MATEMÁTICAS SECUNDARIA SEGUNDO GRADO. Desarrollar. Nueva. competencias para la sociedad del conocimiento. edición SILVIA GARCÍA DAVID BLOCK

Transcripción

1 MATEMÁTICAS SECUNDARIA SEGUNDO GRADO Nueva edición Desarrollar competencias para la sociedad del conocimiento SILVIA GARCÍA DAVID BLOCK

2 Dirección de contenidos y servicios educativos Elisa Bonilla Rius Gerencia de publicaciones escolares Felipe Ricardo Valdez González Coordinación editorial Ernesto Manuel Espinosa Asuar Edición César Jiménez Espinosa Alberto Lara Castillo Armando Solares Rojas Revisión técnica Laura Reséndiz Margarita Ramírez B. Ernesto Manuel Espinosa Asuar Autores Silvia García Peña, David Francisco Block Sevilla Colaboración Mónica de Lourdes Valencia (páginas 80, 81, 128, 129, 210, 211, 240 y 241) Coordinación de corrección Abdel López Cruz Corrección Equipo SM, Daniel García Dirección de arte y diseño Quetzatl León Calixto Diseño de la serie Jesús García, Pedro Castellanos Diseño de portada Renato Aranda Coordinación de iconografía e imagen Ricardo Tapia García Imagen Equipo SM Coordinación de diagramación Jesús Arana Diagramación Cynthia Castañeda Pedro Castellanos Aldo Botello Víctor Hugo Romero Vargas Ilustraciones Maribel Vidals, Bertha Ramírez, Rubén Nava Judith Meléndrez, Guillermo López Wirth Javier De Aquino. Fotografía Archivo SM, Photos.com M.C. Escher s 2008 The M.C. Escher Company-Holland. All rights reserved. Págs. 156, 213. Digitalización y retoque Carlos López, Ernesto Negrete, Federico Gianni Producción Carlos Olvera, Teresa Amaya Fractal 2. Matemáticas Serie Construir Primera edición, 2007 Segunda edición, 2008 Tercera edición, 2011 D. R. SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2011 Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D.F. Tel.: (55) Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 2830 No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright. La marca Ediciones SM es propiedad de SM de Ediciones, S. A. de C. V. Prohibida su reproducción total o parcial. Impreso en México/Printed in Mexico

3 Qué es hacer matemáticas? Diseñar un vitral, contar las sillas para saber si alcanzarán para los invitados, medir la superficie de un terreno, averiguar la tarifa telefónica que más conviene, decidir si un juego con dados es equitativo, son algunas de muchas acciones en las que hacemos matemáticas. También hacemos matemáticas cuando intentamos contestar preguntas de las matemáticas mismas, por ejemplo: existe un número que multiplicado por 5 dé un resultado menor que 5?, las medidas de los lados de un triángulo, pueden ser tres números cualesquiera?, es posible prever cuál será el centésimo término de una sucesión que empieza así: 1, 3, 5, 7? Hacer matemáticas es usar los conocimientos de esta disciplina que ya se tienen, para resolver ciertos problemas, y también es crear nuevos conocimientos, cuando los que se tienen no son suficientes. Hacer matemáticas es una buena manera de aprender matemáticas. Por ello, en este libro procuramos proponerte numerosas cuestiones que pueden resolverse con ayuda de las matemáticas. Cuando enfrentas problemas nuevos, debes sentirte con la libertad de hacer todo lo que se te ocurra para resolverlos, por ejemplo, apoyarte en dibujos, ensayar resultados o procedimientos y, cuando no funcionen, probar otra vez. Poco a poco, al resolver más problemas, al conocer lo que hacen tus compañeros y con la ayuda de tu profesor, la manera en que resuelves esos problemas se irá haciendo más sistemática y segura. Cuando desarrollas o conoces una técnica nueva para resolver cierto tipo de problemas, debes practicarla para dominarla. Para aprender matemáticas es recomendable combinar el estudio individual con el trabajo en parejas, en equipos o en grupo: l al enfrentar una nueva tarea, es bueno que pienses un rato tú solo. Después, compartir las ideas y las dudas con los otros, trabajando en parejas o en equipos, te puede ser muy útil para avanzar. l al terminar de resolver los problemas, explicar al grupo lo que hiciste o lo que hicieron en tu equipo, conocer lo que hicieron tus otros compañeros, decidir juntos si los resultados son correctos o no, y conocer los aportes del profesor, te ayudará mucho a aprender. A lo largo del libro se indican únicamente los momentos de trabajo en grupo, en equipo o en pareja que son muy necesarios, con estos símbolos: Presentación Guía de uso Sin embargo, en muchos otros momentos que no se indican, esas formas de organización pueden ser convenientes. Tu profesor o profesora les propondrá en qué momentos usarlas. Esperamos, como todos los autores que escriben libros para jóvenes como tú, que este libro, además de ayudarte a aprender, te haga decir, algunas veces, esto sí me gusta! Los autores

