CAPÍTULO SEIS LA TRANSFORMADA Z 6. Itroducció E el Capítulo 5 se itrodujo la trasformada de Laplace. E este capítulo presetamos la trasformada Z, que es la cotraparte e tiempo discreto de la trasformada de Laplace. La trasformada Z puede cosiderarse ua extesió o geeraliació de la trasformada de Fourier discreta, así como la trasformada de Laplace puede cosiderarse como ua extesió de la trasformada de Fourier. La trasformada Z se itroduce para represetar señales e tiempo discreto (o secuecias) e el domiio de la variable compleja, y luego se describirá el cocepto de la fució del sistema para u sistema LIT e tiempo discreto. Como ya se estudió, la trasformada de Laplace covierte ecuacioes ítegrodifereciales e ecuacioes algebraicas. Ahora veremos que, e ua forma similar, la trasformada Z covierte ecuacioes e diferecias recursivas e ecuacioes algebraicas, simplificado así el aálisis de los sistemas e tiempo discreto. Las propiedades de la trasformada Z so muy parecidas a las de la trasformada de Laplace, de maera que los resultados de este capítulo so semejates a los del Capítulo 5 y, e alguos casos, se puede pasar directamete de la ua trasformada a la otra. Si embargo, veremos alguas diferecias importates etre las dos trasformadas. 6. La Trasformada Z E la Secció 4.9 vimos que para u sistema LIT de tiempo discreto co respuesta al impulso dada por h[], la salida y[] del sistema a ua etrada expoecial de la forma viee dada por dode { } T y[ ] H( ) (6.) H( ) h[ ] (6.) j Para e Ω co Ω real (es decir, co ), la sumatoria e la Ec. (6.) correspode a la trasformada de Fourier discreta de h[]. Lo aterior os coduce a la defiició siguiete para la trasformada Z de ua secuecia x[].
334 6... Defiició La fució H() e la Ec. (6.) se cooce como la trasformada Z de h[]. Para ua señal e tiempo discreto geeral x[], la trasformada Z, X[], se defie como X ( ) x[ ] (6.3) La variable es geeralmete compleja y e forma polar se expresa como j re Ω (6.4) dode r es la magitud de y Ω es el águlo de. La trasformada Z defiida e la Ec. (6.3) co frecuecia se deomia la trasformada Z bilateral para distiguirla de la trasformada Z uilateral, estudiada más adelate e la Sec. 6.7, y la cual se defie como X ( ) x[ ] (6.5) Claramete, ambas trasformadas so equivaletes sólo si x[] para t < (causal). E lo que sigue, omitiremos la palabra bilateral excepto cuado sea ecesario para evitar ambigüedades. Igual que e el caso de la trasformada de Laplace, alguas veces la Ec. (6.3) se cosidera como u operador que trasforma ua secuecia x[] e ua fució X(), simbólicamete represetada por { x } X ( ) Z [ ] (6.6) Las fucioes x[] y X() forma u par de trasformadas Z; esto se deotará por x[ ] X( ) (6.7) que sigifica que las fucioes x[] y X() forma u par de trasformadas Z, es decir F() es la trasformada Z de x[]. Existe varias relacioes importates etra la trasformada Z y la trasformada de Fourier. Para estudiar estas relacioes, cosideremos la expresió dada por la Ec. (6.5) co la variable e forma polar. E térmios de r y Ω, la Ec. (6.3) se covierte e o, e forma equivalete, jω jω ( ) [ ]( ) X re x re (6.8) jω jω ( ) { [ ] } X re x r e (6.9) j A partir de esta última ecuació vemos que X ( re Ω ) multiplicada por ua expoecial real r, es decir, jω ( ) { x[ ] r } X re es la trasformada de Fourier de la secuecia x[] F (6.)
