ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS EN MODELOS ARMA POR EL CRITERIO DE MÍNIMOS CUADRADOS

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1 Scientia et echnica Año XII, No 3, Agosto de 6 UP. ISSN ESIMACIÓN DE PARÁMEROS EN MODELOS ARMA POR EL CRIERIO DE MÍNIMOS CUADRADOS RESUMEN La estimación de parámetros es na de las técnicas con qe centa la ingeniería de control para desarrollar modelos qe logren aproximarse al comportamiento real de planta, esta aproximación del modelo lo garantiza el método de estimación, qe en este caso es el criterio de mínimos cadrados. Se presenta n desarrollo detallado del algoritmo de estimación el acondicionamiento del sistema en modelos ARMA, lego se recrea gráficamente los resltados obtenidos donde se demestra la fiabilidad del método sado. PALABRAS CLAVE: Modelos ARMA, planta, estimación, parámetros ABSRAC he estimation of parameters is one of the techniqes wherepon it conts the control engineering to develop models that manage to come near to the real behavior of plant, this approach of the model garantees the estimation method to it, that in this case is the criterion of sqare minimms. A detailed development of the estimation algorithm appears and the preparation of the sstem in models WEAPON, soon recreates graphicall the obtained reslts where the reliabilit of the sed method is demonstrated. LUIS CARLOS RÍOS Ingeniero Mecánico, Ms.C. Profesor Axiliar Universidad ecnológica de Pereira lcrios@tp.ed.co NICOLÁS ORO Ingeniero Electricista, Ms.C Profesor Asistente Universidad Nacional sede Manizales ntoroga@nal.ed.co KEY WORDS: ARMA models, plant, estimation, parameter. INRODUCCIÓN En principio ha dos formas diferentes de obtener los modelos: a partir de n conocimiento previo, es decir, en términos de lees físicas, o por experimentación sobre n proceso. Un proceso no pede caracterizarse por n único modelo matemático. Debe representarse por na jerarqía de modelos qe van desde los detallados complejos de simlación hasta los m sencillos, fáciles de maniplar analíticamente. El control atomático de sistemas reqiere del conocimiento del modelo matemático qe represente el comportamiento del mismo. Las estrctras del modelo se sacan del conocimiento previo del proceso de las pertrbaciones. En algnos casos el único conocimiento previo qe se tiene es qe el proceso se pede describir como n sistema lineal en n rango de operación concreto. Entonces es natral tilizar representaciones de sistemas lineales de tipo general. Estas representaciones se conocen como modelos de caja negra. Un ejemplo típico es el modelo de ecación en diferencias. A(q)() = B(q)() + C(q)e() Donde es la entrada, es la salida e es na pertrbación de tipo rido blanco. Los parámetros, así como el orden de los modelos, se consideran como parámetros desconocidos. Algnas veces es posible aplicar lees físicas para obtener modelos de procesos qe contienen solamente algnos parámetros de valor desconocido. El modelo pede ponerse en la forma x = f ( x,, v, θ) = g( x,, e, θ) Donde θ es n vector de los parámetros desconocidos, x es el vector de estados del sistema, v e son pertrbaciones. Otro método tilizado para el desarrollo del modelo del sistema tiliza información generada de n diseño experimentos aplicados al sistema, lo qe se conoce como identificación de sistemas. Una distinción general se realiza entre métodos en línea (on line) fera de línea (off line). Los métodos en línea dan las estimaciones en forma recrsiva, cando se obtienen las medidas, son la única alternativa si la identificación se va a tilizar en n controlador adaptativo o si el proceso es de tipo variable. En mchos casos los métodos de fera de línea dan precisiones maores son más fiables, por ejemplo, en términos de convergencia.. CONENIDO. En este proecto se tiliza la estimación de parámetros en modelos ARMA (Atoregressive, Moving Average). Estos modelos son basados en la representación de la planta, qe consiste en n formato en el cal la salida (t) actal se expresa como na fnción Fecha de Recepción: 3 Enero de 6 Fecha de Aceptación: Jnio de 6

