UNIVERSIDAD FEDERAL DE RIO DE JANEIRO COPPE PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRICA

Transcripción

1 UNIVERSIDAD FEDERA DE RIO DE JANEIRO COPPE PROGRAMA DE INGENIERIA EECTRICA CURSO DE EXTENSION ESTABIIDAD EECTROMECANICA DE POTENCIA DE SISTEMAS Prof. Glauco Nery Taranto (Ph.D.) Rio e Janeiro, RJ Noviembre el 003

2 IDENTIFICACION NOMBRE: DIVISION: RAMA: DIRECCION: CEP: CIUDAD: ESTADO: ÁREAS DE INTERES: DESCRIBA BREVEMENTE SU AREA DE TRABAJO AÑO DE GRADUACION: INSTITUCION: Post-Grao AÑO DE INICIO AÑO DE FINAIZACIÓN INSTITUCION: CURSO: TÍTUO DE DISERTACIÓN:

3 EVAUACION PRE-MODUO ESTABIIDAD EETROMECANICA DE SISTEMAS DE POTENCIA. Qué es un sistema Dinámico?. Cuáles son los objetivos e un Estuio e Estabilia Transitoria? 3. Cuáles son los fenómenos transitorios electromecánicos usualmente analizaos en un sistema e potencia? 4. Cuáles son los sistemas e control usuales e un sistema e potencia? 5. Cuál es el principio el fenómeno e auto-excitación e un generaor síncrono? 3

4 EVAUACION POST - MODUO ESTABIIDAD EETROMECANICA DE SISTEMAS DE POTENCIA. Qué es Estabilia transitoria?. Cuáles son los sistemas que más influencias en la estabilia transitoria? 3. Cuáles son las funciones y objetivos e un sistemas e excitación? 4. Cuál es la principal conclusión que se saca el criterio e áreas? 5. Cuál es el fenómeno físico que ocurre en el humeecimiento e las oscilaciones aas por el estabilizaor e potencia? 4

5 EVAAUCION DE MODUO ESTABIIDAD EECTROMECANICA DE SISTEMAS DE POTENCIA MATERIA DIDÁCTICO INSTRUCTOR(ES) ASUNTO AUTO-AVAUACION Contenio Técnico División e los asuntos Calia gráfica Diáctica Conocimiento técnico Interés práctico Carga horaria Actualia Interés por el asunto Aprenizaje urante el curso insuficiente malo 3 regular 4 bueno 5 excelente COMENTARIOS ADICIONAES: 5

6 RESUMEN El curso Estabilia Electromecánica e Sistemas e Potencia, ao en ima, Perú, preparao para una uración e 0 horas, aborano principalmente los siguientes tópicos: Principios básicos el fenómeno e estabilia e sistemas e potencia; Estabilia transitoria o angular (frente a granes perturbaciones); Estabilia e régimen permanente (frente a pequeñas perturbaciones); Conceptos básicos e la estabilia e tensión; Algunos conceptos básicos e funamentales sistemas e control utilizaos en los sistemas e potencia, como por ejemplo la regulación e tensión, e frecuencia, etc. 6

7 AGRADECIMENTOS Al Prof. eonaro T. G. ima, responsable por gran parte el material iáctico e ese curso, y con quien i el curso semejante en Furnias Centrales Eléctricas. A mis alumnos e grauación, maestría y octorao, que a lo largo e los últimos ocho años han sio la muestra e la fuerza que estimula mi carrera acaémica. A Programa e Ingeniería Eléctrica e la COPPE/UFRJ por el incentivo. Al Centro e Investigación e Energía Eléctrica (CEPE), en particular a los investigaores Nelson Martins, Sérgio Gomes e Júlio Cézar Ferraz, y a REIVAX, por las informaciones prestaas y por la sociea en esta empresa en el Perú. 7

8 SUMÁRIO I. SISTEMAS DINAMICOS... Error! Bookmark not efine. II. INTRODUCCION A ESTABIIDAD DE SISTEMAS DE POTENCIA... II- II.. II.. Conceptos Básicos y Definiciones... II- Clasificación e Estabilia e Sistemas e Potencia... II-3 III. ESTABIIDAD TRANSITORIA... III- III. III. III.3 III.4 III.5 Una Visión Elemental e Estabilia Transitoria... III- Respuesta a un paso e Potencia Mecánica... III- Criterio e áreas Iguales... III-3 Respuesta a un corto circuito... III-4 Factores que influyen en la estabilia transitoria... III-7 IV. MODEOS DE MÁQUINAS...IV- IV. IV. IV.3 IV.4 Circuitos Acoplaos Magnéticamente...IV- Conversión Electromecánica e Energía...IV-4 Enrolamiento e la Máquina CA y Fuerza Magnetomotriz...IV-7 Máquina Síncrona...IV- IV.4.. Circuitos Equivalentes... IV-5 IV.4.. Parámetros e la Máquina Síncrona... IV-6 IV.4.3. Moelo e la Máquina Síncrona para Estuios e Estabilia... IV-8 IV.5 IV.6 Moelo Alternativo para a Máquina Síncrona...IV-8 Ecuaciones Mecánicas...IV- V. MODEOS DE REGUADORES DE TENSION... V- VI. ACOPAMIENTO DE MODEOS...VI- VI. VI. VI.3 VI.4 Estructura e Moelos Completos e Sistemas e Potencia para Análisis e Estabilia Transitoria...VI- Representación e la Máquina Síncrona y e su Sistema e Excitación...VI- Representación e Sistemas e Transmisión y e Cargas...VI- Ecuaciones Completas e Sistema...VI-3 VII. SIMUACION DE SISTEMAS... VII- VII. Integración Numérica... VII- VII... Presición... Error! Bookmark not efine. VII... Estabilia... VII-3 VII..3. Rigiez... VII-3 VII. Métoos e Integración Numérica... VII-4 8

