TP Unidad 7 - Test de Hipótesis ESTADÍSTICA I D.E.A. Mariano Lanza 1. El diámetro de los ejes producidos por un torno es una VA con desvío de 0,24mm. A los efectos de verificar el posicionado de la máquina se tornean 40 ejes, cuyos resultados arrojan un diámetro promedio de 12,18mm. A) Aceptaría la hipótesis de que el diámetro medio de los ejes es de 12mm, para un alfa del 10%? B) Aceptaría la hipótesis de que el diámetro medio de los ejes es menor a 12mm, para un alfa del 10%? 2. Se desea estudiar la evolución de los precios en cierto mercado de hacienda. El mes pasado, el precio promedio por kg vivo de novillo fue de $17,80 con un desvío de $1,10. Según los expertos de cierto matutino, el precio promedio de este mes se ha incrementado respecto del anterior. Para corroborarlo, se sacó una muestra de 40 ventas, la cual arrojó un precio medio de $18,03 por kg vivo. Admitiendo que los precios tienen una distribución Normal, puede decirse que los cronistas tienen razón, con un nivel de significación de 0,1? 3. Un fabricante de pilas afirma que la vida útil promedio de su producto excede las 30 horas de uso. Una empresa decide comprar una gran cantidad de pilas si la afirmación del fabricante no puede rechazarse. Para comprobarlo, la empresa interesada compra nueve pilas. Si se supone que la duración de pilas sigue una distribución Normal con un desvío de 5 horas: A) Cuál sería la regla de decisión para un nivel de significación del 5%? B) Que decisión tomaría si la duración media de las pilas en la muestra fue de 33 horas. 4. Con el fin de cumplir con la normativa establecida, el promedio de ph contenido en los envases de agua de mesa no debe superar 7,70ppm. Una muestra aleatoria de 20 botellas dio un valor medio de 7,75 ppm. Contrástese con un nivel de significación del 5%, si puede considerarse que el nivel medio de ph poblacional es el requerido. Suponga que el promedio de ph contenido en los envases de agua es una VA que sigue un distribución normal con desvío de 0,03ppm 5. Supongamos que la distribución de los retornos de cierto activo financiero sigue una distribución normal con un desvío del 4%. Tomando una muestra de 16 días, se obtuvo un rendimiento medio anual del 9%. A) Para un nivel de significación del 5% Pueda afirmarse que el retorno del activo financiero es menor que el 9,5%? B) Para un nivel de significación del 5% Pueda afirmarse que el retorno del activo financiero es igual al 9,3%? 6. Se posee una balanza digital e interesa analizar su exactitud. Para ello se determinó el peso de una pesa patrón de 10kg en 9 oportunidades y se obtuvo una media de 10,0144 kg y desvío de 0,03832kg. A) Podría inferirse que la exactitud (el desvío) de la balanza es menor a 0,03kg para un nivel de significación del 10%? B) Qué podría inferirse tomando un nivel de significancia del 5%?. 7. En una muestra aleatoria de 400 muestras obtenidas en un curso de agua que se está analizando, se encontraron 12 que cumplen la condición de alto contenido de contaminante. A) Hay evidencia empírica suficiente para concluir que la proporción de contaminantes es superior al 2%, para un nivel de significación del 5%? - 1 -
B) Hay evidencia empírica suficiente para concluir que la proporción de contaminantes es inferior al 2%, para un nivel de significación del 5%? C) Hay evidencia empírica suficiente para concluir que la proporción de contaminantes es del 2%, para un nivel de significación del 5%? D) Cuál sería el nivel de significación máximo, tal que la hipótesis nula del acápite A) sea aceptada? 8. Un empresario está interesado en vender su empresa productora de galletitas y afirma que poseen más el 23% del mercado. Los interesados en la compra aseguran que adquirirán la empresa si la participación no es menor a dicha afirmación. Para verificarlo deciden hacer una muestra en una gran superficie y obtuvieron que de las 250 ventas de estos productos, 52 correspondieron a los de la empresa en cuestión. A un nivel de significación del 5% Qué le recomendaría hacer a los compradores? 9. Se afirma que los precios (por día y persona) en los Hoteles de 3 estrellas en Villa Catedral son 100$ más elevados que en la zona Centro. Para verificarlo, se realizó una muestra de 12 unidades en Villa Catedral y proporcionó un precio medio de 300$, mientras que en el Centro el precio medio de una muestra de 15 hoteles de iguales características, arrojó un importe de 210$. Sí en ambos lados los precios se distribuyen normalmente, con un desvío de 36$ en Cerro Catedral y de 64$ en la zona Centro A) Qué puede decirse sobre dicha afirmación, para un nivel de significación del 1%. B) Qué puede decirse sobre dicha afirmación, para un nivel de significación del 5%. 