4 Guía de uso Fractal 2 está dividido en cinco bloques. Cada bloque inicia con una página introductoria que consta de los siguientes elementos: Comentario sobre algún aspecto histórico de un conocimiento de matemáticas. En la imagen se puede ver una lámina de M. Escher titulada Reptiles en la que se tesela un plano con figuras que entran y salen de él. En muchas de sus obras, Escher realiza teselaciones similares, aplicando traslaciones, rotaciones y simetrías. BLOQUE V Imagen que ilustra algunos conceptos matemáticos del bloque. En este bloque estudiarás: sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas; propiedades de la rotación, y traslación de figuras; diseños con simetría axial y central; representación gráfica de un sistema de ecuaciones; probabilidad de eventos mutuamente excluyentes Uso del lenguaje natural para explicar el significado de algunas fórmulas geométricas, interpretando literales como números generales con los que es posible operar. Contenidos programáticos que se estudian en el bloque. 213 Los contenidos se desarrollan con lecciones de dos páginas que presentan estos componentes: Actividades de construcción del conocimiento. Actividades diseñadas para que el alumno se enfrente a situaciones problemáticas con los conocimientos de matemáticas que ya posee y desarrolle nuevas técnicas y conceptos que le permitan resolver problemas similares. introducción Texto breve donde se destaca algún aspecto sobresaliente del conocimiento que se va a estudiar. Conceptos Cuando es necesario, los conceptos importantes de la lección aparecen resaltados. 54 Lección 20 La malla de romboides Lo que has estudiado sobre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una transversal te será útil para descubrir algunas propiedades de los ángulos interiores de paralelogramos. 1 Consideren esta malla formada por romboides iguales. Recuerden que los lados opuestos de un romboide son paralelos. Sabemos que: r 1 II r 2 t 1 II t r 2 1 f a b e d c r 2 t 1 t 2 a) Elaboren algunas conjeturas acerca de las relaciones entre los cuatro ángulos interiores del romboide: a, b, c y d. l Cómo creen que son entre sí los ángulos a y d? l Cómo creen que son entre sí los ángulos c y b? l Qué relación creen que hay entre los ángulos a y b? l Qué relación creen que tienen los ángulos c y d? l Cuánto creen que suman los cuatro ángulos? b) Completen los siguientes razonamientos. Vean si llegaron a las mismas conclusiones. l Relación entre el ángulo a y el ángulo d i) Como r 1 es paralela a r 2 el / e es igual a / a por ser ii) Como t 1 es paralela a t 2 el /e es igual a / d por ser iii) Como /a y /d son iguales a /e, entonces /a y /d son l Relación entre los ángulos a y b i) / a + / f = por ser ii) / b = / f por ser iii) Entonces / a + / b = c) Justifiquen las siguientes afirmaciones. Cuando sea necesario, identifiquen más ángulos de la malla con otras letras. l El ángulo c es igual al ángulo b. l Las medidas del ángulo c y del ángulo d suman 180 d) Averigüen a cuánto es igual la suma de los cuatro ángulos interiores de un romboide; justifiquen su respuesta. 2 Comparen sus conjeturas iniciales con los razonamientos posteriores y compartan sus respuestas con sus compañeros y compañeras. Comenten la siguiente información. En un romboide, los ángulos opuestos son iguales, los ángulos consecutivos suman 180º y los cuatro ángulos interiores suman 360º. 3 Al igual que los romboides, los cuadrados, los rectángulos y los rombos también son paralelogramos por tener sus lados opuestos paralelos. Analiza si la información del recuadro anterior se cumple para estas figuras. Escribe sí o no. 4 Resuelve los anexos 1 y 2 de las páginas 236 a 239. TECNOLOGÍA 1.6. Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de paralelogramos. 55 Formas de organización En algunas actividades se sugieren formas de organizar el trabajo, individual, en equipos, en parejas o grupal. tecnología Estas actividades se refieren a la sección Anexos, al final del libro. Contenido En cada lección se indica el contenido del programa oficial que se trabaja en la lección. Cuando en una lección intervienen de manera importante varios contenidos del programa, se señalan todos.

5

6 Presentación para el maestro El enfoque didáctico de Fractal A continuación se exponen las principales características del enfoque didáctico que subyace en el desarrollo de los temas en los libros Fractal. Empezar con un problema. Los enfoques contemporáneos para la enseñanza de las matemáticas tienden a coincidir en que, para lograr el aprendizaje significativo de un conocimiento, es necesario que éste aparezca como respuesta a una pregunta o como solución a una problemática que los alumnos ya hayan enfrentado. Se considera también que, en muchos casos, al enfrentar una problemática adecuada, los alumnos pueden desarrollar por sí mismos conocimientos aproximados al que se les quiere enseñar. Por esta razón, numerosas lecciones de Fractal comienzan con el planteamiento de uno o varios problemas; sólo después y paulatinamente se presenta la información relativa al conocimiento tratado. Cómo solucionarán los alumnos un problema si aún no se les enseña el conocimiento que lo resuelve? Los problemas que se plantean antes de dar información sobre el conocimiento involucrado, han sido diseñados o seleccionados de manera tal que los alumnos puedan abordarlos aunque no dispongan de la herramienta óptima. Esto significa que tal vez se aproximen a la solución de dichos problemas con herramientas más elementales o bien que, aun cuando no pudieran resolverlos, identifiquen una limitación en sus conocimientos previos y la necesidad de uno nuevo. Después de abordar estos problemas iniciales, conforme se introducen aspectos del nuevo conocimiento, es conveniente que los alumnos resuelvan más problemas y ejercicios para aplicar dichos aspectos y afirmarlos. Cuando lo considere necesario, el profesor complementará los problemas y ejercicios de aplicación que se proponen con otros que él diseñe o tome de otros materiales. Varios procedimientos y no uno solo. Por qué tanto brinco estando el suelo tan parejo? es la pregunta que se hacen algunos maestros ante la diversidad de procedimientos que se propone para resolver ciertos tipos de problemas. Hay varias razones: ocurre con frecuencia que los procedimientos más rápidos, o más elaborados, para resolver ciertos problemas parecen fáciles de operar pero son difíciles de comprender (por ejemplo, el algoritmo de la multiplicación por decimales o la regla de tres), tal dificultad hace que los alumnos tengan poco control sobre su uso y, en consecuencia, alteren los pasos; otros procedimientos, en cambio, aunque más precarios, por ser más largos o menos sistemáticos, son más fáciles de comprender para los alumnos, incluso en ciertos casos los pueden establecer por sí mismos. Estos procedimientos cumplen varias funciones: ayudan a consolidar la comprensión del tema; en ciertos casos, algunos son más económicos que el procedimiento más avanzado e, incluso, constituyen una herramienta de emergencia para los casos en que olvidan la técnica más avanzada. Cabe señalar, además, que está demostrado, al menos para algunos temas, que los alumnos que han desarrollado varios procedimientos tienden a ser más exitosos en la resolución de problemas. A final de cuentas, cuál de varios procedimientos es el mejor? Esto depende muchas veces del tipo de problema y de los conocimientos de quien resuelve. Articulación de contenidos. Uno de los males de los programas escolares es que atomizan los conocimientos en aras de organizar la enseñanza: los conocimientos en los