9 VII... Métoo e Euler... VII-4 VII... Métoo e Euler Reverso... VII-6 VII..3. Métoo e Euler Moificao... VII-6 VII..4. Métoo Trapezoial... VII-7 VII..5. Métoo e Runge-Kutta... VII-9 VIII. NOCIONES DE CONTRO... VIII- VIII. Malla Abierta y Malla cerraa... VIII- VIII... Sistema e Malla abierta... VIII- VIII... Sistema e Malla cerraa... VIII- VIII. Cuáles son los efectos e la realimentación?... VIII- VIII... Cambio en Ganancia el Sistema... VIII- VIII... Efectos sobre la Estabilia... VIII- VIII..3. Rechazo e Ruios y Perturbaciones... VIII- VIII..4. Sensibilia en Variaciones en los Parámetros... VIII- VIII.3 Clasificación e Sistemas Físicos... VIII- VIII.3.. Sistemas continuos y sistemas iscretos... VIII- VIII.3.. Número e entraas y e salias... VIII- VIII.3.3. Sistemas eterminísticos y sistemas estocásticos... VIII- VIII.3.4. Sistemas instantáneos y sistemas inámicos... VIII- VIII.3.5. Sistemas causales y sistemas no-causales... VIII-3 VIII.3.6. Sistemas relajaos y sistemas no-relajaos... VIII-3 VIII.3.7. Sistemas invariantes en tiempo y sistemas variantes en tiempo... VIII-3 VIII.3.8. Sistemas lineales y sistemas no-lineales... VIII-4 VIII.3.9. Sistemas e parámetros concentraos y istribuios... VIII-4 VIII.4 Control en Sistemas e Energía Eléctrica... VIII-4 VIII.4.. Regulación e Tensión... VIII-4 VIII.4.. Amortiguamiento e Oscilaciones Electromecánicas... VIII-4 VIII.4.3. Control e Carga-Frecuencia... VIII-5 VIII Introucción... VIII-5 VIII Conceptos Básicos... VIII-5 VIII Regulación Primaria... VIII-6 VIII Regulaor Asíncrono... VIII-7 VIII Regulaor con caía e Velocia... VIII-8 VIII Regulación Secunaria... VIII- VIII.4.4. Resonancia Sub-Síncrona... VIII-3 9

10 IX. VIII.4.5. Moulación e Sistemas CCAT... VIII-4 VIII.4.6. Control e Equipamientos FACTS... VIII-4 VIII.4.7. Control Coorenao e Tensión... VIII-4 VIII Niveles jerárquicos... VIII-5 VIII Beneficios e una Coorinación e Potencia Reactiva... VIII-6 INTRODUCCION A ESTABIIDAD PARA PEQUENAS PERTURBACIONES...IX- IX. IX. IX.3 IX.4 IX.5 Moelo Dinámico e Sistema...IX- Punto e Equilibrio...IX- inealización...ix- Ecuación e Estao e un Sistema e Potencia...IX-3 Moelo Clásico el Generaor...IX-4 X. ESTABIIDAD DE TENSIÓN... X- XI. X. Conceptos Básicos y Definiciones... X- X. Análisis Estático... X- X.3 Estabilia e tensión en pequeña perturbación... X- X.4 Estabilia transitoria e tensión en grane perturbación... X- X.5 Estabilia e Meiano a argo Plazo... X- X.5.. Estabilia e tensión e meiano plazo... X- X.5.. Estabilia e tensión e largo plazo... X- X.6 ímite e Capacia e Generación e Potencia Reactiva... X-3 X.6.. ímite a Corriente e Armaura... X-4 X.6.. ímite a Corriente e Campo... X-4 X.6.3. ímite por calentamiento en extremia e armaura... X-5 AUTO EXCITACION...XI- XII. REFERENCIAS... XII- XIII. APENDICE... XIII- XIII. Ejemplo e Inestabilia e Tensión en la Interconexión Norte-Sur... XIII- 0

11 I. SISTEMAS DINAMICOS a Figura representa un sistema mecánico a ser moelao, compuesto e una masa que está conectaa a un accesorio referencial a través e un resorte y e un amortiguaor. K M f B x(t) Figura. Sistema Masa-Resorte De acuero con la seguna ley e Newton, las siguientes relaciones son válias: M x f t Kx B x B x t t M x K M x M f t b g b g (I.) a inercia el sistema mecánico, asociaa a la masa en caso e movimiento e traslación, marcas con las que la posición el objeto no puee variar instantáneamente. Para expresar matemáticamente esta característica, se torna necesario el uso e ecuaciones iferenciales y, por tanto, la posición el cuerpo pasa a ser una función e tiempo que atiene a la ecuación (I.). a Figura representa un circuito RC en serie, en el que la tensión el capacitor es la variable e interés. R u C y Figura. Circuito RC Serie Para este circuito puee escribirse que R i Ri y u t S i C y t T C y t RC y t y u (I.) resultano una ecuación iferencial con la misma forma e la ecuación general (I.). En el caso el circuito eléctrico, la corriente sobre el inuctor no puee variar instantáneamente, así como la tensión sobre el capacitor. Son estas características que hacen con que el moelo matemático el sistema sea una ecuación iferencial. a Figura 3 presenta os gráficos e soluciones típicas e las ecuaciones (I.) o (I.), epenieno el valor e los parámetros M, B y K o, R y C, respectivamente. I-

12 resposta ao egrau UNIVERSIDADE FEDERA DO RIO DE JANEIRO tempo (s) Figura 3. Respuesta al Escalón el Sistema e º Oren a Figura 3.a muestra iversos fenómenos inámicos que aparecen en sistemas e potencia y sus respectivas constantes e tiempo. Descargas Atmosféricas Chaveamentos Ress. Subsíncrona Est. Trans./Dinâmica Din. ongo Prazo CAG Demana 0e-7 0e-6 0e-5 0e-4 0e-3 0e e3 0e-4 0e-5 (segunos) grau (60Hz) ciclo minuto Figura 3.a. Fenómenos Dinámicos en Sistemas e Potencia I-

13 II. INTRODUCCION A A ESTABIIDAD DE SISTEMAS DE POTENCIA II.. Conceptos Básicos y Definiciones a estabilia e un sistema es una conición e equilibrio entre fuerzas opuestas. mecanismo en el cual máquinas sincronías interconectaas mantienen el sincronismo en relación unas a otras, es a través e fuerzas restauraoras que aparecen siempre cuano existen fuerzas que tienen a acelerar o esacelerar una o más máquinas con respecto a las otras máquinas. En el estao e régimen permanente, existe un equilibrio entre el torque mecánico motriz y el torque e carga eléctrica en caa máquina, hacieno con que la velocia el rotor permanezca constante. Si el sistema es perturbao, este equilibrio es eshecho, resultano en aceleración o esaceleración e los rotores e las máquinas que son regias por las leyes el movimiento rotacional e un cuerpo. Si un generaor temporariamente se acelerar en relación a otro generaor, la posición angular e su rotor en relación al rotor e la máquina más lenta avanzará. Esta iferencia angular hace con que parte e la carga el generaor más lento se transfiera para el generaor más rápio, epenieno e la curva Potencia-Ángulo. Este fenómeno tiene a reucir la iferencia e velocia, e por consiguiente la iferencia angular, entre los os generaores. a relación Potencia-Ángulo es no lineal y, espués e un cierto límite, un aumento en la separación angular es acompañao con una isminución e la potencia transferia; esto hace aumentar aún más la separación angular entre las máquinas aumentano el fenómeno e la inestabilia, o péria e sincronismo. En cualquier situación, la estabilia el sistema la estabilia el sistema epenerá e la existencia e suficientes torques restauraores espués e una perturbación. Cuano una máquina síncrona piere e sincronismo el resto el sistema, su rotor gira en una velocia mayor o menor que necesita para generar tensiones en la frecuencia nominal o sistema. El eslizamiento entre el campo el estator, que correspone a la frecuencia el sistema, y el campo el rotor, resulta en granes fluctuaciones en la potencia e salia e la máquina, en las corrientes y tensiones, esto hace con que el sistema e protección aísle la máquina el resto el sistema. a péria e sincronismo puee ocurrir entre un generaor y o el resto el sistema, o entre grupos e generaores. En este último caso, el sincronismo porá ser mantenio en los sistemas aislaos. En sistemas e potencia, el cambio el torque eléctrico e una máquina síncrona espués e una pequeña perturbación puee ser escompuesta en os componentes: Te KS KD (I.3) one K S (= T S ) es una componente e variación e torque en fase con la perturbación el ángulo el rotor y es referia como componente e torque sincronizante; K S es el coeficiente el torque sincronizante. Ya la parte K D (= T D ) es la componente e la variación el torque en fase con la perturbación e la velocia y es referia como componente e torque e amortiguamiento; K D es el coeficiente e torque e amortiguamiento. a estabilia el sistema epene e la existencia e las os componentes e torque para caa máquina síncrona. a insuficiencia el torque e sincronismo resulta una inestabilia aperióica el ángulo el rotor. Por otro lao, la insuficiencia el torque e amortiguamiento, resulta una instabilia oscilatoria el ángulo el rotor. II-

