Àlgebra lieal (Mètodes Matemàtics I) Egiyeria Química Curs 00/03 Prova parcial.(--00) I. Propietats bàsiques dels ombres.. Quis elemets so {x R tal que (x ) (x + ) 3}?( put) com el valor absolut compleix ab = a b teim que resoldre x 3. Estudiem dos casos. er cas (x ) 0 correspo a x o x, teim que resoldre x 3, es a dir x 7, per tat 7 x 7, per tat x [ 7, ] [, 7]. o cas x (, ). Teim resoldre x 3 es a dir x per tat x o x, es a dir x (, ] [, ). Per tat la solució és: x [ 7, ] [, 7].. Sigui z = e iπ/ i z = 3 i. Escriu z e forma polar i calculeu z 0 z.( put) Fixeu-vos que z = re iθ està al 3er quadrat. Calculem primer 3 r = z = + =, llavors θ = arctag(/ 3)+3erquadrat = 7π/6 per tat z = e i7π/6 e forma polar. Calculem z 0 z. Per Moivre, z0 = 0 e i0π/ = 50 e iπ/ i z = e i7π/6, per tat II. Propietats dels ombres reals. z 0 z = 9 e iπ 3.. Sigui x la successió recurret defiida per x 0 = i 3x + = 7 + x. i. Demostreu que és moótoa.( put) Veiem que és decreixet. Ho demostrarem per iducció. Volem veure x + x per a tot atural. Veiem primer per = 0(cas cocret). x = + 3 = x 0. Per tat cas = 0 és veritat Suposem que el cas k és veritat, es a dir x k+ x k, veiem
que llavors el cas k + és veritat provat per iducció que x és moòtoa decreixet. Volem veure x k+ x k+ això es el mateix de veure 3x k+ 3x k+ sustituim aquí per la defiició de la successió recurret i veure l aterior desigualtat és equivalet a 7 + x k+ 7 + x k veure aquesta desigualtat és equivalet a x k+ x k Hem vist docs que provar el cas k + es provar que x k+ x k, utilitzem ara la hipòtesi d iducció, sabem que x k+ x k fixeu-vos com x + = + x i com x 0 teim que tots els x só positius (a partir de x i també teim que x 0 0), llavors teim, de ser x k+ x k i tots els x positius, que x k+ x k que és el que volíem demostrar. ii. Estudieu si té límit i e cas afirmatiu (tot justificat-ho) calculeu-lo.( put) Hem vist que x és moòtoa decreixet i x 0 de com està defiida la successió recurret, per tat per u teorema de teoria té límit l. Aem a calcular el límit, l ha de complir 3l = 7 + l cal resoldre docs l 3l + 7 = 0 que doa per solucios cadidates a l els valors:{ 3± 59/7 }, com x és decreixet i começa per < 3+ 59/7 teim que l = 3 59/7.. Calculeu els següets límits (justificat la resposta),
( 3 3 + 6 ) +5 + a) lim + ( put) + log( ) + log( ) + + log( ) b) lim log( ( put) ) c) lim l( ) (0.5 puts) + (()! + ) ()!!+! + d) lim + (()!) ()! (0.5 puts) L apartat a) utilitza el criteri del úmero e, escriviu la successió com ( 3 3 + 6 ) +5 ( + 3 + 6 ) +5 3+6 = + + pel criteri del ombre e el limit serà e l amb l el limit de + 5 + 5 + 3 + 6 docs calculem aquest límit que es doa l = /3, i per tat el límit demaat és e /3. L apartat b) s usa el criteri d Stolz, cocretamet el sego apartat b). Sigui b = log( ) = log, com log és creixet i també és creixet i ambdos de úmeros positius teim que b és estrictamet creixet podem aplicar Stolz, i es redueix el limit al càlcul del límit de log(( + ) ) ( + ) log(( + ) ) log( ) = log( + ) ( + ) log( + ) log podem treure els quatre i per les propietats dels logaritmes podem escriure l per, log( + ) ) = log( + ) log( (+) ( + )) = log( + ) log( (+) ) + log( + ) log( (+)+ això te idetermiació ifiit dividit per ifiit, i com log(( + ) / ) va a log(e) teim que dividit umerador i deomiador per log( + ) obteim que el límit és. Apartat c). Fixeu-vos que com log( ) per suficietmet gra i igualmet log( ) = log() per suficietmet gra teim també la desigualtat pree arrels -éssimes positives, log( ) però = o ambdos tee límit, per tat el límit per sadwich és també. Apartat d). Fixeu-vos que és el producte de dues successios 3