335 La fució de poderació expoecial r puede estar decreciedo o creciedo co creciete, depediedo de si r es mayor o meor que la uidad. E particular, se observa que para r, la trasformada Z se reduce a la trasformada de Fourier, vale decir, { x } X ( ) jω F [ ] (6.) e 6... La Regió de Covergecia de la Trasformada Z Como e el caso de la trasformada de Laplace, la bada de valores de la variable compleja para la cual coverge la trasformada Z se deomia la regió de covergecia (RDC). E el caso de tiempo cotiuo, la trasformada de Laplace se reduce a la trasformada de Fourier cuado la parte real de la variable de trasformació es cero; es decir, la trasformada de Laplace se reduce a la de Fourier e el eje imagiario. Como cotraste, la reducció de la trasformada Z a la de Fourier se produce cuado la magitud de la variable de trasformació es igual a la uidad. De maera que la reducció se produce e el cotoro del plao complejo correspodiete a u círculo de radio uitario, el cual jugará u papel importate e la discusió de la regió de covergecia de la trasformada Z. La suma e la Ec. (6.3) tiee potecias de positivas y egativas. La suma de las potecias egativas coverge para mayor que algua costate r, y la suma de las potecias positivas coverge para meor que algua otra costate r. Esto muestra que la regió de existecia de la trasformada bilateral es u aillo cuyos radios r y r depede de x[]. Para ilustrar la trasformada Z y la RDC asociada, cosideremos alguos ejemplos. Ejemplo. Cosidere la secuecia x [ ] au [ ] areal (6.) Etoces, por la Ec. (6.3), la trasformada Z de x[] es Para que X() coverja se requiere que ( ) X( ) a u[ ] a a < E cosecuecia, la RDC es la bada de valores para los cuales > a, para cualquier valor fiito de a. Etoces a < o, e forma equivalete, X ( ) a > a a ( ) (6.3) Alterativamete, multiplicado el umerador y el deomiador de la Ec. (6.) por, podemos escribir X() como
336 X ( ) > a a (6.4) Ambas formas de X() e las Ecs. (6.) y (6.3) so de utilidad depediete de la aplicació. De la Ec. (6.3) vemos que X() es ua fució racioal de. E cosecuecia, igual que co las trasformadas de Laplace racioales, puede caracteriarse por sus ceros (las raíces del poliomio del umerador) y sus polos (las raíces del poliomio del deomiador). De la Ec. (6.3) vemos que hay u cero e y u polo e a. La RDC y el diagrama de polos y ceros para este ejemplo se muestra e la Fig. 6-. E las aplicacioes de la trasformada Z, al plao complejo se le refiere comúmete como el plao. Im() Círculo Im() a Re() a Re() < a < Im() a > Im() a Re() a Re() < a < a < Figura 6-. RDC de la forma > a Ejemplo. Cosidere la secuecia x [ ] au[ ] (6.5) De la Ec. (6.3), teemos X ( ) a u[ ] a ( a ) ( a )
337 Ahora bie, a, a < o < a a ( ) por lo que a X ( ) a a a < a (6.6) La trasformada Z, X() viee dada etoces por X ( ) a < a (6.7) Como lo idica la Ec. (6.6), X() tambié puede escribirse como X ( ) a < a (6.8) Así pues, la RDC y la gráfica de polos y ceros para este ejemplo se muestra e la Fig. 6-. Comparado las Ecs. (6.3) y (6.7) [o las Ecs. (6.4) y (6.8)], vemos que las expresioes algebraicas de X() para dos secuecias diferetes so idéticas, excepto por las RDC. Así que, igual que e la trasformada de Laplace, la especificació de la trasformada Z requiere tato la expresió algebraica como la regió de covergecia. Im() Im() a Re() a Re() < a < Im() a > Im() a Re() a Re() < a < a < Figura 6-. RDC de la forma < a. Ejemplo 3. Ua sucesió fiita x[] se defie como x[ ], N N, dode N y N so fiitos, y x[] para cualquier otro valor de. Para determiar la RDC procedemos e la forma siguiete:
