EJERCICIO () Es u problema de idepedecia de criterios y se tedrá que costruir la tabla de cotigecia de frecuecias teóricas (esperadas), t ij, a partir de las frecuecias o observadas, ij, que se da e la tabla del ejercicio. SEXO (X) COLOR DEL PELO (Y) RUBIO PELIRROJO CSTÑO OSCURO NEGRO VRÓN 59 9 849 504 36 HEMBR 544 97 677 45 4 El cotraste es etoces H H 0 : No existe relació etre el color del pelo (Y) y el sexo de las persoas (X) :Sí existe relació etre el color del pelo (Y) y el sexo de las persoas (X) a que siempre es uilateral (de cola superior). lo largo del ejercicio las uidades de las tablas de cotigecia será persoas. Por otra, parte la tabla co las frecuecias esperadas,, es t ij COLOR DEL PELO (Y) SEXO (X) RUBIO PELIRROJO CSTÑO OSCURO NEGRO VRÓN 64,3703 6,869 85,897 56,48 7,0409 00,0000 HEMBR 5,697 99,83 700,703 438,579,959 783,0000 36,0000 6,0000 56,0000 955,0000 50,0000 3883,0000 dode todas las frecuecias teóricas so tales que t ij 4 (hipótesis de ormalidad de la població). El estadístico del cotraste es la prueba chi cuadrado de Pearso : 3 3 t o ij ij t i j ij 0.4674 cuyo cálculo se obtiee de la tabla COLOR DEL PELO (Y) SEXO (X) RUBIO PELIRROJO CSTÑO OSCURO NEGRO VRÓN 0,845 0,0408 0,68 0,307,9683 4,8065 HEMBR 0,9594 0,048 0,803 0,3553 3,4960 5,660,7739 0,0889,4835 0,6570 6,4643 0,4674 De las tablas de la distribució (que es el modelo de probabilidad que rige e este tipo de problemas siempre y cuado se asuma que la probabilidad de referecia es ormal) se deduce que el valor crítico,, que separa la zoa de aceptació de la zoa de rechazo de la H 0 es: / Ï ( ), ( c) ( r),4gdl
que para los distitos oveles de sigificació que se sugiere se obtiee la siguiete de referecia (%) Ï ( ) (%) Existe existecia estadística para rechazar la hipótesis ula? 5 75 5.38569 SI 0 90 7.779440 SI 5 95 9.48779 SI 99 3.76704 NO Resumiedo, a partir de la muestra sumiistrada SI existe evidecia estadística para rechazar la hipótesis ula; y e cosecuecia, existe LGUN relació etre el tipo de color del pelo y el sexo de la persoa co u ivel de sigificació 0.0. (B) Para calcular el ivel de sigificació extremo, correspode a ext, de esta prueba, que ext / Ï (,4 0.4674) ext gdl ext que, de las tablas, se correspode co ext 3.3490%. (C) Para obteer el tamaño míimo de la muestra, para que (supoiedo resultados proporcioales a los observados e la tabla), la prueba de cotraste de hipótesis sea válida, hay que tomar como referecia la frecuecia teórica que tiee el valor más t t pequeño. E este caso se trata de la celda: ij X HEMBR, Y NEGRO.959 persoas. Para ello se aaliza la tabla de probabilidades margiales: COLOR DEL PELO (Y) SEXO (X) RUBIO PELIRROJO CSTÑO OSCURO NEGRO VRÓN 0,58 0,030 0,5 0,330 0,0070 0,5408 HEMBR 0,343 0,055 0,805 0,9 0,0059 0,459 0,96 0,0556 0,3930 0,459 0,09,0000 de dode se deduce que p, 4 persoas, de dode se deduce que XHEMBR YNEGRO 4 677.96607 0.0059 Es decir, el tamaño de la muestra al meos ha de ser de = 678 persoas. Si se toma como referecia la codició t 5, aálogamete, se deduce la codició = 848 persoas. ij
EJERCICIO Para las muestras proporcioadas ( = ) M. 4. 3.5 4.5 3. 3.7 3.0.6 3.4.6 3. 3.3 3.8 3. 4.7 3.7.5 4.3.3 3.4 3.6 M.9 3.3 3.9 3. 3.3 3. 3.7 4.4 3. 4..9 3.4 4.7 3.8 3..6 3.9 3.0 4.5 4. 3.5 se deduce los siguietes valores itermedios x 69.6 años; x 73.7 años; M, i M, i i i xm, i4.84 años ; xm, i67.77 años i i La estadística descriptiva proporcioa los siguietes resultados: x sˆ M M 3.343 años 0.7799 años x sˆ M M 3.5095 años 0.675 años () Se pide realizar u cotraste de hipótesis del cociete de las desviacioes típicas de dos poblacioes co lo que se tiee que supoer que ambas so ormales co el fi de aplicar los métodos paramétricos que se ha cosiderado e el curso, y poder tomar la distribució de probabilidad F de Fisher-Sedecor como modelo de referecia. El cotraste se defie bilateral (dos colas) a partir de la preguta del euciado: H H El estadístico del cotraste es: : / ( ) 0 M M M M : / ( ) a M M M M ( )ˆ s M M M M ˆ M M sm M ( )ˆ ˆ M M sm sm M M M F siedo los valores teóricos de referecia M 0.675 0.86575 0.7799 F, M, M F F0.05,0,0 F0.975,0,0.46 0.406504065 F F0.975,0,0.46