parcials, (()!+)()! és ua successió parcial de (+) (()!) ()! que tedeix al ombre e, per tat la succeció parcial (()!+)()! (()!) ()! tedeix a e; igualmet l altra successió,!+! + correspo a ua successió parcial de que té límit, per tat la successió parcial té límit, per tat estem calculat el producte de dos successios o ua té límit e i l altra, per tat el limit és e. Observació: U altre fet útil del resultat: que si u limit de ua successió existeix, llavors tota successió parcial d ella té el mateix límit; és (útil també aquest resultat) per provar que ua successió o té límit, per això trieu dues successios parcials d elles que o vagi al mateix límit, provat llavors que la successió geeral o pot teir límit. 3. Estudieu la covergècia per a les sèries següets, tot justificat la resposta:! / a) b) ( + )! l(() 00 ) = = a)=b)=c)=(0.5 puts).! Apartat a). Fixeu-vos (+)! = (+)(+) ()! c) (!) = comparem aquesta última expressió amb / i utilitzat el criteri de comparació teim que la covergècia o divergècia es equivalet al de la sèrie que per teoria és coverget, per tat la sèrie és coverget. Apartat b). Comparem primer / l(() 00 ) amb l(), si feu el límit del quociet de les dues expressios us doa o 00 o /00 depee de l ordre que preeu. Llavors es cal estudiar úicamet la sèrie l() observem que l() per gra per tat per estudi de covergècia o divergècia podem comparar, d aquí teim que l() = = + per tat la ostra sèrie suma més gra o igual a ifiit, per tat és diverget.
Apartat c). Utilitzeu el criteri a + /a amb a = ()! (!). Calculem el limit a + /a.és el límit de l expressió, ( + )! (!) ( + ) (+) = (( + )!) ()! ( + )( + ) ( + )( + ) ( + ) o l expressió de l esquerra és el producte de dues series amb limit real ja que el limit (+)(+) (+)(+) és i el limit de (+) és e = e, per tat el limit és e > pel criteri, teim que la sèrie és diverget. III. Factorització de poliomis.. Resolt a C la següet igualtat ( 3 i)e z = e πi +i o z C.(0.5 puts) E l apartat b de l exame hem escrit 3 i e forma polar, és e i7π/6 iπ7 l()+ = e 6. Fixeu-vos que e pii +i = +i = e i3π/ = e l( )+ i3π, per tat l equació a resoldre és, i per tat teim iπ7 l()+ e 6 +z = e l( )+ i3π l() + iπ7 6 + z = l( ) + i3π + πik amb k Z, és a dir amb k Z. z = l( ) l() + i3π iπ7 6 + πik. Troba les arrels a C del poliomi: z 5 z.(0.5 puts) Igualem a zero, i teim buscar arrels de z = 0 i z = 0 teim ua arrel és 0, les arrels de z = 0 só les arrels -tes de com ombre complex que so, {, e πi/,, e 3πi/ }, per tat ja teim les 5 arrels del poliomi. 3. Factoritza a C[z] i a R[z] el poliomi z 5 8z.(0.5 puts) Fixeu-vos que z 5 8z = (z 5 z) com e apartat aterior hem trobat les arrels teim que la factorització a C[z] és, z 5 8z = (z 0)(z )(z + )(z i )(z + i ) la factorització a R[z], teim que adjutar e parelles les arrels complexes i o reals, que sol hi ha i i i, per tat la factorització a R[z] és, z 5 8z = (z 0)(z )(z + )(z + ) 5