14 Para facilia el entenimiento el fenómeno e la estabilia angular en sistemas e potencia, es usual la clasificación el fenómeno en las siguientes os categorías: (a)estabilia frente a pequeñas perturbaciones es la habilia el sistema e mantenerse en sincronismo frente a pequeñas perturbaciones. Estas perturbaciones ocurren continuamente en el sistema ebio a pequeñas variaciones e carga y generación. Una perturbación es consieraa suficientemente pequeña si no tenrá consierable péria e precisión cuano se analiza el fenómeno a través e un moelo linealizao. a inestabilia resultante puee ser e os formas: (i) aumento monotónico (aperióico) en el ángulo el rotor ebio a insuficiencia el torque sincronizante, o (ii) e las oscilaciones angulares e la amplitues crecientes ebio a la insuficiencia el torque e amortiguamiento. a naturaleza e la respuesta el sistema ebio a una pequeña perturbación epene e un número e factores one se incluyen, entre otros, la conición inicial el sistema, el sistema e transmisión y el tipo e los sistemas e excitación utilizaos. Para un generaor sin sistema e excitación conectao raialmente a un gran sistema e potencia, la acontece una inestabilia ebio a la insuficiencia e torque e sincronismo. Que hace que el sistema piera la estabilia aperioicamente. En el caso en que el generaor posee un sistema e excitación, el que acontece en general, es una peria e sincronismo oscilatoria ebio a la insuficiencia e torque e amortiguamiento. a Figura 4 ilustra la naturaleza el fenómeno e instabilia relacionaa a los torques e sincronismo y e amortiguamiento. Estable T 0 T D T S D 0 tempo T S T D Inestable aperióico T 0 T S D 0 T S tempo II-

15 Inestable oscilatorio T 0 T S D 0 T S tempo T D Figura 4. Respuesta Dinámica espués e Pequeñas Perturbaciones En los sistemas e potencia actuales, la estabilia frente a pequeñas perturbaciones, está casi siempre relacionaa con la insuficiencia e amortiguamiento e oscilaciones. a estabilia e los siguientes moos e oscilaciones es evaluaa: Moos locales son asociaos a las oscilaciones entre las uniaes generaoras y el resto el sistema. En ese caso las uniaes generaoras e una planta e generación oscilan coherentemente contra el sistema. Moos intraplanta con asociaos a las oscilaciones entre las uniaes generaoras e una misma planta e generación. Moos entre áreas son asociaos a las oscilaciones entre grupos e generaores e una parte el sistema contra otro grupo e generaores en otra parte el sistema. En general, aparecen cuano os áreas son conectaas por intermeio e un sistema e transmisión e alta impeancia. Moos e control son asociaos a las oscilaciones causaas por los controles e los sistemas e excitación, regulaores e velocia, conversores CA/CC, etc. Moos torsionales son asociaos con los componentes rotacionales e los ejes e la turbina y el generaor. a instabilia e los moos torsionales puee ser causaa por la interacción con los sistemas e excitación, controles e sistemas CCAT, y líneas e transmisión con compensación serie. (b) Estabilia frente a granes perturbaciones (estabilia transitoria) es la habilia e un sistema e potencia mantenerse en sincronismo cuano sujeto a una gran perturbación, como un corto-circuito trifásico y una péria e un tronco e transmisión. a respuesta el sistema, en estos casos, envuelve granes excursiones e los ángulos e los rotores, sieno entonces altamente influios por la relación no lineal e la potencia eléctrica con el ángulo el rotor. a estabilia va a epener el punto inicial e operación y e la naturaleza y uración e la perturbación. II.. Clasificación e la Estabilia e Sistemas e Potencia A pesar e la estabilia en sistemas e potencia se un problema único, no es conveniente o incluso factible estuiarlo e forma única. Varias formas e estabilia acontecen en un sistema e potencia, one son influias por varios factores iferentes. E estuio e los problemas e estabilia, la ientificación e los factores esenciales que influyen en la inestabilia el sistema y la formación e métoos que mejoran la seguria e la operación, son mejor entenias si las iversas formas e estabilia fueran clasificaas en iferentes categorías. Esas son basaas en las siguientes consieraciones: a naturaleza física e la inestabilia. Tamaño e la perturbación consieraa. II-3

16 os equipamientos, los procesos y el ominio el tiempo que eben ser consieraos e forma para eterminar la estabilia. Métoo más apropiao para el cálculo o previsión e la estabilia. a Figura 5 muestra el cuaro general el problema e estabilia en sistemas e potencia, ientificano sus clases y sub-clases en términos e las categorías previamente mencionaas. ESTABIIDADE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA Capaciae e permanecer em equilíbrio operativo Equilíbrio entre forças em oposição ESTABIIDADE ANGUAR ESTABIIDADE DE TENSÃO Capaciae e manter sincronismo Equilíbrio e torques nas máquinas síncronas Capaciae e manter perfil e tensão aceitável em regime permanente Balanço e potência reativa ESTABIIDADE A PEQUENAS PERTURBAÇÕES ESTABIIDADE TRANSITÓRIA ESTABIIDADE MID-TERM ESTABIIDADE ONG-TERM GRANDES PERTURBAÇÕES PEQUENAS PERTURBAÇÕES Métoos ineares INSTABIIDADE APERIÓDICA Granes perturbações Primeiro swing Estuos até 0 s INSTABIIDADE OSCIATÓRIA Perturbações severas Granes excursões e tensão e freqüência Dinâmica rápia e lenta Períoo e estuo e vários minutos Freqüência o sistema constante e uniforme Dinâmica lenta Períoo e estuo e ezenas e minutos Granes perturbações Eventos chaveaos Dinâmica e OTC e cargas Coorenação e proteção e controles Relações PxV e QxV em regime permanente Margem e estabiliae Reserva e reativo Ponto e Colapso Métoos ineares Torque e sincronismo insuficiente Torque e amortecimento insuficiente Ação e controle esestabilizante MODOS OCAIS MODOS INTER-ÁREAS MODOS DE CONTROE MODOS TORSIONAIS Figura 5. Clasificación e Estabilia en Sistemas e Potencia II-4

