MOVIMIENTOS EN EL PLANO: UN TEMA A DESARROLLAR EN EL AULA DE ORDENADORES

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1 MOVIMIENTOS EN EL PLANO: UN TEMA A DESARROLLAR EN EL AULA DE ORDENADORES SIGMA 29 Javier Bergasa Liberal (*) y Manuel Sada Allo (**) Que las experiencias educativas de los alumnos deben ser variadas, que los recursos utilizados en clase ayudan a ampliar esas experiencias y que las nuevas tecnologías, y en concreto la informática, son herramientas con enorme futuro en la actividad matemática y en su aprendizaje son otras tantas afirmaciones que con gran unanimidad se tienen como ciertas. Las dificultades, los desacuerdos y las dudas suelen llegar en el paso de lo general a lo concreto o de la teoría a la práctica. Es decir, en el momento en el que los hipotéticos alumnos son mis alumnos, las experiencias educativas son las que surgen de las tareas que yo les propongo y los ordenadores o los lectores de DVD son los de mi propio centro. Es entonces cuando nos asalta la inseguridad, entramos en crisis, y nos resuenan frases como éstas: "pero si no sé nada de informática"; "pero si no sé como funciona este aparato"; "pero si mis alumnos no están acostumbrados a esto"; "pero si esto no lo hecho nunca"; "pero si no van a aprender más"; "pero quién me mandará meterme en estas aventuras"; " pero.", de forma que parece que todo invita a dejar las cosas como están, pues tampoco están tan mal. Son esas dudas, esas incertidumbres, las que en muchas ocasiones nos impiden poner en marcha buena ideas y nos devuelven al estado en el que más cómodos nos sentimos: pizarra, libro, hojas de ejercicios, etc. Sin poner en cuestión la bondad y la utilidad de esos recursos y de ese método de trabajo que tan buenos resultados rinde para muchos de los contenidos de nuestra materia, este artículo pretende servir de ejemplo en ese paso antes descrito y animar a darlo, pues aun reconociendo que cualquier cambio metodológico conlleva un cambio del papel del profesor en su relación con los contenidos y con sus alumnos, creemos que propuestas de trabajo referidas a unas pocas sesiones de clase y sustentadas en actividades concretas asumibles por el profesorado, son la mejor manera de dar entrada a diferentes recursos didácticos, sin que nos veamos comprometidos en grandes cambios. Proponemos, pues, una secuencia de trabajo para algunos contenidos de Geometría que, si bien supone un cambio en el tratamiento metodológico, no rompe con otras formas de trabajar las matemáticas, sino que las complementa. Dicha secuencia se concreta en tres sesiones dedicadas a los movimientos en el plano, durante las cuales los alumnos verán unos minutos de un vídeo de la serie Más por menos (1), utilizarán el ordenador y, además, recogerán en el cuaderno de clase la información aparecida y los resultados obtenidos. Antes de presentar la secuencia de trabajo, bueno será advertir que ya ha sido utilizada con muy buena aceptación por parte del alumnado y que, durante los últimos cursos, algunos compañeros estamos desarrollando un extenso proyecto para trabajar los contenidos de Geometría de los cuatro cursos de la E.S.O. a partir de este tipo de recursos y que la edición de las colecciones de actividades utilizadas está ya en preparación. (*) Profesor de Matemáticas del IES Navarro Villoslada de Pamplona. (**) Profesor de Matemáticas del IES de Zizur Mayor (Navarra). Noviembre ko Azaroa 85

2 Javier Bergasa Liberal y Manuel Sada Allo Ojalá que quienes se aventuren a iniciarse en el manejo de nuevos recursos a partir de esta breve propuesta tengan los éxitos que esperamos y se animen a recoger más ideas de ese proyecto en un futuro próximo. A continuación describiremos cómo desarrollamos esas tres sesiones, dedicadas al tema de las isometrías o movimientos en el plano, que es uno de los que mejor se prestan a un tratamiento en el aula de ordenadores, con dos grupos de 3º de E.S.O. Para entender mejor nuestra propuesta incluimos algunas de las actividades propuestas a los alumnos, tal como se las presentamos fotocopiadas. 1ª SESIÓN (CON GEOCLIC) La primera de las tres sesiones la iniciamos proyectando los cinco primeros minutos del vídeo Movimientos en el plano (capítulo 2 de la magnífica serie Más por menos (1) ). Resultó una manera amena, gráfica y cercana al entorno cotidiano de recordar el significado de traslación, giro y simetría. El resto, es decir el grueso de la sesión consistió en que nuestros alumnos trabajasen varias actividades de la aplicación Geoclic (2) (concretamente los paquetes nº 13, 14 y sucesivos). Geoclic es una aplicación interactiva cuyo funcionamiento es tan sencillo e intuitivo que fue suficiente una brevísima explicación para que nuestros alumnos (distribuidos en 2 o 3 por ordenador) entendiesen qué debían hacer y cómo iban a ser evaluados (primando la calidad sobre la cantidad, esto es, el pequeño porcentaje de fallos sobre el número de actividades resueltas). Algunos ejemplos de actividades de Geoclick 86 SIGMA Nº 29 SIGMA 29 zk.

