REPRESENTACIÓN DE CURVAS

ºBachillerato REPRESENTACIÓN DE CURVAS Esquema Para representar gráficamente una función se debe estudiar:. Dominio. Puntos de corte con los ejes coordenados. Paridad y periodicidad 4. Asíntotas 5. Monotonía 6. Curvatura Función polinómica de segundo grado. Su gráfica es una parábola. Para representarla basta con hallar los puntos de corte a los ejes y el vértice que es siempre un máimo o un mínimo. Si el coeficiente de es positivo la parábola es cóncava positiva y si es negativo es cóncava negativa. Cuando no eisten puntos de corte con el eje de abscisas podemos ayudarnos con una sencilla tabla de valores. Ejemplo Gráfica y 4 Puntos de corte a los ejes: Para = 0, y = La función corta al eje de ordenadas en el punto (0, ) Para y = 0, 4 0 4 6 4 Los puntos de corte al eje de abscisas son (, 0) y (, 0) Vértice: y 4 ; y 4 ; y 4 0. El eje de simetría de la parábola es la recta =. Para =, y() 4. V (, ). El vértice es un mínimo ya que la segunda derivada es positiva. La función es decreciente en el intervalo (-, ) y creciente en (, +) /4

ºBachillerato Ejemplo. Gráfica y Se trata de una función valor absoluto que se epresa de la forma siguiente: si 0 si ó y si 0 si < Para representarla se dibujan las gráficas de y ; y Después nos quedamos con la parte de la gráfica situada por encima del eje de abscisas. Estudio de la primera función: y Para = 0, y =. Corta al eje de ordenadas en el punto (0, ) Para y = 0, 0 9 8 Corta al eje de abscisas en los puntos (, 0) y (, 0) Vértice: y y ; 0 Para, y El vértice es el punto V, ( ). 4 Estudio de la segunda función: y Para = 0, y = - Corta al eje de ordenadas en el punto (0, -) Para y = 0, 0 = ; = Los puntos de corte con el eje de abscisas son los mismos que antes (, 0) y (, 0) Vértice: y ; y ; 0 Para, y El vértice es el punto V, ( ). 4 La función es decreciente en los intervalos (-, ) y (/, ) Es creciente en (, /) y (, +). Tiene un máimo relativo en, 4 y dos mínimos relativos en (,0) y (,0). La función es continua en todo pero no es derivable en = y = (puntos angulosos) 4 4 /4

ºBachillerato Funciones polinómicas en general Se siguen los siguientes pasos:. Dominio: Domf. El dominio de toda función polinómica es siempre.. Puntos de corte con los ejes de coordenadas.. Paridad y periodicidad 4. Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos 5. Concavidad. Puntos de infleión. Nota: las funciones polinómicas no tienen asíntotas Ejemplo. Gráfica y 9.- Dominio: El dominio es ; Dom(f) =.- Puntos de corte con los ejes de coordenadas: Para = 0, y = 0 0 Para y = 0, 9 0 ( 9) 0 9 0 Los puntos de corte son (0, 0), (, 0) y (-, 0)..- Paridad: 9 9 f f impar (simétrica respecto del origen) 4.- Crecimiento y decrecimiento: f ( ) 9 ; Intervalos (, ) (, ) (, ) Signo de y + - + Función 5.- Curvatura: f ( ) 6 ;6 = 0 = 0. Intervalos (,0) ( 0, ) Signo de y - + Función Para Máimo relativo (-, 6 ) ; Para Mínimo relativo (, 6 ) Para = 0, eiste punto de infleión (0, 0) /4

ºBachillerato Funciones racionales Ejemplo 4 Gráfica y.- Dominio: = 0 = Dom( f ).- Cortes con los ejes Para = 0, y = - Para y =0, 0 (que no tiene sol real.) Único punto de corte: (-, 0).- Paridad y simetría: no tiene 4.- Asíntotas: Horizontales: No hay Verticales: posible Posición relativa. lim lim in det. signo luego = A.V. 0 lim 0 0 y Oblicuas: y m n; m lím lím lím ( ) n lím( y m) lím lím ; y A.O. Posición Relativa. Para =-00 f(-00) < a(-00) la función está por debajo de la asíntota. Para =00 f(00) > a(-00) la función está por encima de la asíntota. 5.- Crecimiento y decrecimiento: y ; y 0 0 = 0; = ( ) (-, 0) (0, ) (, ) (, +) y + - - + y Para = 0, máimo relativo Para =, mínimo relativo 6.- Concavidad: y ( ) ; y no se anula nunca. (-, ) (, +) y - + y No tiene puntos de infleión. 4/4

