Práctica: Codificación y Utilización de Autómatas Celulares

Transcripción

1 Ingeniería Informática Bioinformática Curso Práctica: Codificación y Utilización de Autómatas Celulares Los autómatas celulares (ACs) fueron concebidos a finales de los años 40 por Stanislaw Ulam y Konrad Zuse y puestos en práctica por John Von Neumann. No fue sin embargo hasta finales de los años 60 que John Horton Conway desarrolló el juego de la vida, presentado en la columna de Martin Gardner en Scientific American. Posteriormente aparecieron las aplicaciones más prácticas de este concepto, que son muy diversas y variadas, como construir y simular estructuras complejas o caóticas, generar fractales e incluso simular multitud de fenómenos físicos hasta el punto de considerarse una alternativa a las ecuaciones diferenciales. El modelo de los autómatas celular busca simular sistemas complejos, no mediante reglas complicadas, sino subdividiendo el sistema a estudiar en muchos subsistemas simples (células) que operan con reglas sencillas y se relacionan con los demás también mediante reglas simples. De este modo un autómata celular es por definición discreto, en el sentido de que se habla del estado actual y el siguiente y el número de células es finito. Los ACs son sistemas dinámicos para los cuales el espacio, el tiempo t y los elementos del conjunto de estados del sistema K son discretos. Estos últimos constituyen también un conjunto finito p,..., p }. { 1 n El espacio de un AC está compuesto por una matriz n-dimensional (generalmente de 1 o 2 dimensiones) de elementos de procesamiento llamados células, que son la unidad básica en todo AC. Las células se encuentran colocadas en una rejilla de geometría regular como las mostradas en la Figura 1; donde se muestran varios ACs bidimensionales con las células expresadas como cuadros y las relaciones entre ellas como líneas. Una rejilla será k-regular si toda célula está relacionada con k-células. Figura 1: Diversos tipos de conexiones para el espacio de un AC, las figuras (a-d) muestran espacios donde las células tienen tres, cuatro, seis y ocho vecinos respectivamente para r = 1. En un AC, cada célula interactúa con las demás dentro de una vecindad o entorno finito. En un AC bidimensional 8-regular la célula en la fila i y columna j se expresa mediante C (i, j). La vecindad de C (i, j) se suele expresar en términos de un radio r se llama r-vecindad y se representa mediante Nr (i, j). Existen diferentes aproximaciones al concepto de entorno de una célula dada. En el caso más usual (dimensión 2): Entornos de von Neumann: Sobre la célula en cuestión sólo influyen las células situadas arriba, abajo, y en los dos lados (reglas de tipo Norte, Sur, Este, Oeste). Entornos de Moore: Como los entornos de von Neumann pero admitiendo que influyan las células diagonales.