338 De la Ec. (6.3) se tiee N X ( ) x[ ] (6.9) N Para diferete de cero o ifiito, cada térmio e la Ec. (6.9) será fiito y por tato X() covergerá. Si N < y N >, etoces la Ec. (6.9) icluye térmios co potecias de tato positivas como egativas. Coforme, los térmios co potecias de egativas se covierte e o acotados, y coforme, los térmios co potecias de positivas se vuelve o acotados. Por tato, la RDC es todo el plao excepto para y. Si N, la Ec. (6.9) cotiee sólo potecias egativas de, y por ede la RDC icluye. Si N, la Ec. (6.9) cotiee sólo potecias positivas de y, por tato, la RDC icluye el puto. 6..3. Propiedades de la Regió de Covergecia Como vimos e los Ejemplos y, la RDC de X() depede de la aturalea de x[]. Las propiedades de la RDC se resume a cotiuació. Se etiede que X() es ua fució racioal de.. La RDC o cotiee igú polo.. Si x[] es ua secuecia fiita, es decir, x[] excepto e u itervalo fiito N N, dode N y N so fiitos, y X() coverge para algú valor de, etoces la RDC es todo el plao excepto posiblemete o. 3. Si x[] es ua secuecia lateral derecha, es decir, x[] para < N <, y X() coverge para algú valor de, etoces la RDC es de la forma > r o > > r máx dode r máx es igual a la mayor magitud de cualquiera de los polos de X(). Así pues, la RDC es el exterior del círculo r e el plao co la posible excepció de. máx 4. Si x[] es ua secuecia lateral iquierda, es decir, x[] para > N >, y X() coverge para algú valor de, etoces la RDC es de la forma < r o < < r mí dode r mí es igual a la meor magitud de cualquiera de los polos de X(). Así pues, la RDC es el iterior del círculo r e el plao co la posible excepció de mí 5. Si x[] es ua secuecia bilateral, es decir, x[] es ua secuecia de duració ifiita que o es i lateral iquierda i lateral derecha, y X() coverge para algú valor de, etoces la RDC es de la forma r < < r dode r y r so las magitudes de dos de los polos de X(). Así que la RDC es ua regió aular e el plao etre los círculos < r y < r que o cotiee polos. máx mí
339 Observe que la Propiedad se deduce imediatamete de la defiició de polos; es decir, X() es ifiita e u polo. Ejemplo 4. Cosidere la secuecia Determiar X() y graficar sus polos y ceros. De la Ec. (6.3), obteemos a N, a > x [ ] otros valores de N N N N N ( ) a a ( ) (6.) N X( ) a a a a De la Ec. (6.) vemos que hay u polo de orde (N ) e y u polo e a. Como x[] es ua secuecia de logitud fiita y es cero para <, la RDC es > (la RDC o icluye el orige porque x[] es diferete de cero para alguos valores positivos de }. Las N raíces del poliomio del umerador está e j( π N ) ae N,, K, (6.) La raí e cacela el polo e a. Los ceros restates de X() está e j( π N ) ae N El diagrama de polos y ceros co N 8 se muestra e la Fig. 6-3., K, (6.) Polo de orde (N ) Im() Plao Re() Polo-cero se cacela Figura 6-3 Diagrama de polos y ceros co N 8. E geeral, si x[] es la suma de varias secuecias, X() existe solamete si existe u cojuto de valores de para los cuales coverge las trasformadas de cada ua de las secuecias que forma la suma. La regió de covergecia es etoces la itersecció de las regioes de covergecia idividuales. Si o hay ua regió de covergecia comú, etoces la trasformada X() o existe.
34 6.3 Trasformadas Z de Secuecias Importates 6.3.. La Secuecia Impulso uitario δ[] De la defiició dada e la Ec. (.79) y la Ec. (6.3), teemos y, por cosiguiete, Es fácil demostrar que ( ) δ [ ] X (6.3) δ[ ] todo (6.4) δ[ ] (6.5) 6.3.. La Secuecia Escaló Uitario u[] Haciedo a e las Ecs. (6.)) a (6.4), obteemos u [ ] > (6.6) 6.3.3. Fucioes Siusoidales Sea x[ ] cos Ω. Escribiedo x[] como x [ ] e + e j ( Ω jω ) y usado el resultado dado e la Ec. (6.4), se obtiee que X( ) + e e ( cosω ) cosω + jω jω E forma similar, la trasformada Z de la secuecia x[ ] seω está dada por (6.7) X( ) se Ω cosω + (6.8)