7 Presentación para Guía el maestro de uso programas han tendido, a lo largo del tiempo, a segmentarse en pequeños conocimientos parciales, aislados unos de los otros, con lo cual su sentido se ha mermado y dificultado, contrariamente a lo que se buscaba. Una tendencia actual en la enseñanza de las matemáticas es buscar mayor integración de los conocimientos. Si bien en este aspecto todavía hay mucho camino por andar, los programas actuales ofrecen ciertas mejoras, y en la serie Fractal hemos intentando aprovechar esas posibilidades. Así, por ejemplo, los temas de números racionales, proporcionalidad y escala se articulan en la secuencia propuesta para el estudio de la multiplicación por números no enteros; la noción de función lineal se articula con la de relación proporcional; las áreas y los volúmenes se exploran para determinar si varían proporcionalmente. Estas integraciones pueden identificarse en la indicación de los contenidos del programa que se tratan en cada lección, señalados en el margen derecho de las lecciones. Secuencias de lecciones. Las lecciones se presentan casi siempre en grupos de dos a cuatro y, en pocos casos, cinco. Cada grupo constituye una pequeña secuencia en la que se abre un aspecto nuevo de un tema, se desarrolla y se cierra; esto no impide que en otro grupo de lecciones se retome algún aspecto de ese mismo tema. En esta nueva edición hemos mejorado el contenido de las lecciones al enfatizar los elementos del enfoque propuesto en el programa para la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. Además, hemos pensado en apoyarlo para el logro de los aprendizajes esperados con dos innovaciones en el material dirigidas a un aspecto en específico. Para la planificación de la enseñanza, incluimos una propuesta de dosificación de las lecciones, en ésta se consideró que algunas lecciones son más complejas que otras, y la revisión de su contenido puede requerir dos o hasta tres clases; para la evaluación continua, agregamos en el índice los conocimientos y habilidades indicados en el programa con el fin de facilitar su identificación y seguimiento. Esperamos que Fractal constituya un apoyo en sus clases, una herramienta que enriquezca su acervo matemático y didáctico, pero, sobre todo, que se convierta en una fuente de aprendizaje y experiencias significativas para sus alumnos. Los autores

8 Dosificación Debido a que el tiempo que dedica a cada apartado de Conocimientos y habilidades o lección depende, en gran parte, de su forma de trabajo y de las características de sus grupos, esta tabla es una propuesta que usted podrá modificar de acuerdo con el ritmo que marque el grupo, las fechas de entrega de calificaciones o las eventualidades que surjan (suspensiones, juntas, etc.). En aquellas semanas en que el tiempo lo permita, 1 S E M A N A S Multiplicación y división de números con signo (lecciones 1 a 4) 1.2. Adición y sustracción de expresiones algebraicas (lecciones 5 a 7) 1.3. Expresiones algebraicas equivalentes (lección 8) 1.3. Expresiones algebraicas equivalentes (lección 9 ) 1.4. Estimar y medir ángulos (lecciones 10 a 12) 1.5. Posiciones relativas de rectas. Ángulos entre dos rectas que se cortan (lecciones 13 a 16) Jerarquía de operaciones y uso de paréntesis (lecciones 32 a 34) 2.2. Multiplicación de expresiones algebraicas (lecciones 35 a 37) 2.3. Características y desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides (lecciones 38 a 41) 2.4. Fórmulas del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos (lecciones 42 y 43) BLOQUES Sucesiones de números con signo (lecciones 53 a 55) 3.2. Ecuaciones del tipo ax + bx + c = dx + ex + f (lecciones 56 a 58) 3.3. Funciones de la forma y = ax + b asociadas a diversos fenómenos (lecciones 59 a 61) 3.4. Fórmula para la suma de ángulos interiores de cualquier polígono (lecciones 62 y 63) Potencias. Notación científica (lecciones 70 a 72) 4.2. Criterios de congruencia de triángulos (lecciones 73 a 76) 4.3. Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un triángulo (lecciones 77 y 78) 4.3. Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un triángulo (lecciones 79 y 80) Sistemas de ecuaciones con coeficientes enteros (lección 88) 5.3. Representación gráfica de un sistema de ecuaciones (lecciones 89 y 90) 5.1. Sistemas de ecuaciones con coeficientes enteros (sustitución) (lecciones 95 a 97) 5.2. Transformaciones en el plano (lecciones 91 a 94)

9 Dosificación Guía de uso podrá trabajar las actividades de Las matemáticas en así como Y para terminar o adelantar el trabajo de otros apartados si no es suficiente el tiempo asignado en la tabla. Los colores señalan al eje que corresponde a cada apartado: en azul el eje Sentido numérico y pensamiento algebraico; en amarillo Forma espacio y medida; y en verde Manejo de la información. Cabe señalar que la redacción de los apartados ha sido simplificada. S E M A N A S Ángulos entre paralelas. Ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros (lecciones 17 a 20) 1.7. Relación proporcional: factor inverso y factor de proporcionalidad fraccionario (lecciones 21 a 24) 1.8. Proporcionalidad múltiple (lecciones 25 y 26) 1.9. Problemas de conteo (lecciones 27 y 28) Polígonos de frecuencia (lecciones 29 a 31) Repasemos lo aprendido (páginas 78 y 79) Evaluación del bloque Cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides. Conversiones de medidas de volumen-capacidad (lecciones 44 y 45) 2.6. Comparación de razones (lecciones 46 a 48) 2.7. Medidas de tendencia central (lecciones 49 a 52) Repasemos lo aprendido (páginas 126 y 127) Evaluación del bloque Recubrimientos del plano (lecciones 64 y 65) 3.6. Gráficas de relaciones lineales de diversos fenómenos (lección 66) 3.7. Análisis de la gráfica de y = mx + b cuando m permanece constante y b varía (lecciones 67 y 68) 3.8. Análisis de la gráfica de y = mx + b cuando b permanece constante y m varía (lección 69) Repasemos lo aprendido (páginas 166 y 167) Evaluación del bloque Probabilidad de ocurrencia de eventos independientes (lecciones 81 a 83) 4.5. Gráficas de línea (lecciones 84 y 85) 4.6. Gráficas formadas por segmentos de recta (lecciones 86 y 87) Repasemos lo aprendido (páginas 208 y 209) Evaluación del bloque Probabilidad de ocurrencia de eventos mutuamente excluyentes (lecciones 98 y 99) Repasemos lo aprendido (páginas 238 y 239) Evaluación del bloque 5