2 34 lineal de salidas pasadas (t-j) de las entradas pasadas (t-j-d), donde d es el retardo. omando la fnción de transferencia en tiempo discreto Y ( z) b z G( z) = = U ( z) + a z a correspondiente a la ecación de diferencia + a n z z n a n = b n n + n Si las secencias de las entradas { i } salidas { i } son conocidas es posible formar n conjnto de ecaciones lineales de las cales los parámetros a i b i del modelo ARMA se pedan determinar. Específicamente, para n sistema de orden es posible en principio determinar parámetros con + mestras de la entrada la salida de la ecación de diferencia. n = a n a n n n n b n n+ = a n a n + n+ n n b n + n+ = a n+ a n+ n+ n+ n+ + n+ lego = ϕθ de aqí qe θ = ϕ - donde, θ es el vector de parámetros del modelo del sistema, ϕ es la matriz de mediciones de la entrada la salida. El problema de estimación, tiene solciones diferentes dependiendo del número de medidas el número de parámetros. En este proecto se tiliza el algoritmo de mínimos cadrados[9]. Métodos de Estimación de Parámetros Resolver el problema de estimación de parámetros reqiere lo sigiente: Datos de entrada-salida del proceso. Una clase de modelos. Un criterio. La estimación de parámetros se pede formlar como n problema de optimización, en el qe el mejor modelo es aqel qe mejor se ajsta a los datos de acerdo con n criterio dado. El resltado de n problema de estimación depende, natralmente, de como se formle el problema. Por ejemplo, el modelo obtenido depende de la amplitd Scientia et echnica Año XII, No 3, Agosto de 6. UP del contenido de frecencias de la señal de entrada. Ha mchas posibilidades de combinar condiciones experimentales, clases de modelos criterios. ambién ha mchas formas distintas de organizar los cálclos. Por consigiente, ha disponibilidad de n gran número de métodos de identificación..3 Criterios Cando se formla n problema de identificación se introdce n criterio para tener na medida de hasta qe pnto n modelo se ajsta a los datos experimentales. El criterio se pede postlar. Mediante hipótesis estadística se peden dedcir criterios de base probabilística. Con frecencia los criterios para sistemas discretos se expresan en la forma ε = ˆ ˆ ŷ = φθ J ( θ ) = g( ε ( )) = = θ ϕ ( x) + θ ϕ ( x) θnϕn( x) N donde ε es el error de entrada, el error de salida o n error generalizado. El error de predicción es n ejemplo típico de error generalizado. Frecentemente se elige la fnción g de tipo cadrático, pero pede ser de mchas otras formas. La primera formlación, solción aplicación de n problema de identificación se debe a Gass en s famosa determinación de la órbita del asteroide Ceres. Gass formló el problema de identificación como n problema de optimización e introdjo el principio de los mínimos cadrados, n método basado en la minimización de la sma de los cadrados del error. Desde entonces, el criterio de mínimos cadrados se ha tilizado ampliamente..4 El Principio de Mínimos Cadrados El método de mínimos cadrados se pede emplear para identificar parámetros en sistemas dinámicos [9]. En el problema general de mínimos cadrados se propone qe la variable calclada ŷ, en la terminología de Gass, viene dada por el modelo qe se presenta en la sigiente ecación: Donde ϕ, ϕ,..., ϕ n son fnciones conocidas θ, θ,..., θ n son parámetros desconocidos. Mediante n experimento se obtienen pares de observaciones {(x i, i ), i =,,..., N}. El problema es determinar los parámetros de tal forma qe las variables ŷ i calcladas mediante el modelo identificado por la ecación (3.5) los valores

3 Scientia et echnica Año XII, No 3, Agosto de 6. U..P 35 experimentales x i coincidan lo más posible con las variables medidas i. Sponiendo qe todas las medidas tienen la misma precisión, el principio de mínimos cadrados dice qe los parámetros se deben elegir de tal forma qe la fnción de costo donde ŷ = φθ Ha qe determinar el parámetro θ de tal forma qe ε sea mínimo. Las ecaciones de estimación propestas en este método son: ˆ( θ N + ) = ˆ( θ N ) + K ( N ) K ( N ) = P( N + ) ϕ ( N + ) [ ( N + ) ϕ( N + ) ˆ( θ N )] = P( N ) ϕ ( N + )[ + ϕ( N + ) P( N ) ϕ ( N + )] P( N + ) = [ I K ( N ) ϕ( N + )] P( N ) La matriz P es la matriz de covarianzas se inicializa con n valor grande, el cal va disminendo en la medida en qe se lleva a cabo la estimación. La matriz K es la matriz de ganancias, relacionada con la velocidad de convergencia de la estimación. La señal de entrada del sistema debe tener n alto contenido de frecencias, con el objeto de excitar la maor cantidad de modos del sistema. 3. EL SISEMA El modelo del sistema se toma de la fente [] presenta las sigientes matrices qe lo representan en el espacio de estados: 4 A = 66,66 66,66,666, B = C = D = [ ] eniendo en centa qe:. x = Ax + B = Cx + D J ( θ ) = ε ε = ε 4. DESCRIPCIÓN DEL MÉODO En el programa de estimación se insertaron las matrices A, B, C D, posteriormente se discretizó el sistema se asignó na entrada aleatoria (). Con el modelo discretizado se obtvo la fnción de transferencia se evaló la salida () para la entrada asignada. Con los pares (,) se realizó la estimación por el principio de mínimos cadrados, el algoritmo se realizó en Matlab presenta la sigiente estrctra: %programa de estimación recrsiva de parámetros %mediante el criterio de mínimos cadrados A=[-4 ; ; ]; B=[-4;;]; C=[ ]; D=[]; ts=.; sistema=ss(a,b,c,d); [Ad,Bd,Cd,Dd]=cdm(A,B,C,D,ts) F=tf(sistema); [Nm,Den]=tfdata(sistema) [Nmd, Dend]=cdm(Nm, Den, ts) sistemad=ss(ad,bd,cd,dd,ts); %Fnción de transferencia discreta fd=tf(sistemad); =zeros(6,); p=e*ee(6); lambda=.95; =sign(randn(,)); %modelo en el espacio de estados mod=idss(fd); %vector de respestas del modelo (valor real) =sim(mod,[]); for j=:length()- (j)=(j+); end te=[......]'; e=; for N=4:length()- Fi=[-(N-) -(N-) -(N-3) (N) (N-) (N-)]; te=te+*e; %estimación de los parámetros te(n)=te();te(n)=te();te3(n)=te(3); te4(n)=te(4);te5(n)=te(5);te6(n)=te(6); =p*fi'*inv(lambda+fi*p*fi'); p=(/lambda)*(p-*fi*p); Yest=Fi*te;

