Oficina d Organització d Provs d Accés a la Univrsitat Pàgina 1 d 7 Pauts d corrcció Matmàtiqus SÈRIE 4 Aqusts pauts no prvun tots ls casos qu n la pràctica s podn prsntar Tampoc no prtnn donar tots ls possibls solucions a un problma ni tan sols la millor Hi haurà molts casos concrts n què srà difícil aplicar ls critris qu s posn a continuació Apliquu-los n ls casos clars En ls casos dubtosos fu prvalr l vostr critri i sntit comú Valoru tots ls parts d cada subapartat qu siguin corrcts ncara qu l rsultat final no ho sigui Pnalitzu ls rrors simpls d càlcul sgons la importància d l rror i l vostr critri Si l rror és molt scandalós podu puntuar tot l apartat amb punts Copiu la nota d la prgunta i n la caslla i a fi d podr fr stadístiqus sobr cada qüstió La nota final d l rcici srà l rsultat d arrodonir la suma final al mig punt més pròim i si rsulta sr quidistant ntr tots dos s apujarà 5 QÜESTIONS 1- Considru la funció f( ) = a + + b ( ab R) Trobu ls valors d a i b qu fan qu la rcta y = + 1 sigui tangnt a la gràfica d f quan = 1 PUNTUACIÓ: punts Si la rcta donada és tangnt a la gràfica d la funció f s pot assgurar qu f(1) = y (1) = 1+ 1 = A més a més f '(1) = Utilitzant aqusts dus igualtats i obsrvant qu f '( ) = a + 1 s arriba al sistma qu té pr solució a = 1 i b = a+ b+ 1= a + 1= - Sigui 1 A = 1 1 a) Calculu A i A 614 b) Dtrminu raonadamnt l valor d A PUNTUACIÓ: 1 punt pr cada apartat
Oficina d Organització d Provs d Accés a la Univrsitat Pàgina d 7 Pauts d corrcció Matmàtiqus a) 1 1 1 A = A A = 1 1 1 = 1 1 1 1 1 1 A = A A = 1 1 1 = = I 1 1 1 6 c) A la vista dl rsultat antrior podm assgurar qu A = I Llavors 614 1 6+ 4 6 1 4 4 ( ) A = A = A A = I A = A A = A - Considru un sistma d dus quacions amb trs incògnits a) Pot sr incompatibl? b) Pot sr compatibl dtrminat? Raonu ls rsposts PUNTUACIÓ: un punt cada apartat a) Efctivamnt un sistma d dus quacions amb trs incògnits pot sr incompatibl Pr mpl ho és + y + z = 1 + y + z = 1 1 1 1 En gnral un sistma A + By + Cz = D és incompatibl si i sol si A + By + Cz = D A1 B1 C1 D1 = = (obsrvu qu aqusta és la condició pr a què ls plans A B C D rprsntats pr ls dus quacions siguin paral lls) b) Un sistma d dus quacions amb trs incògnits no pot sr compatibl dtrminat prquè l rang d la matriu dl sistma és com a màim (té solamnt dus fils) mntr qu l númro d incògnits és 4- Donats l punt P = (751) l pla π : y z = 1 i la rcta y z 7 r : + = 6y z = 5 a) Trobu la distància d P a π b) Trobu la distància d P a r c) Trobu la distància d r a π PUNTUACIÓ: 5 punts pls apartats a) i c); 1 punt pr l apartat b)
Oficina d Organització d Provs d Accés a la Univrsitat Pàgina d 7 Pauts d corrcció Matmàtiqus a) La distància d un punt P = ( y z) a un pla π : A + By + Cz + D = v donada pr la fórmula dp ( π) = A + By + Cz + D A + B + C 7 1 1 16 16 En l nostr cas dpπ ( ) = = = 1 + ( ) + ( ) 14 14 b) La manra més dircta d trobar la distància d un punt P a una rcta r és la utilització d la fórmula!!! PQ vr dpr ( ) = vr ssnt Q un punt qualsvol d la rcta i v r l su vctor dirctor D ls quacions implícits d la rcta s n podn dduir ls svs quacions paramètriqus = + λ y = λ z = 1 λ Pr tant podm agafar Q = ( 1) i v = (1 ) r Una altra manra d trobar un punt d la rcta i l su vctor dirctor consisti n donar un valor arbitrari a una d ls variabls Si fm pr mpl y = dl sistma qu dfini la rcta n dduïm + z = 7 = z = 1 z = 5 obtnint aií un punt d la rcta Q = ( 1) El vctor dirctor s obté buscant un vctor prpndicular als vctors caractrístics dls plans qu dfinin la rcta ja sigui utilitzant l product scalar ( abc ) ( ) = a b+ c= a = b c = b ( abc ) (1 6 ) = a 6b c= d on v r = (1 ) o utilitzant l product vctorial 1 v = = (168 16) (1 ) r 1 6
