NIVEL 1 - Certamen Intercolegial

Transcripción

1 NIVEL 1 - Certamen Intercolegial Problema El abuelo quiere repartir entre sus nietos, Martín y Juan, $264. A Juan le da $15 cada semana; a Martín le da $18 cada semana. Después de cuántas semanas habrá repartido el abuelo los $264? Solución: Cada semana, el abuelo repartirá entre ambos $18 + $15 = $33. Luego, $ 264 los repartirá en = 8 semanas. Problema La figura está formada por un cuadrado grande y uno pequeño. El perímetro del cuadrado pequeño es 24 cm. El perímetro del cuadrado grande es el triple del perímetro del cuadrado pequeño. Cuál es el perímetro de la figura? Solución: Como sabemos que el perímetro del cuadrado pequeño es 24 cm, cada lado será de 24 4 = 6 cm. Además, el perímetro del cuadrado grande es el triple del perímetro del cuadrado pequeño, es decir 24 3 = 72 cm. Por lo tanto el perímetro de toda la figura será la suma de los perímetros de los cuadrados, menos dos veces el segmento que comparten (que no forma parte del borde de la figura total), o sea = 84 cm. Problema Cuántos triángulos hay en la figura? Explica cómo los contaste. Solución: En la figura hay 6 pedacitos. Vamos a contar según cuántos pedacitos tienen: Con un pedacito hay 4 triángulos (pues los otros dos son cuadriláteros). Con dos pedacitos hay 6 triángulos. Con tres pedacitos hay 2 triángulos. Con cuatro pedacitos hay 2 triángulos. Con cinco pedacitos no hay ningún triángulo y con seis pedacitos hay 1 triángulo. Finalmente hay = 15 triángulos.

2 NIVEL 2 - Certamen Intercolegial Problema Pedro tenía $270. Ayer gastó la mitad de lo que tenía. Hoy, de lo que le quedaba, gastó la cuarta parte. Cuántos pesos tiene ahora? Solución: Ayer, Pedro gastó = 135, por lo tanto le quedan 135. Hoy gastó = 33, 75. Entonces le quedan , 75 = 101, 25. Problema Con un cuadrado de 96 cm de perímetro y dos triángulos rectángulos iguales, se pueden armar: la figura I de 120 cm de perímetro y la figura II de 132 cm de perímetro. Cuál es el perímetro de cada uno de los triángulos? Solución: Como el cuadrado tiene 96 cm de perímetro, cada lado será de 96 4 = 24 cm. Si miramos la figura II, el perímetro lo forman cuatro lados iguales a los del cuadrado y dos lados iguales a un lado 1 del triángulo. Entonces 132 = lado 1. Por lo tanto lado 1 = 18. Si miramos la figura I, el perímetro lo forman tres lados iguales a los del cuadrado, un lado 1 del triángulo y un lado 2 del triángulo. Pero el lado 1 ya sabemos cuánto mide, entonces 120 = lado 2. Finalmente lado 2 = 30. Y el tercer lado del triángulo es igual al del cuadrado, por lo tanto el perímetro del triángulo será: = 72. Problema Eduardo quiere ir de A a D. Puede hacerlo sin paradas, parando solamente en B o parando en B y en C. Cada tramo del camino puede hacerse en colectivo, en subte o en tren. De cuántas maneras puede ir Eduardo de A a D? Indica cómo lo hace. Solución: Si no hace paradas, hay 3 posibilidades: va en colectivo, en tren ó en subte. Si para sólo en B, hasta B puede llegar de 3 formas y desde B hasta D puede ir también de 3 formas, por lo tanto hay 3 2 = 9 posibilidades. Si para en B y en C, tiene tres tramos y cada tramo lo puede hacer de 3 maneras, es decir que tiene 3 3 = 27 posibilidades. Finalmente puede ir desde A hasta D de = 39 formas distintas. (se considera que ir directo en colectivo no es lo mismo que ir en colectivo, bajarme, y seguir en colectivo).