10 Índice Presentación 3 Guía de uso 4 Presentación para el maestro 6 Dosificación 8 Bloque 1 Conocimientos y habilidades Lección 1. Menos cuatro veces cinco? Resolver problemas que impliquen multiplicaciones Lección 2. Menos cuatro veces menos cinco? 18 y divisiones de números con signo. Lección 3. Varios factores y distintos tipos 20 de números Lección 4. El factor faltante 22 Lección 5. Un juego para empezar Resolver problemas que impliquen adición Lección 6. Cuadrados mágicos 26 y sustracción de expresiones algebraicas. Lección 7. Adivina la suma 28 Lección 8. Expresiones que valen lo mismo I Reconocer y obtener expresiones algebraicas Lección 9. Expresiones que valen lo mismo II 32 equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos. Lección 10. Ángulos en el reloj Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar Lección 11. Con o sin transportador 36 y medir ángulos, utilizando el grado como unidad Lección 12. Papirolas 38 de medida. Lección 13. La posición relativa de dos rectas Determinar mediante construcciones las posiciones Lección 14. Qué parejas de rectas se forman? 42 relativas de dos rectas en el plano y elaborar definiciones Lección 15. El geoplano circular I 44 de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer Lección 16. El geoplano circular II 46 relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes. Lección 17. Ángulos que se corresponden Establecer las relaciones entre los ángulos que se Lección 18. Otras parejas de ángulos importantes 50 forman entre dos rectas paralelas cortadas por una Lección 19. La malla de triángulos 52 transversal. Lección 20. La malla de romboides 54 Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos. Lección 21. Factores de escala I Determinar el factor inverso dada una relación Lección 22. Factores de escala II 58 de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad Lección 23. Del maíz a las tortillas 60 fraccionario. Lección 24. El IVA y otros factores de proporcionalidad 62 Lección 25. Depende de varias magnitudes! I Elaborar y utilizar procedimientos para resolver Lección 26. Depende de varias magnitudes! II 66 problemas de proporcionalidad múltiple. Lección 27. Helados de sabores Anticipar resultados en problemas de conteo, con Lección 28. Distintos números con las mismas cifras 70 base en la identificación de regularidades. Verificar los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos.

11 Guía de Índice uso Lección 29. Agrupando datos Interpretar y comunicar información mediante Lección 30. Un nuevo tipo de gráfica 74 polígonos de frecuencia. Lección 31. Saber interpretar gráficas 76 Repasemos lo aprendido 78 Las matemáticas en los mapas 80 Y para terminar 82 Bloque 2 Conocimientos y habilidades Lección 32. Signos de agrupación Utilizar la jerarquía de las operaciones, y los paréntesis si Lección 33. Los signos mandan 86 fuera necesario, en problemas y cálculos. Lección 34. Paréntesis dentro de paréntesis 88 Lección 35. Distintas formas de multiplicar Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso Lección 36. La medida de un lado 92 de expresiones algebraicas. Lección 37. Propiedades curiosas 94 Lección 38. Los encantos del cubo Describir las características de cubos, prismas y Lección 39. Prismas 98 pirámides. Construir desarrollos planos de cubos, prismas Lección 40. Las pirámides 100 y pirámides rectos. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo Lección 41. Un mismo objeto, muchas vistas 102 geométrico. Lección 42. Cuál es el volumen? Justificar las fórmulas para calcular el volumen de cubos, Lección 43. Una relación interesante y útil 106 prismas y pirámides rectos. Lección 44. Cajas y recipientes Estimar y calcular el volumen de cubos, prismas y Lección 45. Variaciones 110 pirámides rectos. Calcular datos desconocidos, dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen. Establecer relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. Realizar conversiones de medidas de volumen y de capacidad y analizar la relación entre ellas. Lección 46. Qué trato conviene más? Resolver problemas de comparación de razones, con Lección 47. Qué tono de gris es más claro? 114 base en la noción de equivalencia. Lección 48. Razones famosas 116 Lección 49. La media y la distribución equitativa Interpretar y calcular las medidas de tendencia central Lección 50. La media es 2.73 niños en edad 120 de un conjunto de datos agrupados, considerando de escolar? manera especial las propiedades de la media aritmética. Lección 51. La media en datos agrupados 122 Lección 52. Otros valores representativos 124 Repasemos lo aprendido 126 Las matemáticas en el balón de futbol 128 Y para terminar 130

