SISTEMAS POLIFÁSICOS

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1 SSTEMAS POLFÁSCOS 1. NTRODCCÓN GENERACÓN DE N SSTEMA ENEFÁSCO DE TENSONES EQLBRADAS NOCÓN DE FASE Y SECENCA DE FASES CONEXÓN DE FENTES EN ESTRELLA Y EN POLÍGONO TENSÓN SMPLE, DE FASE Y TENSÓN DE LÍNEA. NTENSDADES DE FASE Y DE LÍNEA. RELACONES ENTRE LAS MSMAS EN LOS SSTEMAS EQLBRADOS Ejemplo ANÁLSS DE SSTEMAS TRFÁSCOS EQLBRADOS. CÁLCLO DE LOS MSMOS POR REDCCÓN A N PROBLEMA MONOFÁSCO Conexión estrella-estrella Conexión triángulo-triángulo Conexiones estrella-triángulo y triángulo-estrella ANÁLSS DE SSTEMAS DESEQLBRADOS Teorema de Millman CONEXÓN Y-Y VARAS CARGAS CONECTADAS EN PARALELO CONOCDAS LAS TENSONES EN LOS BORNES POTENCA EN LOS SSTEMAS TRFÁSCOS EQLBRADOS Comparación de los sistemas trifásicos equilibrados con los monofásicos Ejemplo MEDDA DE POTENCA EN SSTEMAS TRFÁSCOS Sistemas polifásicos 1 de 38

2 Sistemas con hilo neutro Sistemas sin hilo neutro EJERCCOS Sistemas polifásicos 2 de 38

3 1. NTRODCCÓN Hoy en día se utilizan, de forma casi generalizada, consumos en energía eléctrica en forma de corriente alterna C.A., en los sistemas de potencia. Esto ha obligado a desarrollar técnicas de generación, transporte y consumo mucho más eficaces y rentables. El transporte y la generación se puede realizar en C.A. monofásica, trifásica o polifásica, el consumo exactamente igual. El que se realice tanto el transporte como la generación en C.A. trifásica se debe a que presenta una serie de ventajas respecto al monofásico, como veremos en el capítulo. Los sistemas polifásicos, en general, quedan determinados por: -Tensión. -Número de fases o circuitos monofásicos que lo constituyen, -Ángulo de desfase que lo caracteriza, siendo: 2π 360º ϕ ; ϕ m m donde m es el número de fases. Si las tensiones y corrientes son iguales así como el ángulo ϕ entre fases, el sistema es equilibrado, en caso contrario el sistema es desequilibrado. En 1888 Ferraris descubrió que se podía generar un campo magnético giratorio con dos a más corrientes alternas fuera de fase, y esta es otra de las grandes ventajas de los sistemas polifásicos frente a los monofásicos. De los sistemas polifásicos el más utilizado es el trifásico. 2. GENERACÓN DE N SSTEMA ENEFÁSCO DE TENSONES EQLBRADAS Si una espira rígida gira con una velocidad ω constante en el seno de un campo magnético uniforme, se genera en la misma una tensión senoidal debido a que el flujo que la atraviesa tiene una variación senoidal en el tiempo. gualmente se logra esa tensión permaneciendo fija la espira y girando los polos con velocidad angular constante ω. Por diversas razones, en cuyo estudio no nos detenemos ahora, este último procedimiento es el que se utiliza en la práctica. Sistemas polifásicos 3 de 38

4 figura 1 En la figura 1 se representa un generador de tensión alterna, que consta de un rotor, formado por un electroimán de cuatro polos salientes, dos norte y dos sur, dispuestos alternativamente de forma tal que producen una distribución senoidal del flujo magnético a lo largo del entrehierro, y de un estator, donde se alojan los lados activos de unas bobinas cuyas secciones transversales se representan convencionalmente por un solo conductor. na bobina abarca el arco entre dos polos consecutivos. El lado conectado al terminal de entrada, esto es, al extremo de polaridad de referencia positiva, le designamos con la letra A y el conectado al terminal de salida le designamos con la letra X. Suponemos que los lados de las bobinas se cierran por la parte posterior del plano, conexión que al solo efecto de que quede representada dibujamos fuera del estator, y que en la parte anterior están los terminales extremos. En esta figura se representan, pues, dos bobinas, una la A l - X 1 y otra la A 2 - X 2. Al girar el rotor con velocidad angular ω g, se induce en cada bobina una tensión alterna senoidal de pulsación ω. Si la rueda polar o rotor tuviera sólo un polo norte y un polo sur, esto es, un solo par de polos, la pulsación ω de la tensión inducida en cada bobina sería: ω ω g pues en una vuelta se completaría un período. En la máquina tetrapolar de la figura, número de pares de polos p 2, se completa en media vuelta un período del flujo senoidal y de la tensión inducida en cada bobina; luego: Tg ω π ω 2 2 gtg en donde T g es el tiempo empleado por el rotor en una revolución. Esto significa que el período T de la tensión inducida es la mitad de T g o que, según la expresión anterior, En general será: ω pω g lo que quiere decir que en una máquina de p pares de polos basta una rotación igual a l/p de vuelta, que. equivale a 360/p grados geométricos, para obtener un período de la tensión inducida, esto es, 360º eléctricos. Sistemas polifásicos 4 de 38

