Homogeneización de problemas (elasto)hidrodinámicos en lubricación

Transcripción

1 XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matemática Aplicada Sevilla, 4-8 septiembre 7 pp. 8 Homogeneización de problemas elastohidrodinámicos en lubricación G. Bayada, S. Martin, C. Vázquez 3 Centre de Maths, INSA de Lyon Bat. L. da Vinci, INSA de Lyon, 6968-Villeurbanne Cede. Guy.Bayada@insa-lyon.fr Dépt. Mathématiques, Université Paris Sud, sebastien.martin@math.u-psud.fr. 3 Dpto. de Matemáticas, Univ. de A Coruña, Campus Elvina s/n, 57-A Coruna. carlosv@udc.es. Palabras clave: Lubricación elastohidrodinámica, homogeneización, simulación numérica Resumen El presente trabajo trata sobre la homogeneización de un problema de lubricación, utilizando técnicas de doble escala. Se plantea un problema acoplado de tipo Reynolds- Hertzcon cavitación Elrod-Adams, que contempla la presencia de efectos debidos a superficies rugosas con oscilaciones periódicas. La geometría de la rugosidad depende de un pequeño parámetro asociado a la frecuencia de la misma. Entre las dificultades para la homogeneización del problema elastohidrodinámico destacamos el caracter no lineal asociado a la frontera libre del modelo de cavitación, los aspectos no locales del modelo de Hertz y la ley de viscosidad no lineal. Además de establecer los resultados de convergencia al problema homogeneizado, para un problema con datos reales se presentan resultados obtenidos con métodos numéricos adecuados, comparando el modelo dependiente del pequeño parámetro y el modelo homogeneizado.. Modelo matemático La creciente presencia de dispositivos industriales, que conllevan contactos lubricados por capas delgadas de fluido, motiva el interés por proponer los modelos matemáticos más adecuados para la simulación numérica de los mismos [6]. En muchas situaciones prácticas es interesante la introducción de rugosidades periódicas en las superficies deformables o no durante la fabricación. En el marco de contactos lubricados entre superficies rugosas, se mostrará como las técnicas de homogeneización permiten obtener modelos matemáticos adecuados para la simulación numérica eficiente de los procesos. Los modelos matemáticos se basan en ecuaciones de tipo Reynolds para la presión del lubricante, relaciones no

2 G. Bayada, S. Martin, C.Vázquez lineales presión-saturación para la cavitación y leyes elásticas para la relación presióndeformación. Para plantear el modelo de lubricación consideramos el dominio =] l, l[ ] l, l[; la frontera de alimentación de lubricante Γ = { l} ] l, l[ y Γ = \ Γ. Además, suponemos las siguientes aproimaciones parabólicas para la separación entre superficies rígidas en los contactos esfera-plano y cilindro-plano [6]: h r = h + + R, esfera-plano h + R, cilindro-plano Las condiciones < h h r h, siendo h y h constantes, se verifican en. Siguiendo la teoría del contacto hertziano, la relación presión-separación está dada por h[p] = h r + k, zpz dz,, donde h r tiene la epresión y k, z viene dada por c log c z k, z = z c z + z cilindro-plano esfera-plano, 3, donde c > y c má{ }. Claramente k es positiva y eiste K > tal que k,. K 4 L uniformemente respecto de. Además, suponemos la relación presión-viscosidad de Barus: : µ = µ e αp, α, µ > 5 La formulación fuerte del problema consiste en encontrar p, θ tal que: + h 3 [p] e αp p = 6µ : s θ h[p] p > and θ = θ h[p] = p = and θ h 3 [p] e αp p n Σ : p = con las condiciones de contorno = 6µ s θh[p] cos n, i 6µ s θh[p] h 3 [p] e αp p n = 6µ s θ h[p] en Γ, p = en Γ,

3 Homogeneización en lubricación elastrohidrodinámica donde s denota la velocidad relativa de la superficie inferior en la dirección, θ [, ] es un parámetro de alimentación, n es el vector unitario normal a Σ eterior a e i es el vector unitario en la dirección. Asimismo, los conjuntos son: + = {, p > } región lubricada, = {, p = } región cavitada, Σ = + frontera libre Entonces, una formulación variacional del problema está dada por: Encontrar p, θ V L tal que: P h 3 [p] e αp v p v = 6µ s θ h[p] + θ h[p] v, v V Γ p, p θ =, θ c.p.d. en donde V = { v H, v Γ = } y θ L Γ, θ z, c.p.d. en Γ. Para modelar el caso de superficies rugosas, introducimos el conjunto Y =], [ ], [, de modo que la separación sin deformación se escribe: h ε r = h r + λ ε donde h r se define en y el patrón de rugosidad, λ, verifica: i λ C Y = { v C Y, v es Y periódica }, ii λ má >, λ λ L má < h. Y A continuación se definen las separaciones efectivas: Definición Para q L, sean h[q] y h ε [q] las funciones: h[q], y = h r + λy + k, zqz dz,, y Y, h ε [q] = h[q],,. 6 ε Se introduce una formulación variacional del problema rugoso: Find p ε, θ ε V L such that: P ε h 3 ε[p ε ]e αp ε p ε v = 6µ s θ ε h ε [p ε ] v + θ h ε [p ε ] v, v V Γ p ε, p ε θ ε =, θ ε c.p.d. en Teorema Con las notaciones y condiciones precedentes y cierta hipótesis técnica, para cada ε >, el problema P ε tiene solución p ε, θ ε verificando las estimaciones: L p ε C L 3, p ε C L 4, θ ε 7 donde C 3 y C 4 solo dependen de µ, s, α, h λ L, h, K, θ,, Γ, r. 3