3 Movimientos en el plano: una tema a desarrollar en el aula de ordenadores Geoclic, es una de las aplicaciones de mayor calidad que funcionan sobre el programa Clic (3), que facilita al profesor la evaluación del trabajo realizado en cada ordenador, controlando el número de actividades resueltas, porcentaje de aciertos, etc.). Otra de las ventajas de Geoclic es, además de su gratuidad y facilidad para descargarse de Internet, que apenas requiere preparación previa por parte del profesor para su uso y aprovechamiento didáctico. Además gusta mucho a los chavales, su motivación está casi asegurada pues les resulta una actividad bastante lúdica: ellos y ellas van superando las actividades como quien resuelve un pasatiempos, de paso que manejan y aprenden conceptos geométricos. 2ª SESIÓN (CON CABRI) Para la sesión siguiente, dejamos Geoclic, y volvimos a retomar el trabajo con Cabri. Decimos que volvimos porque ya lo habíamos utilizado en tres sesiones anteriores: una con actividades introductorias para la familiarización con este conocido programa de geometría dinámica (4) y otras dos con actividades sobre medidas de ángulos en polígonos y circunferencias (5). La siguiente es la ficha con las actividades propuestas. Noviembre ko Azaroa 87

4 Javier Bergasa Liberal y Manuel Sada Allo HOJA DE TRABAJO. TRANSFORMACIONES EN EL PLANO Alguna de las cuestiones planteadas en cada actividad requieren una respuesta que has de escribir en tu cuaderno. Actividad 1. Traslaciones Dibuja un vector y un polígono. Usa la opción Traslación del menú correspondiente al botón. Para que el programa traslade la figura debes señalar la figura (el polígono) y después el vector. Una vez hecha la traslación, une cada punto con su homólogo mediante una flecha. Qué relación hay entre la longitud y la dirección del vector que usaste para hacer la traslación y las de las flechas (vectores) que has dibujado? Compruébala modificando el polígono y el vector. Guarda el archivo con el nombre hdt4act1.fig. Actividad 2. Giros Dibuja un punto (centro del giro), un polígono (figura que vas a girar) y sitúa en la pantalla el valor del ángulo (opción Edición numérica del botón ) que quieras usar para girar la figura. Usa la opción Rotación del menú correspondiente. Para que el programa gire la figura debes señalar la figura (el polígono), el valor del ángulo y después el punto (centro de giro). Modifica, de uno en uno, los tres objetos iniciales y observa su efecto. Dibuja un par de segmentos que unan el centro con un punto del polígono inicial y con su homólogo del polígono transformado. Qué relación encuentras entre los dos segmentos? Guarda el archivo con el nombre hdt4act2.fig. Actividad 3. Simetría axial Dibuja una recta (eje de simetría) y un polígono. Usa la opción Simetría axial del menú correspondiente al botón. Para que el programa dibuje la figura simétrica del polígono debes señalar la figura y el eje de simetría. Una vez hecha la simetría, Dibuja un par de segmentos que unen cada punto del polígono inicial con su homólogo del polígono transformado. Qué relación encuentras entre los dos segmentos y el eje de simetría? Guarda el archivo con el nombre hdt4act3.fig. 88 SIGMA Nº 29 SIGMA 29 zk.

5 Movimientos en el plano: una tema a desarrollar en el aula de ordenadores LAN ORRIA. TRANSFORMAZIOAK PLANOAN Jarduera bakoitzean planteatutako hainbat galdera erantzun behar duzu idatziz zeure lan koadernoan. Jarduera 1. Translazioak Marraztu bektore eta poligono bat. Erabili Translazioa aukera botoiari dagokion menuan. Programak irudia lekuz aldatzeko seinalatu behar duzu (poligonoa) eta, ondoren, bektorea. Behin translazioa eginda, lotu puntu bakoitza bere homologoarekin gezi baten bidez. Zein erlazio dago luzeren eta norabideen artean (translazioa egiteko erabili zenuen bektorearenak eta marraztu dituzun gezienak (bektoreenak)? Egiaztatu poligonoa eta bektorea aldatuz. Gorde fitxategia hdt4act1.fig izenarekin. Jarduera 2. Biraketak Marraztu puntu bat (biraketa zentroa), poligono bat (biratuko duzun irudia) eta jarri pantailan angeluaren balioa ( botoiaren Zenbakizko edizioa aukera) irudia biratzeko erabili nahi duzuna. Erabili Errotazioa aukera dagokion menuan. Programak irudia bira dezan hauxe seinalatu behar duzu: poligonoa, angeluaren balioa eta, ondoren, puntua (biraketa zentroa). Aldatu, banan-banan, hasierako hiru objektuak eta begiratu eragina. Gorde fitxategia hdt4act2.fig izenarekin. Jarduera 3. Ardatz simetria Marraztu zuzen bat (simetria ardatza) eta poligono bat. Erabili Ardatz simetria aukera botoiari dagokion menuan. Programak poligonoaren irudi simetrikoa marraz dezan irudia eta simetria ardatza seinalatu behar duzu. Behin simetria eginda, egiaztatu ahal duzu simetria ardatza dela zuzenki hauen erdibitzaileak: hasierako poligonoaren erpin bakoitza poligono transformatuaren homologoarekin lotzen dutenak. Gorde fitxategia hdt4act3.fig izenarekin. Noviembre ko Azaroa 89

