ], P [N i ], i = 1, 2. Ejercicio 1.25 1. De un ejemplo de un experimento y tres eventos tales que sean independientes por parejas pero no mutuamente independientes. 2. De un ejemplo de tres eventos tales que P [A B C] = P [A]P [B]P [C] y que no sean independientes. Ejercicio 1.26 Independencia condicional: Dos eventos A y B se dice que son condicionalmente independientes a un evento C si P [A B C] = P [A C]P [B C]. Un jugador juega dos veces a los volados (la probabilidad de obtener sol es igual a p, 0 < p < 1). Sean A, B, C los eventos definidos por: A = el jugador obtiene sol en el primer lanzamiento, B = el jugador obtiene sol en el segundo lanzamiento, C = el número de soles obtenidos en los dos lanzamientos es igual a 1. Demostrar que A y B son independientes pero que no condicionalmente independientes al evento C. Ejercicio 1.27 Se lanza una moneda honesta dos veces. Sea A el evento ocurre águila en el primer lanzamiento y B el evento las caras que caen son distintas. Los eventos A y B son independientes? Ejercicio 1.28 La Catafixia de Chabelo. Un programa de concursos consiste en que se tienen tres puertas cerradas una de las cuales tiene un premio muy codiciado y las otras dos contienen baratijas. El concurso consta de las siguientes etapas: 1. El concursante elige una puerta al azar, la cual no se abre. 2. Si la puerta elegida tiene el premio codiciado, el conductor del programa elige abrir al azar una de las otras dos puertas. Si la puerta no tiene el premio codiciado, el conductor abre la puerta que no contiene el premio codiciado.

12 CAPÍTULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD 3. El concursante puede cambiar (catafixiar) la elección de la puerta, entre la que eligió al principio y la que aún está cerrada. 4. El concursante se lleva de regalo lo que hay en la puerta elegida en el paso anterior. El concursante quiere tener una estrategia para jugar, es decir, si denotamos por p la probabilidad de catafixiar quiere encontrar p tal que la probabilidad de que gane el concursante sea máxima. Ejercicio 1.29 Demuestre las siguientes proposiciones en caso de ser verdaderas, si son falsas de un contraejemplo: 1. Si A B =, entonces A y B son independientes. 2. Si A y B son independientes entonces A B =. 3. Si A y B son independientes, entonces P [A B] = P [A] + P [B]. 4. Si P [A B] = P [B], entonces P [B A] = P [A] Ejercicio 1.30 Sean A, B y C eventos tales que A y B son independientes, B y C son ajenos y A y C son independientes. Si P [A B C] =.9, P [B] =.5 y P [C] =.3, calcular P [A]. Ejercicio 1.31 Supongamos que P [A B] =.4 y P [A] =.3 calcule la probabilidad de B en los siguientes casos: 1. Si A y B son independientes. 2. Si A y B son ajenos. Ejercicio 1.32 Sean A y B eventos tales que P [A] = P [B] = 1 2 y P [A B] = 2 3. 1. Los eventos A y B son ajenos? 2. Son independientes? 3. Calcular P [A c B].

1.2. EJERCICIOS 13 4. Calcular P [A c B c ]. Ejercicio 1.33 Supongamos que los eventos A, B y C son independientes con P [A] = 1, P [B] = 1 y P [A B C] = 3. Calcular P [C]. 4 2 4 Ejercicio 1.34 Si los eventos A y B son independientes, demostrar que: 1. A c y B son independientes. 2. A y B c son independientes. 3. A c y B c son independientes. Ejercicio 1.35 Demostrar que dos eventos A y B son independientes si y sólo si P [A B] = P [A B c ] De- Ejercicio 1.36 Supongamos que A y B son eventos independientes. mostrar: P [A B] = P [B] + P [A]P [B c ] = P [A] + P [A c ]P [B]. Ejercicio 1.37 Demostrar: 1. Si P [A] = 1, entonces A es independiente de cualquier otro evento B. 2. Si P [A] = 0, entonces A es independiente de cualquier otro evento B. Ejercicio 1.38 Sean A 1,..., A n eventos independientes, demuestre que A 1 es independiente de n i=2a i. Ejercicio 1.39 Sean A 1,..., A n eventos independientes tales que P [ n i=1a i ] = 1. Demuestre que al menos uno de los eventos tiene probabilidad igual a uno. Ejercicio 1.40 Un guardia de prisión intenta al azar una por una de las n llaves que tiene para abrir una celda. Calcular la probabilidad de que lo logre en el k-ésimo ensayo. Ejercicio 1.41 Una urna contiene 4 bolas numeradas del 1 al 4. Se eligen dos bolas al azar sin reemplazo. Sea A el evento la suma de los números de las bolas extraídas es 5 y B i el evento la primera bola tiene el número i, i = 1,..., 4. Calcular P [A B i ], P [B i A], i = 1,..., 4.