12 Índice Bloque 3 Conocimientos y habilidades Lección 53. Cuántos cuadritos hay en el borde? I Construir sucesiones de números con signo a partir de Lección 54. Cuántos cuadritos hay en el borde? II 134 una regla dada. Obtener la regla que genera una sucesión Lección 55. Con figuras o con números 136 de números con signo. Lección 56. Adivinanzas fáciles y no tan fáciles Resolver problemas que impliquen el planteamiento Lección 57. Amplificar y simplificar 140 y la resolución de ecuaciones de primer grado de la Lección 58. Problemas diversos 142 forma: ax + bx + c = dx + ex + f y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros o fraccionarios, positivos o negativos. Lección 59. Figuras en el plano cartesiano Reconocer en situaciones problemáticas asociadas Lección 60 Pesos y resortes 146 a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras Lección 61. Unas cantidades dependen de otras 148 disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b. Lección 62. Desde un vértice Establecer una fórmula que permita calcular la suma de Lección 63. Calcular sin medir 152 los ángulos interiores de cualquier polígono. Lección 64. Mosaicos Conocer las características de los polígonos que Lección 65. Adornando el plano 156 permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano. Lección 66. El lenguaje de las gráficas Construir, interpretar y utilizar gráficas de relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos. Lección 67. El tinaco de agua Anticipar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permanece constante Analizar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando cambia el valor de m, mientras el valor de b permanece constante. Lección 68. La ecuación de la recta I Anticipar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permanece constante. Lección 69. La ecuación de la recta II Analizar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando cambia el valor de m, mientras el valor de b permanece constante. Repasemos lo aprendido 166 Las matemáticas en las coordenadas geográficas 168 Y para terminar 170 Bloque 4 Conocimientos y habilidades Lección 70. El número más grande posible Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular Lección 71. Qué significa tres a la menos dos? 174 productos y cocientes de potencias enteras positivas de Lección 72. Cantidades astronómicas 176 la misma base y potencias de una potencia. Interpretar el o microscópicas significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

13 Guía de Índice uso Lección 73. Iguales o diferentes Determinar los criterios de congruencia de triángulos Lección 74. Qué figura resulta? 180 a partir de construcciones con información determinada. Lección 75. Mensajes breves pero efectivos 182 Lección 76. Tipos de triángulos 184 Lección 77. Un triángulo al interior de un círculo Explorar las propiedades de las alturas, medianas, Lección 78. Un círculo al interior de un triángulo 188 mediatrices y bisectrices en un triángulo. Lección 79. Centro de gravedad 190 Lección 80. Las alturas de un triángulo 192 Lección 81. Lloverá o no lloverá? Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que Lección 82. La ruleta 196 son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia. Lección 83. Otra vez el dado Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes. Lección 84. Día Mundial de la Población Interpretar y utilizar dos o más gráficas de línea que Lección 85. El mundo en gráficas 202 representan características distintas de un fenómeno o situación para tener información más completa y en su caso tomar decisiones. Lección 86. Llenado de botellas Interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos Lección 87. El movimiento en gráficas 206 de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento, llenado de recipientes, etcétera. Repasemos lo aprendido 208 Las matemáticas en el infinito 210 Y para terminar 212 Bloque 5 Conocimientos y habilidades Lección 88. Lección 89. Lección 90. Adivinanzas con dos números desconocidos! Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones Una solución, muchas soluciones o ninguna Representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de 216 ecuaciones con coeficientes enteros Representar gráficamente un sistema de ecuaciones 218 lineales con coeficientes enteros e interpretar la intersección de sus gráficas como la solución del sistema. Lección 91. Trasladando figuras Determinar las propiedades de la rotación y de la Lección 92. Rotando figuras 222 traslación de figuras. Construir y reconocer diseños que Lección 93. El reflejo del reflejo 224 combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación Lección 94. Figuras en movimiento 226 de figuras. Lección 95. Otras técnicas para resolver sistemas de ecuaciones I Representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.

14 Índice Lección 96. Otras técnicas para resolver sistemas de ecuaciones II Lección 97. Problemas diversos Representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros. Lección 98. Lección 99. Independientes o no independientes Problemas con urnas Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes. Repasemos lo aprendido 238 Las matemáticas en una tira de papel 240 Y para terminar 242 Anexos 243 Bibliografía 254

15 El pueblo babilónico fue el que comenzó a utilizar el sistema sexagesimal (de base 60); dividieron la esfera celeste en 360 grados y cada grado en 60 minutos. Así, la medición del tiempo quedó estrechamente ligada con la medición de los ángulos. El día fue dividido en 12 horas dobles: 12 horas de día-luz y 12 horas de noche. Cada hora a su vez se fraccionó en 60 minutos. Aunque este sistema es un poco más difícil que el decimal, es el que usamos actualmente para medir el tiempo y los ángulos. BLOQUE 1 Torre del Reloj del Palacio de Westminster (Big Ben), en Londres, Inglaterra. En este bloque aprenderás a: Resolver problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones de números con signo. Justificar la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero. Resolver problemas de conteo mediante cálculos numéricos. Resolver problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de cantidades. Interpretar y construir polígonos de frecuencia. 15

16 Lección 1 Menos cuatro veces cinco? Una manera de entender la multiplicación 4 x 5 es 4 veces 5; pero, qué significan multiplicaciones como 4 5 y 4 ( 5)? 1 Realiza lo que a continuación se indica. a) Expresa mediante una suma y una multiplicación las operaciones representadas en las siguientes rectas Suma: Cuál es el sumando que se repite en esta recta? Multiplicación: Suma: Cuál es el sumando que se repite en esta recta? Multiplicación: b) Anota los resultados de estas multiplicaciones. 4 4 = 2 6 = 5 6 = 4 3 = 2 4 = 5 3 = 4 2 = 2 2 = 5 0 = 4 1 = 2 0 = 5 ( 3) = 4 0 = 2 ( 2) = 5 ( 6) = 4 ( 1) = 2 ( 4) = 4 ( 2) = 4 ( 3) = 16

