Línea geodéica Angel Montedeoca Lune 12 de Mayo del 2008 1 ara que do uperficie e corten bajo un ángulo contante, e neceario y uficiente que la curva interección tenga la mima torión geodéica relativa a la do uperficie. Nota: La torión geodéica τ g de una curva en una uperficie de normal unitaria N, etá definida por ( ) d N d = κ n t τ g u, donde u = N t. 2 Supongamo que una uperficie M admite una familia de línea de curvatura F 1 que on al mimo tiempo geodéica de M. Motrar que la curva de la otra familia F 2 de línea de curvatura on ortogonale en cada uno de u punto, a un plano conteniendo a una curva de la familia F 1. 3 Hallar la curvatura geodéica de la hélice x = a co t, y = a en t, z = t obre: a) El cilindro: x = a co u, y = a en u, z = v. b) El helicoide: x = u co v, y = u en v, z = v. 4 robar que toda curva e una geodéica de la uperficie generada por u binormale. 5 A) Sobre la uperficie x = u co v, y = u en v, z = f(u) (f función de clae C 2 ), hallar la curvatura geodéica de la curva coordenada. B) robar que lo meridiano de la efera tienen curvatura geodéica nula. 6 La curva paramétrica de una uperficie x = x(u 1, u 2 ) de clae n > 2 on geodéica i y ólo i Γ 1 22 = 0 y Γ 2 11 = 0, repectivamente. 7 robar que la proyección dede el centro de una efera obre otra efera concéntrica de diferente radio aplica ĺınea geodéica en línea geodéica, aunque no e una iometría. 8 Sea una uperficie de ecuación x = x(u, v) cuya primera forma fundamental e I = du 2 + f(u, v)dv 2. robar que la curva v = cte. on geodéica. 9 Demotrar que i la coordenada curvilínea de una uperficie on ortogonale, entonce la curvatura geodéica de la curva coordenada e u 2 = cte. : 1 g22 ln g 11 u 2 ; u 1 = cte. : 1 g11 ln g 22 u 1. 10 Sea α() = x(u 1 (), u 2 ()) una geodéica en una uperficie x = x(u 1, u 2 ) tal que g 11 = g 11 (u 1 ), g 12 = 0, g 22 = g 22 (u 1 ). robar que g 22 co θ = cte., iendo θ el ángulo que forma la geodéica con la curva u 1 = cte. 11 Sea x = x(u 1, u 2 ) una uperficie de clae 2 tal que g 11 = g 11 (u 1 ), g 12 = 0, g 22 = g 22 (u 1 ). robar que: a) La curva coordenada u 2 = cte. on geodéica. b) La curva coordenada u 1 = cte. on geodéica i y ólo i g 22 c) La curva α(u 1 ) = x(u 1, u 2 (u 1 )) e geodéica i y ólo i u 2 = ± u 1 u 1 0 c g 11 g22 g22 c 2 du1. = 0. 12 robar que en una uperficie de revolución todo lo meridiano on geodéico, pero para que el paralelo que paa por un punto de un meridiano ea geodéico e neceario y uficiente que la tangente al meridiano en ea paralela al eje de revolución. 1
Línea geodéica 2 13 Hallar la geodéica del plano dado en coordenada polare. 14 Si una geodéica en una uperficie de revolución forma un ángulo θ con lo meridiano a lo largo de la geodéica, entonce e verifica que u en θ = cte. (iendo u el radio del paralelo) 15 robar que la curva de la familia v 3 /u 2 = cte. on geodéica obre la uperficie de primera forma fundamental I = v 2 du 2 2uvdu dv + 2u 2 dv 2. (u > 0, v > 0) 16 Utilizar la expreione de la curvatura geodéica de la curva paramérica de una uperficie x = x(u 1, u 2 ) con curva paramétrica ortogonale: ( ) 1 g 11 1 g 22 (κ g ) u 2 =cte. = 2g 11 g22 u 2 (κ g ) u 1 =cte. = 2g 22 g11 u 1, para comprobar que la trayectoria ortogonale de la curva u/v = cte. en la uperficie de primera forma fundamental I v 2 (du) 2 + u 2 (dv) 2, on geodéica. (Indicación: Obtener la primera forma fundamental de la uperficie, tomando como nueva curva paramétrica la u/v = cte. y u trayectoria ortogonale). 17 Deducir, de la ecuacione diferenciale de la geodéica d 2 u k d 2 + 2 i,j=1 Γ k du i du j ij d d = 0 (k = 1, 2), que i la curva paramétrica on ortogonale, ella on geodéica i y ólo i g 11 u 2 = 0, g 22 u 1 = 0. Concluir que la curvatura de Gau de la uperficie e nula. (Indicación: Utilizar el Teorema Egregium de Gau). 18 robar que en una uperficie x = x(u 1, u 2 ) la condición necearia y ufiicente para que la curva u 2 = cte. ean geodéica e que g 11 g 11 u 2 + g g 11 12 u 1 2g g 12 11 u 1 = 0. 19 Demotrar que i do familia de geodéica e interecan egún un ángulo contante, la uperficie tiene curvatura de Gau nula. 20 Demotrar que la ecuacione de la geodéica obre una uperficie definida por F (x, y, z) = 0 atifacen a: F x x x F y y y F z z z = 0. 21 Sea C una curva obre una uperficie reglada no dearrollable y conideremo la iguiente propiedade: a) C e una geodéica. b) C e una línea de etricción. c) C corta a la generatrice egún un ángulo contante. Demotrar que do cualequiera de eta condicione implica la tercera.
