4 Optimización de la Operación.

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1 Crso SimSEE IIE 20 Cap. 4 pág /9 4 Optimización de la Operación. El operador del sistema debe tomar las decisiones de despacho en todo momento con el objetivo de lograr satisfacer la demanda en condiciones de calidad pre-establecidas y al menor costo posible. Planteado de esta forma el problema de obtener el conjnto de reglas e debe segir el operador es decir obtener La Política de Operación es n problema de optimización. El problema de optimización es mlti-etapa dado e el costo total de operación es la sma de los costos en e se incrre en cada paso de tiempo (llamamos etapa a n paso de tiempo). En algnos casos (cando las decisiones de na etapa no peden inflenciar el ftro) el problema es desacoplable en varios sb-problemas de optimización más sencillos n problema por separado para cada paso de tiempo. En la mayoría de los casos por el contrario tilizar determinado recrso en n paso de tiempo condiciona las decisiones e se peden tomar en el ftro y por lo tanto el problema de optimización se tiene e resolver considerando ese acoplamiento (acoplamiento temporal). A continación veremos el enfoe clásico conocido como Programación Dinámica Estocástica. En la actalidad está de moda el enfoe conocido como Programación Dinámica Dal Estocástica e tiliza técnicas de optimización dal para evitar problemas de dimensionalidad e presenta el enfoe clásico. Hemos elegido desarrollar el enfoe clásico pore el sistema Urgayo es peeño y por lo tanto la dimensión del problema clásico es manejable y además el enfoe dal tiene na simplificación y spone e el problema de optimización es convexo. En el caso en e se consideran los mínimos técnicos de las centrales térmicas estamos frente a na fnción de costo NO-CONVEXA. Como generalmente las máinas están despachadas todo o nada y solamente na de las máinas eda a medio despachar (marginando) la diferencia de costos se prodce sólo en esa máina y por lo tanto tiende a cero en sistemas con mchas máinas. En el caso Urgayo no hay mchas máinas y entonces habría e analizar el error cometido en caso de tilizar na técnica de optimización dal.

2 Crso SimSEE IIE 20 Cap. 4 pág 2/9 4. Operación de sistemas dinámicos. Entendemos por operación de n sistema el conjnto de acciones e implica tomar las decisiones en cada instante de tiempo sobre todo aello e sea posible controlar en el sistema. Por ejemplo es parte de la operación del sistema decidir é generadores están prendidos y cales apagados en cada momento. Formalmente nos estaremos refiriendo a los sistemas representados como en la figra sigiente: r(t) (t) X(t) sistema y(t) operador Sistema realimentado por n OPERADOR. Las entradas del sistema las hemos separado en las r(t) sobre las e no tenemos control (es información externa como ser llvias precios de combstibles etc.) y las (t) e son las e samos para Operar el sistema. Las (t) son las variables de decisión como ser encender na máina apagarla o e potencia generamos con cada na de las máinas para cmplir con la demanda. El bloe de la figra e llamamos Operador es n agente activo del sistema e considerando el estado actal del sistema X(t) las entradas r(t) y s salida y(t) debe tomar las decisiones de operación y lo hace sministrando los valores adecados de las (t) al bloe marcado como Sistema. El conjnto de reglas e tiliza el Operador para calclar las fnciones de control (t) en base al estado del sistema ss entradas y ss salidas es lo e llamamos la Política de Operación del Sistema. 4.2 Ecación de Estados y variables de Control del sistema. Spondremos e disponemos de na representación discreta de la evolción del estado del sistema e nos permite calclar el estado al inicio del paso sigiente conocido el estado al inicio del paso actal y las entradas (las de control y las externas) en el paso actal. La ecación de evolción del estado o ecación de transición se podría escribir como: x f x r +