34 6.3.4. Tabla de Trasformadas Z E la tabla al fial del capítulo se tabula las trasformadas Z de alguas secuecias ecotradas co frecuecia. 6.4 Propiedades de la Trasformada Z A cotiuació se preseta alguas propiedades básicas de la trasformada Z y la verificació de alguas de esas propiedades. Estas propiedades hace de la trasformada Z ua valiosa herramieta e el estudio de señales y sistemas de tiempo discreto. 6.4. Liealidad Si x [] y x [] so dos secuecias co trasformadas X () y X () y regioes de covergecia R y R, respectivamete, es decir, etoces x [ ] X ( ) RDC R x [ ] X ( ) RDC R ax[ ] + ax[ ] ax ( ) + a X [ ] R R R (6.9) dode a y a so costates arbitrarias, es decir, la trasformada Z de ua combiació lieal de secuecias es igual a la combiació lieal de las trasformadas Z de las secuecias idividuales. La demostració de esta propiedad se obtiee directamete de la defiició de la trasformada Z, Ec. (6.3). Como se idica, la RDC de la combiació es al meos la itersecció de R y R. Ejemplo 5. Halle la trasformada Z y dibuje el diagrama de polos y ceros (partes b y c) co la RDC para cada ua de las secuecias siguietes: (a) x [ ] [ ] 3 [ ] [ 5] δ + δ δ. (b) x[ ] u[ ] + u[ ] 3 (c) x [ ] u [ ] + u[ ] 3 (a) A partir del par δ[ ] y de la Ec. (6.9), se sigue que la trasformada Z de la sucesió dada es 5 ( ) 3 + X
34 (b) De la tabla de trasformadas al fial del capítulo, se obtiee u [ ] > (6.3) u [ ] > 3 3 3 (6.3) Vemos que la RDC e las Ecs. (6.3) y (6.3) se solapa y, de esta maera, usado la propiedad de liealidad, se obtiee 5 ( ) ( )( ) X( ) + > 3 3 (6.3) De la Ec. (6.3) vemos que X() tiee dos ceros e y 5/ y dos polos e ½ y /3, y que la RDC es > como se dibuja e la Fig. 6-4. Im() 3 Re() Figura 6-4 (c) De la parte (b) u [ ] > y de la tabla de trasformadas, u[ ] < 3 3 3 (6.33) Vemos que las RDC de estas dos últimas relacioes o se solapa y o hay ua RDC comú; así pues, x[] o tiee trasformada Z. Ejemplo 6. Sea x [ ] a a> (6.34)
343 Hallar X() y dibujar el diagrama de polos y ceros y la RDC para a < y a >. La sucesió x[] se dibuja e la Fig. 6-5. [ ] a x x [ ] a < a < a > (a) (b) Figura 6-5 Puesto que x[] es ua secuecia bilateral, podemos expresarla como x [ ] au [ ] + a u[ ] (6.35) De la tabla de trasformadas au [ ] a a > (6.36) a u[ ] < (6.37) a a Si a <, vemos que la RDC e las Ecs. (6.36) y (6.37) se solapa y etoces a X( ) _ a< < (6.38) a a a ( a)( a) a De la Ec. (6.38) vemos que X() tiee u cero e el orige y dos polos e a y /a y que la RDC es a< < a, como se ilustra e la Fig. 6-6. Si a >, vemos que las RDC e las Ecs. (6.36) y (6.37) o se solapa y o hay ua RDC comú y, por tato, x[] o tedrá ua X(). Im() Círculo uitario a /a Re() Figura 6-6
344 6.4. Desplaamieto (Corrimieto) e el Tiempo o Traslació Real Si etoces x[ ] X( ) RDC R x X R R < < (6.39) [ ] ( ) { } Demostració: Por la defiició e la Ec. (6.3), Z { } x[ ] x[ ] Mediate el cambio de variables m, obteemos Z m+ { x[ ]} x[ m] ( ) m m x m X m [ ] ( ) Debido a la multiplicació por, para >, se itroduce polos adicioales e y se elimiará e. E la misma forma, si <, se itroduce ceros adicioales e y se elimiará e. Por cosiguiete, los putos y puede añadirse o elimiarse de la RDC mediate corrimieto e el tiempo. De este modo teemos etoces que x X R R < < [ ] ( ) { } dode R y R' so las RDC ates y después de la operació de desplaamieto. E resume, la RDC de x[ ] es la misma que la RDC de x[] excepto por la posible adició o elimiació del orige o ifiito. Casos especiales de la propiedad defiida e la Ec. (6.39) so los siguietes: x X R R < < (6.4) [ ] ( ) { } x [ + ] X( ) R R { < < } (6.4) Debido a estas últimas relacioes, a meudo se le deomia el operador de retardo uitario y se cooce como el operador de avace(o adelato) uitario. Observe que e la trasformada de Laplace los operadores s /s y s correspode a itegració y difereciació e el domiio del tiempo, respectivamete.
