I.E. CÁRDENAS CENTRO MÓDULO DE ESTADÍSTICA CICLO VI GRADO UNDÉCIMO

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2 I.E. CÁRDENAS CENTRO MÓDULO DE ESTADÍSTICA CICLO VI GRADO UNDÉCIMO 2

3 TABLA DE CONTENIDO pág. UNIDAD 1 1. VARIABLE ALEATORIA, ESPACIO MUESTRAL, TÉCNICAS DE CONTEO VARIABLE ALEATORIA Clasificación de las variables aleatorias Variable aleatoria continua Variable aleatoria discontinua o discreta 7 EJERCICIOS ESPACIO MUESTRAL TÉCNICAS DE CONTEO Principio multiplicativo de conteo Principio aditivo de conteo Permutaciones y combinaciones 10 EJERCICIOS PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE UN EVENTO PROBABILIDAD CONDICIONAL REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD 14 EJERCICIOS 16 UNIDAD 2 1. VALOR ESPERADO Y VARIANZA VALOR ESPERADO Propiedades del valor esperado Al multiplicar todos los valores de una variable por una misma constante, el valor esperado de ésta queda multiplicado por el valor de la constante Al sumar a todos los valores de una variable una misma constante, el valor esperado de ésta queda incrementado por el valor de la constante Si tenemos dos variables X e Y, discretas o continuas, el valor esperado de su suma o diferencia es la suma o diferencia de sus valores esperados Si las variables anteriores, X e Y son variables aleatorias independientes ocurre que el valor esperado de su producto es igual al producto de sus valores esperados 18 EJERCICIOS VARIANZA Varianza para datos agrupados Varianza para datos NO agrupados Propiedades 20 3

4 EJERCICIOS DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 21 EJERCICIOS DISTRIBUCIÓN DE POISSON PROPIEDADES RELACIÓN CON OTRAS DISTRIBUCIONES Sumas de variables aleatorias de Poisson Distribución binomial Aproximación normal Distribución exponencial PROCESOS DE POISSON 24 EJERCICIOS DISTRIBUCIÓN NORMAL LA NORMAL N(0; 1) TIPIFICAR UNA VARIABLE NORMAL 29 EJERCICIOS 29 UNIDAD 3 1. TEORÍA DE LA METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA COMPONENTES DE UN PROYECTO DE INVESTIGACIÓN Fase Proyectiva Fase Metodológica Fase Técnica Fase de Síntesis TIPOS DE INVESTIGACIÓN ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Pasos para la organización 34 COMPRENSIÓN LECTORA 36 UNIDAD 4 1. MÉTODOS DE INVESTIGACIÓN 37 2 COMPONENTES MÍNIMOS DE UN PROYECTO DE INVESTIGACIÓN EL TEMA DE INVESTIGACIÓN JUSTIFICACIÓN Y/O ANTECEDENTES FORMULACIÓN DEL PROBLEMA OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS ELEMENTOS TEÓRICOS QUE FUNDAMENTAN LA INVESTIGACIÓN - MARCO TEÓRICO HIPÓTESIS (IDENTIFICACIÓN DE VARIABLES) METODOLOGÍA PLAN DE TRABAJO Y/O CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES 39 4

5 2.9. PRESUPUESTO BIBLIOGRAFÍA INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN LA ENCUESTA LA ENTREVISTA Tipos de entrevistas Estructurada No estructurada LA OBSERVACIÓN LA EXPERIMENTACIÓN EL DATO CIENTÍFICO TÉCNICAS Y MÉTODOS PARA LA CLASIFICACIÓN DE LA INFORMACIÓN TÉCNICAS PARA CLASIFICACIÓN DE INFORMACIÓN Tratamiento de las fuentes Reunión de fuentes Crítica de las fuentes Contraste de fuentes Respeto a las fuentes Cita de las fuentes MÉTODOS PARA LA CLASIFICACIÓN DE LA INFORMACIÓN 44 PRUEBA TIPO ICFES 45 BIBLIOGRAFÍA 48 5