5 Las tensiones inducidas en las bobinas A l X 1 y A 2 -X 2 están en fase, como se ve fácilmente por su idéntica disposición respecto de dos polos consecutivos. Las podemos conectar, pues, en serie, terminal de salida de una con el de entrada de la otra, con lo que se duplica la tensión en los terminales libres. Este alternador, en que sólo se obtiene una tensión senoidal o tensiones en fase, se denomina monofásico. Obsérvese que la separación entre las entradas A l y A 2 de las bobinas es 360º/p y que estarán en fase las tensiones inducidas en dos bobinas cuya separación geométrica tenga este valor o un múltiplo del mismo. figura 2 En cambio, en bobinas como las representadas en la figura 2, cuyas entradas son A l, B 1 Y C 1, se inducen tensiones no en fase y que, si se toma como referencia la inducida en la bobina A 1 pueden expresarse por E E E A EA 0 E ϕ B B B E ϕ C C C pues, según el sentido de rotación indicado en la figura, estas tensiones van retrasadas en tiempo Sistemas polifásicos 5 de 38

6 ϕ ϕ ϕ p Bg Bg B ωg ω ω ϕ ϕ ϕ p Cg Cg C ωg ω ω Por consiguiente, llamando ϕ a la diferencia de fase o ángulo eléctrico, entre las tensiones inducidas en dos bobinas y designando por ϕ g su separación o ángulo geométrico, puede escribirse en general ϕ pϕ 2 s 3 s n E ϕ E 2ϕ... g Si a lo largo del diámetro interior del estator hay distribuidas uniformemente pn bobinas iguales, esto es, p grupos de n bobinas (un grupo por cada 360/p grados geométricos) y si la rueda polar es simétrica, las tensiones de las bobinas de cada grupo forman un sistema n-fásico de tensiones equilibradas, denominación debida a que las amplitudes son iguales y a que entre cada dos sucesivas hay una diferencia de fase igual a l/n 2π de período. (Para la figura 2 se ha tomado n 3.) Haciendo ϕ g diferencia de fase del sistema n-fásico, n podemos escribir: E1 E 0 E E E ( ) E n 1 ϕ Conectando en serie las bobinas de los distintos grupos cuyas tensiones están en fase, por ejemplo, conectando el terminal X 1 con A 2, X 2 con A 3 y así sucesivamente, obtendremos entre A l y el X de la última bobina una tensión pe Se obtiene, en definitiva, el sistema n 0 2π n 2π 2 n... 2π ( n 1) n s cuya representación vectorial se muestra en la figura 3 Sistemas polifásicos 6 de 38

7 figura 3 En la práctica no se encuentran nada más que los sistemas bifásico trifásico tetrafásico y hexafásico En la figura 4 se muestran sus respectivas representaciones vectoriales. Por excepción, la diferencia de fase entre las tensiones del sistema bifásico es ϕ s π 2 y no igual a π, como resultaría de seguir la ley general. El más utilizado en la distribución de energía eléctrica es, sin duda alguna, el sistema trifásico. figura 4 3. NOCÓN DE FASE Y SECENCA DE FASES Cada uno de los sistemas monofásicos que componen el sistema trifásico. Sistemas polifásicos 7 de 38

8 Por extensión, se da el nombre de fase a cada una de las partes de un circuito en que se genera, se transmite o se utiliza una de las tensiones del sistema. Secuencia de fases es el orden en que se suceden las correspondientes tensiones. Recuérdese que los vectores asociados a las funciones senoidales se representan en la posición correspondiente a un instante determinado, por ejemplo, t 0, pero son unos vectores rotatorios que giran con velocidad angular constante ω en sentido contrario al de las agujas de un reloj. (Sentido sinistrórsum o sentido directo de rotación en el plano.) El orden en que los vectores representados en la figura 3 y figura 4 van coincidiendo con un eje que pase por el origen, por ejemplo, el eje real, es 1, 2, 3,... En este caso se dice que el sistema polifásico, tal como le hemos numerado, es de secuencia positiva o directa. En la figura 5 se representa un sistema trifásico equilibrado de secuencia negativa. Nótese que la secuencia de fases expresa el orden en que se suceden los máximos de los valores instantáneos de las tensiones. figura 5 Según el sentido de rotación representado en la figura 2, las fases se suceden en el orden A-B-C, esto es, en secuencia directa, y si cambia el sentido de rotación, las fases se suceden en el orden C-B-A, esto es, en secuencia inversa. Pero imaginemos que disponemos de las tensiones en un punto alejado del generador y que los conductores que allí poseemos no están marcados por número o letra alguno. En este caso, lo primero que tenemos que hacer para entendemos es marcar los conductores y luego determinar experimentalmente en el orden en que se suceden las tensiones. Si ocurre que éstas se suceden en el orden convencional de las marcas, el sistema de tensiones es de secuencia directa, y si no ocurre así, es de secuencia inversa. Pero se ve lo relativo de este concepto, pues basta cambiar dos marcas cualesquiera, en este caso de sistema trifásico, para tener la secuencia nversa. No se crea que, a pesar de su relatividad, carece de utilidad el concepto de secuencia. El orden de sucesión de fases de un sistema polifásico es causa de que éste produzca, por ejemplo, un campo rotativo de un sentido u otro. También se producen resultados distintos en los sistemas desequilibrados al aplicarse en ellos fuentes de secuencias contrarias, y es por ello que hemos de considerar el orden de sucesión de las fases. Sistemas polifásicos 8 de 38