3 NIVEL 3 - Certamen Intercolegial Problema Una fábrica arma bicicletas de tres modelos: de carrera, de paseo y plegables. De las que armó este mes la mitad son de carrera, la tercera parte de paseo y hay 47 plegables. Cuántas bicicletas se armaron este mes en la fábrica? Solución: De carrera sabemos que son la mitad, es decir 1 2 = 3 6. De paseo sabemos que son la tercera parte, es decir 1 3 = 2 6. Entre las de carrera y las de paseo tendríamos = 5 6 del total. Por lo tanto las plegables tendrán que ser 1 6 del total. Finalmente el total será 47 6 = 282. Problema ABCD y AMON son rectángulos. AB = 3BC. M es punto medio de AB; N es punto medio de AD. El perímetro de AMON es 64 cm. Cuál es el área de ABCD? Solución: Como muestra la figura, el perímetro de AMON serán 8 AN. Por lo tanto AN = 64 8 = 8 cm. Como N es punto medio, sabemos que AD = 2 AN = 2 8 = 16 cm. Además AD = BC por ser un rectángulo. Por último AB = 3 BC = 3 16 = 48. Finalmente A(ABCD) = = 768cm 2. Problema Cuántos triángulos y cuántos cuadriláteros hay en la figura? Explica cómo los contaste. Solución: En la figura hay 8 pedacitos. Vamos a contar según cuántos pedacitos tienen: Con un pedacito hay 5 triángulos y 3 cuadriláteros. Con dos pedacitos hay 5 triángulos y 5 cuadriláteros. Con tres pedacitos hay 3 triángulos y 2 cuadriláteros. Con cuatro pedacitos hay 1 triángulo y 1 cuadrilátero.

4 Con cinco pedacitos hay 1 triángulo y 1 cuadrilátero. Con seis pedacitos hay 2 cuadriláteros. Con ocho pedacitos hay 1 cuadrilátero. Finalmente hay = 15 triángulos y = 15 cuadriláteros..

5 NIVEL 1 - Certamen Zonal Problema En el kiosco se pueden comprar 2 chocolates y 4 alfajores por $46 ó 4 chocolates y 7 alfajores por $85. Cuánto cuesta cada chocolate? Cuánto cuesta cada alfajor? Solución: Si compro 2 chocolates y 4 alfajores y pago $46, quiere decir que si compro el doble, también gastaré el doble. Eso quiere decir que si compro 4 chocolates y 8 alfajores pagaré 46 2 = 92. Pero sabemos que comprando 4 chocolates y 7 alfajores pagaría $85, y la diferencia entre las dos compras sería de 1 alfajor. Por lo tanto un alfajor debe valer 2 85 = 7. Sabíamos que 2 chocolates y 4 alfajores cuestan $46, y ahora sabemos que 4 alfajores costarían 4 7 = 28, por lo tanto los dos chocolates deben costar = 18, lo que quiere decir que cada chocolate cuesta 18 2 = 9.. Problema La figura se armó con tres triángulos isósceles iguales. En cada triángulo, cada uno de los lados iguales es el doble del lado desigual. Para bordear toda la figura se necesitan 180 cm de cinta. Cuánto mide cada uno de los lados de un triángulo? Solución: Como el lado largo de cada triángulo es dos veces el lado chiquito, sabemos que el perímetro de cada triángulo será cinco veces la medida del lado chiquito. Toda la figura son tres triángulos, que no comparten ningún lado, por lo tanto como al bordear la figura lo que estaríamos haciendo es midiendo su perímetro, tenemos que éste será igual a 15 lados chiquitos. Entonces cada lado chiquito mide = 12. Por lo tanto cada lado grande medirá 2 12 = 24.. Problema En una bolsa hay 10 bolitas rojas, 8 verdes y 10 azules. Juan saca, sin mirar, 10 bolitas. Cuántas bolitas de cada color puede haber sacado Juan? Da todas las posibilidades. Solución: Vamos a contar en forma ordenada, según la cantidad de bolitas rojas que saca, haciendo esta tabla:

6 rojo verde azul Notemos que a medida que disminuimos una cantidad al rojo, se agrega una posibilidad más (un renglón más). Hasta que llegamos a una sola roja (pues no puede haber 9 verdes. Entonces habrá = 63 posibilidades..