17 2 Lee la siguiente información. Una forma de entender la multiplicación es considerarla como una suma de sumandos iguales. Dichos sumandos pueden ser números positivos o negativos. Por ejemplo: = 20 3 ( 8) = ( 8) + ( 8) + ( 8) = 24 5 ( a) ( a) ( a) ( a) + ( a) ( a) = 5a 3 Resuelvan las siguientes operaciones en equipo y comparen sus resultados; en caso de que haya diferencias, averigüen quién tiene razón. a) 4 ( 10) b) ( 10) 4 c) ( 15) 3 d) 3 ( 15) e) 6 ( 1) f) ( 1) 6 g) ( 8) 0 h) 0 ( 8) i) 3 ( 2.5) j) ( 2.5) 3 4 Con ayuda de su profesor o profesora analicen la siguiente información. En la multiplicación de números positivos el orden de los factores no altera el producto; por ejemplo, Esta propiedad se llama conmutatividad y también es válida para los números negativos. Gracias a esta propiedad, es posible resolver una multiplicación como 4 5, y, aun cuando para nosotros no tenga sentido decir menos cuatro veces cinco, podemos estar seguros de que (24) Completen las siguientes frases. a) Siempre que se multiplican dos números de distinto signo, el resultado es un número b) Siempre que un número positivo o negativo se multiplica por cero, el resultado es c) Siempre que un número positivo se multiplica por 1, el resultado es 6 Realicen lo siguiente en sus cuadernos. a) Encuentren al menos tres multiplicaciones cuyo resultado sea 24. b) Encuentren al menos tres multiplicaciones cuyo resultado sea 875. c) Encuentren al menos una multiplicación cuyo resultado sea 38. d) Encuentren dos números que sumados den cero y multiplicados den 169. e) Encuentren dos números que sumados den 1 y multiplicados den Con ayuda de su profesor o profesora comparen los resultados del problema anterior Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo. 17

18 Lección 2 Menos cuatro veces menos cinco? l El producto de dos números positivos es un número positivo; por ejemplo, l El producto de un número positivo por uno negativo, o bien, de uno negativo por uno positivo, es negativo; por ejemplo, 4 ( 5) 5 20 y l Y el producto de dos números negativos; por ejemplo, 4 ( 5)? 1 Realiza lo siguiente con un compañero o compañera. a) Resuelvan las multiplicaciones de la sección azul de la tabla. b) Observen que el segundo factor disminuye de 1 en 1 mientras que los productos aumentan de 3 en 3. A qué se debe? c) Las multiplicaciones de la sección naranja son de un número negativo por otro negativo. Vean qué sucede si mantienen la regularidad anterior y continúan sumando 3 a los productos. Estos productos son negativos o positivos? ( 1) 3 ( 2) 3 ( 3) 3 ( 4) Con ayuda del profesor realicen lo siguiente. a) Comparen sus resultados con los de otras parejas. b) Observen que, si se mantiene la regularidad por cada unidad que disminuye el segundo factor, el producto aumenta tres unidades, los productos de dos números negativos son positivos. 3 Construyan una tabla como la anterior a partir de la multiplicación 2 5. Escriban los productos que se obtienen al disminuir el segundo factor de 1 en 1. Vean si llegan a la misma conclusión que con la tabla anterior. Comenten su conclusión con otras parejas. 4 La regla de correspondencia entre dos conjuntos de cantidades A y B, es y = 3x. Con base en esta información realicen lo siguiente. a) Anoten los datos que hacen falta en la parte azul de la siguiente tabla. b) Ubiquen en el plano cartesiano de la página siguiente los puntos que corresponden a esas coordenadas; observen que los puntos están alineados y tracen una recta que pase por ellos. Conjunto A (x) Conjunto B (y) y = 3x 18

19 c) Para encontrar los valores que faltan en la sección naranja prolonguen la recta y ubiquen en el eje de las abscisas el 1; finalmente observen qué ordenada le corresponde. Sigan el mismo procedimiento con 2 y 3. Anoten en la tabla los valores que encuentren. d) Ahora ya saben que a 2 le corresponde 16. La regla de correspondencia de la gráfica es: y 5 3(x) Esto quiere decir que: 3 ( 2) 5 16 También quiere decir que: 3 ( 1) 5 3 ( 3) (3, 9) 9 y x 5 Con ayuda de su profesor o profesora analicen la información. El producto de dos números negativos es un número positivo; por ejemplo, 3 ( ) = 6 6 Anota los números que faltan en las siguientes multiplicaciones. a) ( 5) ( 1) c) ( a) ( 1) e) ( 8) ( ) 8 b) ( 1) ( 5) d) ( 1) ( a) f) ( 8) ( ) 8 7 Escribe los signos que faltan en la siguiente tabla y completa los enunciados. Enunciado 1: Siempre que se multiplican dos números del mismo signo, el resultado es Enunciado 2: Siempre que se multiplican dos números de distinto signo el resultado es 8 Anota los números que faltan en las siguientes multiplicaciones. a) ( 3) ( 5) = c) ( 7) ( ) = 56 e) ( a) ( b) = b) ( 3) (5) = d) ( ) ( 8) = 56 f) (a) ( b) = Recuerda: hay varias maneras de expresar una multiplicación sin utilizar el signo ; por ejemplo, la multiplicación 5 por a, puede expresarse así: (5)(a); 5(a); (5)a; o bien, 5a Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo. 19

20 Varios factores y distintos tipos de números En la lección anterior se establecieron reglas para multiplicar dos números con signo. Qué pasa cuando la multiplicación incluye más de dos factores? Lección 3 1 Encuentra los resultados de las siguientes operaciones y después compáralos con los de tus compañeros y compañeras de equipo. a) ( 2)( 3)( 1) b) ( 4)( 3)( 2)( 1) c) ( 5)( 4)( 3)( 2)( 1) d) ( 5)( 4)( 3)( 2)( 1) e) ( 875)( 576)(0) f) ( 2.5)( 3.2)( 1) 2 Inventa dos multiplicaciones de seis factores: una en la que el resultado sea positivo y otra en la que el resultado sea negativo. Anótalas enseguida. a) b) 3 Comenta con tus compañeros, compañeras y con tu profesor o profesora en qué casos el resultado de una multiplicación de más de dos factores es positivo, cuándo es negativo y en qué casos es cero. Anota enseguida las conclusiones. Primera conclusión: El resultado es positivo cuando Segunda conclusión: El resultado es negativo cuando Tercera conclusión: El resultado es cero cuando 4 Aplica las conclusiones a las que llegaron, para resolver las siguientes multiplicaciones. Después verifica los resultados con una calculadora. a) ( 4)( 7)( 2)( 5) b) ( 10)( 3)( 4) c) ( 1)( 8)( 10)( 3)( 20) d) ( 5)( 10)( 50) e) ( 3)( )( 7) 21 f) ( 3)( 2) ( ) 24 20

