RECURSOS DIDÁCTICOS: LECTURAS Y ACTIVIDADES

Transcripción

1 Pág. 1 Historia de la trigonometría Breve revisión histórica de la trigonometría. Algunas aplicaciones de la trigonometría en la antigüedad Cuatro artículos interesantes que muestran distintas utilidades de la trigonometría. El tiro con catapulta. Cómo Eratóstenes midió el radio de la tierra. Midiendo distancias. El túnel de Samos. Claudio Tolomeo Breve historia de este matemático y astrónomo griego del siglo II d. de C. Los cuerpos regulares y la astronomía Se puede oír la forma de un tambor La forma de un tambor le confiere un sonido especial. Y los sonidos se pueden describir mediante funciones con muchos senos y cosenos.

2 Pág. 2 HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA Origen de la trigonometría La astronomía de los matemáticos griegos antiguos (Pitágoras y sus primeros seguidores), en los siglos VI, V y IV a. de C., consistió fundamentalmente en descripciones y especulaciones aventuradas sobre los astros. Más adelante, sin embargo, se fue poniendo de manifiesto que era necesario hacer de la astronomía una ciencia más exacta, fundada en mediciones y en una matemática apropiada, que permitiera predecir con precisión los eclipses y los movimientos de los astros, para hacer los calendarios más exactos y la navegación más segura. Así nació la trigonometría con Hiparco, un griego del siglo II a. de C. Los tres matemáticos griegos a quienes más debe la astronomía antigua fueron Hiparco, del siglo II a. de C., Menelao, del siglo I d. de C. y, sobre todo, Tolomeo del siglo II d. de C., con quien la astronomía alcanza una de sus cumbres. Tolomeo escribió un tratado que llamó Syntaxis Mathematica, es decir Colección Matemática, que los matemáticos árabes apreciaron tanto que se referían a él como La Gran Colección (Al Magesto), en griego, Megale Syntaxis. Una gran parte de los teoremas de nuestra actual trigonometría eran perfectamente conocidos y utilizados con destreza por Tolomeo. Desarrollo La trigonometría se ocupa, principalmente, de estudiar la relación entre lados y ángulos de un triángulo, y surgió por razón de las necesidades de la astronomía, la cartografía (construcción de mapas), la artillería,... La trigonometría, que necesitó para su desarrollo de elementos de aritmética (para la configuración de tablas), álgebra (para establecer fórmulas que relacionan ángulos y lados en un triángulo) y geometría, tuvo un florecimiento mucho más tardío que la geometría. Es curioso que la trigonometría esférica, es decir, la que estudia los triángulos de lados curvilíneos que, similares a los de la ilustración, se forman sobre la superficie de la esfera, se desarrollara antes que la trigonometría plana que hoy nos parece mucho más elemental.

3 Pág. 3 Esto se debió al interés práctico más cercano de la esfera para cálculos astronómicos y de navegación. Indios y árabes se dedicaron de forma primordial al estudio de este aspecto y lo llevaron a cabo con notable éxito, de forma sistemática, hacia mediados del siglo XIII. Los protagonistas en Europa La obra de los árabes llego a la Europa Occidental a través de España y, entre los personajes importantes de este proceso, se encuentra Jabir de Sevilla, quien en el siglo XI obtuvo importantes resultados sobre triángulos esféricos. El astrónomo prusiano Johann Müller (Regiomontano) en el siglo XV, fue el primer europeo en sistematizar los conocimientos trigonométricos. Más adelante, con el desarrollo de la aritmética y el álgebra, su obra fue notablemente simplificada. El teorema del coseno para la resolución de triángulos planos fue introducido por Vieta en el siglo XVI. Los logaritmos de Napier (o Neper) empezaron a hacer más fáciles los cálculos de la trigonometría a comienzos del siglo XVII. Se puede considerar que la trigonometría alcanza su punto culminante con la aparición de las series de Fourier, a principios del siglo XIX, con las que la trigonometría se une estrechamente al análisis, proporcionando un instrumento sin precedentes para la exploración de las vibraciones y movimientos periódicos que por todas partes aparecen en la naturaleza.

4 Pág. 4 ALGUNAS APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA EN LA AN- TIGÜEDAD El tiro con catapulta Tales de Mileto aprendió de los egipcios a medir la altura de un árbol de forma similar a como tú lo has aprendido en este tema. No te hace falta subir a su copa y echar una cinta métrica desde arriba; basta medir la longitud de su sombra en el momento en que la altura de una estaca vertical clavada en el suelo es igual a la longitud de su sombra. O de otra forma: basta medir la longitud s de la sombra del árbol cuando la longitud de una estaca vertical es, por ejemplo, 4 veces la longitud de su sombra. La altura del árbol es, entonces, 4s. Un problema interesante con que Tales se encontró al volver a su ciudad de Mileto, en la costa griega, consistía en averiguar la distancia a que está un barco enemigo anclado frente a su costa. Si sabía la distancia, podría adivinar mejor con qué catapulta (la de largo, mediano o corto alcance), podría darle una buena pedrada. Tales debió acordarse de los egipcios y pensó que el problema era muy parecido al de calcular la distancia desde la copa de un árbol al suelo (para el que poseía una receta); era una distancia inaccesible lo que había que medir, pero ahora desde un punto del mar a la costa. Si hubiera un sol debajo del agua que ofreciera una sombra... Fantasías! Pero, qué falta me hace el Sol? pensó. La línea de luz desde el barco a mi ojo también es una línea recta. Y puedo valerme del acantilado, que sé que mide 100 codos de altura sobre el mar. Tales se situó en la cornisa del acantilado y miró al barco. Sacó una vara por la cornisa hasta que su punta coincidió, en la visual, con el barco. Midió la vara (10 codos), midió la altura de sus ojos sobre la vara (5 codos) y se dijo: Eureka! La distancia es de 200 codos. Con mi catapulta de alcance medio... Diana!