7 NIVEL 2 - Certamen Zonal Problema Con la plata que tiene, Fernando puede comprar 4 autitos de la misma clase y le sobran $11. Si quisiera comprar 7 autitos de la misma clase, le faltarían $58. Cuánto cuesta cada autito? Cuánta plata tiene Fernando? Solución: La plata que tiene Fernando es lo que cuestan 4 autitos más $11. Pero además es la plata que cuestan 7 autitos menos $58, por lo tanto los 3 autitos de diferencia, tendrán que costar = 69. Entonces cada autito cuesta 69 3 = 23. Finalmente Fernando tiene la plata de 4 autitos (4 23 = 92) más $11, o sea $103.. Problema En la figura, de 72 cm de perímetro, ABDE es un rectángulo; AE = 2AB; BCD es un triángulo equilátero. Cuál es el área de ABDE? Solución: Como muestra la figura, el perímetro de toda la figura serán ocho pedacitos iguales a AB. Entonces AB mide 72 8 = 9 cm. Pero AE = 2 AB = 2 9 = 18 cm. Por lo tanto A(ABDE) = 9 18 = 162cm 2.. Problema Dante escribe todos los números entre 100 y 2012 que cumplen estas dos condiciones: - la cifra de las centenas es igual a la cifra de las unidades; - la suma de sus cifras es un número par. Cuántos son? Explica cómo los contaste. Solución: Primero contemos los de tres cifras. Como el número de las centenas es igual al número de las unidades, esos dos sumados darán un resultado par, pero al sumarle el número de las decenas tendrá que dar par, por lo tanto el número de las decenas debe ser par y para éste tengo 5 posibilidades (0, 2, 4, 6, 8). Para el número de las centenas (unidades) tengo 9 posibilidades (pues un número no puede empezar con cero. Por lo tanto tendré 5 9 = 45 números de tres cifras que cumplan la consigna. Ahora contemos los números de cuatro cifras: si empieza con 1, por el mismo razonamiento que antes, el número de las decenas debe ser impar y para éste también tengo 5 posibilidades. Pero ahora para el número de las centenas (unidades) tengo 10 posibilidades, porque ahora sí puede ir un cero. Entonces tengo

8 5 10 = 50 números que cumplen. Si empieza con un 2, el único número menor que 2012 que cumple, será el Finalmente Dante escribe = 96 números..

9 NIVEL 3 - Certamen Zonal Problema Las ciudades Atenea, Blanca, Corina y Diana están sobre la misma ruta, en ese orden. Para ir de Atenea a Corina, se recorren 129 km. Para ir de Blanca a Diana se recorren 142 km. Pedro va de Atenea a Blanca y José va de Corina a Diana; entre los dos recorren 163 km. Cuál es la distancia entre cada par de ciudades? Solución: Sabemos que para ir de A hasta C son 129 y que para ir desde B hasta D son 142. Si sumamos eso obtendríamos 271 que sería una vez todo el camino desde A hasta D más otra vez el camino entre B y C. Pero todo el camino entre A y D lo podemos separar entre lo que hace entre B y C y el resto. Sin embargo, el resto de ese camino ya sabemos que es 163. Por lo tanto el camino entre B y C será la mitad de = 108, que es 54. Finalmente AB = = 75 y CD = Problema En la figura: ABDE es un rectángulo, BCD es un triángulo, AB = 2BC, 3AE = 4BC. El perímetro de ACDE es 96 cm. El perímetro de BCD es 48 cm. Cuál es el área de la figura? Solución: Observemos que la diferencia entre el perímetro de ACDE y el perímetro de BCD son dos pedacitos iguales a AB (ya que AE = BD por ser un rectángulo). Por lo tanto un AB será la mitad de = 48, que es 24. Además, por enunciado, sabemos que BC es la mitad de AB, es decir 12. y que 3 AE = 4 BC = 4 12 = 48. Por lo tanto AE = 48 3 = 16. Finalmente, el área de la figura será la suma de las áreas de ABDE (AB AE = = 384cm 2 ) y de BCD ( BC BD 2 = = 96cm 2 ), es decir 480cm 2.. Problema Cuántos números de cuatro cifras y menores que 2012 cumplen estas condiciones: son pares, son múltiplos de 3 y no son múltiplos de 5? Explica cómo los contaste. Solución: Como tienen que ser pares y no ser múltiplos de 5, afirmo que no puede terminar en cero. Si empieza con 2, sólo cumple el Si empieza con 1 tendríamos el número 1abc. Hay mil números de esta forma (desde el 1000 hasta el 1999 inclusive. Como tienen que ser pares y múltiplos de 3, deben ser múltiplos de 6 y hay 167 múltiplos de 6 (desde hasta 333 6). Dentro de los múltiplos de 6 están los múltiplos de 30, que son los que no me sirven, pues son múltiplos de 5, que son 33 (desde hasta 66 30). Entonces tendré = 135 números..

