Universidad Diego Portales Segundo Semestre 007 Facultad de Ingeniería Instituto de Ciencias Básicas Asignatura: Ecuaciones Diferenciales Laboratorio Nº 5 Método de coeficientes indeterminados Métodos de variación de parámetros Ecuación diferencial de Euler Objetivo general Resolver ecuaciones diferenciales lineales de º orden y la ecuación de Euler utilizando los métodos que se describen a continuación y comprobando los resultados obtenidos mediante el uso adecuado de la calculadora, ya sea en el dominio del comando dsolve como las definiciones apropiadas de la ventana de visualización Graficar las curvas componentes y las órbitas correspondientes con la ayuda de la calculadora Objetivos específicos 1 Resolver ecuaciones diferenciales lineales de º orden, con coeficientes constantes usando el método de coeficientes indeterminados Resolver ecuaciones diferenciales lineales de º orden, con coeficientes constantes usando el método de variación de parámetros 3 Resolver la ecuación diferencial de Euler 4 Graficar las curvas componentes y la órbita de una ecuación diferencial de º orden Actividades Nº de actividad Contenido 1 Método de coeficientes indeterminados Métodos de variación de parámetros 3 Ecuación diferencial de Euler 4 Curvas componentes y órbitas 5 El alumno desarrollará actividades propuestas Metodología En las actividades siguientes usaremos los métodos de resolución de ecuaciones lineales de º orden con coeficientes constantes, variación de parámetros y el de Euler Describiremos
el uso de la calculadora ya sea para resolver la ecuación diferencial dada como para mostrar los gráficos componentes y sus órbitas Además, introducimos una función de usuario, VarP, para el cálculo de soluciones particulares Función de Usuario VarP Define library\ VarP ( a, b, f, = Definición del método de variación de parámetros Actividad 1: Determine la solución general de la ecuación diferencial y + y = sin(, usando el método de coeficientes indeterminados La ecuación característica de la ecuación diferencial dada es λ + 1 = 0 Las raíces de la ecuación característica son λ = ± i La solución de la ecuación diferencial homogénea y + y = 0, es y H = C1 + C La forma de la solución particular, es y P = A + Bcos Reemplazamos en y + y = sin(, las funciones y P = A + Bcos y P = Asin + Bcos + Acos Bsin y P = Acos Bsin + Acos Asin Bsin Bcos y P = Acos Bsin Asin Bcos ( A Bsin Asin Bcos + ( Asin + Bcos = 0 Simplificamos: Acos Bsin = sin Comparamos: A = 0, B = Se obtiene: A = 0 y B = 1 Luego, la solución particular es y P =
Entonces, la solución general de la ecuación diferencial dada, es y = yh + yp = C1 + C cos La solución particular podemos obtenerla de Otras formas: sin( El término, es absorbido por la solución de la homogénea Solución usando dsolve Solución usando: simplify(tcollect(dsolve( Actividad : Resolver la ecuación diferencial y + y = tan, usando el método de variación de parámetros Compruebe, usando la función de usuario VarP La ecuación característica de la homogénea y + y = 0, es λ + 1 = 0, cuyas raíces son λ = ±i De aquí se obtiene la solución y H = A + Bsin Usando el método de variación de parámetros: Obtenemos: A + B = 0 A + B = 0 A ( + B ( = tan A + B = tan 0 tan tan A = = = sin tan + tan B = = 1 0