Como F F F, o existe evidecia estadística para rechazar la hipótesis ula co u ivel de sigificació 5%. O equivaletemete, o existe evidecia algua a partir de las muestras proporcioadas de que las poblacioes de referecia tega desviacioes típicas diferetes co u ivel de sigificació 5%. (B) Se trata de u cotraste de diferecia de medias (porque hay dos muestras) aritméticas co muestras idepedietes (porque las baterías implicadas so todas distitas), siedo el modelo de probabilidad la distribució de probabilidad t-studet ya que 30. M M El cotraste se defie bilateral (de dos colas): H H El error probable de la estimació es: : 0( ) 0 M M M M : 0( ) a M M M M ( ) sˆ ( ) sˆ sˆ sˆ M M M M M M MM M M M M El estadístico del cotraste deviee: t x x M M M M B 3.343 3.5095 0.95 0.8875 0.57 0.57 siedo el valor teórico de referecia t t t.0 cot t t, 97.5%,40 gdl No existe evidecia estadística para rechazar la hipótesis ula co u ivel de sigificació 5%. Es decir, o existe suficiete evidecia de que las vidas medias estimadas a partir de ambas muestras sea distitas co u ivel de sigificació 5%. Como coclusió fial, se puede afirmar co u ivel de sigificació 5% que ambas muestras correspode a la misma població.
EJERCICIO 3 E efecto, se puede demostrar que lim P N (, ). Para este euciado se tiee que 43. pacietes. Etoces, por tratarse de ua variable discreta Y de Poisso se tiee que: Y := úmero de pacietes que solicita ateció de urgecia e u día determiado Ï Y e! Y Y k Ï Ï k l realizar la aproximació de Poisso (discreta) por la ormal (cotiua) se ha de teer e cueta la correcció por cotiuidad. () 33 43. 43. e Poisso : 0.0865339 ( resultado exacto) Ï Ï Y 33 pacietes 33! Normal : ( ver debajo)( resultado aproximado) Para este caso N ( 43. pacietes, 6.5767069 pacietes) 3.5 33.5 Ï Y 33 pacietes Ï 3.5 Y 33.5z Z z N (, ) z.6795357 Z z.47580800 Z z.47580800 Z z.6795357 Ï Ï Ï Ï 0.0699977-0.05767409=0.08303 (B) Se pide calcular la probabilidad: pacietes Y pacietes Y pacietes Y pacietes Ï Ï 4 53 Ï 53 Ï 4 Si aplicamos Poisso directamete (método exacto) se tiee que Ï 0.9375889 0.4079889=0.53039000 plicado la aproximació propuesta e el euciado del euciado se deduce que.
4.5 53.5 Ï 4Y 53 Ï 4.5 Y 53.5Ï z Z z N (, ) Ï z -0.58646763 Z z.567095095 Ï Z z.567095095 Ï Z z -0.58646763 Ï 0.94453767-0.397953899=0.543499868 (C) La probabilidad de que el servicio de urgecia quede colapsado es Ï3 Ï Y 50 pacietes Ï Y 50 pacietes. Si aplicamos Poisso directamete (método exacto) se tiee que Ï 3 0.86566799=0.34330 plicado la aproximació propuesta e el euciado del euciado se deduce que 50.5 Ï Ï Ï Ï N (, ) Y 50 Y 50.5 Z z Z z.0659630 3 Ï Ï Z z.0659630 0.3335744
EJERCICIO 4 E lo que sigue deota la població de los iños a los que se les sumiistro la medicia y B la de los que o se les sumiistró. 9 56 ˆ p 0.47 ; ˆ B B pb 0.000 0 80 () Del euciado del ejercicio el cotraste se establece e térmios de u cotraste uilateral de cola iferior (ya que segú el euciado determiar si la ueva medicia de la compañía era efectiva ): H H : 0( ) 0,0 B,0,0 B,0 : 0( ) a,0 B,0,0 B,0 dode se aplica el modelo de probabilidad ormal ya que es p 9 4 p 56 4 9 4 q 4 4 B B q B B El error probable (desviació típica) de la estimació es: pq pq 0.470.7583 0.0.8 0 80 B B B B.5734583 0 5.748574 0.5734583 0 5.748574 0 3 4 3 4 3.0987754 0 0.04583478 El estadístico del cotraste es z p pb,0 B,0 B 0.47 0. 0.90349599 0.04583478 El valor que separa la regió crítica de la zoa de admisibilidad para u ivel de sigificació.5% es z z.5%.959963985 utilizado la simetría de la distribució ormal. Como z z, de la muestra proporcioada o existe evidecia estadística para rechazar la hipótesis ula; es decir,
o existe evidecia suficiete de que la ueva medicia de la compañía sea efectiva e u plazo de dos días co u ivel de sigificació del.5 %. (B) Para realizar la estimació cofidecial (itervalar) propuesta se ha de trabajar ta solo co la població, de dode se deduce que el error probable asociado será: pq 0.470.7583 0 3.5734583 0 0.039083373 Para el ivel de cofiaza propuesto se deduce que z z97.5%.959963985 y el itervalo de cofiaza pedido es l, L ˆ z, ˆ z 0.650894, 0.3897806 ˆ ˆ (C) Dado que la fórmula del error probable es pq 0.470.7583 0.0 de dode se sigue que pq 0.47 0.7583 83.8 0.0 0.0 de dode se sigue que = 833 persoas (como míimo).