9 El concepto de secuencia de fases, a veces denominado rotación de fases, se aplica también, aunque el sistema sea desequilibrado. En este caso, los vectores del correspondiente diagrama no son de igual módulo, no están separados por igual ángulo o se dan las dos circunstancias simultáneamente. 4. CONEXÓN DE FENTES EN ESTRELLA Y EN POLÍGONO En la figura 6 se representa un sistema trifásico equilibrado de fuentes de tensión. figura 6 En la figura 7(a) se representa su conexión en estrella, la que se obtiene uniendo en un punto común N, llamado punto neutro, los terminales a, b' y c' de polaridad de referencia negativa. Suele ser costumbre representar las fuentes en estrella, como se hace en la figura 7(c), esto es, en la forma de estrella de que recibe el nombre. figura 7 En la figura 8(a) se representa la conexión en triángulo. Se obtiene conectando sucesivamente los terminales de distinta polaridad. La figura 8(c) es la representación usual de la conexión en triángulo. Creemos conveniente advertir aquí, aunque a muchos lectores les parecerá innecesario, que, aun en el caso de representar las fuentes en la disposición geométrica de Y o, los vectores asociados o representativos de las tensiones complejas no coincidirán en orientación, en general, con las flechas Sistemas polifásicos 9 de 38

10 correspondientes de referencia de polaridad. Esto es lo que ocurre en las figura 7 y figura 8. Para evitar confusiones, aparte de tener en cuenta esta advertencia, se aconseja que, como referencia de polaridad, se utilice aquí doble subíndice en lugar de flechas. figura 8 Los sistemas tetrafásicos y hexafásicos se pueden conectar también en estrella y en polígono. No ofrecen dificultad alguna los correspondientes esquemas y diagramas vectoriales. El sistema bifásico no permite la conexión en polígono. 5. TENSÓN SMPLE, DE FASE Y TENSÓN DE LÍNEA. NTENSDADES DE FASE Y DE LÍNEA. RELACONES ENTRE LAS MSMAS EN LOS SSTEMAS EQLBRADOS n sistema n-fásico de fuentes de tensión puede utilizarse para suministrar corriente a n cargas. No es usual la conexión independiente que, por ejemplo, se muestra en la figura 9 para un sistema trifásico. figura 9 Esta disposición requiere seis conductores para distribuir la energía a las cargas. La conexión de éstas en estrella o en triángulo permite una reducción de ese número de conductores, lo que, como analizaremos más adelante, supone una economía en los gastos de la instalación. A ello es debido el que uno u otro de estos tipos de conexión, que se representan en la figura 10 para un generador trifásico en estrella, sea la norma Sistemas polifásicos 10 de 38

11 práctica de utilizar los sistemas polifásicos. En el esquema de los generadores de esta figura se ha incluido la impedancia interna Zg de cada uno de ellos. Estas impedancias son las de los devanados donde se inducen las tensiones de cada fase. Para la conexión en estrella se utiliza el símbolo Y y para la conexión en triángulo el. En la figura 10(a) se representa la conexión Y-Y con hilo neutro. En la figura 10(b), la distribución se realiza a tres hilos, o sea, sin conductor de conexión entre los puntos neutros N' y N del generador y de la carga. Por último, en la figura 10(c) se representa la conexión Y-. Cabe también considerar las conexiones -Y y -. Se denomina tensión simple a la diferencia de potencial que existe entre cada uno de los conductores de línea y el hilo neutro. Se denomina tensión de fase a la diferencia de potencial que existe en cada una de las ramas monofásicas de un sistema trifásico. Para las cargas en estrella, la tensión de fase es la que aparece en la correspondiente impedancia, y coincide con la tensión simple, por ejemplo, an para, Z 1 en los dos casos representados en la figura 10. figura 10 Sistemas polifásicos 11 de 38

12 Tensión compuesta o de línea (característica del sistema trifásico) es la diferencia de potencial que existe entre dos conductores de línea. Si se considera que es nula la impedancia ofrecida por esos conductores, las tensiones de línea en la carga son idénticas a las que se tienen en la salida del generador. ntensidad de línea es una de las intensidades a, b o c que circulan por los conductores de la línea de conexión entre el generador y la carga. Se llama intensidad de fase a la que circula por cada una de las ramas monofásicas de un sistema trifásico. En los sistemas en estrella, ya sean cargas o generadores, la intensidad de línea L coincide con la intensidad de fase F, esto es, fase, es decir, L como se deduce de la simple inspección de la figura 10. F Para la conexión triángulo, por el contrario, es la tensión de línea la que coincide con la tensión de F lo que puede apreciarse en la figura 10(c) y en la figura 8. L n sistema trifásico se dice equilibrado cuando lo es la carga y el generador, esto es, cuando las impedancias que presentan estos elementos en sus distintas fases son iguales entre sí y las fuentes de tensión del sistema están equilibradas. La línea de distribución ha de presentar también una misma impedancia Z L por fase. En los sistemas equilibrados, tanto las tensiones como las intensidades, ya sean las de fase o las de línea, forman un conjunto de magnitudes equilibradas. Los vectores a ellas asociados son de igual módulo y entre cada dos sucesivos hay una diferencia de fase constante. Veamos las relaciones que existen entre las magnitudes denominadas de línea y las de fase en los sistemas equilibrados. Sean, figura 11, tres impedancias de carga iguales Z Y conectadas en estrella. Supongamos que las tensiones a ellas aplicadas formen un sistema trifásico equilibrado de secuencia positiva. figura 11 Sistemas polifásicos 12 de 38