Integramos: 1 A = tan d = d = d = sec d + cos d d + = du 1- u + = d + = 1- du 1 + = (1- u(1+ u du + 1 u du + = 1+ u 1 1 1+ u 1 1+ * ( ln1- u + ln1+ u + = ln + = ln + + C1 = 1- u 1 1 (1 + * 1+ ln + + C1 = ln * B = d = cos + C Reemplazamos A y B, en y = A + Bsin + + C * 1 = 1+ y = ln * ( C * + + C1 cos + + Simplificando se llega a la solución general 1+ y = C1 + C ln Dos soluciones: (i usando la función de usuario, VarP, y (ii el comando dsolve: Verifique que esta solución es idéntica a y P 1+ = cos ln
Actividad 3: Resolver la ecuación diferencial y y + y = 0 Sea t = e d t dy dy = e y = = d d y dy d dy t = = e dy y = dy dy t Derivamos nuevamente y = = e d d y d dy t d y y = = e = e d d t dy e t e t y d y dy t = e d y y = dy Reemplazamos en y y + y = 0 d y dy + = 0 dy y d y dy 3 + y = 0 Ecuación característica λ 3λ + = 0 Raíces de la ecuación característica λ = 1, λ = Solución general y t ( t = C1e + C e t Reemplazamos t = e, en la ecuación anterior Comprobamos usando la calculadora: y ( = C + C 1
Actividad 4: Para la ecuación diferencial y + 5y = sin(4t, y ( 0 = 0, y ( 0 = 0, grafique las curvas componentes y la órbita en el plano y y La solución del problema dado es (compruebe 4 1 y = sin(5t + sin(4t 45 9 Su derivada es 4 4 y = cos(5t + cos(4t 9 9 Los gráficos de las curvas componentes son Gráfico de la función 4 1 y = sin(5t + sin(4t 45 9 Ventana de visualización 0 t 0, 03 y 0 3 Gráfico de la función 4 4 y = cos(5t + cos(4t 9 9 Ventana de visualización 0 t 0, 1 y 1 El gráfico de la órbita es Gráfico de la órbita 4 1 y = sin(5t + sin(4t 45 9 4 4 y = cos(5t + cos(4t 9 9 Ventana de visualización 05 y 05, 1 y 1
ACTIVIDADES A DESARROLLAR POR EL ALUMNO 1 Hallar la solución general de la ecuación diferencial y + 6y + 11y + 6y = sin( La solución general es 7 3 cos( 31 cos( y = C1e + Ce + C3e + 60 16900 599 cos( 9 sin( 38sin( 130047 sin( + 4394000 60 45 4394000 Obviamente, este problema no es recomendable hacerlo a mano Usando calculadora se obtiene el resultado, que se muestra en forma resumida, en los siguientes gráficos
Resolver, la ecuación diferencial + 005 + 5 = 100sin(56t, con las condiciones iniciales ( 0 = 0 y ( 0 = 0 La ecuación característica de la ecuación homogénea + 0 05 + 5 = 0, es λ + 005λ + 5 = 0 Las raíces de la ecuación característica son λ = 0 05 ± 5i La solución de la ecuación diferencial homogénea es ( Acos(5t Bsin(5t 005t H = e + La solución particular de la ecuación diferencial + 005 + 5 = 100sin(56t es P = C sin( 56t + D cos(56t Reemplazamos, en + 005 + 5 = 100sin(56t, las funciones P = C sin( 56t + D cos(56t, = 56C cos(56t 56Dsin(56t, P = 3136C sin(56t 3136D cos(56t P Obtenemos 3136C sin(56t 3136D cos(56t ( +005 ( 56 cos(56t 56Dsin(56t 5 ( sin( 56t D cos(56t Simplificamos C + = 100sin(56t C + ( 3136D + 08C + 5D cos(56t + ( 3136C 08D + 5C sin(56t = 100sin(56t De aquí obtenemos ( 08C 636Dcos(56t + ( 636C 08Dsin(56t = 100sin(56t
08C 636D = 0 636C 08D = 100 Entonces, la solución particular es C = 15 693, D = 0 691 P = 15693sin(56t 0691cos(56t La solución general es ( Acos(5t + Bsin(5t 005t ( t = e 15693sin(56t 0691cos(56t Observación: La calculadora, después de varios minutos, entrega el siguiente resultado Sin embargo, usando la función de usuario, mostrada en la figura, podemos determinar la solución particular de la ecuación diferencial dada Cálculo de las constantes A y B De ( 0 = 0 y ( Acos(5t + Bsin(5t 005t ( t = e 15693sin(56t 0691cos(56t, se obtiene A = 0691
De ( 0 = 0 y ( t = 005e 005t ( Acos(5t + Bsin(5t + e (5Asin(5t + 5B cos(5t 005t 87881cos(56t + 3870sin(56t, se obtiene 0 = 005A + 5B 87881 B = 17 580 Entonces, la solución de la ecuación diferencial dada es ( t 005t = e El gráfico de esta función es ( 0691cos(5t + 17580sin(5t 15693sin(56t 0691cos(56t