2 Entornos de Moore extendidos: Se permite que influyan todas las células situadas a r cuadrados de distancia o menos (el caso anterior es r = 1). Entornos de Margolus: Se trata de un caso en el que se consideran bloques de 2x2 células que se modifican globalmente, en vez de célula a célula. El funcionamiento de los ACs viene definido por reglas. Lo habitual es considerar una regla o "función de entorno" que a cada matriz (o el análogo n-dimensional ) le asigna el nuevo valor central. No es habitual introducir restricciones a las reglas en la propia definición de autómata celular, puesto que se trata de construir un modelo lo más general posible. Algunos autores sin embargo introducen condiciones como la simetría respecto a la celda central (en entornos de Moore). De este tipo de restricciones la única que es aceptada casi universalmente es la de Wolfram: no se genera actividad espontáneamente ; es decir, si un entorno es nulo en una iteración lo es en la siguiente (entornos de Margolos y variantes) o produce que la célula central se mantenga nula (entornos de Moore y von Neumann). Cada célula puede contar con cualquier valor del conjunto de estados, que se actualizará mediante la regla local Φ; de manera que el estado de una célula para el instante t depende exclusivamente del valor de las células que se encuentren en su vecindad una unidad de tiempo antes (t-1). Un ejemplo de una regla para un AC unidimensional (es decir, una línea) con r=1 puede expresarse mediante la siguiente relación: C(i;t+1) = Φ [C(i-1;t), C(i;t), C(I+1;t) ] donde C(i;t) representa el valor de la célula i en el instante t. Φ define el procedimiento de generación del estado de la celda i en el instante t+1. En general la regla Φ puede expresarse mediante una tabla en que se establezca el resultado para cada una de las combinaciones posibles de las vecindades. Sin embargo esto no siempre es posible, por lo que se establecen diversas simplificaciones. Entre las más importantes están la de simetría, las reglas totalísticas y las reglas que emplean un kernel o núcleo. Los ACs que emplean un kernel o máscara definen dentro de una matriz un conjunto de valores que funcionan de forma semejante a los pesos en una red neuronal. Lo que se hace con estos pesos es multiplicarlos por los estados de las células y sumarlos. A este proceso se le conoce como convolución, y su operador * queda definido de la siguiente manera para un AC de dos dimensiones: T C( i, j; t + 1) = c( k, l) N ( i, j) T ( k i, l j; t) C( k, l) donde T es la máscara y T(m,n) denota la entrada en el m-ésimo renglón y en la n-ésima columna de una máscara (además m={ 1,0,1} y n={ 1,0,1}; si r=1). Este medio es empleado particularmente en el procesamiento de imágenes. El Juego de la Vida Se trata de uno de los primeros autómatas celulares construidos y el más conocido y estudiado de todo. Se trata de un autómata celular binario (i.e las células toman sólo los valores 0 o muerta y 1 o viva ) bidimensional con entornos de Moore. La actualización de la célula central puede realizarse mediante muchas familias de reglas: la cantidad de variantes que se ha introducido es muy extensa. El juego de la vida clásico se trata de las reglas originales introducidas por John Horton Comway en Scientific American en octubre de La idea consiste en modelar una situación en la cual ocurrieran las siguientes condiciones 1 : 1 Gardner, Martin, Mathematical Games. Páginas Scientific American, Oct 1970

3 1) No debe existir ninguna configuración inicial a partir de la cual se pueda probar de modo simple que la población crece sin control 2) Deben existir configuraciones iniciales que aparentemente provoquen un crecimiento descontrolado 3) Deben existir configuraciones iniciales simples que crecen y cambian durante un periodo considerable de tiempo para llegar a uno de los siguientes estados: i) Desaparición completa (por superpoblación) ii) iii) Situación estacionaria Configuración cíclica estable formada por dos o más estados que se van repitiendo Con este motivo, Conway propuso las siguientes reglas: Una célula muerta vuelve a la vida si exactamente tres de sus vecinas están vivas. Una célula viva con dos o tres vecinas vivas permanece viva (sobrevive). Una célula viva muere si no hay un mínimo de dos y un máximo de tres células vivas en su entorno. En otro caso permanece muerta. A pesar de que las reglas parecen y de hecho son realmente simples, se pueden establecer numerosos ejemplos de estructuras interesantes a partir de ellas. El juego de la vida tiende a evitar estructuras compactas, que denotarían superpoblación. En su lugar hacen su aparición otras estructuras más estables, que a ojos del espectador resultan "huecas". Como ejemplo, veamos lo que le ocurre a un bloque compacto: Estado inicial Primera iteración n Segunda iteración Tercera iteración

4 Cuarta iteración Estado final Algunas estructuras del Juego de la Vida Desde que fue propuesto hace más de veinticinco años, el juego de la vida clásico ha generado mucha bibliografía y estudios. Como consecuencia de esto, se han identificado numerosas estructuras peculiares. Si usamos para representar las estructuras la siguiente simbología: * representa una célula viva. representa una célula muerta representa dinámica Algunas de las estructuras más importantes y su dinámica se incluyen a continuación. 1. Patrones estáticos (vidas estáticas): Bloque: ** ** Barco: ** * * * 2. Patrones Recurrentes (osciladores): Blinker (parpadeador): Estructura oscilante con dos periodos * * * *** * * * Toad (sapo): * *** ** *** ** * 3. Patrones que se trasladan por el tablero (naves espaciales): Glider (planeador): Se trata de una estructura que sigue un ciclo, moviéndose una celda diagonalmente cada vez que lo completa. * * * * * * * *** ** * * ** * * ** ** *** Spaceship (naves espaciales): Un número finito de celdas que después de varias generaciones vuelve a aparecer con idéntica configuración en otro punto de la pantalla. Esto causa el efecto a ojos del espectador de una nave que se mueve, de ahí el nombre

