1/8 CPE (SEGUNDO CURSO PRÁCTICA 8 SOLUCIONES (Curso 2017 2018 1. En un cierto tramo de una carretera comarcal de dos sentidos pasan vehículos a razón de 3 vehículos por minuto en un sentido (sentido A y 5 vehículos por minuto en el otro (sentido B. Se considera que la llegada de vehículos son llegadas de Poisson. Se pide: a Calcular la probabilidad de que en 30 segundos pasen más de 5 vehículos en total. b Si en 20 segundos pasa un solo vehículo, cuál es la probabilidad que circule por el sentido A? c Debido a la falta de paso señalizado, un peatón decide cruzar la carretera en un lugar de muy difícil visibilidad. El tiempo que tarda en cruzar la carretera es de 12 segundos. Calcular la probabilidad de que el peatón no sea atropellado. Téngase en cuenta que la carretera consta de dos sentidos de circulación y supóngase que el tiempo usado por el peatón para cruzar cada sentido es el mismo. (a Sentido A l=3 veh/min Sentido B l=5 veh/min Sea X el número de vehículos que circulan por el sentido A e Y el que circula por el sentido B. Sabemos que X P (ν x = λ x T y que Y P (ν y = λ y T. Introduciendo los datos obtenemos que X P (1.5 e Y P (2.5. Suponiendo que las llegadas en ambos sentidos son independientes y ya que la distribución de Poisson es regenerativa respecto a la suma, podemos obtener la variable aleatoria Z, que representa el número total de vehículos que circulan por la carretera como Z = X + Y = P (ν x + ν y = P (4 Una vez que conocemos la distribución de Z podemos calcular la probabilidad solicitada como P [Z > 5] = 1 P [Z 5] = 0.21487. (b Dado que T = 20 segundos, las distribuciones de las variables aleatorias X, Y y Z son:
2/8 X P (1, Y P ( 5 3 y Z P ( 8 3. La probabilidad solicitada es donde P [X = 1 Z = 1] = P [Z = 1 X = 1]P [X = 1] P [Z = 1 X = 1]P [X = 1] + P [Z = 1 Y = 1]P [Y = 1], P [Z = 1 X = 1] = P [Y = 0] = 0.1889 P [Z = 1 Y = 1] = P [X = 0] = 0.3679 P [X = 1] = 0.3679 P [Y = 1] = 0.3148 P [Z = 1] = P [Z = 1 X = 1]P [X = 1] + P [Z = 1 Y = 1]P [Y = 1] = = P [Y = 0]P [X = 1] + P [X = 0]P [Y = 1] = 0.1853. Por tanto, la probabilidad solicitada es P [X = 1 Z = 1] = 0.1889 0.3679 0.1853 = 0.3750. Además, por el teorema de la probabilidad total se puede comprobar que la distribución de Poisson es regenerativa respecto a la suma. Dado que conocemos la distribución de la variable aleratoria Z, podemos calcular P [Z = 1] = e 8/3 (8/3 1 1! = 0.1853. Se ha obtenido la misma probabilidad, tal y como se esperaba. (c El peatón tarda el mismo tiempo en recorrer cada uno de los carriles, es decir, T = 6 segundos. Por tanto X P (0.3, Y P (0.5. T=6 segundos T=6 segundos Por tanto la probabilidad solicitada es p = P [X independientes, = 0 Y = 0], dado que se asumen p = P [X = 0]P [Y = 0] = e 0.3 (0.3 0 e 0.5 (0.5 0 0! 0! = 0.4493. El peatón tiene una probabilidad de aproximadamente un 55 % de sufrir un atropello.
3/8 2. Un distribuidor vende repuestos en paquetes de 0, y garantiza que, a lo sumo, el % son defectuosos. Un cliente controla cada paquete extrayendo repuestos. Si esta muestra no contiene repuestos defectuosos, acepta el paquete. En caso contrario lo rechaza. Suponiendo que en los paquetes haya exactamente el % de repuestos defectuosos, calcular la probabilidad de que rechace el paquete si: a La muestra se extrae sin reemplazo. b La muestra se extrae con reemplazo. a Si la muestra se extrae sin reemplazo el número de repuestos defectuosos (éxitos en las extracciones se distribuye según una distribución hipergeométrica, es decir ( ( 90 x x P X (x = ( 0 Si llamamos C al suceso el cliente rechaza el paquete podemos escribir P [C] = 1 P [ C ] = 1 P X (0 = 1 = 1 ( ( 90 0 ( 0 = 1 ( 90 ( 0 = 1 90! 80!! 0! 90!! 90 89 88... 81 = 1 0.3305 = 0.6695 0 99 98... 91 b Si la muestra se extrae con reemplazo, X B(, 0.1. Por tanto P [C] = 1 P [ C ] = 1 P X (0 = 1 = 1 0.9 = 1 0.3487 = 0.6513 = 1 90!90! 80!0! = ( (1 p n 0 p 0 = 1 (1 p = 0
4/8 3. Deben sustituirse 8 elementos electrónicos de un sistema, de los cuales 5 son de tipo A y 3 son de tipo B. El técnico que debe realizar la operación ha recibido 20 elementos, 12 del tipo A y 8 del tipo B, pero debido a deficiencias del envío no puede identificar los tipos, por lo que decide tomar 12 de estos componentes nuevos y comprobar in situ su adecuación. Hallar la probabilidad de que con estos 12 elementos puedan realizarse correctamente todas las sustituciones. Al tomar 12 elementos de los 20 que tenemos, el número N de elementos que son de tipo A corresponde obviamente a una distribución hipergeométrica N HG(20, 12, 12/20 Luego P N (n = ( 12 ( 8 n ( 20 12 12 n, n = 4, 5,..., 12 Las sustituciones necesarias se podrán realizar si en los elementos elegidos hay al menos 5 de tipo A y al menos 3 de tipo B. O lo que es lo mismo, si hay 5,6,7,8 o 9 elementos de tipo A. Como los sucesos son incompatibles, la probabilidad pedida, q, es q = P N (5 + P N (6 + P N (7 + P N (8 + P N (9. Y operando resulta q = 0.98063.