ºBachillerato Ejemplo 5 Gráfica y.-dominio: 0 ; No hay soluciones reales. Dom( y) R.- Puntos de corte: Para = 0, y = 0; Para y = 0, = 0. Único punto de corte: (0, 0).-Paridad: f f y por tanto par (simétrica respecto de OY) 4.-Asíntotas: Horizontales: lím luego y = es una A.H. Posición relativa. Para =00 f(00) < y para =-00 f(-00) <, en ambos casos la función está por debajo de la asíntota Nota: Si hay horizontales lo son por la derecha y por la izquierda Verticales: No hay porque el denominador no se anula Oblicuas: No hay. ( ). 5.- Crecimiento y decrecimiento: y ( ) ( ) Si hacemos y 0 entonces = 0 = 0 Para = 0, Mínimo relativo (0, 0) 6.- Concavidad: (-, 0) (0, +) y - + y ( y ) ( ). ( ) 8 4 ( ) ( ) 6 ( ) Si hacemos y 0, 6 0,,, y - + - y Eisten puntos de infleión para y para y y 5/4

ºBachillerato Ejemplo 6 Gráfica y 5 La gráficas de la forma a b y, siendo c 0, son siempre hipérbolas y para representarlas c d podemos omitir el método general de representación de funciones racionales. Basta con hallar los puntos de corte y las asíntotas. Puntos de corte: Para = 0, y = -/5 Para y = 0, = 0 = / Los puntos de corte son (0, -/5) y (/, 0) Asíntotas: Asíntota vertical: = -5 Asíntota horizontal: lím ;y = es una asíntota horizontal 5 Con las dos asíntotas dibujadas aparecen unos nuevos ejes. La curva ocupará primero y tercer cuadrante, o bien segundo y cuarto. Los puntos de corte hallados nos indican los que hemos de elegir. En este caso, segundo y cuarto. y 5 y 5 Observando la gráfica vemos que siempre es creciente. No hay máimos ni mínimos. Es cóncava positiva en (-, -5) y cóncava negativa en (-5, +). No hay puntos de infleión porque aunque en el punto = -5, pasa de cóncava positiva a cóncava negativa, dicho punto no es de su dominio. 6/4

ºBachillerato Ejemplo 7 Gráfica y.- Dominio: 0 ; Dom ( y) R,.-Puntos de corte: Para = 0, y = - Un punto de corte es (0,-) Para y = 0, 0 0.No hay solución, no hay más puntos de corte..-paridad: f ( ) f Par. Simétrica respecto de OY 4.- Asíntotas: Horizontales: lím ; y = es una A.H. Asíntotas oblicuas no hay. Posición relativa. Para =00 f(00) > y para =-00 f(-00) >, en ambos casos la función está por encima de la asíntota Verticales: Las posibles son =- y =. lim Indet.Signo 0 A.V en =-. Posición relativa. lim lim 0 0 Por simetría = es una A.V. ( ) ( ) 4 5.- Crecimiento y decrecimiento: y. ( ) ( ) Si hacemos y 0, -4 = 0 = 0 (-, -) (-, 0) (0, ) (, +) y + + - - y Para = 0, eiste máimo 6.- Concavidad : 4( y ) ( ) ( 4) 4( ) 6 4 ( ) ( ) 4 ( ) Si hacemos y 0 entonces 4 0 que no tiene solución. (-, -) (-, ) (, +) y + - + y No tiene puntos de infleión. 7/4

ºBachillerato Ejemplo 8 Gráfica y Hacemos primero la representación de la función:.- Dominio: Domf y 0 (0, 0) con OX: y=0 0.- Cortes con los ejes: 0 (, 0) con OY: 0 y 0 (0, 0).- Paridad: no tiene simetrías. 4.- Asíntotas: Horizontales: lim lim no hay. Verticales: posible =. lim lim 0 0 f Oblicuas: m lim lim n lim f ( ) m lim. y=+ es una asíntota oblicua (por la dcha. y por la izda.) Posición relativa: Para =00 000 f (00) 0.0 a(00) 00 0 f (00) a(00) 99 La función está por encima de la asíntota. Para =-00 f 9900 ( 00) 98.0 ( 00) 00 98 ( 00) ( 00) 0 a f a La función está por debajo de la asíntota. 8/4

ºBachillerato 5.- Monotonía. y ' y ' 0 0 posibles etremos relativos + y' 0 y' 0 y' 0 y' 0 CRECIENTE MÁXIMO RELATIVO DECRECIENTE DECRECIENTE mínimo RELATIVO CRECIENTE 6.- Curvatura 4 y '' y '' 0 no tiene solución. y'' 0 y'' 0 CONCAVA NEGATIVA CONCAVA POSITIVA Pasamos a graficar su valor absoluto y 9/4