4 36 Scientia et echnica Año XII, No 3, Agosto de 6. UP %estimación del error e=(n)-yest; error(n)=e; Ye(N,)=Yest; end 5. SIMULACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULADOS El sistema tilizado para aplicar el método de estimación tiene la sigiente fnción de transferencia. Se peden observar los valores de los parámetros, qe si el método de estimación es adecado, se deben obtener los mismos valores.,97e-5 z^ +,57 z +,86e-5 G (z) = z^3,95 z^ +,94 z,95 Aplicando el criterio de mínimos cadrados simlando el algoritmo para oo datos (mestras), obtenemos los sigientes resltados: b b b a, 9497 a, 943 a 3, 9594 θ = b =, 974e 5 b,57e 4 b, 8599e 5 En las gráficas anteriores se observa qe la convergencia de parámetros se obtiene en aproximadamente iteraciones, lo cal demestra la predicción. Para observar el comportamiento del sistema real el estimado se tiene la sigiente gráfica: Se observa qe los parámetros obtenidos por estimación tiene el mismo valor qe los parámetros de la fnción de transferencia en tiempo discreto del sistema, de tal forma qe se concle la gran eficiencia del método de estimación. Las predicciones teóricas de convergencia de parámetros, dicen qe el número de iteraciones o mestras aproximado para obtener el valor final de n parámetro es de +, donde es el orden del sistema anlizado. Para este caso K=3, por lo tanto el número de iteraciones o mestras es de 7. En las gráficas sigientes se mestra la rapidez de convergencia de parámetros. Se ve claramente como el estimado sólo diverge al comienzo del la gráfica mientras convergen los parámetros estimados.

5 Scientia et echnica Año XII, No 3, Agosto de 6. U..P 37 Otra gráfica qe mestra la efectividad del método es la de error. [8]Ogata, Katshio. Discrete-ime Control Sstem. Prentice Hall CONCLUSIÓN Para el sistema asignado, representado en modelo ARMA, al cal se le realizó la estimación recrsiva de parámetros tilizando el criterio de mínimos cadrados, obtvimos qe el método es adecado qe presenta na señal de error m peqeña na convergencia rápida de los parámetros estimados a los valores reales. 7. BIBLIOGRAFÍA [] ORO N. RIOS L. C. AVENDAÑO L.E. Aplicacion de n control adaptativo en el posicionamiento de n robot cartesiano. rabajo de Grado. Programa de Maestria en Sistemas atomaticos de Prodccion-. Universidad ecnologica de Pereira. []Åströn, Karl Johan - Wittenmar, Björn. Adaptive Control. Addison-Wesle 989. [3]Mosca, Edoardo. Optimal, Predictive and Adaptive Control. Prentice Hall, 995. [4] LJUNG, Lennart. Sstem Identification - heor For the User. Prentice Hall 987 [5]Canales Riz R. Barrera R. R. Análisis de Sistemas Dinámicos Control Atomático. Ed. Limsa 977. [6]Frieland, Bernard. Advanced Control Sstems Design. Prentice Hall 996. [7]Ljng, Lennart. Sstem Identification - heor the User. Prentice Hall. Math Wors 995. for