3 Crso SimSEE IIE 20 Cap. 4 pág 3/9 Dónde x es el vector de estado al inicio del paso r son las entradas al sistema (aportes hidrálicos vientos precios de combstibles etc.). y son las variables de control del sistema (potencias en las máinas en cada poste dentro del paso y calier otra variable de decisión). La ecación describe la evolción del vector de estado desde n estado al inicio del paso de tiempo drante dicho paso de tiempo como consecencia de la aplicación de las variables de control y de las entradas r En el caso del Sistema de Energía Eléctrica estamos frente a n sistema NO-LINEAL y VARIANE en el tiempo. Esto hace e no sean aplicables las herramientas desarrolladas para los sistemas Lineales Invariantes en el iempo. Carece de sentido hablar de estado por POSE HORARIO pes el POSE HORARIO es na agrpación de las horas del paso de tiempo e rompe la secencia temporal. Normalmente las r no dependen del POSE HORARIO dado e los aportes a los embalses selen no tener correlación con la crva de demanda y por lo tanto no conocen de postes. Pero dejamos la posibilidad pes en el caso particlar de la energía solar la correlación con la demanda es significativa y pede tener sentido. ambién tiene sentido en el tratamiento de las interconexiones internacionales si se modelan los mercados vecinos como generadores o demandas con n costo variable igal al de s costo marginal de prodcción. Hacemos notar e si modelamos el conjnto de las r como n sistema con memoria e es alimentado por fentes de rido blanco para tener n sintetizador de series ese modelo al tener memoria genera nas variables de estado e deberían ser consideradas dentro del vector de estado del sistema. Calclar la política de operación óptima es determinar el valor de en fnción de x r y e minimiza na fnción de costo objetivo en n horizonte de tiempo especificado. Generalmente la fnción de costo a minimizar es el costo esperado de abastecer la demanda en el horizonte de tiempo. El horizonte de tiempo a tilizar dependerá del propósito de la simlación. Por ejemplo con propósitos de despacho y operación del sistema los horizontes de tiempo serán generalmente inferiores a n par de años mientras e si e propósito es de planificación de la expansión del sistema el horizonte será de varios (más de 0 por ejemplo).

4 Crso SimSEE IIE 20 Cap. 4 pág 4/9 4.3 Optimización dinámica estocástica. Esto es na descripción breve de algo estándar e pede ser leído en calier libro de optimización. La única intención de poner esta descripción aí es e los lectores e no dispongan del tiempo para leer n material más profndo pedan igalmente entender la esencia del método y s aplicación a la simlación los sistemas de generación de energía eléctrica. En cada paso de tiempo si conocemos las fnciones de control podremos calclar el costo de generación en el paso (si las son las potencias de cada máina el costo es la smatoria de las por las horas del poste y por los costos variables de prodcción de cada central ). En forma general podremos escribir el costo del paso como na fnción del tipo: CE r. Esto es como na fnción cyo valor se pede determinar conocido el estado inicial x las entradas de control las entradas no controlables r y el paso de tiempo en el e estamos. Si podemos calclar la fnción CE( x r ) estamos en condiciones de definir el Costo Ftro como el costo de operar en el sistema desde n estado e instante conocido hasta el fin de los tiempos. U U R R ) { +... } { r r...} + j ( x r j) j CE ( x r j) x j + f j j j Ecación de transición. Donde {... + } en adelante y { r r... } j j j U es na realización de las entradas de control desde el paso R + es na realización de las entradas no controladas desde el paso en adelante. DrPaso / DrAño El actalizador es para tener en centa la tasa de oportnidad + α del capital. La tasa de descento anal es: α y el actalizador así calclado lleva n valor calclado al fin de n paso a s valor al inicio del paso. Estamos dando prioridad al presente frente al ftro. Aparte de tener na aplicación para reflejar los costos financieros del dinero el actalizador tiene importancia en la convergencia del algoritmo e saremos para el cálclo de la política de operación. Dado e 0<< observando la ecación del costo ftro vemos e si el costo de na etapa está acotado por n valor M el costo ftro está acotado a la smatoria U R ) j j M h 0 h M M dónde hemos tilizado e la serie exponencial del converge si se cmple 0<<. Si no consideramos na tasa de