21 5 Completa la tabla y contesta. Columna A (x) Columna B (y) Cuál es la regla de correspondencia que permite obtener los números de la columna B, a partir de los números de la columna A? Con palabras Expresión algebraica: y = 6 Resuelve los siguientes problemas y compara tus resultados con los del grupo. Recuerda: son números simétricos los que en la recta numérica están a la misma distancia del cero; por ejemplo, 5 y 5. Son números enteros consecutivos los que en la serie numérica están uno a continuación del otro; por ejemplo, 5 y 6; 5 y 4; 9, 10 y 11. a) El producto de tres números enteros es 30. Cuáles son esos números? Encuentra al menos tres soluciones. b) El producto de dos números simétricos es 81. Cuáles son esos números? c) El producto de tres números enteros consecutivos es 120. Cuáles son esos números? 7 Escribe los resultados y las operaciones que faltan. ( 5) ( 1) Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo. 21

22 Lección 4 El factor faltante Recuerdas que la división es una operación que, entre otras cosas, ayuda a encontrar un factor faltante en una multiplicación? 1 Calcula mentalmente el factor que falta en las siguientes multiplicaciones. a) ( 7)( ) 14 b) ( 7)( ) 14 c) ( )( 15) 345 d) ( ) (15) 345 e) (1)( ) 13 f) (21) ( ) 13 g) (1)( ) 13 h) ( 5)( ) 5a 2 Anota las multiplicaciones anteriores en la columna izquierda de la siguiente tabla. En la columna derecha escribe la división correspondiente, como en el ejemplo. Multiplicación en la que falta un factor División que corresponde a) ( 7)( ) 14 ( 14) ( 7) b) c) d) e) (1 )( ) 213 ( 13) 1 f) g) h) 3 Reúnanse con algunos compañeros y compañeras para completar estos enunciados. a) El cociente de dos números con el mismo signo es un número b) El cociente de dos números de distinto signo es un número c) El cociente de dividir un número, positivo o negativo, entre 1 es d) El cociente de dividir un número, positivo o negativo, entre 1 es 4 Comparen las respuestas de la actividad anterior con las de otros equipos. Entre todos y con ayuda de su maestro, completen el siguiente enunciado. El cociente de dividir cero entre cualquier número positivo o negativo es 22

23 5 Resuelvan lo siguiente. a) Encuentren al menos tres adiciones diferentes cuyo resultado sea 15. b) Encuentren al menos tres sustracciones cuyo resultado sea 10. c) Encuentren al menos tres multiplicaciones cuyo producto sea 20. d) Encuentren al menos tres divisiones cuyo cociente sea 8. 6 Con ayuda de su profesor o profesora analicen los resultados anteriores y corrijan los errores. 7 Resuelve las siguientes operaciones. a) b) c) ( 4) (2 6) ( 2) d) e) f) (24) (22) (23) Reúnete en equipo y comparen los resultados. Si hay diferencias, entre todos encuentren los errores y corríjanlos. 9 Resuelvan lo siguiente. a) Encuentren dos números que sumados den 1 y multiplicados den 156. b) Encuentren dos números cuyo cociente sea 4 y cuyo producto sea 36. c) Encuentren dos números que al restarlos den 10 y multiplicados den Con ayuda de su profesor o profesora revisen los resultados que obtuvieron en el problema anterior Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo. 23

24 Lección 5 Un juego para empezar El lenguaje algebraico es una herramienta muy útil, pues permite, entre otras cosas, nombrar números que se desconocen. 1 Reúnete con un compañero o compañera y realicen el siguiente juego; usen la hoja de calendario que se muestra. Reglas del juego: Primera: El jugador A debe elegir cuatro números que formen un rectángulo, como indica el ejemplo. El jugador B no debe saber qué números se eligieron. D L M M J V S Segunda: El jugador A calcula la suma de los cuatro números y la dice al jugador B. Tercera: El reto para el jugador B consiste en averiguar qué números eligió el jugador A. Si acierta, gana un punto; en caso contrario, el punto es para el jugador A. Cuarta: En la siguiente ronda se invierten los papeles. Después de seis rondas, gana quien obtiene más puntos. 2 Imagina que eres el jugador B; la suma que dice el jugador A es 32 y debes adivinar los cuatro números. Qué haces? a) Los números que eligió tu compañero están dispuestos como muestra el siguiente esquema. Anota x donde creas que va el menor de los cuatro números, suponiendo que tienes frente a ti la hoja del calendario. 24

25 b) Si el menor de los cuatro números se denota con x, cómo expresarías el que está a su derecha? c) Cómo expresarías el número que está debajo de x? d) Cómo expresarías el mayor de los cuatro números? e) Utiliza la expresión algebraica de cada uno de los cuatro números para completar la siguiente ecuación. Resuélvela para obtener el valor de x. x = 32 f) Cuáles son los cuatro números que se buscan? Anótalos en el esquema de la página anterior y verifica que suman Con ayuda de su profesora o profesor realicen lo siguiente: a) Llamen x al mayor de los cuatro números. b) A partir del número mayor, expresen algebraicamente los tres números restantes y anótenlos en el cuadro. c) Completen la siguiente ecuación y resuélvanla. x = 32 d) Qué valor tiene ahora x? 4 Es cierto que la suma de un número más su doble, más su triple, siempre es divisible entre 6? Busquen argumentos para explicar por qué sí o por qué no. Recuerden que un número es divisible entre otro cuando el residuo de la división del primero entre el segundo es cero. Escriban sus conclusiones enseguida. 5 Con ayuda de su profesora o profesor analicen la siguiente información. Una expresión algebraica puede tener uno o más términos; por ejemplo, la expresión 5x tiene sólo un término; la expresión x 3x tiene dos términos, y la expresión 2x x 5 tiene tres términos. En cada término hay un coeficiente y una parte literal. Así, en el término 5a, el coeficiente es 5 y la parte literal es a. En el término 3a 2 b, el coeficiente es 3 y la parte literal es a 2 b. Los términos que presentan la misma parte literal se llaman semejantes y se pueden simplificar, por ejemplo: 2a a = 3a 2a 3a = a x 1.2. Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas. 25