5/8 4. A un silo de almacenamiento llegan diariamente N cargas de cemento. N está distribuido según Poisson con parámetro λ = 2 cargas/día. La instalación de descarga del silo puede procesar hasta tres cargas por día; el exceso de carga es despachado a otros silos. Se pide: a Probabilidad de procesar todas las cargas que llegan en un día. b En cuánto debería ampliarse la instalación de descarga para que la probabilidad de tener que rechazar cargas en un día cualquiera sea de 0.1? c Cuál es el número más probable de cargas que se procesarán en un día? d Calcular la esperanza matemática del número de cargas procesadas y rechazadas cada día. (a En términos de la variable aleatoria N, el suceso cuya probabilidad nos preguntan es [N 3] ya que 3 es la capacidad máxima de la instalación. La distribución de una variable de Poisson de parámetro λ = 2 en un período de tiempo unidad es de forma que P [N = n] = e 2 2n, n = 0, 1, 2,... n! P [N 3] = P [N = 0] + P [N = 1] + P [N = 2] + P [N = 3] = e 2 (1 + 2 + 22 2! + 23 3! = 0.8571 (b Sea n 0 la nueva capacidad diaria de la instalación de descarga. Siendo de nuevo N la variable aleatoria número de cargas que llegan al silo durante un día, n 0 ha de cumplir que P [N > n 0 ] 0.1, es decir, P [N n 0 ] 0.9. De la misma forma que en el apartado anterior, n 0 P [N n 0 ] = n=0 n 0 P [N = n] = e 2 n=0 2 n n! = e 2 (1 + 2 + 22 2! + 23 3! +... + 2n0 n 0! y para que este valor sobrepase 0.9 es suficiente tomar n 0 = 4. Por lo tanto basta aumentar la capacidad de la instalación en una carga. (c Sea X la variable aleatoria número de cargas que se procesan en un día. X es función de la variable N, pero no coincide con ella. Claramente R X = {0, 1, 2, 3}; el suceso [X = n] coincide con [N = n] para 0 n 2 (si llegan dos cargas o menos, se procesan todas, mientras que el suceso [X = 3] coincide con [N 3] (si llegan tres cargas o más, se procesan tres. Así P [X = 0] = P [N = 0] = e 2 = 0.1353 P [X = 1] = P [N = 1] = 2e 2 = 0.2707 2 22 P [X = 2] = P [N = 2] = e 2! = 0.2707 P [X = 3] = P [N 3] = 1 (P [N = 0] + P [N = 1] + P [N = 2] = 0.3233 El valor más probable para X es por lo tanto 3.
6/8 (d En el apartado anterior calculamos la distribución de la variable aleatoria X (número de cargas procesadas en un día. Su esperanza matemática es E(X = 0 P [X = 0] + 1 P [X = 1] + 2 P [X = 2] + 3 P [X = 3] = 1.782 La variable aleatoria Y = número de cargas rechazadas en un día se puede obtener como Y = N X. Por lo tanto E(Y = E(N E(X; teniendo en cuenta que la esperanza de N es λt = 2 1 = 2 (ver momentos de una variable de Poisson, resulta E(Y = 0.2180.
7/8 5. Una ingeniería ha decidido presentarse a todos los concursos que salgan en su Comunidad Autónoma, para proyectos en temas de carreteras, hasta que consiga dos adjudicaciones. La probabilidad de que le adjudiquen un proyecto en un concurso es del 50 %, y se considera que el resultado de cada concurso es independiente del de los demás. Se desea saber: a La media de concursos a los que habrá de presentarse la empresa. b El número más probable de concursos a los que habrá de presentarse la empresa. c La media del número de concursos que no se le adjudicarán a esta empresa hasta que se le adjudiquen dos. Sea X el número total de concursos a los que ha de presentarse la empresa. Sea G el suceso ganar el concurso. Obviamente, P [G] = 0.5. La variable X tiene (si cada concurso es independiente de los demás una distribución de Pascal de parámetros k = 2 y p = 0.5, en la que denominamos éxito al hecho de ganar el concurso. Entonces a b La función de probabilidad de X es X BN(k, p = E[X] = k p = 2 0.5 = 4 P X (x = Sustituyendo y operando Dando valores P X (2 = 0.5 2 = 0.25 P X (3 = 2 0.5 3 = 0.25 P X (4 = 3 0.5 4 m = 0.1875 P X (5 = 4 0.5 5 m = 0.125 ( x 1 (1 p x k p k, x = k, k + 1,... k 1 ( x 1 P X (x = 0.5 x 2 0.5 2 = (x 10.5 x, x = 2, 3, 4,... 1 P X (6 = 5 0.5 6 m = 0.078125 y así sucesivamente, luego el número más probable de concursos a los que habrá de presentarse la empresa es 2 o 3 (con la misma probabilidad. c Sea Y el número de concursos que no se le adjudicarán a esta empresa hasta que se le adjudiquen dos. Obviamente Y = X 2 luego E[Y ] = E[X 2] = E[X] 2 = 4 2 = 2.