345 6.4.3 Iversió e el Tiempo Si la trasformada Z de x[] es X(), es decir, x[ ] X( ) RDC R etoces x[ ] X R R (6.4) E cosecuecia, u polo (o cero) e X() e se mueve a / luego de iversió e el tiempo. La relació R' /R idica la iversió de R, reflejado el hecho de que ua secuecia lateral derecha se covierte e lateral iquierda si se ivierte el tiempo, y viceversa. La demostració de esta propiedad se deja como ejercicio. 6.4.4 Multiplicació por o Corrimieto e Frecuecia Si etoces Demostració Por la defiició dada e la Ec. (6.3), teemos que x[ ] X ( ) RDC R x[ ] X R R (6.43) Z x[ ] x[ ] x[ ] X { } ( ) U polo (o cero) e e X() se mueve a luego de la multiplicació por y la RDC se expade o cotrae por el factor U caso especial de esta propiedad es la relació, y la propiedad especificada por la Ec. (6.4) queda demostrada. Ω ( ) (6.44) jω j e x[ ] X e R R E este caso especial, todos los polos y ceros so simplemete rotados e u águlo Ω y la RDC o cambia. Ejemplo 7. Determie la trasformada Z y la RDC asociada para cada de las secuecias siguietes: (a) x[] δ[ ]
346 (b) x[ ] u[ ] (c) x a u + [ ] [ + ] (d) x[ ] u[ ] Solució (a) De la Ec. (6.4) δ[ ] toda Aplicado la propiedad de corrimieto e el tiempo (6.38), se obtiee δ[ ] <, > <, < (b) De la Ec. (6.6), u[ ] > Aplicado de uevo la propiedad de desplaamieto e el tiempo, obteemos ( ) u[ ] < < (c) De las Ecs. (6.) y (6.4) se tiee que au [ ] a > a y por la Ec. (6.4) + a u[ ] a < < a a (d) De la Ec. (6.6) u[ ] > y por la propiedad de iversió e el tiempo (6.4), obteemos u[ ] < (6.45) (6.46) (6.47) (6.48) 6.4.5 Multiplicació por (o Difereciació e el Domiio de ) Si x[] tiee trasformada co RDC R, es decir,
347 x[ ] X( ) RDC R etoces Demostració Partiedo de la defiició (6.3) dx ( ) x[ ] R R (6.49) d X ( ) x[ ] y difereciado ambos lados co respecto a, se obtiee dx ( ) x[ ] d por lo que dx ( ) d { x[ ] } Z { x[ ] } de dode sigue la Ec. (6.49). Por difereciació sucesiva co respecto a, la propiedad especificada por la Ec. (6.49) puede ser geeraliada a d Z { x[ ] } ( ) X( ) (6.5) d Ejemplo 8. Determie la trasformada Z de la secuecia x[ ] a u[ ]. De las Ecs. (6.) y (6.4) sabemos que au [ ] > a a Usado la propiedad de la multiplicació por dada por la Ec. (6.49), se obtiee d a a u[ ] > a d a ( a) (6.5) (6.5) 6.4.6 Acumulació Si la secuecia x[] tiee trasformada Z igual a X() co regió de covergecia R, es decir, x[ ] X( ) RDC R
348 etoces x( ) X( ) X( ) R R { > } (6.53) Observe que la expresió x[ ] es la cotraparte e tiempo discreto de la operació de itegració e el domiio del tiempo y se deomia acumulació. El operador comparable de la trasformada de Laplace para la itegració es /s. La demostració de esta propiedad se deja como ejercicio. 6.4.7 Covolució Si x [] y x [] so tales que x [ ] X ( ) RDC R x [ ] X ( ) RDC R etoces la trasformada de la covolució de estas secuecias es dada por { } x [ ] x [ ] X ( ) X ( ) R R > (6.54) Esta relació juega u papel importate e el aálisis y diseño de sistemas LIT de tiempo discreto, e aalogía co el caso de tiempo cotiuo. Demostració De la Ec. (.9) sabemos que etoces, por la defiició (6.3) y[ ] x [ ] x [ ] x [ ] x [ ] ( ) [ ] [ ] Y x x x[ ] x[ ] Observado que el térmio etre parétesis e la última expresió es la trasformada Z de la señal desplaada, etoces por la propiedad de corrimieto e el tiempo (6.39) teemos Y( ) x[ ] X( ) x[ ] X( ) X( ) X( ) co ua regió de covergecia que cotiee la itersecció de la RDC de X () y X (). Si u cero de ua de las trasformadas cacela u polo de la otra, la RDC de Y() puede ser mayor. Así que cocluimos que { } x [ ] x [ ] X ( ) X ( ) R R >
349 6.5 La Trasformada Z Iversa La iversió de la trasformada Z para hallar la secuecia x[] a partir de su trasformada Z X() se deomia la trasformada Z iversa y simbólicamete se deota como x { X } [ ] ( ) Z (6.55) 6.5.. Fórmula de Iversió Igual que e el caso de la trasformada de Laplace, se tiee ua expresió formal para la trasformada Z iversa e térmios de ua itegració el plao ; es decir, x[ ] X( ) d π j (6.56) C dode C es u cotoro de itegració co setido atihorario que ecierra el orige. La evaluació formal de la Ec. (6.55) requiere de la teoría de ua variable compleja. 