ºBachillerato Funciones logarítmicas. Los pasos a seguir son los mismos que en las racionales pero en el dominio hemos de tener en cuenta que el logaritmo de los números negativos no eiste. En los límites se cuidará si la tendencia es por la derecha o por la izquierda. Ejemplo 9 ln Gráfica y.- Dominio: Globalmente es una función racional, luego el punto donde se anula el denominador, 0, no es de su dominio. Además, como figura ln, ha de ser 0, por tanto, Dom( y) (0, ). Puntos de corte: Para = 0, la función no está definida. Para y = 0, ln = 0 =. El único punto de corte es (, 0).- Asíntotas: Horizontales: ln lím Indet. lím lím 0 L' Hôpital, y 0 es una A.H. derecha. Posición relativa. Para =00 f(00)>0 luego la función está por encima de la A.H. Verticales: Posible 0. ln lim 0 0 luego =0 es una A.V. y ln Oblicuas: y m n; m lím lím lím lím 0. No hay. ln ; 4.- Monotonía: y Si y 0 entonces ln 0 ln e Para =e, eiste un máimo relativo Me, / e ln ; 5.- Concavidad : y Si y 0, - + ln = 0 ln ; Para e eiste un punto de infleión ( e, ) e e (0, e) (e, +) y + - y 0,e e, y - + y ln y 0/4

ºBachillerato Ejemplo 0 Gráfica y ln.- Dominio: Por ser parte de la función logarítmica, > 0. Por ser globalmente racional ln 0. Es decir, Domf (0, ) (, ).- Puntos de corte: Para 0 Domf. Para y = 0, 0 ln = 0 pero 0 No hay puntos de corte. - Asíntotas: Horizontales: lím lím lím (No hay) ln Verticales: posible = lim indet. de signo tiene asíntota vertical en = ln 0 lim lim Posición relativa: ln 0 ln 0 Oblicuas: f( ) m lím lím L lím 0 (No hay) ln 4.- Monotonía: ln y ; Si y 0, Ln = 0 Ln = es decir, = e. (ln ) (0, ) (, e) (e, + y - - + y Para = e, mínimo relativo M(e, e) 5.- Concavidad: ln y ; Si y 0, ln = 0 ln = (ln ) (0, ) (, e ) (e. +) y - + - y e Domf Para =, pasa de cóncava positiva a negativa pero el punto no es del dominio de la función. Para = e pasa de cóncava negativa a positiva. Hay un punto de infleión en dicho punto /4

ºBachillerato Ejemplo Gráfica y ln.- Dominio: al ser un logaritmo >0 Domf 0, 0 0 Domf con OX: y=0 ln 0.- Cortes con los ejes: ln 0 con OY: 0 no pertenece al dominio.- Paridad: no tiene simetrías. 4.- Asíntotas: Horizontales. Solo puede haber por la derecha lim ln no hay. Verticales: posible =0. No consideraremos lim ln por no estar definido en el dominio de definición. ln lim ln 0 ln 0 0 indet. lim In det. lim lim 0 0 0 no tiene L ' Hôpital 0 0 asíntotas verticales. f Oblicuas: m lim lim ln. No tiene sentido hallar el límite cuando. No tiene asíntotas oblicuas 5.- Monotonía. 0 y ' ln ln 0 Domf y ' 0 ln 0 ln e posible etremo relativo y' 0 y' 0 DECRECIENTE e MINIMO CRECIENTE e e 0 Mínimo relativo para, 6.- Curvatura y '' ln ln y '' 0 ln 0 ln e posible punto de infleión y'' 0 y'' 0 CONCAVA NEGATIVA e CONCAVA POSITIVA P I e e PUNTO DE INFLEXIÓN 0.. para, e e /4

ºBachillerato Funciones eponenciales. Ejemplo Gráfica y e.- Dominio: La función dada es el producto de una polinómica (de dominio R) y de la eponencial natural (de dominio R), por tanto, Dom(y) = R.- Puntos de corte: Para = 0, y = 0; Para y = 0, = 0. Único punto de corte (0, 0).- Asíntotas: Horizontales: lím e ; asíntota horizontal por la izquierda Verticales: No hay lím e lím ( e ) lím lím 0, luego y 0 es una e e Oblicuas: Solo puede haber por la derecha y m n ; m lím lím e ; No hay. 4.- Monotonía: y e ( ) ; Si hacemos 0 y, ( ) 0 e = - y (-,-) (-, +) y - + y Para = - eiste mínimo M, e 5.- Concavidad : y e ( ) ; Si hacemos 0 e = - y, ( ) 0 (-,-) (-, +) y - + y Para = - eiste punto de infleión I, e y e /4