17 III. ESTABIIDAD TRANSITORIA Estabilia transitoria es la habilia el sistema e potencia mantener su sincronismo espués e sufrir una gran perturbación, como por ejemplo, u corto circuito, péria e generación, o péria e una gran carga. a respuesta el sistema para tales perturbaciones envuelve granes variaciones e los ángulos e los rotores e los generaores, flujos e potencia, valor e las tensiones, y otras variables. a estabilia frente a granes perturbaciones es influia por las características no lineales e los sistemas e potencia. a péria e sincronismo ebio a la inestabilia transitoria es usualmente percibia en los primeros segunos espués el isturbio. III. Una Visión Elemental e la Estabilia Transitoria Consiere el sistema mostrao en la Figura 6. Está compuesto e un generaor conectao a un gran sistema, representao por una barra infinita, a través e un transformaor elevaor y os líneas e transmisión. E t Xtr X E B Figura 6. Sistema Máquina x Barra Infinita Presentaremos conceptos funamentales y principios e estabilia transitoria a través e un análisis simple envolvieno moelos simplificaos. as resistencias son espreciaas, el generaor es representao por un moelo clásico y la actuación el regulaor e velocia también es espreciaa. El circuito equivalente es mostrao en la Figura 7. a tensión tras la reactancia transitoria (X ) es representaa por E. El ángulo representa el ángulo e la tensión E en relación al ángulo e la tensión e la barra infinita E b tomaa como referencia. a reactancia X T representa la reactancia equivalente entre la tensión interna el generaor E y la tensión e la barra infinita E b. Cuano el sistema es perturbao, la magnitu e E permanece inalteraa y se altera ebio la variación e la velocia el rotor el generaor en relación a la velocia síncrona 0. X T X P e E' E B 0 Figura 7. Circuito Equivalente Reucio el Sistema Máquina x Barra Infinita Recuérese que la potencia eléctrica activa entregaa por un generaor es aa por la Ecuación (II.). E Eb Pe sin Pmax sin (II.) X T III-

18 P UNIVERSIDADE FEDERA DO RIO DE JANEIRO Como la resistencia el estator fue espreciaa, P e representa no solo la potencia activa en el entre-hierro, así como, la potencia terminal el generaor. a curva Potencia-Ángulo con las os líneas en servicio es representaa en la Figura 8 como Curva. a potencia eléctrica P e generaa, en régimen permanente, se iguala la potencia mecánica P m entregaa al generaor, este punto e operación es representao por el punto a en la Curva. El ángulo corresponiente es a Pe com ambas T's em serviço Pm a b Pe com T # fora e serviço 0 a b (graus) Figura 8. Relación Potencia Ángulo el Sistema Máquina x Barra Infinita Si una e las líneas está fuera e servicio, la reactancia e transferencia X T es mayor. a curva Potencia-Ángulo con una e las líneas fuera e servicio es representaa en la Figura 8 como Curva. En este caso, la máxima potencia a ser transferia es menor. Con la misma potencia mecánica P m entrega al generaor, el ángulo ahora es b, que correspone al punto b en la Curva. Con una reactancia e transferencia mayor, el ángulo ebe ser mayor e forma que la misma potencia eléctrica puea ser transmitia. III. Respuesta a un Escalón e Potencia Mecánica Vamos a analizar el comportamiento transitorio el sistema, con las os líneas en servicio, cuano la potencia mecánica entregaa al generaor sufre una variación en escalón e un valor inicial P m0 a un valor final P m como se muestra en la Figura 9. III-

19 P UNIVERSIDADE FEDERA DO RIO DE JANEIRO Área A c Área A Pm b Pm0 a 0 m (graus) Figura 9. Respuesta al Escalón e Potencia Mecánica Debio a la inercia el rotor, el ángulo no puee variar instantáneamente el valor inicial 0 para, corresponieno al nuevo punto e equilibrio b one P e = P m. a potencia mecánica es mayor que la potencia eléctrica, lo que hace que el rotor comience a acelerar e forma que alcance el punto e equilibrio b, trazano la curva P e -. a iferencia entre P m e P e en cualquier instante representa la potencia acelerante. Cuano el punto b es alcanzao, la potencia acelerante es cero, sin embargo la velocia el rotor es mayor que la velocia síncrona 0. De esta forma, el ángulo el rotor continua en aumento. Para valores e mayores que, P e es mayor que P m, entonces, el rotor esacelera hasta que un ángulo máximo m sea alcanzao y el rotor este nuevamente en la velocia síncrona, sin embargo P e es ahora mayor que P m. El rotor continúa la esaceleración a una velocia abajo e la velocia síncrona; el punto e operación retrasa a la curva P e - e c para b y e vuelta para a. El ángulo el rotor, entonces oscila inefiniamente alreeor el nuevo punto e equilibrio. En la practica, existen varias fuentes e amortiguamiento positivo en el sistema (enrollamientos e amortiguamiento, señales aicionales estabilizantes, etc.), que hacen con las que estas oscilaciones se amortiguan alcanzano el punto e equilibrio b. III.3 Criterio e las Áreas Iguales Para el moelo en cuestión, no es necesario resolver explicitamente la ecuación e oscilación (II.) para que se etermine si el ángulo el rotor aumenta inefiniamente u oscila alreor e un punto e equilibrio. 0 t H P P b m eg (II.) Informaciones relacionaas a la excursión máxima el ángulo ( m ) y al límite e estabilia poen ser obtenias gráficamente por la curva Potencia-Ángulo. A pesar e este métoo no es aplicao al caso multimáquinas con moelos etallaos e los generaores, esto ayua a entener conceptos básicos que influyen en la estabilia transitoria e cualquier sistema. En (II.) P e es una función no lineal e, y entonces (II.) no puee ser explícitamente solucionaa. Si ambos laos fueran multiplicaos por, e integrano se llega a: t III-3