5 Pág. 5 Cómo Eratóstenes midió el radio de la Tierra Eratóstenes de Cirene, un griego del siglo III a. de C., calculó por vez primera el radio de la Tierra con una exactitud extraordinaria para los métodos de que disponía. La idea de su cálculo es muy sencilla: si se toman dos puntos, A y S, sobre un mismo meridiano y se puede medir el ángulo α y la distancia l medida sobre el arco AS del meridiano que pasa por los dos puntos, por una sencilla regla de tres: α A l S De este modo: R = l α l α longitud total merididano = = 360 o 360 o 2π Lo difícil, por supuesto, era determinar el ángulo α y la distancia l. Eratóstenes eligió como punto S una ciudad del sur de Egipto llamada antiguamente Siena (la moderna Aswan, donde se ha construido recientemente, un embalse del Nilo). Allí, había un profundo pozo cuyo fondo iluminaba el Sol un mediodía de verano. El punto A era Alejandría, ciudad situada en el mismo meridiano que Siena, el Sol no caía vertical, sino separándose de la plomada un 1 ángulo que valía de la circunferencia. 50 Utilizando probablemente el tiempo de viaje de una caravana o, tal vez, medidores expresamente contratados para ello, determinó que la distancia entre Alejandría y Siena era de estadios, es decir, 926 km. Por tanto el radio de la Tierra debía ser: R = / o = km bastante aproximado a los km que revelan las mediciones más modernas. 2π 2πR 360 o α RAYO DE SOL ALEJANDRÍA SIENA

6 Pág. 6 Midiendo distancias A fin de realizar con precisión mapas topográficos para la construcción de carreteras, túneles, etc... se utiliza, con preferencia, el método de las triangulaciones. Se basa en el hecho de que si en un triángulo se conocen un lado y dos de sus angúlos, o bien dos lados y uno de los ángulos, entonces, se pueden calcular fácilmente los restantes elementos del triángulo. Así, si se quiere calcular la distancia entre dos puntos A y B (por ejemplo los picos inaccesibles de dos montañas), se puede proceder como sigue: A C b x B D En el valle se señalan dos puntos C y D cuya distancia se pueda medir fácilmente con cinta métrica u otro método cómodo. Desde C se miden los ángulos ACD y ACB. Desde D se miden, también, los ángulos ADC y BDC. Ahora como en el triángulo ADC se conocen b, ACD y ADC, se calcula la distancia AC. También, como en el triángulo BCD se conocen b, BCD y BDC, se calcula la distancia BC. Finalmente como en el triángulo ABC tenemos calculados BC y AC y hemos medido el ángulo ACB, se puede calcular x. El método de triangulación fue utilizado por los egipcios, griegos y otros pueblos de la antigüedad, pero midiendo los ángulos de forma muy rudimentaria. El túnel de Samos Una de las construcciones más notables de los griegos antiguos fue el túnel de Samos, en el que, indudablemente, emplearon la triangulación. Samos es la isla más oriental del Mediterráneo. El túnel fue realizado en el siglo VI a. de C. para llevar agua desde las fuentes del monte Castro a la ciudad, situada a la otra ladera del monte; tenía unos dos metros de diámetro, casi un kilómetro de longitud y se excavó partiendo simultáneamente de los dos extremos, lo que suponía una planificación tecnológica sorprendente. Aunque hubo un pequeño fallo de precisión y tuvieron que lograr la unión de los dos túneles con una pequeña curva, la construcción del túnel supuso una verdadera hazaña.