6.5.. Uso de Tablas de Pares de Trasformadas Z E el segudo método para la iversió de X(), itetamos expresar X() como ua suma X ( ) X ( ) + X ( ) + L + X ( ) (6.57) dode X (), X (),, X () so fucioes co trasformadas iversas coocidas x [], x [],, x [], es decir, está tabuladas (tabla al fial del capítulo). Etoces, de la propiedad de liealidad de la trasformada Z se deduce que la trasformada Z iversa viee dada por x[ ] x [ ] + x [ ] + L + x [ ] (6.58) 6.5.3. Expasió e Series de Potecias La expresió que defie la trasformada Z [Ec. (6.3)] es ua serie de potecias dode los valores de la secuecia x[] so los coeficietes de. Así pues, si se da X() como ua serie de potecias e la forma X( ) x[ ] L + x[ ] + x[ ] + x[] + x[] + x[] + L (6.59) podemos determiar cualquier valor particular de la secuecia determiado el coeficiete de la potecia apropiada de. Puede pasar que este efoque puede o proporcioe ua solució e forma
35 cerrada pero es muy útil para ua secuecia de logitud fiita dode X() puede o teer ua forma más secilla que u poliomio e. Para trasformadas Z racioales, se puede obteer ua expasió e serie de potecias mediate divisió de poliomios, como se ilustrará co alguos ejemplos. Ejemplo 9. Hallar la trasformada Z iversa de ( )( )( ) X( ), + < < Multiplicado los factores e esta ecuació, podemos expresar X() como Etoces, por la defiició (6.3), y obteemos X ( ) + + 5 X ( ) x[ ] + x[ ] + x[] + x[] 5 { L L } x [ ],,,,,, Ejemplo. Usado la técica de la expasió e serie de potecias, determie la trasformada Z iversa de las trasformadas siguietes: (a) x( ), < a a (b) X ( ) log, > a a (c) X( ) < 3+ (a) Como la RDC es < a, es decir, el iterior de u círculo de radio a, x[] es ua secuecia lateral derecha. Por tato, debemos dividir de maera que obtegamos ua serie e potecias de e la forma siguiete. Multiplicado el umerador y el deomiado de X() por, teemos X( ) a y procediedo a la divisió, obteemos 3 3 X( ) a a a L a L a a y por la defiició (6.3), obteemos
35 de modo que x [ ] 3 x[ ] a, x[ ] a, x[ 3] a, x[ ] a, L x [ ] au[ ] (b) La expasió e serie de potecias para log ( r ) es dada por Ahora log( r) r r < X ( ) log log ( a ) a > a Puesto que la RDC es potecias > a, es decir, de la cual podemos idetificar x[] como o a X ( ) ( a ) a ( ) a x [ ] x [ ] au [ ] <, etoces X() tiee la expasió e serie de (c) Puesto que la RDC es <, x[] es ua secuecia lateral iquierda. Así pues, debemos dividir para obteer ua serie de potecias e. Procedemos etoces a la divisió para obteer 3 4 + 3 + 7 + 5 + L 3+ Etoces y, por la defiició (6.3), se obtiee 4 3 X ( ) L + 5 + 7 + 3 + { } x [ ] K,5,7,3,,
35 6.5.4. Expasió e Fraccioes Parciales Igual que e el caso de trasformada de Laplace iversa, el método de expasió e fraccioes parciales geeralmete proporcioa el método más útil para hallar la trasformada Z iversa, especialmete cuado X() es ua fució racioal de. Sea N( ) ( )( ) L( m ) X( ) K D( ) ( p )( p ) L( p ) (6.6) Supoiedo que m, es decir, el grado de N() o puede exceder el grado de D(), y que todos los polos so secillos, etoces la fracció X()/ * es ua fució propia y puede ser expadida e fraccioes parciales X ( ) c c c c c c + + + L + + (6.6) p p p p dode X( ) c X( ) c ( ) p (6.6) Por lo tato, obteemos X( ) c + c + c + L + c c + c p p p p (6.63) p Determiado la RDC para cada térmio e la Ec. (6.63) a partir de la RDC total de X() y usado ua tabla de trasformadas, podemos etoces ivertir cada térmio, produciedo así la trasformada Z iversa completa. Si m > e la Ec. (6.6), etoces se debe añadir u poliomio e al lado derecho de la Ec. (6.63), cuyo orde es (m ). Etoces, para m >, la expasió e fraccioes parciales tedría la forma m q X( ) bq + c (6.64) p q Si X() tiee polos de orde múltiple, digamos que p i es el orde del polo múltiple co multiplicidad r, etoces la expasió de X()/ cosistirá de térmios de la forma λ λ λr + + L + (6.65) r p p p dode ( ) ( ) i i i d r X( ) λ ( pi)! d pi (6.66) * La expasió es de X()/ debido a que las fraccioes idividuales tiee como deomiador el factor de la forma ( a ) y o ( a) como aparece e la expasió.