13 El diagrama vectorial que se representa en la misma figura muestra que las intensidades de fase forman también un sistema equilibrado, puesto que e ϕ a ϕ b ϕ c a b c ya que las impedancias en estrella son iguales entre sí. Veamos las tensiones de línea, ( ) ab an + Nb an bn an 1 0º 1 120º an 3 30º Por tanto, podemos escribir, esto es, ab bc ca an bn cn ( 1 30º ) ( 130º ) ( 1 30º ) L 3 F con un adelanto de 30º de la tensión de línea respecto de la tensión de fase del mismo origen. Obsérvese que esta conclusión referente a la diferencia de fase es válida sólo para las tensiones de línea tomadas en sucesión directa, esto es, a-b, b-c, e-a, como hemos hecho en el referido diagrama. Las mismas conclusiones obtenidas para las cargas se deducen para los generadores en Y, lo que puede comprobarse comparando la figura 7(b) y la figura 11. figura 12 Sistemas polifásicos 13 de 38

14 Consideremos ahora el caso, figura 12, en que las tres impedancias Z estén conectadas en triángulo y sea también positiva la secuencia de las tensiones de línea. Las intensidades de fase ab, bc, ca que representamos en el diagrama vectorial, forman un mismo ángulo ϕ, igual al argumento de Z ; con las respectivas tensiones. Las intensidades de línea vienen dadas por a ab ca b bc ab c ca bc o bien por ( 3 30º ) ( 3 30º ) ( 3 30º ) a ab b bc c ca esto es, L 3 F con un retraso de 30º de la intensidad de línea respecto de la intensidad de fase del mismo origen de referencia y de sucesión directa, esto es, a-b, b-c, c-a. Del diagrama vectorial y esquema de la figura 12 se deducen de forma inmediata las ecuaciones anteriores. Ha de observarse que si los generadores están conectados también en triángulo, las intensidades de fase suministradas por ellos se han de designar por: Y se verificará b a, c b, a c ab bc ca b a c b a c Ejemplo 1. A un sistema equilibrado de tensiones de secuencia inversa se conecta una carga pasiva y equilibrada, como se muestra en la figura 13. Sistemas polifásicos 14 de 38

15 Sabiendo que la carga está conectada en estrella, que su impedancia por fase es Z 25 π 6 y que la tensión de línea es de 150 V, construir un diagrama vectorial donde aparezcan todas las magnitudes de línea y de fase (escalas: 3 V ~ 1 mm; 1 A ~ 1 cm). Tomar como origen de fases a an. figura 13 Por ser el sistema de tensiones de secuencia inversa, se cumplirá: Veamos las tensiones de línea: an bn cn F 0º F 120º F 120º ( ) ab an + nb an bn F 1 0º 1120º F 3 30º Por tanto, podemos escribir, osea; ( 1 30º ) ( 1 30º ) ( 1 30º ) ab an bc bn ca cn L 3 F con un retraso de 30º de la tensión de línea respecto de la tensión de fase del mismo origen. Para nuestro caso tendremos: F L , 6v 3 3 Las intensidades de fase, que coinciden con las de línea, forman también un sistema equilibrado de secuencia inversa, ya que lo es el de tensiones de fase. Como la carga es capacitiva, dichas intensidades de fase irán adelantas π/6 respecto a su correspondiente tensión de fase. Su valor eficaz será: Sistemas polifásicos 15 de 38

16 F F 86,6 3, 46A Z 25 Por consiguiente, el diagrama vectorial pedido es el construido en la figura 14. figura ANÁLSS DE SSTEMAS TRFÁSCOS EQLBRADOS. CÁLCLO DE LOS MSMOS POR REDCCÓN A N PROBLEMA MONOFÁSCO Conexión estrella-estrella Estudiaremos en primer lugar el sistema trifásico equilibrado Y-Y que se representa en la figura 15(a). Para realizar el estudio con mayor generalidad se han considerado las impedancias Z g, o interna del generador, Z L, o de los conductores de línea y Z N, o del hilo neutro, aparte, claro está, de las impedancias Z de carga. Escribamos las ecuaciones circulares correspondientes a los lazos básicos definidos por cada fase y el hilo neutro. Con las referencias tomadas figura indicada se obtiene: y siendo: E ( Z + Z + Z ) + Z ( + + ) 1 g L a N a b c E ( Z + Z + Z ) + Z ( + + ) 2 g L b N a b c E ( Z + Z + Z ) + Z ( + + ) 3 g L c N a b c E E E Sistemas polifásicos 16 de 38

17 figura 15 puesto que se trata de un generador equilibrado, se verifica que: 0 ( Z + Z + Z + 3 Z )( + + ) g L N a b c luego: a + b + c 0 Sistemas polifásicos 17 de 38

18 por lo que Z ' N ( NN a + b + c) cualquiera que sea el valor de la impedancia Z N, Si no hay hilo neutro, Z N es obvio que se verifica que la suma de intensidades es cero, pero entonces las ecuaciones de las tensiones E 1, E 2, E 3 pueden escribirse en la forma: E ( Z + Z + Z ) + 1 g L a ' NN E ( Z + Z + Z ) + 2 g L b ' NN E ( Z + Z + Z ) + 3 g L c ' NN y teniendo en cuenta que la suma tensiones es cero resulta que 0 ( Z + Z + Z )( + + ) + 3 g L a b c NN ' Por lo que verificándose que la suma de intensidades es cero, se concluye también ' 0 NN Los puntos neutros de la carga y del generador en los sistemas trifásicos equilibrados están, pues, al mismo potencial, ya exista o no hilo neutro. Esto nos permite poner en corto circuito los referidos puntos N y N sin que se altere en nada el régimen de intensidades en las distintas partes del sistema. Esta situación se representa en la figura 15(b), donde también se han sustituido las impedancias en serie Z g, Z L y Z, y por una impedancia Z Y equivalente. Teniendo en cuenta que la tensión de neutro es cero, las ecuaciones para el cálculo de las intensidades quedan: a b c E1 Z Y E2 Z Y E3 Z Y esto es, el mismo resultado que considerando aisladamente los tres circuitos monofásicos que se representan en la figura 15(c), donde cada uno de ellos está formado con los elementos de una sola fase y con los puntos N y N en cortocircuito. Obsérvese que, por ejemplo, una vez calculada a y dado que el sistema es equilibrado, puede escribirse inmediatamente: Sistemas polifásicos 18 de 38

