Ejercicio 1. (2,5 puntos) EXAMEN I RESUELTO PRIMERA EVALUACIÓN MATEMÁTICAS II 08/11/2017 OPCIÓN A Dada la función f (x)= 3 x 2 +3 x a) (1,25 puntos) Indicar el dominio de definición de la función f y hallar sus asíntotas. b) (1,25 puntos) Estudiar su monotonía y la existencia de extremos relativos. a) DOMINIO: Puesto que f (x) es una función racional, su dominio es R excepto los valores de x donde el denominador es cero: x = 0. Dom (f) = R {0} CÁLCULO DE ASÍNTOTAS: - Asíntota vertical: x = 0 - Asíntotas horizontales: No hay porque lím f (x)= ; lím f (x)= x (los límites no son un número real) Si f (x) no tiene asíntotas horizontales Estudiar si hay asíntotas oblicuas - Asíntotas oblicuas: y = 3x Cálculo de la ecuación de la asíntota oblicua: y = mx + n donde: m = lím f (x) x 3x 2 +3 = lím x 2 = 3 y n = lím ( f (x) mx)= lím ( 3x 2 +3 3 3x )= lím x x = 0 m = 3 y n = 0 Asíntota oblicua: y = 3x Para que exista una asíntota oblicua m y n tienen que ser números reales (no ± ) b) ESTUDIO DE LA MONOTONÍA: Estudiar la monotonía equivale a estudiar los intervalos donde f (x) es creciente/decreciente. Método: Calcular el signo de f ' (x): f '(x)= 3 x2 3 x 2 = 3 (x 2 1) x 2 signo f ': f (x) es creciente cuando f ' (x) > 0 y f (x) es decreciente cuando f ' (x) < 0 f (x) tiene un extremo relativo en x 0 si f ' (x) = 0 1 MPU
Notas: 1) f (x) no existe en x = 0 (no pertenece al dominio de f ) Se excluye de los intervalos de crecimiento/decrecimiento. 2) El signo de f ' (x) coincide con el signo del numerador porque el denominador es siempre positivo (excepto en x = 0 donde no existe f ). f (x) creciente en (, 1) (1, ) ; f (x) decreciente en ( -1, 1) - {0} Extremos relativos: Máximo en (-1, -6); Mínimo en (1,6) Cáculo de f (-1): Se sustituye x = -1 en f (x): f ( 1)= 3 ( 1)2 + 3 = 6 1 1 =6 Cáculo de f (1): Se sustituye x = 1 en f (x): f (1)= 3 12 +3 = 6 1 1 = 6 Ejercicio 2. (2,5 puntos) Dada la función f ( x) = x 5 x 8 1 x 6 a) (1,5 puntos) Indicar el dominio de definición, de f (x) y encontrar los puntos de discontinuidad de f. Determinar razonadamente si alguna de las discontinuidades es evitable. b) (1 punto) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical. a) DOMINIO: Puesto que f (x) es una función racional, su dominio es R excepto los valores de x donde el denominador es cero: 1 x 6 = 0 x = 1 y x = 1. Dom (f) = R {-1, 1} ESTUDIO DE LA DISCONTINUIDAD: Puesto que f (x) es una función elemental, sólo hay que estudiar la continuidad en los puntos que no pertenecen a su dominio. Nota: Leer detenidamente el enunciado Determinar razonadamente si alguna de las discontinuidades es evitable De forma implícita, se pide el estudio del tipo de discontinuidad. Las funciones elementales son continuas en todos los puntos de su dominio En x = 1: x 5 x 8 lím x 1 1 x 6 = ( 0 0 )= lím x 1 5x 4 8x 7 6 x 5 = lím x 1 x 4 (5 8x 3 ) 6 x 5 = lím x 1 5 8 x 3 6x = 5 8 6 = 3 6 =1 2 Nota importante: En x = 1 no es necesario calcular los límites laterales porque el signo de f (x) no cambia al aproximarse a x = 1 por la derecha (x > 1 + ) o por la izquierda (x < 1 - ). Esto se puede comprobar calculando el valor de x = 0,9 y en x = 1,1). 5 8 x 3 6 x en dos números próximos a x = 1 (por ejemplo en 2 MPU
