SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS DEL CAPÍTULO II.. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ) De acuerdo con la notación convenida, se tiene el siguiente bosquejo del triángulo, donde: a a tan 9 = = b. despejando a = b tan 9 =. tan 9. b. cos9 = = c c despejando c =.. cos9 y como α + β = 9 ; β = 9 α = 9 9 = Por lo tanto a.; c. y β = ) Por Pitágoras: c = ( ) + ( ) 6. a tan α = = =.8; α = tan.8 = 8.66 b α + β = α ( ) 9 ; β = 9 = 9 8.66 =. Entonces c 6.; α = 8.66 y β =. ) De acuerdo con los datos, el bosquejo del problema es el que se muestra, donde la magnitud b es la respuesta. Si tan = a = tan 6. m a + b tan = a + b = tan 7. donde b = 7. a = 7. 6. b = 68. 9 m a despejando [ ] despejando [ m] ) El bosquejo aproximado sería como se muestra en la siguiente figura, donde: [ ] Si 9 tan 7 = d 9 despejando d = 799 [ m] tan 7 aproximadamente a 7. [ Km]
) Con el triángulo que tiene un ángulo de sen = a, tenemos: sen despejando a =. 86 [ m] por el Teorema de Pitágoras: b = (.86) ( ). [ m] con el triángulo que tiene un ángulo de, se tiene: sen = d sen despejando d = [ m] = por el Teorema de Pitágoras e = ( ) ( ) 7. [ m] La magnitud c = ( b + e) = 8. =. 6 [ m] Luego entonces, la longitud total del tobogán es a + c + d =.86 +.6 + =. [ m] ).. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN CUALQUIER CUADRANTE Ángulo tan cot sec csc Cuadrante indefinido indefinido I π = I π = 9 indefinido indefinido I π = - II π = 8 indefinido - indefinido II π = III indefinido indefinido - III π = 7 π = IV π = 6 indefinido indefinido IV
) Ángulo cos cot csc Cuadrante 7.88.679. I -.866 -.7. II -.68.89 -. III 8. -.9 -.6 IV ) Ángulo sen tan sec Cuadrante. 68.7.9.7.797 I.6.8.6 -.8 -.9 II.7.6 -.697 -.8.8 IV.7.6.97 -. -.9 II.7.8..6.9 III ) En el bosquejo de la información dada del problema puede ser el siguiente: Por lo tanto: (. sen ) =. 8 ; csc(. ) = =. cos tan La magnitud del segmento PQ la obtenemos del Teorema de Pitágoras: () + ( ) = = OP = Consideramos que el ángulo generado β es negativo y su valor es: sen β = =. 8 β = sen.8. donde ( ) sec. =. cot. = =. (. ) = =. 6 ; ( ) 7 = =. (. ) : ( ) 7 ) Como = cos π = cos Como = 6 π 6, entonces ( 6 ) =. π, entonces 7( ) π = = (tercer cuadrante) 7 π = = (tercer cuadrante) 6 6
7 sen π = sen =. 6 tan = (cuarto cuadrante) sec. (tercer cuadrante) csc cot ( ) 7 ( ). 7 ( ) (tercer cuadrante) = (tercer cuadrante) ).. LEY DE LOS SENOS Y LEY DE LOS COSENOS Como α + β + γ = 8 ; γ = 8 ( α + β ) = 8 γ = 78 Por la ley de los senos: b sen a = ; 6 sen9 b = (.)( sen6 ). sen9 Por ley de los cosenos: c c = ) = a + b abcosγ =..8 (.) + (.) (.)(.) cos78. Por la ley de los senos a b bsenα = ; senβ = senα senβ a sen. sen β = senβ =.87 β = sen (.87) β = 6. Como α + β + γ = 8 γ = β ( α + ) = 8 7.87 8 γ =. Por la ley de los cosenos: c = a + b abcosγ c 89 ; c = c 9.9 ( ) + ( ) ( )( ) cos. = 89 7
) Por la ley de los cosenos: c = a + b ab cosγ =. +.. c = 6. ; c = 6. 8. c = 8. Por la ley de los senos: ( ) ( ) ( )(.) cos 8.7 a c = ; senα senγ asenγ senα = c.sen8.7 senα =.67 8. α = sen.67 =.9 ; α =.9 Como + β + γ = 8 β = 8 α + γ = 8 99.8 β = 8.6 α ; ( ) ) De la ley de los cosenos a = b + c bc cosα b + c a despejando cosα = = bc ) Por la ley de los cosenos: ( ) + ( 9) ( ) ( )( 9) cosα.7 ; cos α =. 7 ; α =.89 Por la ley de los senos: a b = ; senα senβ bsenα senβ = a sen.89 senβ =.987 ; β = sen. 987 ; β = 8.7 Como α + β + γ = 8 ; γ = 8 ( α + β ) = 8.6 γ = 7.6 ( QR ) = q + r qr cos6 = ( 9) + ( ) ( 9)( )(.) ( QR ) = 9 + 99 9 = 86979 QR = 86979 =. metros 6) Por la suma de ángulos internos: V = 8 ( 6 + 8 ) = 79 VU TU Por la ley de los senos: = sen6 sen79 TUsen6.8(.89) = = VU =. 76 sen 79.966 VU ; [ Km] VT = Por la ley de los cosenos: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) =.7 ; VT =. 7 = TU VT. [ Km] + VU TU VU cos8 es más conveniente el banco T 8
) La función y cot x.. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS = tiene dominio D= { x x nπ, n } para que su inversa y cot ( x) D = (,π ) conservando su rango (, ) D = y su rango R = (,π ) (se intercambian los papeles). (, ) y rango R = = (, ), = también sea función hay que restringir el dominio a R =. Por lo tanto el dominio de la inversa es Con tu calculadora científica puedes calcular valores (puntos de la gráfica) de la función si y = cot x = tan x ) y sec x D x x n π = =±, n (todos los reales excepto los =, tiene dominio ( ) múltiplos impares de π ) y su rango son todos los reales mayores que uno y menores que menos uno, o sea R = (, ] [, ). Para que su inversa y sec ( x) π debe restringir su dominio de a π quitando, o sea = [, π ] = sea función se π D y conservando D =,, y su rango R = (, ] [, ). Por lo tanto el dominio de la inversa es ( ] [ ) π R (intercambiando los papeles. su rango = [, π ] 9
) y = csc x tiene dominio D = { x x nπ, n } diferentes a los múltiplos enteros de π y su rango R = (, ] [, ) inversa y csc ( x) o sea todos los números reales. Para que su π π = sea función hay que restringir el dominio a D =, conservando =,, D =,, y su rango R ( ] [ ). Por lo tanto, el dominio de la inversa es ( ] [ ) π π su rango R =, (se intercambian los papeles).
π π β, se busca un ángulo β comprendido en el intervalo,, esto es: tan β =, lo cual resulta que β está entre y ) Sea = tan ( ) cuya tangente sea π π (ver figura), por lo que el único ángulo dentro de, es β = 6 =. π Por el Teorema de Pitágoras a = ( ) + () = = ) Si = α sen, entonces π π intervalo, y como la razón (ver figura), por lo tanto tan sen = tan( ) = α. sen α =, donde el ángulo α debe estar dentro del es negativa, entonces α debe estar entre Por el Teorema de Pitágoras π, c = () () = 6 = 9 =