19 (1 120º ) b c a ( º ) a Conexión triángulo-triángulo Consideremos ahora el sistema equilibrado - que se representa en la figura 16(a). Cabe reducirlo a un sistema equivalente Y-Y transformando, de la forma que ya hemos estudiado, las fuertes y las impedancias de carga. Así se calculan las intensidades y las tensiones de línea. Estas tensiones de línea entre terminales de la carga, o sea,,, ab bc ca permiten calcular inmediatamente las intensidades de fases de la conexión original, pues no hay más que dividir una de ellas por Z, ya que las otras son de igual módulo y están separadas entre sí 120º. También pueden calcularse las intensidades de fase a partir de las intensidades de línea. Para ello basta utilizar las relaciones que existen entre estas cantidades en la conexión equilibrada, cuestión que hemos estudiado anteriormente. Sin embargo, vamos a analizar directamente el sistema equilibrado -, que representamos en su forma más general en la referida figura 16(a). Si no existieran las impedancias de 1ínea Z L sería: ab bc ca ' ' a b ' ' b c ' ' c a Por ser equilibrado el sistema se verifica, exista o no Z L, que ab bc ca ' ' a b ' ' b c ' ' c a lo que puede comprobarse inmediatamente examinando los diagramas vectoriales de intensidades en las cargas y en los generadores. Para Z L 0, las intensidades de fase son las que circulan por los circuitos monofásicos que se representan en la figura 16(b) y que se calculan inmediatamente. En efecto, Sistemas polifásicos 19 de 38

20 figura 16 ab bc ca E 0 Z + Z g (1 120º ) ab ( º ) ab Sistemas polifásicos 20 de 38

21 Veamos ahora el efecto de la impedancia Z L. Para la malla correspondiente a la fase a-b, esto es, la formada por la rama a-b de la carga, la rama a -b del generador y los conductores de línea que unen sus extremos homólogos, podemos escribir: E 0 Z + Z + Z Z g ' ' b a L a ab L b de donde, teniendo en cuenta la igualdad entre las intensidades de fase en el generador y la carga y teniendo en cuenta las relaciones entre intensidades de línea y fase en sistemas equilibrados, se verifica para la carga equilibrada en y sistema de secuencia directa que: ( 3 30º ) a ab ( 3 30º ) ( 3 150º ) b bc ab reulta ( ) ( ) E 0º ( Z + Z ) + Z 3 30º 3 150º Z + Z + Z luego g ab L ab g L ab ab E 0º Z + Z + 3 Z g L y análogamente bc ca E 120º Z + Z + 3 Z g g L E + 120º Z + Z + 3 Z L Estas intensidades son las que se obtienen en los circuitos monofásicos de la figura 16(c). Cada uno de éstos comprende los elementos de la correspondiente fase más una impedancia igual a 3 Z L, la que representa el efecto producido por la impedancia de línea. Vemos, pues, que no hay que tomar el doble de Z L, como pudiera creerse a primera vista. Ello se debe a que las intensidades de línea son fase. 3 veces las intensidades de generadores Conexiones estrella-triángulo y triángulo-estrella Los sistemas Y- y -Y se reducen fácilmente a Y-Y o -, transformando ya sean las cargas o los Sistemas polifásicos 21 de 38

22 7. ANÁLSS DE SSTEMAS DESEQLBRADOS Teorema de Millman Permite calcular la tensión AB que en régimen permanente existe entre los nudos A y B, conociendo las impedancias concurrentes en B y las tensiones entre el nudo A y los otros extremos de las citadas impedancias. Y - ( ) 1B 1B AB A1 1 1 AB A1 Z1 Y - ( ) 2B 2B AB A2 2 2 AB A2 Z2 Y - ( ) mb mb AB Am m m AB Am Zm m m k k k 1 1 AB m m E Y k 1 1 Y k Sistemas desequilibrados, el desequilibrio se presenta cuando la carga lo es, o el generador o ambas cosas a la vez, aunque normalmente el desequilibrio se suele presentar en la carga. Los procedimientos de análisis se suelen dividir en dos: Métodos generales de análisis. Método de las componentes simétricas. En este curso nos centraremos en los métodos generales de análisis. El método de componentes simétricas se basa en que un sistema trifásico desequilibrado se puede descomponer en tres sistemas trifásicos equilibrados, secuencia directa, secuencia indirecta y secuencia cero u homopolar, no puede haber acoplamientos mutuos En algunos casos se pueden hacer ciertas simplificaciones. Sistemas polifásicos 22 de 38

23 Conexión Y-Y Z Z + Z + Z 1 g1 L1 r1 Z Z + Z + Z 2 g2 L2 r2 Z Z + Z + Z 3 g3 L3 r3 Aplicando Millman NN EY+ 1 1 EY E 3 Y 3 + E N Y N Y + Y + Y + Y N Como: N NN Y N Z NN N Llegamos a: ntensidades de Línea Tensiones en el receptor Tensiones en el generador a b E Z 1 NN 1 E Z 2 NN 2 E c Z 3 NN 3 Z an r1 a Z bn r2 b Z cn r3 c E - Z a N 1 g1 a E - Z b N 2 g2 b E - Z c N 3 g3 c Sistemas polifásicos 23 de 38