6 UNIDAD 1 1. VARIABLE ALEATORIA, ESPACIO MUESTRAL, TÉCNICAS DE CONTEO 1.1. VARIABLE ALEATORIA Dado un experimento aleatorio cualquiera cuyos sucesos elementales posibles pueden identificarse fácilmente mediante un número real, se denomina Variable Aleatoria, X, al conjunto de estos números. También se le llama variable de azar o variable estocástica, y significa cantidad que puede tomar varios valores imprevistos. Ejemplo 1.- Sea el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire. Los posibles resultados del experimento (sucesos elementales) son los siguientes: <<que salga 1>>, <<que salga 2>>, <<que salga 3>>, <<que salga 4>>, <<que salga 5>> y <<que salga 6>>. Resulta sencillo asociar a cada suceso elemental el número correspondiente a la cara del dado que haya salido. Por tanto, la variable aleatoria, X, será: X= 1,2,3,4,5,6 Por el contrario, si dado un experimento aleatorio cualquiera no resulta inmediata la asociación de un número para cada uno de los posibles sucesos elementales, se establece una correspondencia entre el conjunto de los posibles sucesos elementales y el conjunto de los números reales, de manera que a cada suceso elemental le corresponda un número real arbitrario y que a sucesos elementales distintos les correspondan números distintos. Se denomina variable aleatoria al conjunto imagen de esta correspondencia, es decir, al conjunto de los números reales que se hayan hecho corresponder a cada uno de los sucesos elementales. Ejemplo 2.- Sea el experimento aleatorio de averiguar la marca de tabaco que preferirá un individuo entre las posibles marcas: <<X>>, <<Y>>, <<Z>>. En este caso la asociación de un número para cada suceso elemental posible del experimento no es inmediata. En consecuencia, se establece una correspondencia entre el conjunto de los sucesos elementales posibles y el conjunto de los números reales, del modo siguiente: Al suceso elemental <<preferir la marca X>> se le hace corresponder el número 1; al suceso elemental <<preferir la marca Y>> se le hace corresponder el número 2; al suceso elemental <<preferir la marca Z>> se le hace corresponder el número 3. La variable aleatoria X será: X = (1,2,3). El número asociado a cada suceso elemental puede ser cualquiera dentro del conjunto de los números reales, con la condición única de que a sucesos elementales distintos le correspondan números también distintos. Se comprueba fácilmente que la correspondencia así definida entre el conjunto de los posibles sucesos elementales de un experimento aleatorio y el conjunto de los números reales es una aplicación inyectiva Clasificación de las variables aleatorias. Las variables aleatorias pueden ser continuas o discontinuas. En este último caso se denominan también discretas Variable aleatoria continua. Si X es una Variable aleatoria continua, puede tomar cualquier valor de un intervalo continuo o dentro de un campo de variación dado. Las probabilidades de que ocurra un valor dado x están dadas por una función de densidad de probabilidad de que X quede entre a y b. El área total bajo la curva es 1. Ejemplo. Sea el experimento aleatorio consistente en medir la altura que es capaz de saltar cada miembro de un conjunto de personas. En este experimento, cada miembro del conjunto observado da lugar a un número, por lo que se toma como variable aleatoria el conjunto de las medidas de las 6