4 G. Bayada, S. Martin, C.Vázquez. Modelo homogeneizado En esta sección se establece el problema homogeneizado, que se obtiene utilizando las técnicas de desdoblamiento periódico [5]. Las demostraciones de los siguientes resultados se puede encontrar en [3]. En primer lugar, se tiene: Lema Eiste p V tal que p ε p en H y p ε p en L. Además, se tiene el resultado de convergencia de doble-escala: i La sucesión p ε converge en doble escala a p. Además, eiste p L ; H Y /R y una subsucesión ε, también denotada ε, tal que p ε converge en doble escala a p + y p. ii Eiste θ L Y y una subsucesión ε, denotada ε, tal que θ ε converge en doble escala a θ. Además, p c.p.d. en. La demostración es consecuencia de las estimaciones del Teorema y lemas previos que aparecen en [3]. Además se tiene el siguiente resultado para el par p, θ : θ y p θ = c.p.d. en Y. Teorema El problema homogeneizado se puede escribir en la forma: Encontrar p, Ξ, Ξ V L L tal que: P e αp A[p ] p φ = 6µ s b [p ] φ + θ ĥ[p ] φ, φ V Γ p and p Ξ i =, i =, c.p.d. en con f = f, y dy, y A[p ] = Y [ a[p ] a[p ] W ] y [ a[p ] W ] y con las notacionesi =, : [ a[p ] W ] y [ a[p ] a[p ] W ], b [p ] = y h i [p ] = b[p [ ] a[p ] χ ] [ i, h i [p ] = ] θ b[p ] y i y definiendo los siguientes cocientesi =, : Ξ i [p ] = h i [p ] h i [p ] Ξ [p ] h [p ] Ξ [p ] h [p ] [ a[p ] χ ] i, y i A continuación se garantiza la eistencia de soluciones del problema con saturación isotrópica. Teorema 3 El problema P admite una solución p, Ξ, Ξ con p Ξ = y Ξ c.p.d. en., 4

5 Homogeneización en lubricación elastrohidrodinámica 3. Ejemplos numéricos En esta sección, la simulación numérica de contactos micro-elastohidrodinámicos ilustra los resultados teóricos de convergencia de la sección anterior. Para la solución del problema dependiente de ε y el homogeneizado correspondiente, se usa una iteración de punto fijo entre el problema hidrodinámico y el elástico. Además, el hidrodinámico se resuelve mediante un método de características para el término convectivo combinado con elementos finitos y un método de dualidad para el operador maimal monótono asociado al modelo de Elrod-Adams. El problema elástico se aproima mediante una fórmula de cuadratura apropiada en la epresión con los puntos medios de las aristas como nodos de cuadratura. Estas técnicas se han usado en [7] en ausencia de rugosidad. En los ejemplos abordamos la simulación de un contacto bola-plano que, escrito en variables adimensionales en el dominio =] 4, [ ], [, plantea el problema: Encontrar p ε, θ ε V L tal que: h 3 ε[p ε ] e αp ε v p ε v = β θ ε h ε [p ε ] + θ h ε [p ε ] v, v V Γ p ε, p ε θ ε =, θ ε c.p.d. in, donde la separación efectiva se escribe en la forma h ε [p ε ] = h ε r + h d [p ε ], siendo h ε r = h + + π + 4 8π + + α sin + α sin, ε ε h d [p ε ] = p ε z π z + z dz. con los parámetros h =,6, α, α =,85h, para la rugosidad transversal y α, α =,,85h para la rugosidad longitudinal. Se consideran α =,4, β =,6 y θ =,3. De este modo el problema homogeneizado puede escribirse en la forma Encontrar p, Ξ V L tal que: e αp a [p ] p a [p ] φ = β Ξb[p ] φ + θ c[p ]φ, φ V. Γ p, p Ξ =, Ξ, c.p.d. en En la Tabla presentamos los coeficientes funcionales a, a, b y c del problema homogenizado para los casos de rugosidad transversal y longitudinal obtenidos mediante MATHEMATICA. La separación en el caso rígido sin rugosidad viene dada por: h r = h + +. En este resumen sólo mostramos el caso de rugosidad transversal y remitimos al trabajo [3] para el caso de rugosidad longitudinal. Aunque se ha verificado la convergencia con el uso de distintas malla, simplemente presentamos los resultados para =,5 y =,5 384 triángulos y 95 vértices. Además, se toma el paso de tiempo artificial t = ; los test de parada en todos los algoritmos son δ = 5 en error relativo en la norma L discreta entre dos 5