5 ...*...*...* *... *...* *****. Glider Gun: Estructura oscilante que emite Gliders periódicamente. El descubrimiento de la Glider Gun probó la falsedad de una de las conjeturas básicas de Conway, que afirmaba que ninguna población finita podría crecer sin límite....*......****...*......*...****...*......*.*...*..*...**...*...**...****...** **...*...**...****... **...*...**...*......*.*......*... Celdas unidad: Las celdas unidad se definen como "una estructura cuyo estado depende de su estado anterior y el estado anterior de sus vecinos, usando exactamente las reglas empleadas para calcularla: es decir, simula su propio universo" 2.David Bell ha creado una que requiere 5760 generaciones para realizar una generación propia; se continúa buscando ejemplos más simples Otras estructuras: Existen numerosas estructuras curiosas en el juego de la vida, bien por su estabilidad, propiedades especiales o incluso por su belleza. Por ejemplo un pentomino es una estructura consistente en cinco celdas que rápidamente decae a un estado estable; hay un pentomino especial (r-pentomino) que a diferencia de los demás se mantiene oscilando durante más de cuatrocientas iteraciones sin alcanzar un estado estable. Otro ejemplo interesante es la letra H : desaparece rápidamente, pero si movemos el marcador central a la casilla superior (es decir, formamos ) pasarán 173 generaciones antes de que se alcance un estado estable. r-pantonimo.** **..*. H: *.* *.* **.**.**.**. *...* *** **.** **.** *...* *...* *.* *.* **.**.**.**. *...* Pi: *** *.* *.* 2 Callahan, Paul (96, March). Paul's Page of Conway's Life Miscellany

6 Cuestiones Como actividad práctica se propone desarrollar en Matlab un conjunto de procedimientos que permitan experimentar y realizar un pequeño estudio con autómatas celulares bidimensionales. Para ello se deberá desarrollar un código con las siguientes funcionalidades: 1. Permitir visualizar la evolución temporal (dinámica), instante a instante discreto (generación a generación) así como cada un número de instantes agrupados (G generaciones). 2. Definir una cierta configuración de autómatas celulares sobre una rejilla bidimensional definible en dimensiones. Entre los autómatas configurables deberán estar los correspondientes al Juego de la Vida de Conway y al menos algún otro, que podrá elegirse entre los que se describen a continuación. 3. El número de estados será de S, de manera que para S>2 deberán diferenciarse por colores distintos en la visualización 4. Se podrá definir el entorno de aplicación de las reglas 5. Se podrán definir y seleccionar también reglas y las condiciones iniciales de definición de los estados de la rejilla bidimensional. En este sentido, la inicialización debe admitirse que sea aleatoria y también con precarga de valores concretos en celdas concretas. Se pide además de desarrollar el código correspondiente, experimentar con distintas configuraciones de reglas, entornos y condiciones iniciales. Como actividad adicional se puede desarrollar un estudio similar para el caso de entornos unidimensionales. Otras Configuraciones de Autómatas Celulares Como alternativas, o complemento, al Juego de la Vida se suministran a continuación las descripciones de otras soluciones dinámicas basadas en autómatas celulares. Se anima a los alumnos a plantear incluso algunas otras soluciones, para lo que se puede usar desde bibliografía hasta los recursos disponibles en la red. a) El programa "Células" de Peter Donnelly También es conocido como "votación", ya que según el autor pretende simular una votación política algo particular. En el modelo las casillas están coloreadas, reflejando el color la opinión política de una persona residente en esa casilla. Es decir, la opinión política, el color y el estado son sinónimos en este caso. Las casillas rojas (1) podrían simbolizar partidarios de una opción política o social y las verdes (2) los contrarios, el resto de casillas serían personas no interesadas o indecisas. La vecindad de celdas puede asociarse a vecindad geográfica entre votantes. En cada iteración se selecciona al azar una persona y su opinión se somete a cambio según el siguiente algoritmo: Se selecciona al azar uno de sus ocho vecinos.