353 Ejemplo (a) Usado expasió e fraccioes parciales, resuelva de uevo el problema e el Ejemplo (c) X( ) < + 3 Usado expasió e fraccioes parciales, obteemos dode X ( ) c c + 3+ ( ) ( ) Por tato, (b) Si etoces Por tato, y c c ( ) ( ) X( ) < F( ) 6 5 3 6 5 + F( ) 3 3 + + 3 3 F( ) + 3 f[ ] 3 + 3 Ejemplo. Hallar la trasformada Z iversa de X( ) ( )( ) > Usado expasió e fraccioes parciales, teemos que
354 dode X( ) c λ λ + + ( )( ) ( ) c λ ( ) Sustituyedo estos valores e la Ec. (6.67), se obtiee λ + + ( )( ) ( ) Haciedo e la expresió aterior (la expresió es válida para cualquier valor de ), se tiee que de dode λ y etoces Como la RDC es > obteemos λ 4 4 + X( ) + > ( ) (6.67), x[] es ua secuecia lateral derecha y de la tabla de trasformadas ( ) x[ ] + u[ ] Ejemplo 3. Calcule la trasformada Z iversa de 3 5 + X( ) ( )( ) < Si expadimos el deomiador obteemos 3 3 5 + 5 + X( ) ( )( ) 3+ que es ua fució racioal impropia; realiamos la divisió y teemos 7+ 7+ X 3 + ( ) + + ( )( ) Ahora, sea 7 + X ( ) ( )( ) Etoces
355 y Por cosiguiete X ( ) 7 5 6 + + ( )( ) 5 6 X ( ) + 5 6 X ( ) + < Puesto que la RDC de X() es <, x[] es ua secuecia lateral iquierda y de la tabla de trasformadas, obteemos x[ ] δ [ + ] δ [ ] + 5 u[ ] 6 u[ ] ( ) δ [ + ] δ [ ] + 5 6 u[ ] Ejemplo 4. Hallar la trasformada Z iversa de X() puede escribirse como Como la RDC es > 3 obteemos 4 X( ) > 3 3 4 X > 3 3 ( ) 4 3, x[] es ua secuecia lateral derecha y de la tabla de trasformadas 3 u[ ] Usado la propiedad de corrimieto e el tiempo, se tiee y cocluimos que 3 3 u[ ] 3 3 x [ ] 4(3) u [ ] Ejemplo 5. Hallar la trasformada Z iversa de X ( ) > a ( a) ( a )
356 De la Ec. (6.68) se sabe que a u[ ] > a ( a) Ahora, X() puede escribirse como X ( ) ( a) > a y aplicado la propiedad de corrimieto e el tiempo a la Ec. (6.69), obteemos x[ ] ( + ) a u[ + ] ( + ) u[ ] ya que x[ ] e. (6.69) 6.6 La Fució del Sistema: Sistemas LIT e Tiempo Discreto 6.6.. La Fució del Sistema E la Sec..3 se demostró que la salida y[] de u sistema LIT de tiempo discreto es igual a la covolució de la etrada x[] co la respuesta al impulso h[]; es decir, y [ ] x [ ] h [ ] (6.7) Aplicado la propiedad de covolució de la trasformada Z, Ec. (6.54), obteemos Y( ) X( ) H( ) (6.7) dode Y(), X() y H() so las trasformadas Z de y[], x[] y h[], respectivamete. La Ec. (6.7) puede expresarse como Y( ) H( ) (6.7) X ( ) La trasformada Z H() de h[] se cooce como la fució del sistema (o la fució de trasferecia del sistema). Por la Ec. (6.7), la fució del sistema H() tambié puede ser defiida como la relació etre las trasformadas Z de la salida y[] y de la etrada x[]. La fució del sistema caracteria completamete al sistema. La Fig. 6-9 ilustra la relació de las Ecs. (6.7) y (6.7). x[] h[] y[ ] x[ ] h[ ] X() H[] Y ( ) X ( ) H ( ) Figura 6-9 Respuesta al impulso y fució del sistema.