7 alturas que son capaces de saltar las distintas personas. En el supuesto que una persona hubiera saltado 105 cm y otra 106 cm, no existiría ninguna razón para que otra no hubiera saltado un valor intermedio cualquiera entre las dos anteriores, como cm. Se trata de una variable aleatoria continua Variable aleatoria discontinua o discreta. Se dice que una Variable aleatoria Discreta o Discontinua X, tiene un conjunto definido de valores posibles x1,x2,x3,..xn con probabilidades respectivas p1,p2,p3,..pn., Es decir que sólo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variación dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1 + p2 + + pn=1. En general, una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x) se entenderá la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X. Esta función recibe el nombre de función de la probabilidad. Ejemplo. Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda al aire. Los sucesos elementales del experimento, <<que salga cara>>, <<que salga cruz>>, no vienen representados por los números, por lo que casa suceso elemental se le hace corresponder un número real. Así al suceso elemental <<que salga cara>> se le hace corresponder el número 1 y al suceso elemental <<que salga cruz>> se le hace corresponder el número 2. La variable aleatoria será: X = (1,2). Se trata de una variable aleatoria discontinua o discreta, ya que únicamente puede adoptar los valores 1 y 2. EJERCICIOS 1. Supóngase que la producción de un día de 850 piezas manufacturadas contiene 50 piezas que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se seleccionan del lote dos piezas al azar y sin reemplazo. Sea la variable aleatoria X igual al número de piezas de la muestra que no cumplen. Cuál es la función de distribución acumulada de X? 2. Dada la variable aleatoria X continua y con función de distribución F se define la variable Y=F(X). Demuéstrese que Y sigue una distribución uniforme en [0,1]. 3. Un punto aleatorio X tiene distribución uniforme en el intervalo [0,1] y otro punto aleatorio Y tiene distribución uniforme en el intervalo [2,3]. Se define la variable distancia entre X e Y por d=y-x. Suponiendo que X e Y son independientes, calcúlese la esperanza matemática y la varianza de d. 4. Supongamos que el consumo familiar de un cierto producto se distribuye como una variable aleatoria de distribución uniforme, con esperanza igual a 10 y varianza unidad. Determina la probabilidad de que dicho consumo este comprendido entre 8 y 12 unidades. 7

8 1.2. ESPACIO MUESTRAL En la teoría de probabilidades, el espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}. Para algunos tipos de experimento puede haber dos o más espacios de muestreo posibles. Por ejemplo, cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 cartas, una posibilidad del espacio de muestreo podría ser el número (del as al rey), mientras que otra posibilidad sería el palo (diamantes, tréboles, corazones y picas). Una descripción completa de los resultados, sin embargo, especificaría ambos valores, número y palo, y se podría construir un espacio de muestreo que describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios de muestreo descritos. Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximación elemental a la probabilidad, pero son también importantes en espacios de probabilidad. Un espacio de probabilidad (Ω, F, P) incorpora un espacio de muestreo de resultados, Ω, pero define un conjunto de sucesos de interés, la σ- álgebra F, por la cual se define la medida de probabilidad P. Ejemplo: 8

9 1.3. TÉCNICAS DE CONTEO Suponga que se encuentra al final de una línea de ensamble final de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el número de productos que lo constituyen, de inmediato usted empezará a contar un producto tras otro y al final informará al supervisor que son, 48, 54 u otro número cualquiera. Ahora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente pregunta cuántas muestras o grupos será posible formar con los productos del lote, si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellas?. En el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo, pero cuando se le hace el segundo planteamiento, al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezará a tener dificultad para hacerlo, en casos como este es necesario hacer uso de las técnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestión (el número de muestras posibles a formar de ocho elementos), luego, qué son las técnicas de conteo? Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Ejemplo en el que definitivamente haremos uso de las técnicas de conteo: - Cuántas comisiones pro limpieza del instituto se pueden formar si hay 150 alumnos que desean ayudar en esta tarea y se desea formar comisiones de ocho alumnos? Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado. Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo Principio multiplicativo de conteo. Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N 1 maneras o formas, el segundo paso de N 2 maneras o formas y el r-ésimo paso de N r maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de; N 1 x N 2 x...x N r maneras o formas El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Ejemplo: Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa? Solución: Considerando que r = 4 pasos N 1 = maneras de hacer cimientos = 2 N 2 = maneras de construir paredes = 3 N 3 = maneras de hacer techos = 2 N 4 = maneras de hacer acabados = 1 N 1 x N 2 x N 3 x N 4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede llevar a cabo una actividad cualquiera. 9

10 Principio aditivo de conteo. Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de, M + N W maneras o formas Ejemplo: Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora? Solución: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras M + N + W = = 30 maneras de seleccionar una lavadora Permutaciones y combinaciones. Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento. Combinación. Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Permutación. Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación, plantearemos cierta situación. Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario. b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero). Solución: a) Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente). Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas? 10