ºBachillerato Ejemplo Gráfica y e.-dominio. Domf.- Cortes con los ejes:.- Paridad: no tiene simetrías. 4.- Asíntotas: Horizontales. 0 con OX: y=0 - e 0 (, 0) e 0 no tiene solución 0 con OY: 0 y e 0 0, no hay A.H. por la derecha lim e t t lim e limt e 0 in det. lim In det. e t t t L ' Hôpital t t 6 6 lim In det. lim In det. lim 0 e e e L ' Hôpital t t L ' Hôpital t t L ' Hôpital t t y=0 es una A.H. por la izquierda. Posición relativa: Para =-00 f 8 ( 00).80 0 la función está por debajo de la A.H. Verticales: No tiene. Oblicuas: Solo puede haber por la derecha. f e m lim lim In det. = orden del infinito del numerador> No tiene asíntotas oblicuas 5.- Monotonía. y ' e e 0 no tiene solución y ' 0 0 posible etremo relativo +=0 =- posible etremo relativo y' 0 y' 0 y' 0 DECRECIENTE CRECIENTE MINIMO CRECIENTE 7 Mínimo relativo para, e 6.- Curvatura y '' e 4 >orden del infinito del denominadador 0 posible punto de infleión y '' 0 4 0 posibles puntos de infleión y'' 0 y'' 0 Y '' 0 y'' 0 CONCAVA NEGATIVA P. I. CONCAVA POSITIVA P. I. CONCAVA NEGATIVA PI.. CONCAVA POSITIVA Tenemos tres puntos de infleión, f 4.7,.54, f 0.7,.56, 0 que es un P.I. con tangente horizontal (recordar que se anula la ª derivada) 4/4

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ºBachillerato Funciones irracionales Ejemplo 4 Gráfica y -.- Dominio: Como no eisten las raíces cuadradas de números negativos, ha de ser 0 ; Dom ( y) [, ).- Puntos de corte: Para = 0, no eiste la función. Para y = 0, 0 =. El único punto de corte es (, 0).- Asíntotas: Verticales: no hay. Horizontales: lím. No hay Eiste rama parabólica. y Oblicuas: lím lím lím lím 0 0. No hay. 4.- Monotonía: y 0. La función es creciente en todo su dominio. No hay máimos ni mínimos. 5.- Concavidad: y ( ). ( ) y. ( ). 4 ( ) 4 ( ) 4( ) La segunda derivada no se anula nunca y es negativa para todo valor de >. Por tanto, siempre es cóncava positiva. 6/4

ºBachillerato Ejemplo 5 Gráfica y.- Dominio: 0 siempre Domf.- Cortes con los ejes:.- Paridad: no tiene simetrías. 4.- Asíntotas: Horizontales. con OX: y=0 +=0 =-, 0 con OY: 0 y 0, lim in deter. Posición relativa: 0 y= asíntota horizontal por la derecha. Para 00 f 00.0099 la función está por encima de la asíntota. 000 t lim lim in det. t t Posición relativa: 99 y=- asíntota horizontal por la izquierda. Para 00 f 00 0.989 la función está por encima de la A.H. 000 Verticales: no tiene asíntotas verticales. Oblicuas: No tiene asíntotas oblicuas 5.- Monotonía. y ' y' 0 =0 = posible etremo relativo y' 0 y' 0 CRECIENTE MÁXIMO RELATIVO DECRECIENTE Alcanza un máimo relativo para =, 6.- Curvatura y '' 7 y'' 0 --=0 = posibles puntos de infleión 4 y'' 0 7 y'' 0 7 y'' 0 CONCAVA POSITIVA CONCAVA NEGATIVA CONCAVA POSITIVA 4 4 PUNTO DE INFLEXIÓN 7 7 7 P. I. para,f 0.8,0.7 4 4 4 + 7 7 7 P.I. para =, f.78,.6 4 4 4 PUNTO DE INFLEXIÓN 7/4