357 Ejemplo 6. La etrada x[] y la respuesta al impulso h[] de u sistema LIT de tiempo discreto viee dados por x[ ] u[ ] h[ ] α u[ ] <α< Determie la salida y[] usado la trasformada Z. De la tabla de trasformadas obteemos x [ ] u [ ] X( ) > h [ ] α u [ ] H( ) α > α Etoces, por la Ec. (6.7), Y( ) X( ) H( ) ( )( α) > Usado ahora expasió e fraccioes parciales, se obtiee Y( ) c c + ( )( α) α dode c α c α α α α de maera que α Y( ) α α α > cuya trasformada Z iversa es α α y[ ] u[ ] α u[ ] u[ ] α α α Ejemplo 7. La respuesta al escaló s[] de u sistema LIT de tiempo discreto viee dada por x [ ] α u [ ], <α< Determie la respuesta al impulso h[] del sistema. Sea x[] y y[] la etrada y salida del sistema. Etoces x [ ] u [ ] X( ) > y [ ] α u [ ] Y( ) >α α
358 Etoces, por la Ec. (6.7), Y( ) H( ) >α X( ) α Usado expasió e fraccioes parciales, se obtiee o Tomado la trasformada Z iversa, obteemos Cuado, y por tato por lo que h[] puede escribirse como H( ) α ( α) α α α α H( ) >α α α α α h [ ] δ[ ] α u [ ] α α α h[] α α h [ ] α α ( ) h u [ ] δ[ ] ( α) α [ ] Ejemplo 8. Se tiee que la salida y[] de u sistema LIT de tiempo discreto es ( ) etrada x[] es el escaló uitario u[]. (a) Calcule la respuesta al impulso h[] del sistema. (b) Determie la salida y[] cuado la etrada x[] es ( ) u[ ]. Solució: (a) x [ ] u [ ] X( ) > ( ) y [ ] u [ ] Y( ) > 3 3 Usado expasió e fraccioes parciales, se obtiee u[ ] cuado la 3
359 H( ) ( ) 6 4 ( ) 3 y H( ) 6 4 > 3 Tomado la trasformada Z iversa, obteemos 3 (b) h [ ] 6 δ[ ] 4 u [ ] 3 Etoces x [ ] u [ ] X( ) > ( ) Y( ) X( ) H( ) ( )( ) Usado expasió e fraccioes parciales ua ve más, teemos que Así que Y( ) ( ) 6 8 + ( )( ) 3 3 3 Y( ) 6 8 + > y la trasformada Z iversa de Y() es y [ ] 6 + 8 u [ ] 3 6.6.. Caracteriació de Sistemas LIT e Tiempo Discreto Muchas de las propiedades de los sistemas LIT de tiempo discreto puede asociarse ítimamete co las características de la fució de trasferecia H() e el plao y e particular co las ubicacioes de los polos y la regió de covergecia (RDC).. Causalidad Para u sistema LIT de tiempo discreto, teemos que
36 h[] < Como h[] es ua señal uilateral derecha, el requisito correspodiete sobre H() es que su RDC debe ser de la forma > r máx Es decir, la RDC es el exterior de u círculo que cotiee todos los polos de H() e el plao. E forma similar, si el sistema es aticausal, es decir, h[] etoces h[] es ua señal lateral iquierda y la RDC de H() debe ser de la forma < r mí Es decir, la RDC es el iterior de u círculo que o cotiee polos de H() e el plao.. Estabilidad E la Sec..5 se estableció que u sistema LIT de tiempo discreto es estable (estabilidad de etrada acotada-salida acotada, que se abreviará EASA) si y sólo si [Ec. (.53)] h [ ] < El requisito correspodiete sobre H() es que su RDC cotega el círculo uitario, es decir,. Ejemplo 9. Si u sistema LIT de tiempo discreto es estable (etrada acotada-salida acotada, EASA), demuestre que su fució del sistema H() debe coteer el círculo uitario, es decir,. U sistema LIT de tiempo discreto tiee estabilidad EASA si y sólo si su respuesta al impulso h[] es absolutamete sumable, es decir, Ahora, h [ ] < H( ) h[ ] Sea j e Ω de maera que e jω. Etoces j jω Ω H( e ) h[ ] e jω he [ ] h [ ] <
36 j E cosecuecia, vemos que si el sistema es estable, etoces H() coverge para e Ω. Es decir, para LIT de tiempo discreto estable, la RDC de H() debe coteer el círculo uitario. 3. Sistemas Causales y Estables Si el sistema es causal y estable, etoces todos los polos de H() debe estar ubicado e el iterior del círculo uitario del plao ya que la RDC es de la forma > r, y como el círculo uitario es icluido e la RDC, debemos teer r máx <. máx 6.6.3. Fució del Sistema para Sistemas LIT Descritos por Ecuacioes de Diferecias Lieales co Coeficietes Costates. E la Sec..9 se cosideró u sistema LIT de tiempo discreto para el cual la etrada x[] y la salida y[] satisface la ecuació de diferecias lieal co coeficietes costates de la forma N M a y[ ] bx[ ] (6.73) Aplicado la trasformada Z y usado las propiedades de corrimieto e el tiempo, Ec. (6.39), y de liealidad, Ec. (6.9), de la trasformada Z, obteemos o Así pues, N M a Y( ) b X( ) Y( ) a X( ) b N M (6.74) Y( ) H( ) X( ) M N b a (6.75) Por tato, H() siempre es racioal. Observe que la RDC de H() o es especificada por la Ec. (6.75) sio que debe iferirse co requerimietos adicioales sobre el sistema; requerimietos como la causalidad o la estabilidad. Ejemplo. U sistema LIT de tiempo discreto causal es descrito por la ecuació e diferecias 3 y[ ] y[ ] + y[ ] x[ ] (6.76) 4 8