7 Pág. 7 CLAUDIO TOLOMEO De la vida de unos cuantos de los hombres más famosos de la antigüedad no conocemos casi nada. Uno de ellos es Claudio Tolomeo, el más grande de los astrónomos griegos y que, al mismo tiempo, fue un importante matemático y geógrafo. Todo lo que se sabe con certeza de él, es que realizó su obra más importante en Alejandría, en la desembocadura del Nilo, centro cultural de la civilización helenística en el siglo II d. de C. Sin embargo, su obra más importante, Al Magesto, ejerció una influencia preponderante en la astronomía por más de 15 siglos. La astronomía de Tolomeo está fuertemente influida (como la de Apolonio y los griegos más antiguos), por la suma veneración hacia la circunferencia y la esfera, herencia de los pitagóricos. Los movimientos de los astros se explicaban mediante combinaciones de movimientos circulares uniformes y, cuanto mayor era la exactitud de las observaciones, más complicadas se hacían tales combinaciones de movimientos circulares para poder encajar, en ellos, los movimientos reales observados. La habilidad matemática de Tolomeo para lograrlo fue realmente impresionante. Sólo a comienzos del siglo XVII, cuando las observaciones más exactas de Tycho Brahe comenzaron a sugerir a Kepler la conveniencia de buscar otra explicación, introduciendo órbitas elípticas, la cultura occidental comenzó a abandonar, con gran pesar, la explicación a través de movimientos cirlulares de los antiguos. La influencia de la obra geográfica de Tolomeo, Guía de Geografía, también fue muy importante, aunque no tan acertada como la de su astronomía. La confianza de Cristóbal Colón en poder encontrar un nuevo camino hacia las Indias (Asia Oriental), estuvo basada en los cálculos falsos de Tolomeo, según los cuales Asia se prolongaba hacia el este mucho más de lo que en realidad lo hace, con lo que quedaría, según Tolomeo, mucho más cerca saliendo por el oeste. Si Colón hubiera sabido lo lejos que estaba Asia por esta ruta, no se hubiera atrevido nunca a salir allá. Es más, cuando se topó con el continente americano, y por mucho tiempo, nadie pudo persuadirle de que aquello no era Asia.

8 Pág. 8 LOS CUERPOS REGULARES Y LA ASTRONOMÍA La fe de Johannes Kepler Johannes Kepler, nacido en Alemania en 1571 es el descubridor, por caminos extraños, de las tres leyes fundamentales del movimiento de los planetas alrededor del Sol. Un día, en 1594, cuando se disponía a dar una clase en la ciudad austriaca de Graz, se le ocurrió una extraña idea sobre el sistema planetario que se apoderó de él por mucho tiempo. Los planetas conocidos en su tiempo eran 6. Los sólidos regulares posibles, según sabían ya los griegos, eran 5. Kepler estaba fuertemente imbuido de las ideas de Pitágoras. Aquello no podía ser casualidad. Tenía que haber alguna conexión. Construyendo los sólidos regulares del tamaño adecuado se pueden colocar todos concéntricos de tal forma que permitan introducir seis esferas alternativamente inscritas y circunscritas a los sólidos regulares. Aquí estaba la razón profunda de que los planetas fueran 6 y no 15 ó 25! En estas 6 esferas se movían los planetas existentes alrededor del Sol! Además esto permitía estimar las distancias de los planetas al Sol. Es curioso que, a pesar de la falsedad de la hipótesis de principio (hay unos cuantos planetas más de los que Kepler conoció), las distancias calculadas no le resultaron tan disparatadas como uno podría suponer. Más adelante Kepler abandonaría su hipótesis ante la imposibilidad de ajustar mediante círculos la órbita de Marte. Pero lo que no abandonó fue la convicción de que las matemáticas andaban por medio de todo aquello. Esto le llevó a formular sus tres leyes: a) Los planetas recorren elipses, uno de cuyos focos es el Sol. b) Las áreas barridas por el segmento que va del Sol a un mismo planeta en tiempos iguales son iguales. c) El cubo del semieje mayor de la elipse que un planeta cualquiera recorre dividido por el cuadrado del tiempo que este planeta invierte en recorrerla resulta ser un número independiente del planeta que se elija. La fe profunda de Kepler en la inteligibilidad matemática del Universo produjo el milagro del hallazgo de estas tres leyes. Ellas sirvieron a Newton más tarde para convencer al mundo de la validez de su ley de gravitación universal, al deducir matemáticamente las tres leyes de Kepler a partir de su ley sobre la gravedad.

9 Pág. 9 SE PUEDE OÍR LA FORMA DE UN TAMBOR? Éste es el provocativo título de un famoso artículo escrito por un matemático polaco afincado en Estados Unidos, Mark Kac. Los tambores, en general, se hacen con una membrana circular, pero supongamos que, por un capricho, hemos construido uno cuya membrana tiene forma triangular, pentagonal u otra figura más extraña aún. Con sólo oír cómo suena ese tambor, diseñado tan caprichosamente, serémos capaces de decir qué forma tiene exactamente? Sí, y el instrumento matemático adecuado para ello es el análisis armónico. El sonido lleva consigo una cantidad de información verdaderamente asombrosa, que se puede expresar mediante una suma de senos y cosenos. A través de ella la forma del tambor es calculable. Si pensamos un poco en nuestro propio oído, tal vez esto no nos resulte tan asombroso. Nuestro oído es un excelente analizador armónico, aunque no nos proporcione un resultado en forma matemática. Con él, somos capaces de distinguir, en pocos segundos y a pesar de la contaminación y el ruido de nuestro teléfono, una voz conocida, entre miles.