M.C. Beatriz Adriana Sabino Moxo

M.C. Beatriz Adriana Sabino Moxo

Transformaciones bidimensionales Traslación Esta operación se usa para mover un objeto o grupo de objetos de manera lineal a una nueva ubicación en el espacio bidimensional. 2

Transformaciones bidimensionales Traslación Suponga que desea mover un punto p=(x,y) dentro del planoporun factorde desplazamientode t x unidades en horizontal y t y unidades en vertical, las coordenadas del nuevo punto p serán: x = x + t x y = y + t y 3

Transformaciones bidimensionales Traslación x = x + t x y = y + t y 4

Transformaciones bidimensionales Traslación Ejemplo: Se tiene el punto p=(1,1) y se desea hacer una traslación t x =3 y t y =4, Cuáles son las nuevas coordenadas? x = 1 + 3 = 4 y = 1 + 4 = 5 p(x,y ) = (4,5) (1,1) 5

Transformaciones bidimensionales Traslación Ejemplo: Se tiene el punto (1,1) y se desea hacer una traslación t x =3 y t y =4, Cuáles son las nuevas coordenadas? x = 1 + 3 = 4 y = 1 + 4 = 5 (x,y ) = (4,5) t x =3 p = (4,5) t y =4 6

Transformaciones bidimensionales Rotación Esta transformación geométrica se usa para mover un objetoogrupodeobjetosalrededordeunpunto. 7

Transformaciones bidimensionales Rotación La ecuación para la rotación un punto p=(x,y) es: x = xcosɵ-ysenɵ y = xsenɵ+ ycosɵ 8

Transformaciones bidimensionales Rotación x = xcosɵ-ysenɵ y = xsenɵ+ ycosɵ 9

Transformaciones bidimensionales Rotación Ejemplo: Sea el punto p = (3,3), rotar por el factor ɵ=90 x = 3cos90-3sen90 = -3 y = 3sen90 + 3cos90 = 3 10

Transformaciones bidimensionales Rotación Ejemplo: Sea el punto p = (3,3), rotar por el factor ɵ=90 ɵ=90 x = 3cos90-3sen90 = -3 y = 3sen90 + 3cos90 = 3 11

Transformaciones bidimensionales Escalación Es una transformación que permite cambiar el tamaño o la proporción de un objeto o grupo de objetos. Hay escalados proporcionales y no proporcionales. 12

Transformaciones bidimensionales Escalación La ecuación para el escalar un punto (x,y) es: x = xs x y = ys y Donde S x y S y son factores de escala sobre los ejes x y y respectivamente 13

Transformaciones bidimensionales Escalación Ejemplo: Sea un triangulo con los puntos p 1 =(1,1), p 2 =(3,1) y p 3 =(3,2) con S x =2 y S y =2. y P 1 = (1*S x, 1*S y ) = (1*2, 1*2) = (2,2) P 2 = (3*S x, 1*S y ) = (3*2, 1*2) = (6,2) P 3 = (3*S x, 2*S y ) = (3*2, 2*2) = (6,4) 14

Transformaciones bidimensionales Escalación Ejemplo: Sea un triangulo con los puntos p 1 =(1,1), p 2 =(3,1) y p 3 =(3,2) con S x =2 y S y =2. y Escalado proporcional P 1 = (1*S x, 1*S y ) = (1*2, 1*2) = (2,2) P 2 = (3*S x, 1*S y ) = (3*2, 1*2) = (6,2) P 3 = (3*S x, 2*S y ) = (3*2, 2*2) = (6,4) (2,2) (6,4) (6,2) 15

Transformaciones bidimensionales Escalación Ejemplo: El mismo triangulo del ejemplo anterior con S x =2 y S y =3 Escalado no proporcional (6,6) P 1 = (1*S x, 1*S y ) = (1*2, 1*3) = (2,3) P 2 = (3*S x, 1*S y ) = (3*2, 1*3) = (6,3) P 3 = (3*S x, 2*S y ) = (3*2, 2*3) = (6,6) (2,3) (6,3) 16

Transformaciones bidimensionales Ejercicios Sea el cuadrado con los puntos p 1 =(2,2), p 2 =(4,2), p 3 =(2,4) y p 4 =(4,4), realizar las siguientes transformaciones y graficarlas: Unatraslaciónent x =6yt y =3. UnescalamientoS x =6yS y =3. Unarotacióncon ɵ= 45 (2,4) (4,4) (2,2) (4,2) 17

Transformaciones bidimensionales Ejercicios Soluciones Traslaciónent x =6yt y =3: p 1 =(8,5), p 2 =(10,5), p 3 =(8,7), p 4 =(10,7). x y (2,4) (4,4) (2,2) (4,2) (8,7) (10,7) (8,5) (10,5) 18

Transformaciones bidimensionales Ejercicios Soluciones Un escalamiento S x=2 y S y =1: p 1 =(4,2), p 2 =(8,2), p 3 =(4,4), p 4 =(8,4). (2,4) (4,4) (2,2) (4,2) (8,4) (8,2) 19