20 NM O QP z 0bPm Pe g (II.3) t H Para una operación estable, el esvio e la velocia /t ebe ser limitao, alcanzano un valor máximo (punto c en la Figura 9) y entonces, cambiano e irección. Para eso la variación e la velocia /t se torna cero espués e algún tiempo espués el isturbio. De la Ecuación (II.3) se puee quitar el siguiente criterio e estabilia. z m 0bPm Pe g 0 (II.4) 0 H one 0 es el ángulo inicial el rotor y m es el ángulo máximo el rotor, conforme mostrao en la Figura 9. Entonces, el área abajo e la función P m -P e ebe ser cero si el sistema fuera estable. En la Figura 9, esta conición es satisfecha cuano el área A es igual al área A. Cuano el ángulo pasa e 0 para, la energía mecánica es transferia para el rotor en la forma e energía cinética, haciénolo acelerar. Esta energía es calculaa por z b m eg área A (II.5) 0 E P P a energía peria urante la esaceleración cuano pasa e para m es z b e mg área A (II.6) m E P P Como toas las périas fueron ignoraas, la energía e ganancia es igual a la energía peria, entonces el área A es igual al área A. Este hecho forma la base el criterio e las áreas iguales. Este criterio nos permite calcular el máximo ángulo para que la estabilia se mantenga, sin que sea necesario una solución explícita a la ecuación e oscilación. El criterio también puee ser utilizao para eterminar el máximo aumento posible e la potencia mecánica P m. a estabilia es mantenia solamente se existe una área A por lo menos igual al área A localizaa arriba e P m. Si A es mayor que A, la estabilia será peria, pues m > ( = 80 - ). Eso se ebe al hecho e que para que P e e el torque líquio es acelerante al contrario e esacelerante. III.4 Respuesta a un corto-circuito >, P m es mayor Vamos a consierar la respuesta el sistema para un corto-circuito trifásico localizao en el punto F, conforme mostrao en la Figura 0.(a). El circuito equivalente, cuano asumieno un moelo clásico para el generaor, es mostrao en la Figura 0.(b). El corto es eliminao por la abertura e los isyuntores localizaos en las extremiaes el circuito en corto. E t Xtr X E B F X X (a). Diagrama Unifilar III-4

21 P UNIVERSIDADE FEDERA DO RIO DE JANEIRO X' X tr X F E' X X E B 0 (b). Circuito Equivalente Figura 0. Sistema Máquina x Barra Infinita con Corto Circuito en la ínea Si la localización e la falla F por una barra e alta tensión el generaor, ninguna potencia es transmitia para la barra infinita. a corriente el corto-circuito fluye el generaor para la falla a través e las reactancias. Entonces, luego que la potencia reactiva fluye en el sistema, hacieno con que la potencia activa P e y el torque eléctrico corresponiente T e iferente a cero en el entrehierro urante la falla. Si la localización e la falla F para una cierta istancia e la barra e alta tensión, conforme mostrao en las Figuras 0.(a) y 0.(b), alguna potencia activa es transmitia para la barra infinita urante la falla. as Figuras.(a) y.(b) muestran la curva P e x para tres coniciones e la re: (i) pré-falla con os circuitos en servicio; (ii) (iii) con una falla trifásica en el circuito localizaa a una cierta istancia e la barra e alta tensión; post-falla con el circuito fuera e servicio Pe com T # fora e serviço Pe com ambas T's em serviço 0.8 Pm a f e Pe urante a falta c b 0 c (graus) m (a). Sistema Estable III-5

22 P UNIVERSIDADE FEDERA DO RIO DE JANEIRO.6.4. Pe com T # fora e serviço Pe com ambas T's em serviço 0.8 Pm a e Pe urante a falta c b 0 c (graus) (b). Sistema Inestable Figura. Relación P e x para Sistema Máquina x Barra Infinita con Corto Circuito Vamos a examinar el caso estable e la Figura.(a) (i) sistema está operano con los os circuitos en servicio con P e = P m y = 0. (ii) Ocurre el corto circuito, alterano el punto e operación instantáneamente e a para b. (iii) Debio a la inercia el rotor, el ángulo no cambia instantáneamente. Como ahora P m es mayor que P e, el rotor acelera, hacieno que el ángulo aumente hasta que el efecto es eliminao por el aislamiento el circuito el sistema. (iv) En ese instante, el ángulo es ao por c (punto c). Con la eliminación e la falla, el punto e operación cambia instantáneamente para el punto y P e pasa a ser mayor que P m. (v) El rotor pasa a esacelerar, pero, como la velocia es mayor que la velocia síncrona, el ángulo continúa a aumentar, hasta que toa la energía cinética almacenaa en el rotor (área A ) sea suministraa e vuelta para el sistema. En este perioo, el punto e operación se mueve e para e, one el área A es igual al área A. (vi) En el punto e, la velocia es igual a la velocia síncrona y el ángulo alcanza su valor máximo m. Como P e aun es mayor que P m, una potencia esacelerante continúa aplicaa sobre el rotor, hacieno que la velocia ecrezca, tornánose menor que la velocia síncrona. (vii) Angulo comienza, entonces, a ecrecer, rehacieno el camino el punto e para el punto e la Figura.(a). En la ausencia e cualquier fuente e amortización, el rotor continua oscilano inefiniamente con constante e amplitu. En los sistemas reales, siempre existe algún amortiguamiento e forma que el sistema tenerá un nuevo punto e equilibrio. Con un tiempo e eliminación el efecto más largo, conforme mostrao e la Figura.(a), el área A arriba e P m es menor que el área A. Cuano el punto e operación alcance el III-6

23 punto e, la energía cinética gana urante el períoo e aceleración aun no fue totalmente repasaa para el sistema e, consecuentemente, la velocia aun es mayor que la velocia sincrónica, hacieno que el ángulo continué al aumentano. Aemás el punto e, P e es menor que P m, y el rotor comienza a acelerar nuevamente. a velocia y el ángulo el rotor continúan al aumentar, llevano al sistema a la peria e sincronismo. III.5 Factores que influyen en la estabilia transitoria De las iscusiones presentaas en las secciones anteriores, poemos concluir que la estabilia transitoria es epeniente e los siguientes factores: Cuan cargao están los generaores. a potencia entregaa por el generaor urante la falla. Esto epene e localización e la falla y el tipo e falla. El tiempo e eliminación e la falla. a reactancia el sistema e transmisión post-falla. a reactancia el generaor. Una reactancia baja, aumenta la potencia máxima transmitia y reuce el ángulo inicial. a inercia el generaor. Cuanto mayor sea la inercia, menor es la variación el ángulo. Esto hace reucir la energía cinética urante la falla, esto es, el área A es reucia. a magnitu e la tensión interna (E') el generaor. Esto epene el sistema e excitación. a magnitu e la tensión e la barra infinita (E b ). III-7