Línea geodéica 3 22 Uando repreentacione paramétrica diferente etablecer la igualdad entre la expreione del vector curvatura geodéica. 23 En el cilindro circular x 2 + y 2 = 1, encontrar una parametrización emigeodéica alrededor del punto (1, 0, 0) para la cual una de la curva de la familia de curva coordenada geodéica ea la hélice circular a travé de dicho punto (1, 0, 0) y de pao 1. arametrización cilíndrica (geodéica): ] (u, v) π 4, π [ ] 1, 1[ (co u, en u, v) I (du) 2 + (dv) 2 4 arametrización geodéica: (u, v) ] π 4, π [ ] π 4 4, π [ 4 coordenada emigeodéica ( co u v, en u v, u + v ) 2 2 2 I (du) 2 + (dv) 2 arametrización emigeodéica polar: coordenada emigeodéica polare ( ) (u, v) ]0, 1[ ]0, 2π[ co(u co v), en(u co v), u en v I (du) 2 + u 2 (dv) 2 24 Demotrar el iguiente reultado relativo a una uperficie reglada no dearrollable arbitraria: la ĺınea de etricción forma un ángulo contante con la generatrice rectilínea i y ólo i e una ĺınea geodéica. 25 Etablecer que toda la evoluta de una curva on geodéica en la uperficie polar de la curva (uperficie dearrollable envolvente de lo plano normale a la curva). 26 robar que en una uperficie x = x(u 1, u 2 ) la condición necearia y uficiente para que la curva u 1 = cte. ean geodéica e que g 22 g 22 u 1 + g g 22 12 u 2 2g g 12 22 u 2 = 0. 27 robar que, obre un paraboloide de revolución, toda geodéica que no ea un meridiano e intereca a í mima infinita vece. 28 Si una uperficie admite do familia ortogonale de geodéica, e iométrica al plano. 29 La curvatura geodéica e puede interpretar como una generalización intríneca de la curvatura de curva plana, como e deduce del iguiente reultado: Sea un punto de una curva dada C obre una uperficie y el punto de C a una ditancia dede a lo largo de C. Si la geodéica tangente a C en lo punto y e cortan en el punto, ea el ángulo entre la tangente a eta geodéica en. Entonce la curvatura geodéica de C en e κ g = lim o (1)
Línea geodéica 4 Obérvee que para el cao de curva plana, ocurre que e el ángulo entre la tangente en y (la geodéica on eta recta) y lim e la curvatura de la curva en. Aplicar la fórmula (1) para obtener la curvatura geodéica de una circunferencia en la efera unidad. o Efera θ 0 =0 Superficie φ =0 lano La curvatura geodéica del paralelo θ = θ 0 en la efera de ecuación paramétrica x(φ, θ) = (co θ co φ, co θ en φ, en θ) e κ g = tag θ 0. 30 robar que i la trayectoria ortogonale a la curva u 2 = cte. on geodéica, entonce (g 11 g 22 g 2 12)/g 11 e independiente de u 1. 31 Al proyectar ortogonalmente una curva C de una uperficie obre el plano tangente a éta, en un punto de C, e obtiene una curva plana cuya curvatura en e la curvatura geodéica de C en. 32 Alrededor de un punto 0 regular de una uperficie e conidera un itema de coordenada emigeodéica polare, e decir, la curva paramétrica on la geodéica que parten de 0 en toda la direccione (v = cte.) y u trayectoria ortogonale (u = cte.). Se tiene entonce repecto a ete itema de coordenada la iguiente expreión de la 1 a forma fundamental: I du 2 + G(u, v)dv 2. Etablecer que lim u 0 G(u, v) = 1. u 33 Un helicoide (general) e una uperficie generada por el movimiento helicoidal de una curva (generatriz) alrededor de una recta fija, llamada eje. La ditinta poicione de la curva generatriz e obtienen, por tanto, primero girando un ángulo v alrededor del eje y luego traladando una ditancia l parallela al eje, cumpliendoe que l/v = a (contante). La contante 2πa e denomina pao del helicoide, que viene a er la ditancia traladada depué de una vuelta completa; i el pao e cero e trata de una uperficie de revolución. Si el eje e OZ y la ecuación de la ección del helicoide por el plano XOZ e: x = f(u), y = 0, z = h(u), a) Deducir que la ecuación del helicoide de pao 2πa e x(u, v) = (f(u) co v, f(u) en v, h(u) + av). b) robar que la eccione por plano que contienen al eje on geodéica i y ólo i dicha eccione on línea recta. 34 Sea x = x(u, v) una parametrización emigeodéica de una uperficie, tal que la curva de parámetro u on geodéica y que tienen a ete parámetro como longitud de arco; e decir, que I du 2 + G(u, v)dv 2 e la primera forma fundamental relativa a eta parametrización. Demotrar que i C e una geodéica que forma un ángulo θ() con la curva de parámetro u ( parámetro arco de C), e tiene que a lo largo de C. dθ d + G dv u d = 0 35 Determinar la geodéica de una uperficie cilíndrica.
Línea geodéica 5 36 Si la curva parámetrica de una repreentación paramétrica de una uperficie on ortonormale (e decir, i lo campo de vectore báico x 1, x 2, on unitario y perpendiculare), demotrar que ella on geodéica y etablecer que la curvatura de Gau e idénticamente nula. ( )