26 Lección 6 Cuadrados mágicos Recuerda que las expresiones algebraicas se pueden simplificar cuando contienen términos semejantes; por ejemplo, 3a a = 2a. 1 Resuelve lo siguiente. El número de cada celda es la suma de las dos de abajo. a) Anota la expresión para el número de la celda de arriba. m 1 n n 1 p b) Anota la expresión en la forma más simple. m n p 2 Compartan ideas para resolver este problema. a) Anoten las expresiones que faltan en las celdas de este esquema. En la celda de arriba procuren escribir la expresión más simple posible. Recuerden que en cada celda se anota la suma de las dos de abajo. 3t 1 6u 2u 2u 3t 3t b) Con las mismas reglas completen este otro esquema. No olviden escribir la expresión más simple posible en la celda de arriba. 2m 1 p p 2n 1 p 182 c) De la misma manera encuentren los números que faltan en este esquema Con ayuda de su profesor o profesora revisen los resultados que obtuvieron en los problemas anteriores. 26

27 4 Recuerden que en un cuadrado mágico la suma de las expresiones de cada fila, columna o diagonal debe ser la misma. a) Verifiquen que el cuadrado que se muestra es mágico. a b a b c a c b) Cuál es la suma de las expresiones de cada fila, columna o diagonal? a b c a a b c a c a b c a b 5 Supongan que en el cuadrado mágico anterior a = 1, b = 2, c = 3. a) Anoten el valor que le corresponde a cada celda b) Verifiquen que se trata de un cuadrado mágico. c) Cuál es la suma de cada fila, columna o diagonal? 6 Con ayuda de su profesora o profesor revisen los resultados de los problemas 4 y 5. Si hay diferencias, traten de descubrir los errores. 7 Anoten las longitudes que faltan en el siguiente rectángulo Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas. 27

28 Lección 7 Adivina la suma Sabías que muchos de los juegos que consisten en adivinar números o resultados de operaciones se pueden explicar mediante expresiones algebraicas? 1 Lee la siguiente información. Se dice que dos números enteros son consecutivos cuando, en la serie numérica, están uno seguido del otro; por ejemplo, son consecutivos 5 y 6; 100 y 101; 210 y 2 9; 0 y 1. De manera general, son consecutivos: n y n 1 1; n 1 5 y n 1 6; n 2 2 y n Obtengan los siguientes cálculos. a) La suma de 10 números consecutivos a partir del 3 b) La suma de 10 números consecutivos a partir del 5 c) La suma de 10 números consecutivos a partir del 25 3 Realicen el siguiente juego. Reglas: 1ª Un miembro del equipo dice en voz alta un número entero (positivo o negativo). 2ª Cada miembro del equipo trata de encontrar, lo más rápido posible, la suma de 10 números consecutivos a partir del número que se dijo en voz alta. 3ª Quien primero encuentra la suma gana un punto y en el siguiente turno le toca decir el número del cual se parte. 4 Busquen un procedimiento para calcular, lo más rápido posible, la suma de 10 números enteros consecutivos a partir de un número dado. Anota el procedimiento que encontraron. 5 Encuentren una fórmula que permita calcular la suma de 10 números enteros consecutivos a partir de un número dado. Anótala: 28

29 6 Con ayuda del profesor analicen las fórmulas que obtuvieron los equipos y concluyan si son correctas o incorrectas. Anota la fórmula que prefieras. 7 Anoten en el rectángulo el número que falta en cada recta. 20 n 1 n n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 n 7 n 8 n 9 n 10 n n 1 n n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 n 7 n 8 n 9 n 10 n n 1 n n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 n 7 n 8 n 9 n 10 n 11 8 Con ayuda de la profesora o profesor comparen los resultados del problema anterior. 9 Contesten las siguientes preguntas. a) Es posible que la suma de 10 números consecutivos resulte ? Por qué? b) Es posible que con la suma de 10 números consecutivos se obtenga ? Por qué? n 1 n n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 n 7 n 8 n 9 n 10 n Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas. 29

30 Lección 8 Expresiones que valen lo mismo I Una misma expresión algebraica puede escribirse de distintas maneras. 1 En la columna izquierda los enunciados están escritos en lenguaje común y en la columna derecha esos enunciados se expresan en lenguaje algebraico. Indica con el inciso a cuál corresponde cada uno. a) Sumar 7 a un número. n 7 o n 7 b) Multiplicar un número por sí mismo. n + 7 c) 7 menos un número. 7n 2 d) Dividir un número entre 7. n(n) o n 2 e) Multiplicar un número por 7 y luego restar 2. n f) Dividir un número entre 7 y luego sumar 2. 7 n 2 Realicen la siguiente actividad. a) Comparen sus respuestas del problema anterior. b) Escriban en lenguaje común el significado de cada una de las expresiones algebraicas. 2n n + 2 n 2 3 Con ayuda de su profesora o profesor analicen la información. Como habrás notado, en la multiplicación algebraica no se utiliza el signo por ( ) para no confundirlo con la letra x; por ejemplo, la multiplicación de un número por 5 se expresa en cualesquiera de estas formas: 5n 5(n) (5)(n) La división de un número entre 5 suele expresarse así: n 5 30