11 Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo único que nos interesaría es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, quiénes están en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinación, quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo único que nos interesa es el contenido de los mismos. b) Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel como Presidente, a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los que se muestran a continuación: CAMBIOS PRESIDENTE: Daniel Arturo Rafael Daniel SECRETARIO: Arturo Daniel Daniel Rafael TESORERO: Rafael Rafael Arturo Arturo Ahora tenemos cuatro arreglos, se trata de la misma representación? Creo que la respuesta sería no, ya que el cambio de función que se hace a los integrantes de la representación original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente, importa el orden de los elementos en los arreglos?. La respuesta definitivamente sería sí, luego entonces las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones sí importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con permutaciones. A continuación obtendremos las fórmulas de permutaciones y de combinaciones, pero antes hay que definir lo que es n! (ene factorial), ya que está involucrado en las fórmulas que se obtendrán y usarán para la resolución de problemas. n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n. n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...x n Ejem. 10!=1 x 2 x 3 x 4 x...x 10=3,628,800 8!= 1 x 2 x 3 x 4 x...x 8=40,320 6!=1 x 2 x 3 x 4 x...x 6=720, etc., etc. Obtención de fórmula de permutaciones. Para hacer esto, partiremos de un ejemplo. Cuántas maneras hay de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de un instituto, si hay 14 participantes? Solución: Haciendo uso del principio multiplicativo, 14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los primeros tres lugares del concurso Esta solución se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo lugar, luego tendríamos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por último tendríamos 11 candidatos posibles para el cuarto lugar. Luego si n es el total de participantes en el concurso y r es el número de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresión anterior, entonces. 11

12 14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x... x (n r + 1) Si la expresión anterior es multiplicada por (n r)! / (n r)!, entonces = n x (n 1 ) x (n 2) x... x (n r + 1) (n r)! / (n r)! = n!/ (n r)! Por tanto, la fórmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es: Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, además hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes. Entonces, qué fórmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta? Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces. npn= n!/ (n n)! = n! / 0! = n! / 1 = n! Como 0! = 1 de acuerdo a demostración matemática, entonces npn= n! RESUELVE 1. Si lanzas dos dados de seis lados sobre una mesa plana horizontal: a) Cuántas veces es posible que la suma de los números de las caras que aparecen sea diez? b) Cuántas veces es posible obtener suma de diez, si una de las caras es cuatro? c) cuántas veces se obtiene suma par? d) Cuántas veces se obtiene suma 1?. e) Cuántas veces se obtiene suma par si los resultados en las dos caras son iguales?. 2. A una fiesta van 15 niñas y 13 niños. Considera todas las parejas que se pueden formar si dos de las parejas son fijas por cuanto son novios intensos y no participan con el resto del grupo. Cuántas de estas parejas tendrán a una simpática y popular niña como uno de sus elementos?. 3. Un estudiante tiene cinco libros de literatura, tres de historia, cuatro de filosofía y dos de matemáticas. Arma un estante en donde colocará todos sus libros. De cuántas maneras diferentes puede colocarlos en cada caso? a) Si no hay condiciones para su colocación. b) Si coloca los libros de la misma materia siempre juntos. c) Se coloca cada uno de los dos libros de matemáticas en un extremo. 4. A una función de teatro asisten 7 amigos y se sientan en lugares contiguos. De cuántas maneras pueden acomodar si son tres parejas que quieren sentarse juntas dos a dos y dejar al amigo sin pareja en uno de los extremos? 12

