Proeamiento Digital de Señale de Voz Modelo de Produión de Voz Juan Carlo Gómez (verión 0/0/0). Introduión La eñale de voz on roduida uando una olumna de aire dede lo ulmone exita el onduto voal, que e omorta omo una avidad reonante. El onduto voal e uualmente modelado omo la onatenaión de tubo aútio in érdida, on ditinta eione tranverale, que omienza en la uerda voale y termina en lo labio. La aertura de la uerda voale e denomina gloti. Lo diferente onido ueden genériamente er laifiado en: onido tonale (en inglé voied, omo el de la voale) y onido no tonale (en inglé unvoied, omo or ejemlo el de una '' final de alabra). Lo onido tonale on roduido al forzar aire a travé de la gloti on la uerda voale tenada de manera que e rodue la oilaión relajada de la mima, exitando de ea forma el onduto voal on ulo de aire uai-eriódio. Cuanto má grande e la tenión de la uerda, má alta e la freuenia fundamental de la voz roduida. Lo onido no tonale, en tanto, on generado manteniendo la uerda abierta, formando una ontriión del onduto voal, y forzando aire a travé de la ontriión a una veloidad lo ufiientemente alta omo ara roduir turbulenia. En ete ao, uede enare que el onduto voal e exitado or una fuente de ruido aleatorio. La Figura rereenta un modelo (en tiemo direto) del itema de roduión de voz. El onduto voal e rereenta or un itema lineal (en general inetaionario) que e exitado a trave de una llave que eleiona entre una fuente de imulo uaieriódio ara el ao de onido tonale, o una fuente de ruido aleatorio ara el ao de onido no tonale. La ganania aroiada de la fuente, G, e etimada a artir de la eñal de voz, y la eñal ealada e uada omo entrada del modelo del onduto voal. Generador de Imulo Freuenia Modelo Gloti u(n) Parámetro Conduto Voal x(n) Modelo de Radiaión (n) Generador de Ruido Llave onal/no onal G (ganania) Figura : Modelo de Produión de voz. ProDiVoz 00 - Modelo de Produión de Voz
. Modelo de radiaión En la Figura, el modelo de radiaión deribe la imedania de radiaión vita or la reión de aire uando abandona lo labio, que uede er razonablemente aroximada or una euaión en diferenia de rimer orden, o equivalentemente or una funión tranferenia de la forma R( z ( z ) ) = () 3. Modelo de gloti Exiten diferente modelo de la gloti, que han ido roueto en la literatura, ara el ao en que e exitada or ulo. Un modelo imle e el denominado modelo exonenial rereentado or una funión tranferenia Z de la forma G( z ) ( az ) ae ln( a )z = () donde e e la bae de lo logaritmo neeriano. El numerador en () e eleiona de manera que g( n ) = Z { G( z )} tenga un valor máximo aroximadamente igual a. El modelo etá inirado en mediione de la reueta de la gloti a imulo, que e aemejan a la reueta de un itema de egundo orden. Una reueta tíia e rereenta en la figura. Figura : Reueta tíia de la gloti a una exitaión on tren de imulo. 4. Modelo Preditivo Lineal del Conduto Voal Un modelo matemátio freuentemente uado ara el onduto voal + radiaión e una euaión en diferenia (modelo auto-regreivo) que e obtiene aumiendo que ada muetra de la eñal de voz etá etrehamente relaionada on la muetra anteriore, de manera que el valor reente de la eñal e uede obtener omo una ombinaión lineal de, or ejemlo, muetra anteriore, e deir ( n ) ( n ) α (3) = Inluyendo un término de exitaión Gu(n), la euaión () uede eribire omo una igualdad de la forma ( n ) Gu( n) ( n ) = α + (4) = ProDiVoz 00 - Modelo de Produión de Voz
Ete modelo e denomina Modelo de Prediión Lineal (LPM: Linear Preditive Model) ara roduión/íntei de voz, iendo lo oefiiente α lo denominado Coefiiente de Prediión Lineal (LPC), y G, la ganania de exitaión. El modelo LPC uede derivare diretizando un modelo ontinuo de tranmiión aútia baado en la onatenaión de tubo aútio in érdida. En el dominio Z, la euaión () uede eribire omo S( z ) = α z S( z ) + GU( z ), (5) = lo que ondue a una funión tranferenia H( z ) = S( z ) GU( z ) = + α = z = A( z ), (6) que e del tio all-ole. Una interretaión de eta euaión etá dada en la Figura 3, que e una verión imlifiada (donde no e exliita el tio de exitaión) del modelo de Figura. Parámetro u(n) Conduto Voal x(n) Modelo de Radiaión (n) G (ganania) /A(z) Figura 3: Modelo de Produión de voz baado en LPC. Báiamente entone, H(z) rereenta la funión tranferenia de un modelo lineal del onduto voal + radiaión. Lo arámetro del filtro digital H(z), on ontrolado or la eñal de voz que etá iendo roduida. Lo arámetro del modelo omleto de Figura on entone: la laifiaión entre onido tonale y no tonale, la freuenia de lo onido tonale, la ganania G, y lo oefiiente del filtro digital H(z) (viz., lo LPC). 3.4 Etimaión de lo LPC De la euaión () vemo que una etima (o rediión) de (n) baada en muetra anteriore, uede alulare omo ( n ) ŝ( n ) = α, (5) = y el error de etimaión (rediión) uede entone definire omo ProDiVoz 00 - Modelo de Produión de Voz 3