24 Para el caso de que no exista hilo de neutro, las fórmulas son válidas Zn Y n 0. Si el neutro es ideal, impedancia cero, los puntos N y N están al mismo potencial. Las intensidades de fase son entonces las de tres circuitos monofásicos independientes. E E E ; ; a b c Z 1 Z 2 Z 3 caso Y-Y. Las conexiones Y-, -Y, -, se pueden analizar planteando las ecuaciones, o bien reduciéndolas al CASOS PARTCLARES Varias cargas conectadas en paralelo. Se transforman todas a triángulo, con lo que quedan conectadas en paralelo, se calcula el equivalente de cada una de las ramas del triángulo, y se transforma a estrella. Conocidas las tensiones en los bornes Es muy frecuente que se conozcan las tensiones en los bornes, normalmente equilibradas que alimentan a un receptor trifásico. En este caso el cálculo se puede simplificar, estudiaremos tres casos: Carga en Y con hilo neutro(impedancia de los hilos despreciable frente a la carga),,,, ab bc ca an bn cn,, an bn cn a b c Z 1 Z 2 Z n a b c NN 0 Carga en,, ab bc ca ab bc ca Z 1 Z 2 Z 3 - a ab bc - b bc ca - c ca ab Sistemas polifásicos 24 de 38

25 Carga en Y sin hilo neutro En este caso se produce un desequilibrio en las tensiones simples en la carga an, bn, cn, desequilibradas. El procedimiento es calcular las corrientes de fase pasando de Y a, posteriormente se calculan a, b, c y con ellas las tensiones simples en la carga. 8. POTENCA EN LOS SSTEMAS TRFÁSCOS EQLBRADOS La potencia suministrada por un generador trifásico, o la consumida por un receptor trifásico, es, en los sistemas equilibrados, igual a tres veces la suministrada o consumida por una fase. Designando en general por P F la potencia de una fase, esto es, P F cos ϕ F F en donde ϕ es la diferencia de fase entre F e F, podemos escribir, como expresión de la potencia en él, un sistema trifásico equilibrado P 3 cos ϕ F F Es conveniente expresar P en función de la tensión e intensidad de línea. Para ello, observando que se verifica en todo caso, puesto que para la conexión Y es y para la conexión en resulta: F F 1 3 L L 1 e 3 F L F L 1 e 3 F L F L Sistemas polifásicos 25 de 38

26 P 3 cos ϕ L L Nótese que ahora ϕ no es en ningún caso la diferencia de fase entre L e L, sino la que existe entre F e F, como ya hemos dicho antes. Por convención se toma como tensión de un sistema trifásico la tensión L y como intensidad la L. Nótese que éstas son cantidades cuya medición es siempre posible. Así, pues, escribimos, de acuerdo con este convenio, De forma análoga, siendo P 3 cos ϕ Q F senϕ F F podemos escribir, como expresión general de la potencia reactiva de un sistema trifásico equilibrado: Q 3senϕ La potencia compleja es, pues, en estos sistemas: S 3P + j3q P + jq 3 F F * Extendiendo el concepto de potencia aparente dado para un circuito monofásico obtenemos S 3 Se verifica P cos ϕ S y Q tgϕ P Advertimos de nuevo que el concepto de potencia compleja y el teorema de Boucherot permiten simplificar extraordinariamente la resolución, de ciertos problemas, sobre todo en sistemas equilibrados. Comparación de los sistemas trifásicos equilibrados con los monofásicos Estudiemos algunos de los diversos aspectos que presentan la distribución y utilización de energía según se realicen mediante un sistema monofásico o mediante un sistema trifásico equilibrado. Sistemas polifásicos 26 de 38

27 1. Distribución de energía Supongamos que tenemos que suministrar a una carga cierta potencia P, con una tensión de línea L y con un factor de potencia cos ϕ. La carga y el generador están a cierta distancia, por lo que tenemos que realizar su conexión mediante cables que presentan una resistencia. Si tuviéramos opción a disponer de la potencia mediante una simple carga monofásica o mediante una carga trifásica equilibrada, cabe estudiar cuál de los dos procedimientos es más conveniente desde el punto de vista de la potencia perdida en la resistencia de los cables de conexión (figura 17). figura 17 Llamaremos R 1 a la resistencia de cada uno de los cables de la distribución monofásica y R 3 a la de cada uno de los tres cables que componen la línea trifásica. Para la conexión monofásica, la corriente de línea L1 viene dada por: L1 P cos ϕ L Luego la potencia P 1 perdida en la línea es: P P 2R 2R1 cos L1 2 2 L Para la distribución trifásica, la intensidad de línea es: ϕ L3 P 3 cos ϕ L luego P 3R P L3 2 2 L cos ϕ Así, pues, Sistemas polifásicos 27 de 38