10 NIVEL 1 - Certamen Regional Problema En el grado, de los 37 chicos, sólo 9 tienen 3 hermanos pequeños y otros 7 no tienen hermanos; los demás tienen 1 ó 2 hermanos pequeños. El otro día la maestra hizo una fiesta familiar: fueron todos los chicos y cada uno llevó a todos sus hermanos pequeños. En total eran 98 chicos. Cuántos chicos del grado tienen 1 hermano pequeño? Cuántos chicos del grado tienen 2 hermanos pequeños? Solución: Como 9 tienen 3 hermanos, hay 36 personas entre ellos, sumándole los 7 que no tienen hermanos, tenemos 43 personas. Es decir que entre los que tienen un hermano y dos hermanos tiene que haber = 55 personas. Además sabemos que la cantidad total de chicos que tiene un hermano ó dos hermanos es = 21. Si hay (puntito) cantidad de chicos con un hermano va a haber 2 personas entre ellos, y además va a haber 21 chicos con 2 hermanos es decir que va a haber 63 3 personas entre ellos. En total habría 63 personas, pero eso sabemos que tendría que ser 55, por lo tanto = 8 y los que tienen dos hermanos serán 21 8 = 13.. Problema En la figura, ABE es un triángulo isósceles; AFG y BCD son triángulos equiláteros, GF=DC, DE=2BC. El perímetro de ABDFG es 81 cm. El perímetro de ABDF es 69 cm. El perímetro de DEF es 66 cm. Cuál es el perímetro de ABE? Cuál es el perímetro de ABCDFG? Solución: Observemos que la diferencia entre el perímetro de ABDF G y el perímetro de ABDF es un lado de los triangulitos equiláteros, es decir que el lado del triángulo equilátero será = 12. Como los dos triangulitos equiláteros son iguales, tenemos que DE = 2 BC = 2 12 = 24. Además ABE es isósceles, entonces F E = DE = 24. Como sabemos que el perímetro de DEF es 66 cm, tenemos que F D = = 18. Además sabemos que el perímetro de ABDF es 69 cm, entonces AB = = 27 cm. Finalmente el perímetro de ABE es = 99cm y que el perímetro de ABCDF G es = 93cm.. Problema Marina va a invitar a algunos compañeros del grado a jugar a su casa. Los compañeros de Marina son: Ani, Bibi, Ceci, Dora, Ema, Pedro, José, Mario, Oski y Santi.

11 Invitará a 3 mujeres y a 2 ó 3 varones. Pedro y José son hermanos y van los dos o no va ninguno de los dos. De cuántas maneras puede invitar Marina a sus compañeros? Da todas las posibilidades. Solución: Consideramos a Ema como mujer. Entonces tenemos 5 mujeres y 5 varones. Observemos que tiene que elegir 3 mujeres sobre 5 y eso es lo mismo que elegir 2 de 5 (porque cada vez que elijo 3, dejo de lado 2). Y la cantidad de formas de elegir dos (tres) mujeres entre 5 es: = 10 (AB-AC-AD-AE-BC- BD-DE-CD-CE-DE). Si no invita a los hermanos le quedan 3 varones: si invita a 3 varones tiene una sola posibilidad, si invita a dos varones tiene 3 posibilidades (puede dejar afuera a cualquiera de los tres). Si invita a los hermanos: si invita a dos, ya invitó a todos; si invita a tres, puede elegir a cualquiera de los tres que le quedan. Entonces para los varones tiene = 8 posibilidades. Como para cada elección de las mujeres tiene todas las de los varones, tendrá 10 8 = 80 formas de invitar a sus amigos..