24 IV. MODEOS DE MÁQUINAS IV. Circuitos Acoplaos Magnéticamente Circuitos eléctricos acoplaos magnéticamente constituyen la base e la operación e transformaores y máquinas eléctricas. En el caso e los transformaores, estos circuitos estacionarios son acoplaos magnéticamente para cambio e niveles e tensión y corriente. En el caso e las máquinas eléctricas, el acoplamiento magnético ocurre entre circuitos que si pusieron en movimiento en relación unos a los otros, al tener como objetivo la transferencia e energía entre los sistemas mecánicos y eléctricos. a figura representa os circuitos eléctricos estacionarios acoplaos magnéticamente. os circuitos son compuestos por enrollamientos con N y N espiras, respectivamente, enrollaas en un núcleo común e material ferromagnético, i. e., un material cuya permeabilia magnética es mucho mayor que el el aire ( 0 = H/m). m R R l l m Figura. Circuitos Eléctricos Acoplaos Magnéticamente El flujo magnético que alcanza caa bobina puee ser escrito, aproximaamente, como m m m m (III.) Done el flujo e ispersión es proucio por la corriente circulano por el enrollamiento y enlaza solo las espiras el enrollamiento. De la misma manera, el flujo e ispersión es proucio por la corriente el enrollamiento y enlaza solo las espiras el enrollamiento. Ya el fluyo e magnetización m es proucio por la corriente el enrollamiento y enlaza toas las espiras e los enrollamientos y. El flujo e magnetización m es proucio por la corriente el enrollamiento y enlaza toas las espiras e los enrollamientos y. os flujos e magnetización proucios por caa uno e los enrollamientos pueen estar en el mismo sentio o en sentios opuestos, conforme la irección e las corrientes. Si ellos estuvieran en el mismo sentio, el flujo magnético total en el núcleo será la suma e los flujos e magnetización proucios por caa enrollamiento. Por otro lao, si los sentios fuesen opuestos, el flujo magnético total será la iferencia entre los flujos e magnetización. En este caso, se ice que un e los enrollamientos está magnetizano el núcleo y el otro estará, por tanto, esmagnetizano. El enlace e flujo e un enrollamiento efinio como IV-

25 N (III.) y, utilizánose la teoría e circuitos magnéticos [4,, ], se puee escribir el flujo magnético en función e la corriente el enrollamiento y e la geometría el problema: Ni R (III.3) one N.i es la fuerza magnetomotriz el enrollamiento y R es la reluctancia el circuito magnético, efinia como l R (III.4) A one l es la longitu meio el camino magnético, A es el área transversal y es la permeabilia magnética el meio. Utilizano las relaciones (III.3) y (III.4), los flujos magnéticos mostraos en la Figura y escritos por al ecuación (III.) pueen ser expresaos como N i N i N i R Rm Rm (III.5) N i N i N i R R R one R y R son las reluctancias asociaas a los flujos e ispersión e los enrollamientos y, respectivamente, y R m es la reluctancia asociaa a los flujos e magnetización, sieno común a los os enrollamientos. os enlaces el flujo e los enrollamientos será ao, por tanto, por N R i N R i N N R i m m (III.6) N R i N R i N N R i m m a inuctancia e un circuito es efinia como la relación entre el enlace e flujo y la corriente. Para el sistema magnético e la Figura, se puee escribir que N N m R R N R m N R m N N R m m m m (III.7) one y son las inuctancias e ispersión y m y m son las inuctancias e magnetización e los enrollamientos y, respectivamente. as inuctancias e magnetización y las inuctancias mutuas y epenen e la reluctancia R m y las siguientes relaciones son válias: m m N N (III.8) N N N N m m IV-

26 Utilizano estas expresiones para las inuctancias, los enlaces el flujo pueen ser escritos como i i O O NM QP NM QP N M i O Q P i (III.9) i i i Consierano toa la resistencia el enrollamiento concentraa en un único elemento, se puee escribir, para caa enrollamiento, que v r i e r i (III.0) t o, matricialmente, para toos los enrollamientos el sistema v r i (III.) t a ecuación (III.) será utilizaa para el moelamiento e la máquina síncrona y, en general, las ecuaciones son escritas refiriénose a las variable a una misma base o en el sistema por unia (p.u.). De esta forma, se puee hacer que la inuctancia e magnetización e los enrollamientos tenga el mismo valor. Esta ecuación, con too, solo es vália para sistemas magnéticos lineales. En el caso e los equipamientos eléctricos (transformaores y máquinas), es usual a la existencia e saturación magnética y e la histéresis (equipamientos en CA), efectos nítiamente no-lineales. En la practica, los moelos para estos equipamientos son obtenios a partir e la ecuación (III.) y corregios, cuano necesario, para consierar los efectos e las no-linealiaes. a simulación computacional e este sistema puee ser realizaa por la integración numérica e la ecuación (III.), consieránose que las corrientes y los enlaces e flujo son relacionaos por la ecuación (III.9). Consieránose las ecuaciones en p.u., se puee escribir que R i R S T S b mg i m (III.) i m i b mg one m m m m m F HG m T b g O NM b g b g QP I m KJ i i El efecto e la saturación magnética puee ser incorporaa al problema si la característica e magnetización (curva e magnetización) fuera conocia. Esta puee ser obtenia a partir e ensayo en el vacío el equipamiento, one se esconsiera si la caía e la e tensión en la resistencia el enrollamiento y, por tanto, la tensión aplicaa es proporcional a la variación el enlace el flujo. a Figura 3 presenta una curva e magnetización típica. IV-3

27 m m (i +i ) i +i Figura 3. Curva e Magnetización Típica Por hipótesis, se consiera que el flujo magnético e ispersión cierra su camino magnético solo por el aire y, por tanto, no está sujeto a la saturación el material magnético. De esta forma, la saturación magnética afecta sólo en enlace el flujo mutuo m. En la región nosaturaa, la inclinación e la curva m x i es aa por m. Para valores elevaos e corriente, la curva e magnetización se aleja e la característica no-saturaa y, así, se puee escribir que i i f m m m i b g b g (III.3) one f( m) puee ser eterminaa a partir e la curva e magnetización mostraa en la Figura 3. IV. Conversión Electromecánica e Energía En general, los equipamientos utilizaos para la conversión e energía mecánica en energía eléctrica (generaores) y para la conversión e energía eléctrica en energía mecánica (motores) utilizan un campo magnético como meio común e interacción entre los sistemas mecánico y eléctrico. a figura 4 presenta un iagrama e bloques simplificao e este tipo e arreglo, one la energía puee fluir en cualquier irección. SISTEMA EÉTRICO CAMPO MAGNÉTICO DE ACOPAMENTO SISTEMA MECÂNICO Figura 4. Diagrama e Bloques e un Sistema e Conversión Electromecánica e energía En general, hay périas e energía tanto en el sistema mecánico como en los sistemas eléctricos y magnéticos. as principales périas serán ebias al roce (sistema mecánico), efecto Joule (sistema eléctrico) y corrientes parásitas y histéresis (sistema magnético). a Figura 5 muestra un arreglo simples e un sistema e conversión electromecánica e energía. IV-4