6 G. Bayada, S. Martin, C.Vázquez Rugosidad transversal Rugosidad longitudinal h[p], y h r + h d [p] + α sin πy h r + h d [p] + α sin πy hr + h d [p] α 5/ a [p ] h r + h d [p] + h h r + h d [p] r h r + h d [p] α a [p ] h r + h d [p] h r + h d [p] α hr + h d [p] α 5/ h r + h d [p] + α b[p ] h r + h d [p] h r + h d [p] α h r + h d [p] + α h r + h d [p] c[p ] h r + h d [p] h r + h d [p] Tabla : Coeficientes homogenizados.5.45 ε=/ ε=/3 Homogenized Pressure Pressure Figura : Izda:Comparación de presiones en =. Dcha:Presión homogeneizada. iteraciones. A la izquierda en la Figura, se muestra la convergencia fuerte en presión al problema homogeneizado cuando ε tiende a, representando para =, la presión para diferentes valores de ε y la presión del problema homogeneizado. A la derecha, se presenta la presión del homogeneizado en todo el dominio. En la Figura, se presentan resultados análogos para la deformación. En la Figura 3, se muestran los resultados para la saturación, ilustrando su convergencia débil ligada a la presencia de oscilaciones que no se amortiguan con el decrecimiento de ε, a diferencia de la presión y la deformación. A continuación, se ilustra la influencia del comportamiento elástico en los efectos debidos a la rugosidad en presencia de rugosidades transversales. Para ello comparamos los resultados de los casos hidrodinámico y elastohidrodinámico. En la Figura 4 se muestran la presión y saturación correspondientes a los problemas hidrodinámico sin rugosidad α = α = k =, hidrodinámico homogeneizado α, α = k =, elastohidrodinámico sin rugosidad α = α =, k y elastohidrodinámico homogeneizado α, α =, k. Las simulaciones numéricas permiten observar la influencia de la rugosidad sobre la distribución de presiones en régimen hidrodinámico y elastohidrodinámico, así como en la presión máima. Es claro que la presencia de rugosidad influye más en el caso hidrodinámico. En la Figura 5 se observa como la rugosidad conlleva un aumento de las deformaciones. 6

7 Homogeneización en lubricación elastrohidrodinámica.35 ε=/ ε=/3 Homogenized Deformation.5. Deformation Figura : Izda:Comparación de deformaciones en =. Dcha:Deformación homogeneizada... ε=/ ε=/3 Homogenized Saturation Saturation Figura 3: Izda:Comparación de saturaciones en =. Dcha:Saturación homogeneizada..6 HD, homogenized HD, roughless EHL, homogenized EHL, roughless. HD, homogenized HD, roughless EHL, homogenized EHL, roughless Pressure.3 Saturation Figura 4: Influencia de la contribución elástica sobre la rugosidad en presión izda y saturación dcha. 7

8 G. Bayada, S. Martin, C.Vázquez.35 EHL, homogenized EHL, roughless.3.5 Deformation Figura 5: Deformación del caso sin rugosidad y del homogeneizado. Las demostraciones de los resultados teóricos se pueden encontrar en [3]. Las técnicas de doble escala de [] se han utilizado previamente en problemas hidrodinámicos [] y las técnicas de homogeneización y métodos numéricos permiten abordar otros dispositivos como el eje-cojinete o patrones de rugosidad más generales [4]. Agradecimientos Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el MEC mediante el proyecto de investigación MTM C-. Referencias [] G. Allaire, Homogenization and two-scale convergence. SIAM J. Math. Anal., 3, 99, [] G. Bayada, S. Martin, C. Vázquez, Two-scale homogenization of Elrod-Adams model. Asymp. Anal., 44, 5, 75. [3] G. Bayada, S. Martin, C. Vázquez, Homogenization of a nonlocal elastohydrodynamic lubrication problem: a new free boundary model. Math. Mod. Meth. Appl. Sci., 5, 5, [4] G. Bayada, S. Martin, C. Vázquez, Micro-roughness effects in elastohydrodynamic lubrication including a mass-flow preserving cavitation model. Tribology International, 39, 6, [5] D. Cioranescu, A. Damlamian, G. Griso, Periodic unfolding and homogenization. C.R.A.S. Paris, 335,, [6] D. Dowson, J. R. Higgison, Elastohydrodynamic lubrication, Pergamon Press, Oford, 977. [7] J. Durany, G. García, C. Vázquez, Numerical simulation of a lubricated Hertzian contact problem under imposed load. Finite Elem. Anal. Des., 38,,