EJERCICIO 5 El modelo de probabilidad que iterviee es la distribució de Pearso para la estimació/cotraste de desviacioes típicas co = 0 latas co (es decir, ua població): ( ) s 94.8 07.36 mg ˆ () E este caso se trata de u cotraste de hipótesis de desviació típica de ua sola poblacio, uilateral (de cola superior), segú se deduce del euciado; es decir: H H : 8 mg 0 0 a : 8 mg El estadístico del cotraste es ˆ ( ) s 9 4.8 07.36.5 0 8 8 La regió de aceptació para el cotraste propuesto es 95%, 9 gdl 6.9 que comparado co el valor teórico de la distribució (detro de la regió de admisibilidad), permite cocluir que a partir de la muestra presetada o existe evidecia estadística para rechazar la hipótesis ula, y por lo tato o existe evidecia suficiete para decir que Se desea que la desviació típica del coteido de azúcar o supere los 8 mg co u ivel de sigificació a = 5%. (B) El itervalo de cofiaza para la desviació típica poblacioal es: ( ) sˆ ( ) sˆ l, L, dode.70.5,9 gdl, 97.5,9 gdl 9. co lo que se obtiee el itervalo solicitado 07.36 07.36 9..70 l, L, 3.863 mg,8.7635 mg
EJERCICIO 6 PRTE : por: La probabilidad de aceptació para u pla de muestreo PM(, a) viee dada 3 60 Ï Ï Y a 3 Ï Y k siedo Ï Y k p k ( p) aceptacio k 0 60 k Como se tiee que = 60 o podemos utilizar las tablas de la distribució biomial que se tiee, i utilizar la fórmula correspodiete (porque aparece factoriales de úmeros grades), y hay que recurrir a aproximacioes. Caso : Como p 600.05 3 4, etoces co lo que aceptacio p0.05 0 Ï Ï Y 3 64.70 % k lim B( p, ) P ( p) co p 3 p tablas Poisso Caso : hora aproximació: p 600.0 4, e cosecuecia se ha de utilizar la q 600.80 48 4 lim B(, p) N ( p, pq) tomado, pq 3.09839 co la correcció por cotiuidad. sí: 3.5 Ïaceptacio Ï Y 3Ï Y 3.5Ï Z z 0.0.7433606 p 3.09839 Ï Ï Z z.7433606 0.997050653=0.949347 % aceptacio p0.0 PRTE B: () El pla de muestreo es del tipo PM( = 0, a) co probabilidad de aceptació Y a Y k Ï 70% Ï Ï Ï Ï 75% aceptacio p0.05 aceptacio aceptacio p0.05 k 0 a
De las tablas de la distribució biomial para = 0 y p = 0.05 se deduce que a = porque Ï Ï Y 035.85% (que se queda corto) y aceptacio p0.05 a aceptacio p0.05 a0 Ï Ï Y 73.58% (que se ecuetra e el itervalo dado). (B) 0 k 0 0 Ï 0 aceptacio Ï Y 0.0 ( 0.0) 0.0 0.98 0.0 0.98 a 0.0 k 0 k 0 p 0 9 0.98 00.00.98 94.0005% 0k 0 0 9 (C) Del apartado () se deduce que la probabilidad de aceptació exigida se logra co ua tasa de defectos p = 5 %, co lo que de esperar que se ecuetre como máximo 50 piezas defectuosas.