13 2. PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE UN EVENTO Al estudiar un fenómeno aleatorio es posible que queramos saber el resultado que podemos esperar en lugar de otro, bajo ciertas condiciones. Para dar respuesta a esta inquietud es necesario conocer no sólo todos los resultados posibles del fenómeno sino también definir exactamente cada evento que se va a considerar y sus posibilidades de ocurrencia. La probabilidad de un evento de un espacio muestral es la razón entre el número de casos favorables del evento y el número de casos posibles, siempre y cuando la ocurrencia de cada uno de estos sea igualmente posible. Si EM es un espacio muestral de un experimento o fenómeno aleatorio y A es un evento de tal espacio, la probabilidad del evento A, P(A), se define como la razón entre el número de elementos de A y el número de elementos de EM Número de elementos de A P( A) = Número de elementos de EM 2.1. PROBABILIDAD CONDICIONAL Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. En probabilidad condicional la ocurrencia de un evento condiciona la probabilidad de un segundo evento. Sin embargo, hay muchos casos donde los eventos están totalmente sin conexión, y la ocurrencia de uno de ellos no cambia la probabilidad de ocurrencia del otro, en este caso se dice que son independientes. Sean A y B dos eventos y sea P [B] 0., A y B son eventos independientes si: P [A/B] = P [A], como consecuencia, si A y B son independientes y P [A/B] = P [A B] / P [B] = P[A] P [A B] = P[A] P [B] y viceversa. Dos eventos A y B son independientes si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones: 1. P [A/B] = P[A] 2. P [B/A] = P[B] 3. P [A B] = P[A]P[B] Observación: la proposición 3 se llama regla multiplicativa 13

14 2.2. REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD Ya se mencionó qué son los eventos mutuamente excluyentes y los que no lo son. Hay una regla general para calcular la probabilidad de eventos disyuntos, es decir, que son la combinación de eventos más simples, donde puede ocurrir uno u otro o ambos. Sea A un evento probable en un fenómeno aleatorio. P(A) su probabilidad d de ocurrencia. B otro evento probable en el mismo fenómeno aleatorio. P(B) su probabilidad de ocurrencia. Entonces, si son eventos mutuamente excluyentes: P(A o B) = P(A) + P(B) Esto significa que la probabilidad de que ocurra cualquiera de los dos es la suma de sus probabilidades. Pero, si no son eventos mutuamente excluyentes: P(A o B) = P(A) + P(B) P(A y B) Esto quiere decir que la probabilidad de que ocurra uno de ellos o ambos es igual a la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de que ocurran ambos. Por otra parte, un par de eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. En una selección de elementos de un conjunto dado, sin que los elementos se reintegren al conjunto, cada selección afecta la probabilidad de ocurrencia de las subsiguientes. En este caso tenemos eventos dependientes. 14

15 Si dos eventos son independientes, la probabilidad de ocurrencia de ambos se calcula multiplicando sus individuales probabilidades asociadas: P(A y B) = P(A) P(B) Una probabilidad condicional, de un suceso, se calcula con el conocimiento de otro suceso que ya ocurrió: ( ) P B A ( ) P AyB = P( A) Donde se espera que ocurra B, ya que A ya ocurrió. Ejemplo. Cuál es la probabilidad de que se integre un equipo de trabajo con dos mujeres y un hombre, si se eligen al azar los integrantes de un grupo de seis hombres y siete mujeres?. Para resolver el problema primero necesitamos saber cuántos equipos diferentes se pueden formar, sabemos que el equipo es de tres integrantes y que las personas que lo pueden formar son trece. Debemos emplear el análisis combinatorio. Calculamos las combinaciones de trece elementos tomados de tres en tres. En las calculadoras científicas se tiene la función para el cálculo de combinaciones, el símbolo es n C r. Entonces calculamos 13 C 3. El resultado es 286 Otra forma de calcularlos es con la expresión n C r n! = r! n r! ( ) Ahora falta saber cuántos equipos se pueden formar con dos mujeres y un hombre, para ello nuevamente recurrimos al análisis combinatorio. Puesto que la idea de que un equipo está formado por dos mujeres y un hombre de un total de siete mujeres y seis hombres, se puede traducir en dos mujeres forman el equipo de un total de siete y un hombre de un total de seis. Al ser eventos independientes aplicamos la regla descrita y además el análisis combinatorio. ( ) ( C ) C Calculando esto, se obtiene el número Entonces hay 126 maneras diferentes de formar un equipo con dos mujeres y un hombre, además hay 286 formas diferentes de integrar a los equipos. Por lo tanto la probabilidad de que un equipo esté formado por dos mujeres y un hombre es: P = = = = 44.05%