12 NIVEL 2 - Certamen Regional Problema En la ciudad Del Sol un quinto de los habitantes tiene una camioneta. De esos, la cuarta parte también tiene auto. Hay 1200 personas que tienen los dos vehículos; este número es la sexta parte de los que tienen auto. Cuántos habitantes no tienen ninguno de los dos vehículos? Solución: Como la cuarta parte de los que tienen camioneta, que son un quinto del total, tienen auto, quiere decir que 1 20 del total tiene los dos autos. Como esa gente es 1200, quiere decir que el total es = Como 1200 es la sexta parte de los que tienen auto, los que tienen auto serán = 7200 y los que tienen camioneta serán = Finalmente los que no tienen ninguno de los dos vehículos serán = Problema ADEF es un rectángulo, B es punto medio de AD, BD=DE. 1 Área del triángulo CDE = 3área del triángulo BCE. Área del triángulo BCE = 294 cm 2. Cuál es el perímetro del rectángulo ADEF? Cuál es el área de ACEF? Solución: El área de CDE será = 98cm 2. Entonces el área de BDE será = 392cm 2. Como sabemos que BDE es isósceles, tenemos que buscar un número que multiplicado por sí mismo de = 784. Y ese número es 28. Como B es punto medio, tenemos que AD = 2 28 = 56. Entonces el perímetro de ADEF es = 168 y el área de ACEF es = 1470cm 2. Problema La empresa de celulares cobra: $2,6 por minuto de llamada, $1,3 por minuto de uso de internet y $0,65 por cada mensaje de texto. Pablo tiene $26 de saldo para gastar. Si usa todos o algunos de los 3 servicios, de cuántas maneras puede gastar todo su saldo? Da todas las posibilidades. Solución: Notemos que $2,6 es el doble de $1,3 y que $1,3 es el doble de $0,65. Por lo tanto un minuto de llamada lo puedo reemplazar por dos minutos de internet ó por cuatro de mensaje. Puede usar 10 minutos de llamada y gastaría todo. Si usa 9 minutos de llamada, puede usar 2 minutos de internet, pero cada minuto de internet se puede reemplazar por dos mensajes. Por lo tanto, cada minuto de llamada que vaya sacando, va a agregar 2 posibilidades para las demás. Finalmente quedaría la suma de los primeros 11 impares, que es 11 2 = 121.

13 NIVEL 3 - Certamen Regional Problema Al comprar una cafetera y un juego de tazas de café al contado, se ahorra 1 5 del precio de lista sobre las dos cosas. Se pagan $992. En cambio, si se compra todo en 10 cuotas, recargan 1 8 al precio de lista de la cafetera y 1 4 al precio de lista de las tazas. Cada cuota es entonces de $141. Cuál es el precio de lista de la cafetera? Cuál es el precio de lista del juego de tazas? Solución: Sea C el precio de lista de la cafetera y sea T el precio de lista de las tazas. Entonces sabemos que 0, 8C +0, 8T = 992 y que 9 8 C T = = Multiplicando por 10 la primera ecuación y por 8 la segunda tenemos que 8C +8T = 9920 y 9C +10T = De la primera ecuación podemos saber que C + T = 1240, entonces 9C + 9T = = Por lo tanto la diferencia de ésta con la segunda ecuación es 1T que debe valer = 120. Finalmente C = = Problema En la figura: ABEF y ACDF son rectángulos; BC=3AB Área ABEF = 144 cm 2. Perímetro de ACDF = 100 cm. Si los lados de ABEF tienen longitudes enteras, cuál es el perímetro y cuál es el área de ABDF? Solución: Si AB = x y AF = y, tenemos que AC = 4x y que el perímetro de ACDF es 8x + 2y, que es igual a 100. Además sabemos que x y = 144. De la primera ecuación, dividiendo por dos, tenemos que 4x + y = 50, por lo que x < 13. Además y no puede ser múltiplo de 4, porque 4x lo es y 50 no. Por lo que x debe ser múltiplo de 8 (ya que 144 es múltiplo de 16 e y es par pero no múltiplo de 4). Finalmente el único múltiplo de 8, positivo, menor que 13 es 8. Entonces y = = 18. El área de ABDF será la suma de las áreas del rectángulo ABEF (144cm 2 ) y del triángulo DEB ( = 96), es decir = 240cm 2. Para el perímetro de ABDF necesitamos hacer Pitágoras en el triángulo DEB, entonces BD = = 30. Entonces el perímetro será = 88cm. Problema Gabi tiene 9 películas distintas: 4 de dibujos animados, 2 educativas y 3 musicales. Quiere elegir 6 películas, al menos una de cada género, para llevarse para el fin de semana largo. De cuántas maneras puede hacerlo? Da todas las posibilidades. Solución: La cantidad total de formas de elegir 6 películas entre 9 es bin{9}{6} 84. A esa cantidad tenemos que sacarle las que no cumplan que haya al menos una de cada género y las posibilidades son: que no haya musicales hay una posibilidad; que no haya educativas hay siete posibilidades y que no haya

14 de dibujitos, no puede pasar. Entonces de las 84 formas de agarrar seis películas entre nueve, tenemos que dejar de lado ocho. Finalmente puede hacerlo de 84 8 = 76 formas.