10. Realizar el ejercicio anterior, considerando que los datos de los desvíos provienen de la muestra. 11. Se dispone de datos de precipitación medida en dos estaciones cercanas. De acuerdo a los valores es razonable considerar a las observaciones como una muestra aleatoria constituida por 6 pares de observaciones. Suponiendo que esta variable sigue una distribución normal con varianzas desconocidas pero iguales, es posible decir que ambas estaciones miden en promedio la misma cantidad de lluvia? Estación A Estación B 76 72 63 63 66 65 83 78 74 69 52 49 12. Para testear la hipótesis de que dos desagües producen en promedio agua con la misma dureza, se han hecho observaciones en ambas salidas, tomando muestras de tamaño 13 para el desagüe A y de 17 para el desagüe B. Los resúmenes estadísticos de las muestras fueron: x A = 160 S 2 A = 2763 x B = 280 S 2 A = 1616, 47 En base a estos valores Podría considerarse correcto el supuesto inicial del problema? 13. De una población normal se selecciona una muestra al azar de 9 elementos cuyos resultados son: media 35 a y desvío 2,86744 a ( a es la unidad de medida). Se desea probar, con un nivel de significación del 5 % si la media poblacional es igual a 33 a. 14. Una máquina automática de embolsado es diseñada para ubicar en promedio 112kg en cada bolsa. Alguna variación es inevitable, pero un inspector sospecha que se está envasando un promedio por - 2 -
debajo de aquel peso. Para comprobarlo elige 8 bolsas y obtiene una media de 109,375kg y un desvío de 3,70599kg. A) Que conclusiones puede extraer el inspector a un nivel de significación del 5%? B) Que conclusiones puede extraer el inspector a un nivel de significación del 1%? 15. Una empresa de encuestas de opinión, afirma que el candidato XX, a tres meses de las elecciones, tiene el 23% del electorado a favor. Los directivos de un partido opositor sospechan que dicha cifra es generosa y deciden verificarlo eligiendo al azar a 250 personas del padrón, resultando que 30 de ellas están a favor del candidato XX. A) A un nivel de significación del 5% Qué puede decirse de la suposición del partido opositor? 16. Del ejercicio anterior, suponga que después de 2 meses la empresa de encuestas sigue manteniendo dicha afirmación. Los opositores, a los efectos de verificar lo dicho por la empresa realizan una nueva muestra de 1200 personas, resultando a favor del candidato XX 180 personas. Con un mismo nivel de significación, qué puede decirse de la afirmación de la empresa. 17. En un laboratorio se estableció que 1cm3 de cierta droga debe precipitar por minuto en promedio 0,12g de una sustancia y un desvío menor a 0,027g. Para verificar si una droga similar satisface las condiciones requeridas se realizaron 145 ensayos y se obtuvo un promedio de 0,13g de precipitación, con un desvío de 0,03g. Con un nivel de significación del 10%, determinar si la nueva droga tiene características diferentes a la fijada por la hipótesis. 18. Una empresa productora de cables desea estudiar el diámetro de los mismos. Para ello seleccionó al azar una muestra de 12 elementos y se obtuvo una media de 2,5mm y varianza de 0,185 mm 2. Sabiendo que la variable sigue una distribución normal: A) Puede decirse que la media de los diámetros de los cables es mayor a 2,4mm para un nivel de significación del 10%. 19. Se desea estimar el porcentaje de manzanas que resultan no comercializables al someterlas a un almacenamiento de 5 C durante 20 días. De una muestra de 265 manzanas, 54 resultaron no comercializables. Puede afirmarse que la proporción de manzanas no comercializables al someterlas al almacenamiento mencionado es del 20%, para un nivel de significación de 8%? 20. Se desea estimar la diferencia de consumo medio de nafta de dos marcas de automóviles en un recorrido de 50 kilómetros. Una muestra de 10 automóviles de la marca A proporcionó un consumo medio de 4,8 litros y un desvío de 0,9 litros para los 50 kilómetros, mientras que una muestra de 12 automóviles de la marca B proporcionó un consumo medio de 4,1 litros y un desvío típico de 0,6 litros, también para los 50 kilómetros. A) Para un nivel de significación del 1%: puede inferirse que el consumo medio de la marca B es menor al de la marca A en, al menos, 0,0l litros por kilómetro? B) Resalte el supuesto que tuvo que considerase para realizar el Test de Hipótesis. 21. Una muestra de 3850 personas mayores de 16 años de la ciudad A, proporcionó que el 41% son fumadores, mientras que una muestra de 4100 personas mayores de 16 años de la ciudad B, arrojó que 39% son fumadores. puede decirse que ambas ciudades poseen iguales características en cuanto a su proporción de fumadores para un nivel de significación del 5%? 22. Un ensayo con 260 cables elegidos al azar dieron una media de resistencia a la rotura de 2400kg y un desvío de 150 kg. Con un nivel de significación del 10%, puede decirse que el promedio de resistencia a la rotura de dichos cables es mayor a 2390 kg, tal como lo establece la norma legal? - 3 -