16 EJERCICIOS 1. El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe, por experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, cuál es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa? 2. Si lanzas un dado normal de seis caras dos veces, Cuál es la probabilidad de obtener: a) Pares de seis? b) Sumas pares? c) Sumas diez? d) Sumas de a lo más diez? e) Sumas superior a diez) 3. Una bolsa contiene seis bolas azules, cuatro bolas rojas, tres bolas verdes y una bola negra. Si extraes al azar un par de bolas, cuál es la probabilidad de que: a) Salga una negra? b) No salga ninguna verde? c) Ambas sean azules? d) Las dos sean diferentes? e) Las dos sean del mismo color? 4. Un avión de alto rendimiento contienen tres computadoras idénticas. Se utiliza únicamente una para operar el avión; las dos restantes son repuestos que pueden activarse en caso de que el sistema primario falle. Durante una hora de operación la probabilidad de que una falle en la computadora primaria( o de cualquiera de los sistemas de repuesto activados) es 0,0005. Suponiendo que cada hora representa un ensayo independiente, (a) Cuál es el tiempo promedio para que fallen las tres computadoras? (b) Cuál es la probabilidad de que las tres computadoras fallen en un vuelo de 5 horas? 5. De una bolsa que tiene cinco bolas rojas y tres azules se saca una bola y luego se saca la otra. a) cuál es el espacio muestral si la primera se devuelve a la bolsa antes de sacar la segunda? (con reposición). b) Cuál es el espacio muestral si la primera no se devuelve antes de sacar la segunda (Sin reposición). c) Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sacadas sean del mismo color si no hubo reposición? Cuál si hubo reposición?. 6. Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo, a) cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local? b) Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local? c) Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local? 7. Si lanzas 3 monedas simultáneamente, Cuál es la probabilidad de que el lanzamiento sea: a) Tres caras o tres sellos? b) Por lo menos una cara? c) Ninguna cara? 16

17 UNIDAD 2 1. VALOR ESPERADO Y VARIANZA 1.1. VALOR ESPERADO El valor esperado es un concepto fundamental en el estudio de las distribuciones de probabilidad. Desde hace muchos años este concepto ha sido aplicado ampliamente en el negocio de seguros y en los últimos veinte años ha sido aplicado por otros profesionales que casi siempre toman decisiones en condiciones de incertidumbre. Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, multiplicamos cada valor que ésta puede asumir por la probabilidad de ocurrencia de ese valor y luego sumamos los productos. Es un promedio ponderado de los resultados que se esperan en el futuro Propiedades del valor esperado Al multiplicar todos los valores de una variable por una misma constante, el valor esperado de ésta queda multiplicado por el valor de la constante. Sea X una Variable Aleatoria que toma valores en un conjunto discreto (en un conjunto finito de números en uno infinito como: los naturales, los enteros o los racionales), por ejemplo si la variable aleatoria X toma los siguientes valores: X = 0, 1, 2, 3, decimos que es discreta La probabilidad de que X tome cada uno de sus valores viene dada por la función de probabilidad: P(X = i ), para i = 0, 1, 2, 3,... ; Sea P(X = i ) = p i para i = 0, 1, 2, 3,... Se tiene que p 1 + p 2 + p p n +... = Al sumar a todos los valores de una variable una misma constante, el valor esperado de ésta queda incrementado por el valor de la constante. Se define el Valor Esperado de una Variable Aleatoria con distribución discreta como: Y para una variable aleatoria con distribución continua como: 17