Oficina d Organització d Provs d Accés a la Univrsitat Pàgina 4 d 7 Pauts d corrcció Matmàtiqus Sigui com sigui Pr tant 1!!! PQ vr = 4 5 = (1 16) 1!!! PQ vr (1 16) 18 dpr ( ) = = = = 6 v (1 ) r Encara hi ha una altra manra d trobar la distància ntr l punt P i la rcta r Consisti n trobar l pla prpndicular a r passant pr P Es busca la intrscció ntr aqust nou pla i la rcta Sigui Q l punt d intrscció Llavors dpr ( ) = dpq ( ) Pr si algú ho fa aií l pla prpndicular a r passant pr P té pr quació + y z 17 = i l punt d tall ntr ll i la rcta és l punt Q = (51 ) Llavors dpr ( ) = dpq ( ) = (5 7) + (1 5) + ( 1) = 6 c) La rcta r i l pla π no són paral lls ja qu l dirctor d la rcta i l caractrístic dl pla no són prpndiculars Pr tant drπ ( ) = (1 ) (1 ) = + 6 = 6 PROBLEMES + 5- Dfinim ls funcions f( ) = i g ( ) = a) Comprovu qu [ g ( )] [ f ( )] = 1 b) Comprovu també qu f '( ) = g( ) i g '( ) = f( ) c) Comprovu qu f( + y) = f( ) gy ( ) + f ( y) g( ) d) Calculu f( ) lim g ( ) procdimnt similar (prò no igual) trobu PUNTUACIÓ: 1 punt cada apartat dividint pr l numrador i l dnominador; amb un f( ) lim g ( )
Oficina d Organització d Provs d Accés a la Univrsitat Pàgina 5 d 7 Pauts d corrcció Matmàtiqus a) Es tracta simplmnt d fr ls opracions indicads + [ g ( )] [ f ( )] = + + + 4 4 1 = = = = 1 4 4 4 4 b) Rcordant ls propitats d la drivada tnim D( ) ( 1) + Df ( ) = D = = = = g( ) + D( + ) + ( 1) Dg( ) = D = = = = f( ) + y ( + y) c) Obsrvm qu f( + y) = Intntarm arribar a aqusta prssió fnt ls càlculs dl mmbr d la drta d la igualtat y y y y + + f( ) g( y) + f( y) g( ) = + + + = + 4 4 + y y + y ( + y) = = = f( + y) 4 + y y + y y y+ y y+ y d) El càlcul d aqusts límits no s pot fr utilitzant la rgla d l Hôpital dgut a què la drivada d la funció ponncial és lla matia La forma d calcular-los consisti n dividir numrador i dnominador pl factor adquat (aqull qu fa qu l quocint sigui una indtrminació dl tipus / ) Aií f g + + 1+ ( ) 1 1+ lim = lim = lim = lim = = 1 ( ) 1 ( ) 1 1 lim = lim = lim = lim = = 1 ( ) + + + 1 + 1 f g
Oficina d Organització d Provs d Accés a la Univrsitat Pàgina 6 d 7 Pauts d corrcció Matmàtiqus a y z+ 1 + y b z 4 6- Ls rcts r 1 : = = i r 1 4 : = = són coplanàris (és a dir 1 1 stan incloss n un mati pla) a) Epliquu raonadamnt quina és la sva posició rlativa b) Trobu la rlació qu hi ha ntr ls paràmtrs a i b c) Trobu ls valors d a i b si l pla qu ls conté passa pl punt P = (46) PUNTUACIÓ: apartat a) 15 punts; apartat b) 1punt; apartat c) 15 punts a) Dus rcts coplanàris han d tallar-s o sr paral lls Com qu ls vctors dirctors corrsponnts no són proporcionals ( /1 1/) sigui quin sigui l valor dl paràmtr a és vidnt qu s talln n un punt b) Sigui Q l punt on s talln Llavors pr sr d ambdus rcts El sistma qu ns quda Q = ( a+ λλ 1+ 4 λ) = ( + μ b+ μ4 μ) λ μ = a λ μ = b 4λ + μ = 5 ha d sr compatibl dtrminat Trballant amb la matriu ampliada dl sistma obtnim 1 b 1 b 1 b 1 a a b a b 4 1 5 9 5 4b a+ b+ 11 la qual cosa ns porta a què l sistma és compatibl dtrminat si i sol si a+ b+ 11= Podm arribar a la matia conclusió obsrvant qu la matriu dl sistma té rang (pr mpl ls dus primrs fils són indpndnts) pr a qualsvol valor dl paràmtr a Pr tant cal qu la matriu ampliada no tingui rang : 1 a 1 b = 9a 6b = a+ b+ 11= 4 1 5 Encara s pot arribar a la matia conclusió d una altra manra D l quació contínua d cada una d ls rcts podm passar a ls quacions implícits y a y 1 r1 : = = ; r : 4y z = 1 y + z = b+ 8
Oficina d Organització d Provs d Accés a la Univrsitat Pàgina 7 d 7 Pauts d corrcció Matmàtiqus El sistma format pr ls quatr quacions ha d sr compatibl dtrminat: 1 a 1 a 4 1 1 4 1 1 1 b 4 a b 4 1 b+ 8 1 b+ 8 1 a 1 b + 8 9 4b 1 6 a 4b 8 Ls dus últims fils han d sr proporcionals: 4b + 1 = a+ b+ 11= a+ 4b+ 8 Aií pr a què ls rcts siguin coplanàris ha d sr a+ b+ 11= c) El pla qu ls conté s pot scriur com π :( yz ) = ( a 1) + λ(14) + μ(1 1) D acord amb l nunciat l punt P = (46) π és a dir aqust punt satisfà l quació dl pla: (46) = ( a 1) + λ(14) + μ(1 1) D aquí l sistma ha d sr compatibl dtrminat λ + μ = a λ + μ = 4 4λ μ = 7 1 4 1 1 1 a a 6 a 6 + 4 1 7 9 9 a + 9 Pr tant cal qu a+ 9 = a = Substituint aqust valor a la rlació trobada a l apartat antrior tnim b = 1 En dfinitiva ls valors són a = i b = 1