ε ( n ) = ( n ) ŝ( n ), (6) reultando, ( n ) ε ( n ) = ( n ) + α. (7) = Claramente, uando la eñal (n) e realmente generada or un itema lineal omo el de la Figura 3, entone el error de etimaión ε (n) deberá igualar al término de exitaión Gu (n). El modelo del reditor (5) e ua en teleomuniaione ara inrementar el número de eñale de voz que ueden tranmitire or un anal. Si lo oefiiente α on onoido en el tranmior y en el reetor, entone ólo neeita tranmitire el error y la eñal de voz uede er reontruída en el reetor uando la euaión en diferenia (7). En el tranmior, (n) e la entrada al filtro de rediión en tanto que ε (n) e la alida del filtro. ranmitir ólo la eñal de error reulta en un ahorro ubtanial de anho de banda del anal. El modelo de rediión derito uede modifiare ara u uo en íntei de voz. En ete ao el roblema báio e redue al álulo de lo arámetro del modelo, e deir de lo oefiiente de rediión lineal y de la ganania de exitaión. En la rátia, lo oefiiente de rediión deben er omutado a artir de muetra de la eñal de voz que e quiere intetizar. Como la eñal e inetaionaria, en el entido que la onfiguraión del onduto voal ambia on el tiemo (de auerdo al onido que e etá emitiendo), el onjunto de oefiiente e debe etimar en forma adatable obre orto intervalo (tíiamente de 0 m a 30 m de duraión) denominado uadro (en inglé frame) donde e aume que la eñal e etaionaria, y lo LPC on ontante. iiamente lo LPC e obtienen minimizando un riterio uadrátio en lo errore de rediión ε (n), ara ada uadro en que e dividido el egmento de voz. Suoniendo que en ada uadro hay m + >> muetra, la euaión (5) uede eribire en forma matriial omo ( n ) ( n + ) = ( n + m ) o equivalentemente, ( n ( n ) ( n ) + m ) ( n ) α ( n + ) + α ( n m ) (8) () n Φ ( n ) α Sm =, (9) on la obvia definiione ara la matriz de regreión Φ (n), y el vetor de oefiiente de rediión lineal α, y donde in érdida de generalidad e ha uueto que el uadro que e etá analizando omienza en el intante n. La euaión (9) tiene la forma de una regreión lineal (la linealidad e reeto al vetor de arámetro α ). La etima αˆ del vetor de oefiiente LPC, α, que minimiza un riterio uadrátio en lo ProDiVoz 00 - Modelo de Produión de Voz 4
errore de rediión (7) (e deir, la etima de mínimo uadrado), viene dada or (ver Aéndie) ˆα = ΦΦ ΦS n, (0) ( ) () que deende úniamente de la muetra de la eñal de voz. Para oder intetizar el egmento de eñal de voz reta eleionar la exitaión orreondiente a ada uadro donde lo LPC fueron etimado. Como ya e menionó, ara el ao de onido tonale la exitaión e un tren de imulo eriódio, uya freuenia deberá también determinare a artir de la muetra de la eñal, en tanto que ara onido no tonale e una eñal de ruido aleatorio. m ProDiVoz 00 - Modelo de Produión de Voz 5
Aéndie A. Etimaión de Mínimo Cuadrado ara Etrutura de Regreor Lineal Se aume un modelo en tiemo direto ya que en general lo dato on reoletado or muetreo, or lo que e má imle relaionar lo dato medido a modelo en tiemo direto. Por imliidad, la notaión y ( n ) e uará ara indiar la eñal de alida en el intante n (i.e., y ( n ) ), donde e el eríodo de muetreo (aumiendo muetreo eriódio). Se aume que la relaión entrada-alida uede er derita or una etrutura de regreor lineal de la forma donde ϕ ( n ) y( n ) = ϕ ( n ) θ + ν( n ) (A.) : vetor de regreión. Deende de lo dato de entrada-alida aado hata el intante n. θ DM R : vetor de arámetro a etimar. ν () n : e una erturbaión que trata de modelar lo que de lo dato no uede er exliado or el término ϕ ()θ n. En general e da a ete término una araterizaión etadítia, e deir e aume que e un roeo aleatorio, ero no neeariamente debe er aí. El aelativo lineal, refiere a que deende linealmente del vetor de arámetro θ. Un ejemlo tíio de etrutura de modelo que uede onere en la forma de regreor