6 Javier Bergasa Liberal y Manuel Sada Allo Actividad 4. Mosaicos Construye, aprovechando los distintos movimientos en el plano (traslaciones, giros y simetrías) los mosaicos de las figuras. Describe en tu cuaderno el procedimiento empleado para la construcción y guárdalos con los nombres correspondientes: A cuáles de los mosaicos anteriores crees que se les llamará regulares y a cuáles semirregulares? Por qué? Crees que existe algún otro tipo de mosaico regular? Y semirregular? Si lo construyes, guárdalo en hdt4act4g.fig, hdt4act4h.fig, etc. Actividad 5. (extra). Mosaico nazarí Construye, aprovechando los distintos movimientos en el plano (traslaciones, giros y simetrías) el mosaico de la figura siguiente: Guárdalo en hdt4extra5.fig 90 SIGMA Nº 29 SIGMA 29 zk.

7 Movimientos en el plano: una tema a desarrollar en el aula de ordenadores Jarduera 4. Mosaikoak Eraiki, planoan dauden mugimenduez baliatuz (translazioak, biraketak eta simetriak) irudietako mosaikoak. Deskribatu zeure koadernoan eraikitzeko erabili duzun prozedura eta gorde dagozkien izenekin: Aurreko mosaikoetako zeini esango zaio erregular eta zeini erdierregular? Zergatik? Uste al duzu badagoela beste mosaiko erregular motaren bat? Eta erdi erregular motarik? Eraikiz gero, gorde hdt4act4g.fig-n, hdt4act4h.fig-n, eta abarretan. Jarduera 4.5. (EXTRA). Mosaiko nazaria Eraiki, planoan dauden mugimenduez baliatuz (translazioak, biraketak eta simetriak) honako irudi honetako mosaikoa: Gorde hdt4extra5.fig-n. Noviembre ko Azaroa 91

8 Javier Bergasa Liberal y Manuel Sada Allo Las tres primeras actividades son bastante sencillas y a la mayoría de los grupos (parejas o tríos) de alumnos no les llevó mucho tiempo construir las figuras. Les cuesta bastante más responder por escrito a las cuestiones planteadas y expresarse utilizando los términos geométricos con cierto rigor. A mitad de sesión les interrumpimos (6) su trabajo para hacerles una introducción a la cuarta actividad. Para ello volvimos a proyectar un pasaje de vídeo (los cuatro últimos minutos del mismo citado anteriormente (1) ) que hace una sugerente introducción al tema de los mosaicos. 3ª SESIÓN (MOSAICOS CON CABRI) La tercera sesión fue enteramente de trabajo del alumnado, sin necesidad de introducciones o interrupciones. En ella diseñaron, a distintos ritmos pero todos con bastante éxito, diferentes tipos de mosaicos regulares, y sobre todo semirregulares, a base de utilizar simetrías, giros y traslaciones. Solamente dos grupos llegaron a abordar la última actividad "extra" pensada precisamente para aquellos alumnos con mayor capacidad que terminasen las actividades anteriores. NOTAS: (1) La serie de vídeos sobre Matemáticas Más por menos, así como la de Universo matemático (ambas muy recomendables por su alta calidad y utilidad didáctica) son obra del profesor Antonio Pérez Sanz del IES "Salvador Dalí" de Madrid. Más información en: (2) El profesor Jaume Bartrolí es el autor de esta magnífica aplicación interactiva de Geometría que puede descargarse gratuitamente, también en euskera, desde (3) Clic es un programa creado por el profesor Francesc Busquets que ha permitido la elaboración de cientos de paquetes de actividades didácticas interactivas, disponibles (en mucha mayor cantidad para Ed. Infantil y Primaria que para Secundaria) en (4) Cabri es, entre los programas de geometría dinámica, el más utilizado en nuestro ámbito. Se trata de un programa comercial (tarifas e información en ), del que se puede conseguir una versión de evaluación en (5) Éstas y otras colecciones de actividades se pueden descargar desde matematicas/recursos/infos/index1.html#11 varias colecciones de actividades (una por nivel, desde 1º a 4º de ESO en castellano y las de 3º y 4º en euskera) para trabajar casi toda la Geometría de la E.S.O. con Cabri. (6) Interrumpir a los alumnos cuando están inmersos en una actividad con el ordenador y conseguir que te escuchen sería algo mucho más complicado si no dispusiésemos de un programa (Edebenet o NetOpSchool) que permite, entre otras posibilidades, bloquear instantánea y simultáneamente todos los ordenadores del aula. 92 SIGMA Nº 29 SIGMA 29 zk.