7 La opinión del individuo se transforma en la de este vecino, independientemente de cuál fuera su opinión anterior. Con esta simple regla se pueden observar comportamientos emergentes curiosos. Primero se desarrollan grandes bloques de opinión homogénea, para que luego las opiniones vayan migrando y compitiendo por extenderse. El sistema funciona como un sistema dinámico con tantos atractores como opiniones. Una vez la rejilla entera toma un valor homogéneo éste se mantiene, ya que no surgen ideas aleatoriamente sino por propagación o en este caso convencimiento. En un modelo posterior, se puede hacer que ciertas opiniones o ideas surjan aleatoriamente en el seno de bloques homogéneos. Para ello se puede implementar alguna regla que se active si en un entorno de 8-vecinos de una celda dada hay homogeneidad absoluta, la celda central cambie de opinión política (o surja una nueva) si un cierto número aleatorio supera un cierto umbral. Además de esta interpretación de la ejecución del programa, hay otra más aproximada, que le da su nombre original, y mucho más sugerente para los interesados en la vida artificial y temas afines. Podemos llegar a apreciar comportamientos "cuasi-biológicos" si observamos la evolución de la rejilla como un ejemplo de la coexistencia-competitividad de dos especies similares en un mismo medio con abundancia de alimento, como podría ser el caso de dos especies de bacterias en un fluido rico en nutrientes. La interpretación es la siguiente: Cada posición de la matriz representa una célula de una especie determinada. En cada ciclo se elige aleatoriamente una de las células de la matriz. Esa célula muere, dejando un espacio libre. Ese espacio es ocupado inmediatamente de la siguiente forma: se elige a una de las ocho células contiguas a ese espacio vacío para reproducirse, y el lugar dejado por la célula muerta lo ocupa una nueva célula, hija de la escogida, y por lo tanto de su misma especie. A partir de este comportamiento tan simple podremos observar como el caos inicial, en el que las células de ambas especies se hallan mezcladas, da paso a una forma de organización en la que las células de una misma especie forman amplios grupos. que se desplazan, se estiran y se contraen mientras tratan de sobrevivir. Esta información ha sido extraída de: b) Incendio forestal estocástico. En este caso se modela la propagación del fuego en un bosque. La rejilla consta de autómatas de tres estados y vecindad Von Neumann. Los tres estados posibles son 0 (vacío), 1 (árbol sano) y 2 (árbol incendiado). Este modelo estocástico, esto es, se utilizan tres diferentes parámetros probabilísticos que controlan el proceso: Probabilidad-de-Crecimiento: probabilidad de que crezca un árbol, es decir de cambio de estados de 0 a 1. Se puede establecer inicialmente a valores pequeños (del orden del 1% si expresamos la probabilidad en porcentajes). Probabilidad-de-Incendio-Espontáneo: probabilidad de que un árbol se incendie espontáneamente, es decir que pase de estado 1 a estado 2. Se puede establecer inicialmente a valores próximos al 0,1%. Probabilidad-de-Inmunidad: probabilidad de que un árbol sea inmune al fuego, es decir de que no pueda incendiarse. Se puede establecer inicialmente a un valor del orden del 7-10 %. Las reglas que rigen el comportamiento son las siguientes:

