Álgebra
1 Sesión No. 6 Nombre: Funciones exponenciales y logarítmicas. Parte II. Objetivo: al finalizar la sesión, el estudiante diferenciará entre una progresión aritmética y una progresión geométrica, así mismo calculará el valor de un elemento que ocupe una posición dada de cualquier progresión. Contextualización Qué son las progresiones y cómo nos pueden ser útiles? Para muchas situaciones cotidianas como es el caso de las inversiones, crecimiento o decrecimiento poblacional, el llenado de una presa debido a las lluvias, etc., algunos fundamentos matemáticos son una parte muy importante, ya que los cambios suelen tener comportamientos que llevan un patrón a través del tiempo y es ahí donde las progresiones, tanto aritméticas como geométricas, son la clave para su cálculo. El conocer el comportamiento futuro de un fenómeno o situación de la vida diaria nos permitirá tomar la mejor decisión ante una gama de oportunidades. Sabes cuál es la diferencia entre una progresión aritmética y una progresión geométrica?
2 Introducción al Tema Qué son las progresiones y cuántos tipos hay? Una progresión es una sucesión de números reales ordenados, donde el valor de un término depende del anterior (excepto el primer término) y de la suma o producto de una cantidad. En las progresiones aritméticas esa cantidad se suma o resta, y en el caso de las progresiones geométricas se multiplica. Sus aplicaciones son muy útiles y variadas, por ejemplo en el área financiera donde nos permite estudiar el comportamiento del capital en operaciones principalmente bancarias o bursátiles; o en el área de la física nuclear para el estudio del comportamiento de los núcleos de un isótopo radiactivo que tienden a desintegrarse de manera progresiva.
3 Explicación 3.3 Progresiones aritméticas A qué se les llama progresiones aritméticas? Una progresión o sucesión, es un conjunto ordenado de números reales, donde cada uno es llamado término. a1, a2, a3, a4, an El término general de una sucesión es una expresión algebraica con la cual se calcula el valor de un término dependiendo del lugar que ocupa. En una progresión aritmética, a partir del segundo término, podemos conocer el valor de cualquiera de ellos sumando una cantidad fija d, llamada diferencia, al anterior. Ejemplo: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34,... Donde d = 4, ya que es la diferencia entre un término y el anterior. Para calcular el valor de algún término en particular aplicamos la fórmula: Si queremos calcular el valor del 5 y 27 términos de la progresión anterior: A5 = 6 + (5 1) 4 = 22 A27 = 6 + (27 1) 4 = 110
4 Para calcular la suma de los primeros n términos se aplica la fórmula: Tomando nuevamente como ejemplo la progresión anterior, y dado que ya tenemos calculados los términos a5 y a27, calcularemos la suma de los primeros 5 y 27 términos. S5 = 5/2 (6 + 22) = 70 S27 = 27/2 (6 + 110) = 1 566 3.4 Progresiones geométricas Qué es una progresión geométrica? Una progresión geométrica es una sucesión de números reales donde el valor de cada término depende del anterior y el producto de una cantidad fija llamada razón. Existen fórmulas para calcular el valor del término que ocupa un lugar en específico o para obtener la suma de los primeros n elementos de la progresión. A partir del segundo término, podemos conocer el valor de cualquiera de ellos multiplicando una cantidad fija r, llamada razón, al anterior. Ejemplo: 4, 12, 36, 108, 324, 972,... Donde r = 3, ya que si multiplicamos cualquier término por 3 obtenemos el siguiente. Para calcular el valor de algún término en particular aplicamos la fórmula:
Si queremos calcular el valor del 6 y 18 términos de la progresión anterior: a6 = 4 (3 6-1 ) = 972 a18 = 4 (3 18-1 ) = 516 560 652 ÁLGEBRA 5 La fórmula que nos permite calcular la suma de los n primeros términos es: Tomando nuevamente como ejemplo la progresión anterior, calcularemos la suma de los primeros 6 y 18 términos. S6 = 4 (1 3 6 ) / (1 3) = 1 456 S18 = 4 (1 3 18 ) / (1 3) = 258 280 423
6 Conclusión Las progresiones aritméticas son sucesiones de números reales en la que cada término se obtiene sumando una cantidad fija al término anterior llamada diferencia. Las progresiones geométricas son sucesiones de números reales donde cada término se puede calcular multiplicando el anterior por un valor fijo que se conoce como razón. A partir de fórmulas se puede calcular el valor de un término o la suma de los primeros n términos, conociendo el valor del primero y la diferencia o razón, dependiendo del tipo de progresión que se trate. Sabes qué es un sistema de ecuaciones lineales? Conoces la utilidad de un sistema de ecuaciones?
7 Para aprender más Cómo trabajar con progresiones? Ávalos, M. (2003). Matemáticas Financieras. México: ECAFSA. Qué utilidad tienen las progresiones? Díaz, J. (s/f). Progresiones. Información disponible en: http://thales.cica.es/rd/recursos/rd99/ed99-0101-01/ed99-0101-01.html Tan, S. T. (2005). Matemáticas para administración y economía. México: Thomson.
8 Actividad de Aprendizaje Instrucciones: Con la finalidad de profundizar en los conocimientos adquiridos a lo largo de esta sesión, ahora tendrás que realizar una actividad en la cual resolverás problemas relacionados con el tema de las progresiones, donde aplicarás los conocimientos y habilidades obtenidos. Desarrollo: 1.- Completa la siguiente sucesión si se sabe que el término general es: an = 3n 2 3, 24,, 192, 375,, 1029,, 2187, 3000 2.- Aplicando el concepto de una progresión aritmética resuelve: Una persona realiza un depósito en una institución bancaria de $950,000 por el cual recibirá mensualmente una cantidad fija de $23,750 como concepto de intereses. Calcula los intereses que acumulará después de un año de haber hecho el depósito, si no realiza ningún movimiento durante ese tiempo y la cantidad total que retiraría. 3.- Calcula el valor de los términos solicitados de acuerdo a la siguiente progresión: 5, 30, 180, 1080,... a5= a7= a10= 4.- Aplicando el concepto de una progresión geométrica resuelve:
9 Un empresario tiene programado incrementar su producción en un 30% cada mes respecto al anterior. Si su producción actual es de 200 piezas mensuales, calcula el número de piezas que estaría produciendo después de: a) Seis meses. b) Nueve meses. c) Un año. Recuerda que esta actividad te ayudará a entender y apropiarte del conocimiento tanto de las progresiones aritméticas como de las progresiones geométricas, lo cual te facilitará la comprensión de temas más complejos. Guarda tu actividad en formato PDF y entrégala de acuerdo a las indicaciones de tu profesor. Esta actividad representa el 5% de tu calificación y se tomará en cuenta lo siguiente: Carátula. Desarrollo completo y correcto de los ejercicios. Ortografía y redacción. Respuestas completas y correctas.
10 Bibliografía Ávalos, M. (2003). Matemáticas Financieras. México: ECAFSA. Tan, S. T. (2005). Matemáticas para administración y economía. México: Thomson. Vidaurri, M. (2004). Matemáticas Financieras. México: Thomson. Cibergrafía Ayón, M. C. (s/f). Sucesiones y series. Información disponible en: http://www.unidad094.upn.mx/revista/54/03.html Díaz, J. (s/f). Progresiones. Información disponible en: http://thales.cica.es/rd/recursos/rd99/ed99-0101-01/ed99-0101-01.html