28 v + i R M K f f e - D Figura 5. Sistema e Conversión Electromecánica e Energía El sub-sistema eléctrico e la Figura 5 puee ser moelao por la siguiente ecuación: v r i i e f (III.4) t one e f es la caía e tensión sobre el enrollamiento. Ya el sistema mecánico puee ser representao por f M x D x K x x f b 0g e (III.5) t t one f e es la fuerza electromagnética que surge ebio al campo magnético, M es la masa, D es el coeficiente e amortización, K es la constante el resorte y x 0 es la posición e equilibrio el resorte. a energía provista por la fuente eléctrica puee ser calculaa como z zf W v i t r i i E H G I e f i t t K J (III.6) z z z r i t i i e i t El primer termino representa las perias por el efecto Joule, en cuanto al seguno termino representa la energía magnética almacenaa fuera el campo magnético e acoplamiento. Por tanto, la energía transferia e la fuente eléctrica z para el campo magnético es aa por We ef i t (III.7) Ya para el sistema mecánico, la energía puee ser calculaa como W f x M x x D x x K x x x f x M f x(t) z z z z z b 0g e (III.8) t t El primer termino correspone a la energía cinética asociaa a la masa el cuerpo, en cuanto al tercer termino correspone a la energía potencial almacenaa en el resorte. El seguno termino correspone a perias por el agotamiento y, por lo tanto, la energía mecánica total transferia para el campo magnético es aa por W m z f x (III.9) z z (III.0) De esta forma, la energía almacenaa en el campo magnético puee ser calculaa como W W W e i t f x f e m f e e IV-5

29 Esta ecuación puee ser generalizaa para o caso e múltiples sistemas eléctricos (J enrollamientos) y mecánicos (K masas), resultano en o, en la forma iferencial, J b g W W W K f e j j k b g m k W e i t f x f J K fi j j j k b g e k k (III.) (III.) Retornano al caso mas simple, representao por la ecuación (III.0), se puee calcular la energía almacenaa en el campo magnético alimentao apenas por el sistema eléctrico haciénose W m = 0, o sea, impiiénose el movimiento el sistema mecánico (x = 0). En este caso, z z W e i t t i t f f (III.3) i z a Figura 6 muestra la relación x i e un sistema electromagnético. a energía almacenaa en el campo magnético, para un valor e corriente igual a i es igual al área A mostraa en la figura. A A Figura 6. Energía y Co-Energía Almacenaa en un Campo Magnético A El área A mostraa en la Figura 6 es llamaa e co-energía y puee ser calculaa como i z z z (III.4) W i i W i i f x c f e En un sistema magnético lineal (relación x i aa por una recta) W c = W f. Fuera e esta situación, la co-energía tiene poco significao físico, pero es una habilia conveniente e expresar la energía y utilizar para el cálculo e la fuerza electromagnética f e. a ecuación (III.0) permite escribir que i IV-6

30 Wf fe (III.5) x o, en términos e la co-energía, mostraa en la ecuación (III.4), Wc fe (III.6) x a posición x el sistema mecánico escribe completamente la relación entre este y el campo magnético. Ya la influencia e el sistema eléctrico puee ser escrito tanto por (energía) cuanto por i (co-energía), una vez que estas variables no son inepenientes. Se escoge la opción e la posición x y se el enlace e flujo como variables e estao permite escribir que: b g z b g b g z0 Wf, x i, x i, x (III.7) y, una vez calculaa la energía en el campo magnético, se puee obtener la fuerza electromagnética f e e acuero con la ecuación (III.5). Pero, el enlace e flujo es una variable menos natural que la corriente, para un ingeniero electricista, una vez que la meición e corrientes es mucho mas simple. De esta forma, es preferible escoger la posición x e a corriente i como variables e estao y, entonces, obtener la co-energía como sieno i cb g z b g b g z0 W i, x i, x i, x (III.8) obteniénose la fuerza electromagnética a través e la ecuación (III.6). Para el caso e un sistema lineal con múltiples enrollamientos, los enlaces e flujo pueen ser escritos a partir a ecuación (III.9) como sieno b g b g b g b g b g b g b g b g i, i,, i, x x i x i x i n n n i, i,, i, x x i x i x i n n n b g b g b g b g i, i,, i, x x i x i x i n n n n nn n (III.9) y, tománose las corrientes y la posición como variables e estao, se puee calcular la coenergía como sieno o, equivalentemente, zi c n zz n 0 i b n 0 i n b g b g g nb g W i, i,, i, x, i,, i, x 0 i,,, i, x i, i,,, x b g b g b g b g Wc i, i,, in, x x i x i i x i nbxgi in bxgi in nnbxgin IV.3 Enrollamiento e la Máquina CA y Fuerza Magnetomotriz (III.30) (III.3) IV-7

31 a Figura 7 presenta un iagrama simplificao e una máquina e CA trifásica e polos. El enrollamiento asociao a caa fase tiene su eje magnético esfasao por 0 en relación a los ejes e las emás fases. El enrollamiento e campo está localizao en el rotor y su eje magnético puee girar e acuero con el movimiento el rotor. eixo magnético a fase B eixo magnético o campo r a' 3 a' a' a' 4 b 4 c b 3 c f 5 b s c 3 c 4 f' f' f' 3 f 4 f 3 f f b c' 4 eixo magnético a fase A b' f' 4 f' 5 c' 3 b' c' b' 3 c' b'4 a a a 3 a 4 eixo magnético a fase C Figura 7. Máquina CA Trifásica e polos os enrollamientos e las fases son consieraos iénticos por poseer la misma resistencia y el mismo número e espiras. Aemás e eso, el paso el enrollamiento es e 80, i. e., una espira es formaa por conuctores iametralmente opuestos. a Figura 8 presenta el iagrama resultante e la planificación e la máquina mostraa en la Figura 7. eixo a fase A eixo a fase C eixo a fase B eixo o campo r eixo a fase A c' 4 c' 3 c' c' a 4 a 3 a a b' 4 b' 3 b' b' c 4 c 3 c c a' 4 a' 3 a' a' b 4 b 3 b b f 3 f 4 f 5 f' f' f' 3 f' 4 f' 5 f f f 3 eixo a fase B eixo o campo eixo a fase A eixo a fase C Figura 8. Diagrama Planificao e los Enrollamientos e la Máquina CA Trifásica s IV-8

32 a máquina representaa en las Figuras 7 y 8 es una máquina e polos con polos salientes. Esta máquina, en vera, ifícilmente sería construia, pues las máquinas e o 4 polos son máquinas cuya velocia mecánica es relativamente alta y, es estos casos, el rotor es cilínrico, resultano en una máquina e polos lisos. Por otro lao, una máquina e polos salientes en general está asociaa al un número elevao e polos y, por tanto, a una baja velocia e rotación. as velociaes eléctricas y mecánicas en una máquina síncrona están relacionaas al número e polos e la máquina como P e m (III.3) Como la velocia eléctrica está relacionaa a la frecuencia eléctrica e operación e las máquinas, esta ebe ser mantenia constante (50 Hz o 60 Hz). a velocia mecánica, por tanto, es inversamente proporcional al número e polos e la máquina. a fuerza magnetomotriz (FMM) en el entrehierro e la máquina puee ser eterminao a partir e la ey e Ampere: z ` H i (III.33) a Figura 9 presenta nuevamente el iagrama planificao e la máquina en que sólo el enrollamiento e la fase A fue representao. a ey e Ampere será aplicaa, entonces, para los caminos cerraos abc y aef inicaos en la Figura. eixo a fase A eixo a fase A 60 o a 4 a 3 a a a' 4 a' 3 a' a' A H H B A H eixo a fase A Figura 9. Diagrama Planificao e la Máquina CA para Cálculo e la FMM Consierano la permeabilia magnética el material muy mayor que la el aire, la intensia el campo magnético (H) en el material es espreciable y, por lo tanto, la integral mostraa en la ecuación (III.33) puee ser calculaa consierano solo los tramos e los caminos cerraros corresponientes al entrehierro e la máquina. Consierano, aún, una istribución uniforme e los enrollamientos e las fases, caa fase ocupa un arco e 0 en el estator, con secciones e 60 en oposición e fases (esfasaas 80 ) conforme mostrao en la Figura 9. Para el camino cerrao abc mostrao en la Figura 9, la ey e Ampere puee ser expresaa por zrb bcg gb bcg r Hb bcg z b0g l Hb0gl 0 rb bcg rb0g gb0g (III.34) H g H 0 g 0 0 b bcg b bcg b g b g one r( bc ) y r(0) son los raios el rotor y g( bc ) y g(0) son las longitues el entrehierro, en las posiciones corresponientes a los ángulos s = bc y s = 0, respectivamente. f e ef c b bc s a IV-9