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ºBachillerato Ejemplo 6: Gráfica y e.- Dominio: Domf 6 9 e 0 no tiene sol. con OX: y=0.- Cortes con los ejes: 6 9 0, 0 con OY: 0 y 9 0,9.- Paridad: no tiene simetrías. 4.- Asíntotas: Horizontales. 6 9 lim e 6 9 lim indeter. 0 e e 69 Posición relativa: 00609 y=0 A.H. por la derecha. Para =00 f 00 0 por tanto la función está por encima de la asíntota. 00 lim e 6 9 t lim e ( t 6t 9) t e no tiene A.H. por la izquierda. Verticales: no tiene asíntotas verticales. Oblicuas: solo podría tener por la izquierda. e 6 9 t e ( t 6t 9) m lim lim in det. t t t e ( t 6t 9) t No tiene asíntotas oblicuas 5.- Monotonía. y ' e 6 9 e 6 e 4 4 0 =-; =- posibles etremos relativos y ' 0 e 0 no tiene solución y' 0 y' 0 y' 0 DECRECIENTE MINIMO RELATIVO CRECIENTE MÁXIMO RELATIVO DECRECIENTE Mínimo relativo para, f, 0 Máimo relativo para =-, f, 4e 6.- Curvatura y e y '' 8 '' 0 +-=0 = = posibles puntos de infleión y'' 0 y'' 0 y'' 0 CONCAVA POSITIVA PUNTO DE INFLEXIÓN CONCAVA NEGATIVA PUNTO DE INFLEXIÓN CONCAVA POSITIVA P. I. para, f.4,,84 P.I. para, f 0.4, 7.7 9/4

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ºBachillerato Ejemplo 7 Gráfica y ln.-dominio. con OY: 0 no es del do minio.- Cortes con los ejes:.- Paridad: no tiene simetrías. 4.- Asíntotas: Horizontales. con OX: y=0 ln 0 0, (., 0) o por la derecha lim ln ln no hay. o por la izquierda No se estudia por no estar en el dominio de definición. Verticales: Los posibles valores son =, =0, =- o =- lim ln ln 0 tenemos una asíntota vertical en =- (no tiene sentido estudiar lim ln o =0 lim ln 0 por no estar en el dominio) ln0 tenemos una asíntota vertical en =0 (no tiene sentido estudiar tenemos una asíntota vertical en = (no tiene sentido estudiar lim ln 0 o = por no estar en el dominio) lim ln ln 0 tenemos una asíntota vertical en = (no tiene sentido estudiar lim ln por no estar en el dominio) Oblicuas: Por la misma razón que en las horizontales solo puede haber por la derecha. f ln In L ' Hôpital m lim lim det. = lim 0 No tiene asíntotas oblicuas 5.- Monotonía. y ' y ' 0 0 Como Domf el único posible etremo relativo puede ser y' 0 y' 0 CRECIENTE DECRECIENTE 0 MÁXIMO RELATIVO Máimo relativo para 0.58, 0,95 6.- Curvatura 4.. 0,0, Domf t q 0 0 0 0 y0 y0 y0 y0 0 4 y '' y '' 0 0 no tiene sol. 6 4 Y ' 0 CRECIENTE (recodar que m 0 y real) 0.58 y'' 0 y'' 0 y'' 0 CONCAVA NEGATIVA 0 CONCAVA NEGATIVA CONCAVA NEGATIVA /4

ºBachillerato Es siempre cóncava negativa. /4

ºBachillerato Ejemplo 8 Gráfica y Vamos a definir la función quitando el valor absoluto: si 0 si 0 y f si 0 F si 0 si 0 Nota: La función f() presenta una discontinuidad evitable en =, si asignamos f()= obtenemos su etensión continua F() en =..-Dominio... 0, Domf t q.- Cortes con los ejes:.- Paridad: no tiene simetrías. con OX: y=0 0 no es del dominio con OY: 0 y (0,) 4.- Asíntotas: Horizontales. o por la derecha lim f( ) lim asíntota horizontal y= o por la izquierda lim f( ) lim asíntota horizontal y=- Verticales: Los posibles valores son =, =- o =- lim in det. signo tenemos una asíntota vertical en =- 0 Posición relativa: lim 0 lim 0 o = lim f( ) no es una asíntota vertical Oblicuas: Tiene dos horizontales, luego no tiene asíntotas oblicuas. 5.- Monotonía. si 0 y ' 0 si 0 y ' 0 no tiene solución, se estudia la monotonía en los puntos que no son del dominio y donde cambia la función. 0 y' 0 y' 0 y' 0 y' 0 DECRECIENTE DECRECIENTE CONSTANTE CONSTANTE 6.- Curvatura 4 y '' y '' 0 no tiene solución 0 y'' 0 y'' 0 y'' 0 y'' 0 COCAVA NEGATIVA CONCAVA POSITIVA CONSTANTE CONSTANTE /4

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