Segunda Tarea de Geometría Moderna I Repaso de Geometría 1. La siguiente construcción data de la época de los Griegos y es un procedimiento para encontrar geométricamente lo que en términos modernos son las raíces del polinomio cuadrático x 2 + bx c 2 con b y c números positivos. Construimos primero un triángulo isósceles OPQ con base PQ de longitud b y con altura desde O de longitud c. Trazamos una circunferencia con centro O que pase por los vértices P y Q del triángulo OPQ. De donde se tiene que AB es el diámetro de la circunferencia paralelo a PQ y construimos el rectángulo ABCD. La raíz positiva de la x 2 + bx c 2. Es igual a la longitud del segmento CP y la otra raíz (negativa) es igual al negativo de la longitud CQ. Justifica esta construcción. Donde la fórmula de Vietta nos dice que si tenemos las raíces r 1 y r 2 del polinomio (x r 1 )(x r 2 ) = x 2 (r 1 + r 2 )x + r 1 r 2. Donde el término que tiene a x (término lineal) es igual a la suma de las raíces y el termino independiente es el producto de la raíces. Figura 1 Problema 1 2. Resuelve geométricamente la ecuación x 2 + bx c 2, con b y c números positivos, utilizando la siguiente construcción debida a Rene Descartes. Traza una circunferencia con centro en O y radio b 2. Traza QR una tangente a la circunferencia en Q, con QR = c. Sean S y T los puntos donde la recta que pasa por R y O corta a la circunferencia. El polinomio cuadrático tiene una raíz positiva y otra raíz negativa. En la figura la longitud del segmento RS es igual a la raíz positiva y la raíz negativa es igual al negativo de la longitud del segmento RT. Justifica esta construcción.
Figura 2 Problema 2 3. En la figura que se encuentra abajo, si DB es un diámetro, el ángulo BDA = x, el ángulo CDB = y, prueba que sen(x + y) = senx cos y + cos x sen y. Figura 3 Problema 3 4. Sea S la intersección de las diagonales de un cuadrado ABCD y sea P el punto medio de AB. Sea Mel punto de intersección de AC y PD, y el N el punto de intersección de BD y PC. Una circunferencia está inscrita en el cuadrilátero PMSN. Demuestra que el radio de esta circunferencia es MP MS. 5. Dado un triángulo ABC, sea M y E los puntos medios de los lados AC y BC respectivamente. Sea N un punto arbitrario en el segmento AM. Denotemos por Q a la intersección de EM y BN. La paralela a BA por N intersecta a BM en P y a la paralela a AQ por N intersecta a BC en S. Prueba que PS y AC son paralelas. 6. Dos circunferencias tangentes externamente con centros en los puntos A y B, tienen radios de 5 y 3 respectivamente. Una recta tangente externamente a ambos círculos intersecta a AB en el punto C Cuánto mide BC?
Figura 4 Problema 6 7. Cuál es el diámetro del siguiente círculo, si se sabe que AC = 24 y BC = BA = 20 de la figura 5? Figura 5 Problema 7 8. En un triángulo ABC, sea D un punto sobre el segmento BC tal que BD = 14, AD = 13 y DC = 4. Sabiendo que AB = AC, calcula el área del triángulo ABC. 9. En un triángulo ABC se tiene que A = 80 y C = 40. La mediatriz AC corta a BC en un punto P y a la recta AB en un punto Q. Determina la medida el ángulo BPQ. 10. Sobre un cuadrado ABCD construimos un triángulo isósceles AEB con AE = EB. Si sabemos que ECB = 35, cuánto vale DEC? 11. El punto A está en el interior de un ángulo con vértice M. Un rayo de luz que se emite desde el punto A, incide en un punto B de uno de los lados del ángulo y se refleja para incidir en un punto C del otro lado del ángulo, para finalmente ser reflejado de regreso a A. Si se cumplen las leyes ordinarias de la reflexión, según las cuales un rayo incide en la superficie plana, los ángulos de incidencia (θ i ) y de reflexión (θ r ) son iguales (θ i = θ_r); demuestra que el circuncentro del triángulo BCM está sobre la recta AM. 12. El triángulo isósceles ABC tiene su incirculo de radio 2 y también hay un círculo de radio 1 tangente al incentro y a los lados AC y BC Cuánto mide la altura desde C?
Figura 6 Problema 12 13. En la figura supón que AB = 5, AD = 5, AC = 7 y BC = 9. Encuentra la razón BD DC Figura 7 Problema 13 14. Dos semicírculos de radio 3 están inscritos en un semicírculo de radio 6, como se muestra en la figura 8. Un circulo de radio r es tangente a los tres semicírculos Cuánto vale r? 15. En la figura 9 demostrar que b a = 4. Figura 8 Problema 14
Figura 9 Problema 15