Transformaciones bidimensionales Ejercicios Soluciones Una rotación con ɵ= 45 : (2,4) (4,4) p 1 =(-2,-2),p 2 =(-4,-2), p 3 =(-2,-4),p 4 =(-4,-4). (-4,- 2) ɵ=180 (-2,--2) (2,2) (4,2) (-4,-4) (-2,-4) 20

Coordenadas homogéneas y representación matricial El uso de coordenadas homogéneas permite tratar todas las transformaciones geométricas como una multiplicación de matrices. Las coordenadas agregan un tercer componente a las coordenadas bidimensionales. De tal forma que, un punto (x,y) pasa a ser (x,y,w). El valor de W es generalmente 1. 21

Coordenadas homogéneas y representación matricial Traslación x = x + 0 + t x y = 0 + y + t y 1 = 1 p = p.m t x = x + t x y = y + t y 22

Coordenadas homogéneas y representación matricial Traslación Ejemplo: Setieneelpuntop=(1,1)ysedeseahacerunatraslaciónt x =3 yt y =4, Cuálessonlasnuevascoordenadas? son las nuevas (x,y,1) = (1,1,1) 1 0 0 0 1 0 3 4 1 x = 1 + 0 + 3= 4 y = 0 + 1 + 4 = 5 1 = 1 p = p.m t p (x,y )= (4,5) 23

Coordenadas homogéneas y representación matricial Rotación x = xcosɵ -y sinɵ + 0 y = xsinɵ + ycosɵ + 0 1 = 1 p = p.m R x = xcosɵ -y sinɵ y = xsinɵ + ycosɵ 24

Coordenadas homogéneas y representación matricial Rotación Ejemplo: Rotar el punto p = (3,3) con ɵ=90 (x,y 1) = (3,3,1) cos90 sen90 0 -sen90 cos90 0 0 0 1 x = 0-3 + 0 = -3 y = 3 + 0 + 0 = 3 1 = 1 p = p.m R p (x, y )= (-3,3) 25

Coordenadas homogéneas y representación matricial Escalación x = S x y = S y 1 = 1 p = p.m s x = S x y = S y 26

Coordenadas homogéneas y representación matricial Escalación Ejemplo: Escalar el p = (3,3) con S x =3, S y =5 (x,y 1) = (3,3,1) 3 0 0 0 5 0 0 0 1 x = 9 + 0 + 0 = 9 y = 0 + 15 + 0 = 15 1 = 1 p = p.m s p (x, y )= (9,15) 27

Composición de transformaciones bidimensionales Para aplicar varias transformaciones a un conjunto de puntos basta con combinar las matrices de transformación en una sola mediante multiplicación matricial. [M 1 ][M 2 ][M 3 ][M 4 ].[M N ]=[M R ] p =p.[m R ] 28

Composición de transformaciones bidimensionales Ejemplo Aplicar al punto p(4,5) las siguientes transformaciones: Traslación t x = 2, t y =3 EscalaciónS x =4,S y =4 Rotación de ɵ=90 1 0 0 0 1 0 2 3 1 4 0 0 0 4 0 0 0 1 cos90 sen90 0 -sen90 cos90 0 0 0 1 = [M R ] p (x,y,1)=(4,5,1).[m R ] 29

Composición de transformaciones bidimensionales Ejemplo Traslaciones sucesivas. 30

Composición de transformaciones bidimensionales Ejemplo Rotaciones sucesivas. 31

Composición de transformaciones bidimensionales Ejemplo Escalados sucesivos. 32

Composición de transformaciones bidimensionales Rotación de punto de pivote general Para rotar un objeto respecto a un punto arbitrario P C se siguen los siguientes pasos: 1. Trasladar el punto P c al origen (M t ) 2. Rotar el objeto un ángulo θ (M R ) 3. Trasladar el punto P c a su posición original (M t -1 ) 33

Composición de transformaciones bidimensionales Rotación de punto de pivote general C=(C x, C y ) 1. Trasladar el punto Cal origen (M t ) 2. Rotar el objeto un ángulo θ (M R ) 3. Trasladar el punto Ca su posición original (M -1 t ) 1 0 0 0 1 0 -C x C y 1 cos90 sen90 0 -sen90 cos90 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 C x C y 1 34

Composición de transformaciones bidimensionales Rotación de punto de pivote general 35

Composición de transformaciones bidimensionales Escalaciónde punto de pivote general C=(C x, C y ) 1. Trasladar el punto Cal origen (M t ) 2. Escalar el objeto con S x y S y 3. Trasladar el punto Ca su posición original (M -1 t ) 1 0 0 0 1 0 -C x C y 1 S x 0 0 0 S y 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 C x C y 1 36

Composición de transformaciones bidimensionales Escalación del punto fijo general 37

Algunas aplicaciones de la graficación Creación de escenas 3D 38

GRACIAS! 39