5 Crso SimSEE IIE 20 Cap. 4 pág 5/9 descento y no tenemos asegrada na cota de CF. Es más tenemos asegrado e calier error nmérico introdcido drante el cálclo de CF permanecerá sin amortigarse. Observando la smatoria con la e definimos el costo ftro vemos e podemos realizar la definición en forma recrsiva: CF U R ) CE r + U R + ) ( r ) ( + + f Donde el valor es el resltado de la evolción del estado en la etapa partiendo del estado x al inicio del paso y para valores de las entradas y r conocidos. x 2 t t + Ahora nos planteamos el problema de consegir la mejor serie de control del sistema. Esto es la U e haga mínimo el valor esperado de U R ) para todas las realizaciones posibles de la serie R. Llamemos CF ( ) al valor del mínimo costo ftro e es posible obtener sando la mejor política de operación cando partimos en la etapa desde el estado x. Observar e estamos sando dos fnciones con el mismo nombre. Las diferenciamos por los parámetros. Ambas son el costo ftro pero na es el mínimo costo ftro esperable y la otro es el costo ftro e resltaría con nas series determinadas de las entradas. Como lo e pase desde + en adelante no pede afectar a lo e pase en la etapa podemos separar el problema de la sigiente forma: { CE( r ) + )} ) mín + U R r f ( r ) { +... } { U + } { r r...} { r R } + + Dicho en palabras para calclar el valor esperado del coto ftro de operar en forma óptima el sistema CF ( ) tenemos en centa e conocemos las entradas de la etapa y e según el valor de dichas entradas podemos calclar el estado al final de la etapa. Entonces para cada valor de las entradas el costo desde el inicio de la etapa será

6 Crso SimSEE IIE 20 Cap. 4 pág 6/9 más el valor esperado del costo ftro de operar en forma óptima desde la etapa + partiendo del estado al e llegemos mltiplicado por el factor de actalización. endremos entonces como solción del problema de CF x r y n el costo de la etapa CE( x r ) minimización (dentro del valor esperado en la fórmla) n ( x r ). El valor esperado de CF ( x r ) será el valor esperado del costo ftro de la operación óptima desde el inicio de la etapa partiendo del estado conocidas las entradas no controlables r. El valor esperado en el conjnto de entradas r posibles será: ( r ) CF ( ) CF Los valores ( x r ) r definen la política de operación de la etapa como. Conocido el estado de inicio de la etapa el valor de las entradas no controladas y conocido el tiempo de inicio de la etapa () tenemos el valor para las entradas de control e nos permiten giar al sistema por la trayectoria de mínimo costo esperado. Lo e observamos es e conocido CF ( + ) podemos resolver el problema de minimización y obtener el ( x r ) y la fnción CF ( ). Esto mestra e si para algún paso del ftro conocemos la fnción CF ( ) es posible constrir resolviendo los problemas de optimización de cada etapa desde la etapa (en el ftro) etapa por etapa hacia el presente (en sentido inverso del tiempo) y obtener las fnciones x r y CF ( j) para todas las etapas con j<. En la práctica lo e hacemos es extender el fin del horizonte de tiempo de estdio más allá del tiempo final e realmente nos interesa analizar y comenzamos imponiendo en la última etapa del horizonte así extendido la fnción CF ( j última + ) 0. Esto es extendemos el horizonte y nos imaginamos e la fnción de costo ftro es cero al inicio de la etapa e comenzaría a continación de la última etapa del horizonte extendido. Esta extensión del horizonte para la estabilización de la política de operación es lo e se conoce como años de garda o tiempo de garda. Una observación interesante es e la información de la fnción CF e importa para el cálclo de la política de operación está en las derivadas de CF con respecto al estado y no en el valor absolto de CF. Basta con observar e si smamos na constante a CF cando parados en calier estado de la etapa anterior evalemos la mejor trayectoria a segir veremos los costos de calier trayectoria amentados en ese valor constante y por lo tanto no afecta la decisión en canto a bscar la trayectoria de menor costo. Esto nos habilita a iniciar con CF0 y poner n tiempo de garda lo sficientemente extenso CF como para e se estabilicen las derivadas Hasta el momento no mencionamos el dominio de. En la práctica el sistema impone restricciones sobre los posibles valores delas variables de control. Esto se expresará como n conjnto de restricciones del tipo g ( r ) 0