23. Se desea comparar el impacto en la emisión de dióxido de azufre (SO 2 ) entre dos procesos productivos. Para ello se realizaron 10 muestras de aire en cada proceso, obteniéndose los siguientes datos (en ppm): Proceso A Proceso B Media 12,09 Media 11,35 Desviación estándar 2,67 Desviación estándar 3,25 Si la emisión de SO 2 en ambos proceso sigue una distribución normal. A) Puede considerarse que el valor medio de emisión de dióxido de azufre (SO 2 ) en ambos procesos es igual? (Con un nivel de significación del 10%) B) Puede considerarse que las varianzas de ambos procesos son iguales? (Con un nivel se significación del 10%). 24. La longitud de ciertas plantas es una variable aleatoria que se distribuye normalmente. Se tomó una muestra 25 plantas y se obtuvo una altura media de 13,8 cm y una varianza muestral de 4cm 2. A) Puede considerarse que la altura media de las plantas es menor a 13,5cm, con un nivel de significación del 5%. B) Puede considerarse que la altura media de las plantas es mayor a 13,5cm, con un nivel de significación del 5%. 25. Se necesita cambiar una central de comunicación. Se sabe que es conveniente colocar la central Q si se recibe, en promedio, más de 333 llamadas por hora. En caso contrario sería conveniente colocar una central estándar. En una muestra al azar de 140 horas se obtuvo un valor medio de 343 llamadas y un desvío de 83 llamadas. A) Con un nivel de significación del 1% aconsejaría colocar la central Q? B) Con un nivel de significación del 10% aconsejaría colocar la central Q? 26. Se desea corroborar si existen diferencias significativas sobre las intensidades con que trabajan dos estaciones de comunicación. Para ello se realizaron muestras aleatorias de 86 observaciones en cada estación y se obtuvieron los siguientes resultados: i. Estación A: media muestral de 51,7 Mb/minuto. ii. Estación B: media muestral de 49,3 Mb/minuto. Si las intensidades de ambas estaciones se distribuyen normalmente, con desvío de 12Mb/ minuto en la estación A y 26Mb/minuto en B. Que puede decirse con un nivel de significación del 5%? 27. Una empresa produce fibras naturales y asegura que las fibras tienen una resistencia media de 33 libras y una varianza de 64 libras. Un inspector de calidad sostiene que la resistencia media de las fibras que produce la empresa es de 30 libras y no de 33, dado que ha realizado una muestra aleatoria de 25 fibras y obtuvo una resistencia media de 30 libras. Si se considera que la resistencia a la rotura de las fibras sigue una distribución normal. A) Qué puede decirse de la afirmación de la empresa con un α del 2%? 28. La producción media anual de manzanas en una zona del valle de Río Negro es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con media 93,4 Tns/Ha. y desvío 6 Tns/Ha. A) Decidir con un nivel de significación del 1%, si con un nuevo fertilizante probado en 41 parcelas, las cuales arrojaron una producción media de 94,3 Tns/Ha y desvío 6,3 Tns/Ha se obtiene un rendimiento medio mayor. 29. Se ha desarrollado un nuevo proceso que puede aumentar la producción actual. Se sabe que éste último tiene una media de producción por hora de 80 unidades y desviación estándar de 5 unidades. Si la media de la producción del nuevo proceso muestra ser mayor a 80 unidades, el nuevo proceso será - 4 -
realizado. Se realizarán 50 pruebas del nuevo proceso, considerando que este nuevo proceso produce el mismo desvío que el proceso actualmente en uso: A) Para un nivel de significación del 5%, establecer la regla de decisión sobre el valor de la media muestral, tal que se acepta o no la hipótesis. 30. Una señal de comunicación se trasmite a una velocidad media de 300 Mb/s y un desvío de 24 Mb/s. Se desea saber si utilizando una vía alternativa es posible incrementar la señal de comunicación. Para un nivel de significación del 1%, dar una regla de decisión que debería adoptarse para considerar que la vía alternativa posee mayor velocidad que la primitiva, considerando que se toma una muestra aleatoria de 64 intervalos (segundos) de la trasmisión de la vía alternativa (considere que la vía alternativa posee el mismo desvío poblacional que el proceso original). - 5 -