8 Una célula con estado 0 se vuelve 1 con probabilidad Probabilidad-de-Crecimiento. En ese caso ha crecido un árbol. Una célula con estado 1 se vuelve 2 con probabilidad (1- Probabilidad-de-Inmunidad) si algún vecino está en estado 2. Es decir, un árbol se incendia con cierta probabilidad siempre y cuando exista un árbol adyacente en llamas. Una célula con estado 1 se vuelve 2 con probabilidad Probabilidad-de-Incendio- Espontáneo *(1- Probabilidad-de-Inmunidad) si no hay vecinos en estado 2. En otras palabras, los árboles se pueden incendiar espontáneamente siempre y cuando no exista fuego a su alrededor. Una célula con estado 2 se vuelve 0 en la siguiente iteración. El fuego se apaga en cada iteración. c) Retícula HPP El Autómata Celular de Ardí-Pomeau-de Pazzis (HPP) es un modelo utilizado extensamente para el estudio de flujos de fluidos, especialmente en los casos en los que la ecuación de Navier- Stokes resulta difícil de integrar numéricamente. El modelo se basa en el principio de conservación de masa y momento, y en la rejilla bidimensional se ubican 4 tipos de partículas diferenciadas según su dirección de movimiento: U (arriba), D (abajo), L (izquierda), R (derecha) y con el siguiente comportamiento: En cada instante t de tiempo, cada partícula se desplaza una dirección según su tipo Un par U, D que coincide en la misma celda se cambia a un par L, R y viceversa Al menos una partícula del mismo tipo pueden ocupar el mismo sitio d) Autómata Celular Lineal Este es uno de los autómatas bidimensionales favoritos de los matemáticos. Cada celda en cada instante x t (i,j) puede adoptar uno de entre k estados: {0, 1,,k-1}. Dada una vecindad N (Moore o von Neumann), la regla de actualización de una celda establece que para cada celda el estado en t+1 se determina como: x ( i, j) = mod k x ( k, l ) N ( i, t+ 1 t ( k, l) j) e) Hormiga de Langton Este surge como una propuesta por Langton. Cada autómata de una rejilla bidimensional puede estar en dos estados que llamaremos blanco y negro. Hay una sola hormiga que inicialmente se ubica en cualquier posición de la rejilla y se puede desplazar en cualquiera de las cuatro direcciones: Norte, Sur, Este, Oeste y parte también con una cierta dirección (pe Norte), evolucionando según las siguientes tres reglas: Si la hormiga está en una celda blanca, entonces actualiza su dirección de movimiento girando 90º en sentido antihorario Si está en una celda negra entonces lo hace girando 90º en sentido horario

9 Cuando se desplaza a la celda contigua lo hace a aquella indicada por la dirección actual de la hormiga y provoca el cambio de la actual de blanca a negra o viceversa. El resultado es un rastro complejo que parece caótico, pero sorprendentemente después de aproximadamente diez mil pasos curiosamente emerge algo Para probarlo puedes visitar la página: f) Autómatas Celulares para Proceso de Imágenes Una de las tantas utilidades de los autómatas celulares se encuentra en el procesado de imágenes. En este ámbito hay problemas muy diversos en los que resulta factible utilizarlos. En todos ellos, la rejilla del autómata se hace coincidir con una imagen discreta bidimensional, haciendo coincidir cada píxel con el estado de una celda. Incluimos a continuación un ejemplo. Autómata celular para filtrado de ruido en imágenes: Sea un autómata con k estados, que se corresponden a k colores o niveles de gris de una imagen (k=2, imagen monocromática, k=16, imagen a 16 niveles o colores, k=256, imagen a 256 niveles o colores, ) y sea # el símbolo correspondiente al estado de inactividad (quiescent state) asociado a las celdas fuera del mosaico. Sea que consideramos vecindad Von Neumann y la función de actualización δ (o transición) del estado de cada celda se define como:

10 Figura 1: a) imagen original, b) imagen con ruido añadido, c) resultado de un filtrado con filtro gaussiano, d) resultado de filtrar con el autómata celular anterior. NOTAS: Para el desarrollo de la práctica se suministra código Matlab ejemplo del Juego de la Vida. Los alumnos son libres de usar lo que crean conveniente para el desarrollo de la práctica propuesta. Asimismo, se recomienda la visita a la página: a efectos de observación de los resultados de ciertos tipos de reglas sobre estructuras bidimensionales. Asimismo, para consultar sobre el tema de Autómatas Celulares en general y el Juego de la Vida en particular se recomienda visitar Mirek's Cellebration : Como aporte al trabajo práctico se valorará el estudio, la prueba y evaluación de otros modelos dinámicos unidimensionales o bidimensionales basados en el uso de autómatas celulares. Un amplio conjunto se puede encontrar en la página Cellular Automata Rules Lexicon situada en Mirek's Cellebration en la url: En la web pueden encontrarse multitud de otras páginas que recogen información sobre modelos dinámicos diversos. Basta hacer una búsqueda con tu buscador favorito usando como palabras clave cellular automata y/o otras claves relacionadas. Los resultados del trabajo práctico deberán exponerse y documentarse convenientemente en la memoria de la práctica. El entregable de la práctica, que incluye memoria y código desarrollado, deberá hacerse llegar al profesor como fecha límite el Miércoles 23 de Abril. Se fijará fecha para realizar la defensa correspondiente.