7 Crso SimSEE IIE 20 Cap. 4 pág 7/9 El psedo del código para el cálclo sería: para todo x hacer: -- para desde -- CF ( ) 0 ltima + ltima retrocediendo hasta hacer: para todo x hacer: -- { CE( r ) + )} ) mín + con f ( r ) y sjeto a g ( r ) 0 r En la práctica habrá e discretizar el espacio posible de x en n conjnto de pntos sobre los e se calclará CF ( ) y habrá e elegir la discretización lo sficientemente fina como para e sea posible interpolar los valores intermedios no calclados. 4.4 Aproximación lineal En la sección anterior hemos mostrado e es posible constrir iterativamente la fnción CF ( ) partiendo desde última hasta la primer etapa y sponiendo conocido CF ) (nlo por ejemplo). ( última+ Ahora mostraremos el efecto de considerar na aproximación lineal de la fnción CF + en cada problema de optimización. Spondremos e la evolción del estado se pede describir por na ecación lineal en el estado inicial. δ x x f ( r ) x Ax + B + Brr + C omando el desarrollo de aylor de primer orden de las fnciones de costo + ) + + ) + δx tenemos: ) mín CE( r ) Sstityendo δ x Ax + B + B r C en la ecación anterior tenemos: r + r ( r ) CE ) mín ) + ) ( Ax + B + B r + C) r r

8 Crso SimSEE IIE 20 Cap. 4 pág 8/9 reordenando términos tenemos: CE( r ) + ) + B ) mín + ) + Brr + ) + + ) + ( Ax + C) r y sacando el término constante para afera de la minimización y del valor esperado tenemos: ) mín CE ( r ) + ) + B + ) + + ) + + ) + Brr ( Ax + C) r Fijemos la atención en la fnción objetivo de la minimización. Por n lado tenemos el costo directo de la etapa CE( x r ). Este costo está formado en el caso de los sistemas de generación de energía eléctrica por la sma de los costos variables de generación de las diferentes centrales térmicas y los costos asignados a las fallas en el sministro mltiplicados por las potencias generadas y por la dración del paso de tiempo. ambién forman el costo los gastos asociados a las compras de energía en mercados vecinos menos los ingresos por ventas de energía a dichos mercados. + ) Por otro lado tenemos el términos + ) término Brr e dan centa del costo asignado a la variación de las variables de estado por so de las variables de control y casado por las entradas no controlables directamente. B y el + ) Cada componente de representa la variación en el costo ftro casada por na variación en cada na de las respectivas variables de estado. Si pensamos e cada x representa n stoc de n recrso (por ejemplo aga embalsada) las derivadas del costo ftro respecto de cada variable pde pensarse como menos el valor e le asignamos a na nidad de stoc de esa variable. Generalmente amentar el stoc de n recrso disminirá el costo ftro por lo e estas derivadas son negativas.

9 Crso SimSEE IIE 20 Cap. 4 pág 9/9 4.5 Implementación en SimSEE En capítlos previos se mostró como los Actores sin estados en forma colaborativa arman el problema de despacho de n paso de tiempo. El problema de despacho es el problema de optimización e nos permite calclar al resolverlo las entradas controladas. En el caso de Actores e tengan variables de estado deberán agregar al problema en general la representación de s estado y al problema de despacho los costos e por variación de ss variables de estados se asignan como variación del coto ftro a las decisiones de la etapa. Así como se realizaba na recorrida de los actores para e éstos indien la cantidad de variables de control y de restricciones adicionales e imponen sobre el problema y de paso gardaran el índice de comienzo de ss variables y de ss restricciones en el problema global se realiza na recorrida de los actores para el conteo de las variables de estado y para e cada actor garde el índice de comienzo de ss variables de estado en el vector de estado global del sistema. Cada actor debe indicar en esa recorrida la cantidad de variables de estado e necesita el tipo de variable (contina o entera) y las discretizaciones con e iere representar s estado. Lego de esta recorrida eda dimensionado el espacio de estado y eda definida también la nbe de pntos discretos sobre la e calclaremos CF ( ) para cada. Para el manejo de estado y de la fnción de costo ftro se implementó n manejador e les permite a los actores consltar los valores de la fnción de costo ftro y de ss derivadas. En SimSEE diferenciamos dos etapas na de OPIMIZACION en la e constrimos la fnción de costo ftro y otra de SIMULACION en la e sponemos conocida la fnción de costo ftro. Drante la OPIMIZACION el tiempo transcrre en reversa en la sala de jego. Drante la SIMULACION el tiempo transcrre en el sentido tradicional.