28 P3 R 3 P 2R 1 1 Si utilizamos cables idénticos en uno y otro caso es 1 P3 P1 2 por lo que, desde este punto de vista, resulta más conveniente la distribución trifásica. A esta misma conclusión se llega comparando los volúmenes de material conductor que son necesarios para que se produzca la misma pérdida de potencia con ambas formas de distribución. En este supuesto, de la expresión anterior deducimos que por lo que para un solo hilo y para toda la línea R 2R ( Vol) ( Vol) 3 1 ( ) ( ) Vol 3 2 Vol 4 esto es, el volumen de material conductor necesario en la distribución trifásica es las tres cuartas partes del que se necesita en la monofásica de igual pérdida. Para comparar económicamente ambos sistemas hay que considerar aún otros muchos factores, por ejemplo, los aisladores y los transformadores que son necesarios. No entramos en detalles sobre esta cuestión, pero si diremos que no se obtiene apreciable economía en la línea correspondiente a uno u otro caso. Las ventajas del sistema trifásico se refieren más a la maquinaria terminal que a la línea de distribución. 2. Potencia instantánea En los sistemas trifásicos equilibrados, la potencia instantánea, suma de las correspondientes a cada fase, es constante. En efecto, a a a F F b b b F F c c c F F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p u i 2 cos ωt 2 cos ωt ϕ p u i 2 cos ωt 120º 2 cos ωt 120º ϕ p u i 2 cos ω t + 120º 2 cos ω t + 120º ϕ Sistemas polifásicos 28 de 38

29 expresiones que podemos poner y siendo resulta a F F F F b F F F F c F F F F ( ) ( ) ( ) p cos ϕ + cos 2ωt ϕ p cos ϕ + cos 2ωt 240º ϕ p cos ϕ + cos 2ω t + 240º ϕ cos ( 2ωt ϕ ) + cos( 2ωt 240º ϕ ) + cos( 2ω t + 240º ϕ ) 0 como queríamos demostrar. pa + pb + pc FF cos ϕ P Esta propiedad es de gran interés. Debido a ella, los motores trifásicos arrancan mejor y trabajan más satisfactoriamente que los monofásicos. Además los grandes generadores monofásicos son muy ruidosos debido a las vibraciones originadas por la potencia fluctuante. Ejemplo 2 La figura 18 representa a un generador trifásico y equilibrado alimentando a una carga pasiva, trifásica, equilibrada y conectada en estrella a través de tres hilos, cuya impedancia por fase es Z l 1 + j. Sabiendo que el generador trabaja a 50 Hz, que cede una potencia 21,2 kw y que la carga pasiva consume P c 20 kw con un factor de potencia 0,8 inductivo, determinar: 1. ntensidad de línea. 2. Tensión de fase en la carga. 3. mpedancia Z por fase de la carga. 4. Tensión de línea en el generador. 5. Capacidad por fase de la batería de condensadores, conectados en triángulo, en paralelo con la carga, que hace aumentar el factor de potencia del conjunto a 0,9. 6. dem, silos condensadores están conectados en estrella. 7. na vez conectados los condensadores según los apartados anteriores calcular la nueva intensidad de línea en cada uno de dichos casos para que las tensiones en la carga sean las mismas que antes de conectar los condensadores. Sistemas polifásicos 29 de 38

30 figura 18 Corno el circuito es totalmente equilibrado, para efectuar su estudio podemos reducir el problema a uno monofásico, tal como indica la figura 19. En este circuito, las potencias, consumidas por la carga y cedida por el generador, son las potencias por fase del circuito trifásico y, por tanto, la tercera parte de las totales. figura 19 1º Para el cálculo de la intensidad de línea basta observar que, por aplicación del teorema de Boucherot en el circuito monofásico, la potencia permitida en uno de los hilos de la línea es: y como PFl PFg PFc 0, 4kw P Fl R l 2 tenemos para la intensidad de línea P 400 R 1 Fl 20 l 2º En la carga monofásica se cumple: P Fc cos ϕ Fc de donde la tensión de fase en la carga será: Fc 3 PFc V cos ϕ 20 0,8 3 Sistemas polifásicos 30 de 38

31 3º El valor de la impedancia por fase de la carga es: y, por tanto Z Fc Ω Z Z ϕ Z(cos ϕ + jsen ϕ ) (0,8 + j0, 6) (4 + j3) 6 6 4º Las potencias reactivas consumidas por fase en la carga y en la línea son: y 20 3 QFc PFc tgϕ 5kVAr QFl Xl 400VAr En consecuencia, la potencia reactiva cedida por fase del generador, por aplicación del teorema de Boucherot, será: La potencia aparente del mismo es: QFg QFc + QFl 5, 4kVAr y como ,1 2 Fg Fg SFg P + Q + 5, 4 8,9kVA 3 S Fg Fg Resulta para la tensión por fase en el generador Fg S 8, Fg 445V Por tanto la tensión de línea en el mismo será: V g Fg 5º Los condensadores a colocar vienen representados en la figura 20. La potencia reactiva que deben ceder dichos condensadores es la diferencia de las potencias reactivas consumidas por la carga por separado y por el conjunto carga + condensadores. Es decir: Q 3Q 3 C P (tg tg ) 2 c Fc ω c c ϕ ϕ Sistemas polifásicos 31 de 38

32 figura 20 donde Q Fc es la potencia reactiva por fase cedida por los condensadores; c, la tensión de línea en la carga, que coincide con la tensión de fase en los condensadores, ya que están conectados en triángulo, y ϕ el argumento de la impedancia total del conjunto condensadores + carga. Por tanto, la capacidad pedida será: C P (tgϕ tg ϕ ) 20 10(0, 75 0, 484) c µ 2 2 3ωc 3 2π 50( 3 417) 10,8 F figura 21 Los condensadores conectados en estrella, figura 21, deben ceder la misma potencia reactiva que los conectados en triángulo. Además, como las tensiones de línea son las mismas en dichas conexiones, la configuración en estrella será la equivalente de la en triángulo. Ahora bien, como dicha equivalencia se resumía en Z 3 Z Y Sistemas polifásicos 32 de 38