La discontinuidad en x = 1 es evitable f (x) tiene una discontinuidad evitable en x 0 si: f (x ) y es un nº finito x 0 no pertenece a Dom (f) pero existe lim x x 0 Existe f (x 0 ) pero f (x 0 ) lim x x 0 f (x) En x = 1: Nota importante: En x = -1 es necesario calcular los límites laterales porque el signo de f (x) cambia al aproximarse a x = 1 por la derecha (x > 1 + ) o por la izquierda (x < 1 - ). La discontinuidad en x = 1 es inevitable b) Asíntota vertical: x = 1 f (x) tiene una asíntota vertical en x = a si lim x a f ( x)= ± Nota: En x = 1 no hay asíntota vertical porque lím x 1 f ( x ) = 1 2 Ejercicio 3. (2,5 puntos) Dada la función a) (1 punto) Estudiar la continuidad de f (x) en x = 0. b) (1,5 puntos) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f ', donde sea posible. a) ESTUDIO DE LA CONTINUIDAD EN x = 0: 3 MPU
Puesto que f (x) no es continua en x = 0 Nota: En este ejercicio se pide estudiar la continuidad de f (x) solo en x = 0. Hay otro punto donde f (x) no es continua: x = 1, porque Dom (f) = R - {-1} Por tanto, f (x) es continua en R - {0, -1} b) ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD: f (x) es derivable en x = a si f (x) es continua en x = a y f (a + ) = f (a - ) f (x) no es continua en x = a f (x) no es derivable en x = a CÁLCULO DE f ' (x): f ' (x) existe en R {0, -1} Ejercicio 4. (2.5 puntos) Calcula: 3x a) (0,5 puntos) lím x 2 x + x 3 2 Método: Por comparación de infinitos 4 MPU
b) (1 punto) 3 5 ln x 1 + 7 5 ln x+4 + k Método: Integral racional con dos simples x 2 + 3x 4 = (x 1) (x + 4) 2 x + 1 x 2 + 3x 4 = A x 1 + B A(x + 4) + B( x 1) (A+B)x + 4 A B = = x + 4 x 2 + 3x 4 x 2 +3 x 4 A= 3 5 ; B=7 5 c) (1 punto) 2e x ( x 1) + K Método: Integración por partes u = x du = dx dv =e x dx v = e x dx =e x OPCIÓN B Ejercicio 1. (2.5 puntos) Dada la función f (x)= 1 4 x 2 a) (1,25 puntos) Indicar el dominio de definición de la función f y hallar sus asíntotas. b) (1,25 puntos) Estudiar su monotonía y la existencia de extremos relativos. 5 MPU
a) DOMINIO: Puesto que f (x) es una función racional, su dominio es R excepto los valores de x donde el denominador es cero: 4 x 2 = 0 x = 2 y x = 2. CÁLCULO DE ASÍNTOTAS: - Asíntotas verticales: x = 2 y x = -2 Dom (f) = R {-2, 2} - Asíntotas horizontales: y = 0 f (x) tiene una asíntota horizontal en y = b si lim x ± - Como hay AH No existe asíntota oblicua f (x)= b b) ESTUDIO DE LA MONOTONÍA: f (x)= 1 4 x 2 f '(x)= 2x (4 x 2 ) 2 signo f ': f (x) creciente en (0, + ) {2} ; f (x) decreciente en (, 0) {-2} EXTREMOS RELATIVOS: Mínimo en (0, 1/4) Ejercicio 2. (2.5 puntos) Dada la función f (x) = x3 x 6 1 x 4 a) (1,5 puntos) Encontrar los puntos de discontinuidad de f. Determinar razonadamente de indicar de qué tipo son las discontinuidades. b) (1 punto) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical. Es del mismo tipo que el Ejerccio 2 de la Opción A Ejercicio 3. (2.5 puntos) Dada la función a) (1 punto) Estudiar la continuidad de f (x) en x = 0. b) (1,5 puntos) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f ', donde sea posible. Ejercicio 3 de la Opción A 6 MPU
Ejercicio 4. (2.5 puntos) Calcula: a) (1 punto) lím x 9x 1 3x +5 ( 3x 2 ) 7 e 3 Es del tipo (1 ) Método: b) (1 punto) ln x + 3 + 1 x +3 + K Método: Integral racional con una raíz doble x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 x + 2 x 2 + 6x +9 = A x + 3 + B A( x + 3) + B = = 2 (x +3) (x + 3) 2 Ax +3 A + B ( x + 3) 2 A=1 3A + B= 2 A=1 B= 1 c) (0,5 puntos) Método: Cambio de variable x + 3 = t 2 dx =2tdt x =t 2 3 t= x +3 7 MPU