lineal e una etrutura del tio ARX (Auto Regreive with exogenou inut), que e una euaión lineal en diferenia de la forma y(n) + a y(n ) + + a y(n P) = b u(n ) + + b u(n M) (A.) P M o equivalentemente y(n) = a y(n ) a y(n P) + b u(n ) + + b u(n M) (A.3) P M Definiendo el vetor de arámetro [ a a b ] θ = P bm, y el vetor de regreión [ y( n ) y( n P) u( n ) u( n M )] ϕ( n ) =, la euaión (A.3) uede eribire en la forma (A.) (i.e., una regreión lineal). En general, lo arámetro on deonoido y lo que e retende e etimarlo a artir de dato de mediión, de manera que e ueda redeir la alida. Baado en la etrutura de modelo (A.), e define un reditor de la alida que ermite omutar ProDiVoz 00 - Modelo de Produión de Voz 6
una etima de la alida en el intante n baado en lo dato hata el intante (n-), y en la etima del vetor de arámetro. El reditor e uele denotar ŷ ( n n,θ ) = ϕ ( n)θ (reditor) u ( n ), y( n ) = Se aume que ara la etimaión etá dionible un onjunto { } N n de N dato de entrada-alida. Se define el error de rediión ε ( n, θ ) = y() n ϕ ()θ n Se roone un riterio uadrátio en el error de rediión, de la forma [ y( ) ϕ ( ) θ ][ y( ) ϕ ( θ ] N V N ( θ ) = r ) N = ˆθ que minimiza el riterio V N ( θ ). La etimaión onite en hallar la etima N θˆ N e denomina etima de mínimo uadrado, y viene dada or N N = = θˆ N argmin VN ( θ ) ϕ( ) ϕ ( ) ϕ( )y( ) θ = = { } que e obtiene igualando a zero la derivada de ( ) V θ on reeto a θ, i.e. N ( ) d N 0 = VN () θ = ϕ() y( ) ϕ () θ dθ = Vetorizando y() y( ) Y = y( N ) ; el modelo (A.) uede eribire: Φ Y = Φ θ ϕ () ϕ ( ) = ϕ ( N ) ; y la etima de mínimo uadrado reulta: donde θ ˆ + ( ΦΦ ) ΦY = Y = Φ N + Φ e la denominada Moore-Penroe eudo invera. ProDiVoz 00 - Modelo de Produión de Voz 7
Para que exita la etima de mínimo uadrado, la matriz ΦΦ debe er no ingular. Eto exige ondiione de eritenia de exitaión (PE) de lo regreore ϕ () n. Se die que lo regreore on PE i exite un entero 0 y ontante oitiva α y α tal que α n0 0 I + ϕ n= n0 () n ϕ () n α I > 0 Como en general lo regreore deenden de la entrada aada, entone la PE de lo regreore requiere la PE de la entrada. Intuitivamente e laro que ólo ueden identifiare aquello modo del itema que on obervable a la alida y que on ufientemente exitado dede la entrada. En el ao en que la erturbaión ν () n ea araterizada omo un roeo etoátio, entone la etima ˆθ N reulta una variable aleatoria, y bajo ierta ondiione obre lo regreore y la erturbaión, uede robare que e onitente en el entido que uando θˆ N, donde a. N θ0 (léae onverge on robabilidad ) θ 0 e el verdadero valor del vetor de arámetro. ProDiVoz 00 - Modelo de Produión de Voz 8
B. Obtenión del modelo LPC a artir de la euaione de roagaión del onido en el trato voal La euaione que deriben la roagaión de la onda onora en el trato voal, modelado omo un tubo de eión variable in érdida, on (ver []): u ρ u = A t A = ρ t (B.) (B.) donde ( x,t) reión u ( x,t) veloidad de volumen A () x áerea tranveral del trato voal veloidad del onido eo eeífio del aire ρ De la euaione anteriore e oible eliminar u, reultando A A = x t (B.3) que e onoida omo la euaión de la orneta o euaión de la boina, de Webter. omando la tranformada de Lalae, la euaione (B.), (B.), y (B.3) reultan P ρ = U A U A = P ρ P A A = P x (B.4) (B.5) donde P ( x,) and U ( x,) on la tranformada de Lalae de ( x,t) y ( x,t) (B.6) u, reetivamente. Conideraremo ahora una aroximaión del modelo del tubo de eión tranveral variable omo la onatenaión de tubo de eión uniforme, entone el area A en ada tubo e indeendiente de x, y la euaión (B.6) ara un tubo uede eribire omo: P = que tiene do oluione indeendiente de la forma eribire P x e y x e (B.7), or lo que uede ProDiVoz 00 - Modelo de Produión de Voz 9
( x,) x P = ae + be. (B.8) Coniderando ahora la euaión (B.4), reulta entone x U ( x,) Aa = e ρ x + Ab e ρ x (B.9) La euaione (B.8) y (B.9) ermiten relaionar la reione y veloidade volumétria a la entrada y alida de un tubo de eión uniforme. A la entrada del tubo e 0, reultando x =, en tanto que a la alida e x = L U in P in = a + b, P out L L = ae + be, = Aa Ab ρ + ρ, Aa L L Ab U out = e + e ρ ρ Eta uatro euaione ueden eribire en forma matriial omo P U in in = P U out out P = K U out out, donde K e la denominada matriz ABCD del tubo de eión uniforme. ProDiVoz 00 - Modelo de Produión de Voz 0