33 Ya para el camino cerrao aef, la ey e Ampere resulta en zr ef i g ef i r H efi z b0g l Hb0gl N i r ef i rb0g gb0g i i b g b g H g H 0 g 0 N i ef ef c a c a (III.35) one N c es el número e espiras el enrollamiento e la fase a en la ranura a y la señal negativa se ebe al hecho que la corriente esta circulano en el enrollamiento, en el sentio inicao en la Figura 9, prouce flujo magnético en el sentio opuesto utilizao para el camino e integración. Este raciocinio puee ser repetio para iversos caminos cerraos efinios para iferentes valores e s y la istribución e FMM proucia por el enrollamiento e la fase a, a lo largo e la superficie el estator, tiene aproximaamente la forma mostraa en la Figura 0. eixo a fase A eixo a fase A a 4 a 3 a a a' 4 a' 3 a' a' s eixo a fase A Figura 0. istribución e FMM el Enrollamiento e la Fase a Esta forma e ona puee ser entenia como una aproximación para una función senoial. Esta aproximación puee ser mejoraa a través e iversas técnicas e construcción e las máquinas, como enrollamientos e paso fraccionario y istribución no-uniforme e los enrollamientos. Cuanto mejor es la aproximación, menor será el esequilibrio harmónico e las tensiones y corrientes el estator. El eje magnético e la fase a puee ser interpretao, ahora, como el centro e la región e máxima istribución e FMM el enrollamiento. Es fácil verificar que la istribución e FMM e los enrollamientos e las fases b y c tienen la misma forma que aquella mostraa para la fase a, con esfasaje e 0 en relación a esta. Estas istribución e FMM pueen ser escompuestas en sus componentes harmónicas (serie e Fourier) y, consierano solo el componente funamental e caa fase, se puee escribir que FMM N a ia cos s FMM N F I b ib cos s HG K J (III.36) 3 FMM N F I c ic cos s HG K J 3 one N es el número total e espiras el enrollamiento equivalente e fase. IV-0

34 a istribución e FMM resultante e los enrollamientos el estator es aa, entonces, por la suma e las istribuciones mostraas en la ecuación (III.36). Si las corrientes e los enrollamientos son corrientes trifásicas equilibraas, se puee escribir que FMM N 3 I cos et eib0g s (III.37) one e es la frecuencia angular e las corrientes, ei(0) es el ángulo e fase e las corrientes para t = 0 y I es el valor rms e las corrientes. a ecuación (III.37) representa una ona e FMM que gira con frecuencia igual a las corrientes que la proujeron y, aemás e eso, correspone a una istribución senoial al largo e la superficie el estator (cuano s varía). IV.4 Máquina Síncrona Conocias las istribuciones e FMM en el interior e la máquina síncrona, el moelo eléctrico para la misma es obtenia a partir e la eterminación e las inuctancias propias y mutuas relacionaas a los iversos enrollamientos. Para esto, es necesario obtener una expresión para la longitu el entrehierro e la máquina. a hipótesis utilizaa aquí [] es que el entrehierro varía senoialmente conforme gb r g (III.38) cosb rg one r es el ángulo meio en relación al eje magnético el enrollamiento el campo (asociao a la posición el rotor). Del punto e vista el estator, el entrehierro puee ser escrito como g b g s r b g (III.39) cos s r one r es la posición el rotor en relación al estator, variano conforme la rotación el mismo. a ensia e flujo magnético puee ser efinia a partir e la fuerza magnetomotriz como FMM B 0 (III.40) g y, aplicano la ecuación (III.40) asociaa las ecuaciones (III.36) y (III.39), se obtiene N Bab s, rg 0 i a cosb sgn cos b s rgs N Bbb s, rg i F I 0 b cos s cos s r HG K Jn b gs (III.4) 3 N Bcb s, rg i F I 0 c cos s n cos b s r HG K J gs 3 Ya la ensia el flujo magnético proucia a partir el enrollamiento el rotor puee ser aa por N f Bfb rg 0 i f sinb rg cos b rg (III.4) as inuctancias (propias o mutuas) son calculaas a partir e la relación entre el flujo enlazao por un enrollamiento y la corriente que crea este flujo. a eterminación el flujo IV-

35 magnético poe ser hecha a partir e la ensia el flujo y es posible mostrar que las inuctancias e la máquina síncrona pueen ser expresaas como F I aa A B cosb rg bb A B cos r K J 3 cos 3 cc A B r ff f mf HG F I HG K J F I HG K J F H G I cos K J 3 ab A B cos r ac A B r (III.43) 3 bc A B cosb r g af sf cos r F I bf sf cos r cf sf r HG K J F I cos 3 HG 3 K J one F NI N A rl B rl HG K J F H G I 0 K J 0 F NI N f sf rl HG K J F H G I K J F H G I 0 K J F N f I F mf rl HG KJ H G I 0 K J sieno r el raio meio el entrehierro y l es la longitu axial el estator. En una máquina síncrona real, es posible encontrar enrollamientos corto-circuitaos montaos en el rotor, llamaos enrollamientos amortiguaores. En máquinas e rotor cilínrico, hay la posibilia e circulación e corrientes parásitas, cuyo efecto es parecio con los enrollamientos amortiguaores. De esta forma, un moelo completo para la máquina síncrona ebe permitir la incorporación e circuitos equivalentes para este tipo e enrollamiento. a eterminación e las inuctancias propias y mutuas asociaas a estos enrollamientos puee ser hecha e forma similar a lo presentaa arriba. Para caa enrollamiento e la máquina, se puee escribir una ecuación e tensión equivalente a lo mostraa en la ecuación (III.0), resultano a va ra ia t b vb rb ib t c vc rc ic t (III.44) f v f rf if t k vk 0 rk ik t kq vkq 0 rkq ikq t IV-