33 donde Z y Z Y son las impedancias conectadas en triángulo y estrella, respectivamente, y como, en nuestro caso, la impedancia de un condensador es inversamente proporcional a su capacidad, se cumplirá C 3C 3 10,8 32, 4µ F Y Nota.- Es necesario observar que los condensadores en estrella sólo deben soportar la tensión de fase en la carga, mientras que los conectados en triángulo soportan la tensión de línea. Estas observaciones, de mayor capacidad y menor tensión a soportar de las baterías de condensadores en estrella en relación con las de triángulo, han de tenerse en cuenta como criterio económico para mejorar el factor de potencia de una instalación trifásica. 7º En ambos casos, las potencias consumidas por el conjunto carga + condensadores son: P P 20kW c Q Ptgϕ 20 0, 484 8, 7kVAr La potencia aparente será, por lo tanto: Ahora bien, como S P + Q , 7 22, 2kVA S 3Fc la nueva intensidad de línea será en ambos casos 3 S 22, ,8A Fc Como se observa, al mejorar el factor de potencia, la intensidad de línea disminuye, con lo que también disminuirán las pérdidas en los hilos de la línea. Se puede ver también que, al mejorar el factor de potencia del receptor, se requiere menor tensión en bornes del generador para mantener una misma tensión en bornes del receptor. Sistemas polifásicos 33 de 38

34 9. MEDDA DE POTENCA EN SSTEMAS TRFÁSCOS Pueden presentarse los siguientes casos en la medida de potencia activa: Sistemas con hilo neutro Solo se pueden dar en la conexión Y-Y pudiéndose a su vez dar dos casos. a)equilibrado. b)desequilibrado P 3W 1 PW 1 +W 2 +W 3 Sistemas sin hilo neutro -Conexión Y con neutro accesible, caso anterior. -Conexión en con fases accesibles. *Equilibrado: n vatímetrop 3W 1. *Desequilibrado: Tres vatímetros P W 1 +W 2 +W 3. Sistemas polifásicos 34 de 38

35 -Conexión Y ó sin neutro o fases accesibles a)equilibrado: creando un neutro artificial: b)equilibrado o desequilibrado: 3 vatímetros iguales: PW 1 +W 2 +W 3 -Conexión ARON o método de los dos vatímetros. Es un caso particular del anterior válido para sistemas equilibrados y desequilibrados, con la condición de la distribución a tres hilos (sin neutro). Sistemas polifásicos 35 de 38

36 pv an i a + v bn i b + v cn i c i a +i b +i c 0 pv an i a + v bn i b - v cn (i a +i b ) pi a (v an -v cn )+i b (v bn -v cn ) i a v ac +i b v bc PW 1 +W 2 Vectorialmente: W cos( ) 1 ac a ac a W cos( ) 2 bc b bc b Suponemos sistema equilibrado y dibujamos el diagrama vectorial. W cos 30 ϕ 1 L L W cos 30 + ϕ 2 L L 1 2 L L L L ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ϕ ) ( ϕ ) W + W cos 30 ϕ + cos 30 + ϕ 2 cos 30 cos 3 cos P L L Esta suma no ha de entenderse en sentido algebraico, veamos casos prácticos: i) Si ϕ 0 cos ϕ 1; W 1 W 2 P 2 W 1 ii) Si ϕ 60º cos ϕ 0,5 uno de los dos vatímetros indica cero a) Receptor inductivo ϕ + 60º W 2 0 b) Receptor capacitivo ϕ - 60º W 1 0 iii) Si ϕ > 60º cos ϕ < 0,5 uno de los dos vatímetros indica cero a) ϕ > 60º carga inductiva W 2 < 0 P W 1 W 2. b) ϕ < -60º carga capacitiva W 1 < 0 P W 2 W 1. Sistemas polifásicos 36 de 38

37 no de los dos vatímetros tenderá a medir negativo y habrá que invertir la conexión. Tratándose de sistemas equilibrados, la diferencia W 1 W 2 multiplicada por potencia reactiva del sistema trifásico. 1 W1 W2 2LLsen30 senϕ LLsen30 senϕ Q 3 ( ) ( 1 2 ) 3 ( W1 W2 ) ( + ) Q 3 W W Q tgϕ P W W proporciona la Para la medida de potencia reactiva utilizaremos los mismos procedimientos sustituyendo los vatímetros por varímetros, o bien mediante la conexión ARON. 10. EJERCCOS Primer Ejercicio Calcular el módulo y argumento de las intensidades de fase en el receptor, de las intensidades de línea y de las intensidades de fase en el generador. Tomar las referencias dadas en el esquema, de la figura 22 figura 22 Segundo Ejercicio Encontrar las relaciones entre las intensidades de fase y de línea de una carga equilibrada, conectada en triángulo y alimentada por un sistema equilibrado de tensiones de secuencia inversa. Suponer que la carga es inductiva. Sistemas polifásicos 37 de 38

38 Tercer Ejercicio En el circuito de la figura 23, calcular: figura La intensidad de línea y la intensidad de fase en la carga. 2. La tensión de línea en la carga. 3. Factor de potencia con que trabaja el generador. 4. Potencia reactiva suministrada por el generador. 5. Potencia reactiva absorbida por la carga. 6. Valor de la inductancia L en cada fase de la línea. 7. Valor de la impedancia Z por fase de la carga. 8. Capacidad por fase de la batería de condensadores en estrella que, colocada en paralelo con la carga, da un conjunto de factor de potencia unidad. 9. La misma pregunta anterior, pero en el caso de que la batería de condensadores se monte en triángulo. Sistemas polifásicos 38 de 38