18 Si tenemos dos variables X e Y, discretas o continuas, el valor esperado de su suma o diferencia es la suma o diferencia de sus valores esperados Es importante indicar que la independencia de las variables es condición suficiente pero no necesaria para que el valor esperado del producto de dos variables sea igual al producto de sus valores esperados, es decir, ésta es una propiedad de las variables independientes pero se cumple en variables que no son independientes. EJERCICIOS 1. Lanzamos dos monedas. Si salen dos caras recibimos 3 pesos, si sale una cara recibimos 1 peso y si no sale ninguna cara pagamos 5 pesos. Cuál es la ganancia media del juego? E[X ± Y] = E[X] ± E[Y] Si las variables anteriores, X e Y son variables aleatorias independientes ocurre que el valor esperado de su producto es igual al producto de sus valores esperados. 2. Hallar el valor esperado de la variable aleatoria X, dada por la función de probabilidad: 3. Una caja contiene 8 bombillos, de los cuales están 3 están defectuosos. Se selecciona un bombillo de la caja y se prueba. Si este sale defectuoso se selecciona y se prueba otro bombillo, hasta que se escoja un bombillo no defectuoso. Encuentre el número esperado E de bombillos seleccionados. 4. La probabilidad de que una casa de cierto tipo quede destruida por un incendio en cualquier período de doce meses es de Una compañía de seguros ofrece al propietario una póliza de seguros contra incendio por $20,000 (dólares) a un año con una prima de $150 dólares. Cuál es la ganancia esperada de la compañía? E[X Y] = E[X] E[Y] 18

19 1.2. VARIANZA La desviación media es una medida de dispersión de datos correcta pero presenta un inconveniente y es la complejidad de manipulación al intervenir valores absolutos. Sería conveniente encontrar otra medida que no presente el problema inicial (que no se compensen las dispersiones negativas con las positivas) y cuyo manejo se hace más sencillo. Otra forma de evitar la compensación de dispersiones es elevar al cuadrado la diferencia y es más sencillo trabajar con cuadrados que con valores absolutos, teniendo en cuenta esta consideración introducirémos el concepto de varianza. La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística. Es decir que la varianza de una variable es igual a la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media. El principal problema de la varianza es que se expresa en unidades cuadráticas que no siempre tienen una interpretación clara. Para obviar este problema se define otra medida de la dispersión que es la desviación típica, σ X, o simplemente σ, que se calcula como la raíz cuadrada positiva de la varianza; evidentemente, la desviación típica se mide en las mismas unidades que la variable No obstante, la desviación típica no resuelve todos los problemas que se pueden plantear, como por ejemplo la comparación de situaciones en las que la unidad de medida o el orden de magnitud de esta sea diferente. Para resolver esta cuestión se define una medida adimensional de la variabilidad que es el coeficiente de variación, C V, que se calcula como el cociente entre la desviación típica y la media (a veces este cociente se expresa en tanto por ciento multiplicándolo por 100). La varianza de una variable mide la dispersión de sus valores respecto al valor central µ. Para calcular la varianza por un método más sencillo se utiliza la expresión: En este contexto de la medida de la variación se plantea el problema de medir la variación conjunta de variables de variables asociadas. Supongamos que tenemos dos variables aleatorias X e Y, discretas o continuas, con función de probabilidad o densidad conjunta f(x,y) y definimos una función z(x,y) igual al producto de las desviaciones de cada valor a su media respectiva (es decir, z(x,y) tiene la misma estructura que (X - µ) 2 = (X - µ) (X - µ) si sustituimos una vez a X por Y). 19

20 Varianza para datos agrupados Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores Varianza para datos NO agrupados Ejemplo: Calcular la varianza de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, Propiedades Como sumamos cuadrados la varianza siempre es positiva y será nula cuando todos los valores de la variable sean coincidentes y por tanto iguales a la varianza. Al elevar al cuadrado elevamos la unidad de medida de las observaciones al cuadrado. Al elevarse al cuadrado las desviaciones aquellos valores más alejados de la media afectarán mucho a la varianza. Es invariante ante cambios de origen. Si se produce un cambio de escala la nueva varianza es igual a la anterior multiplicada por el cuadrado del cambio. Si se produce simultáneamente un cambio de origen y escala en los datos, sólo el cambio de escala afectará a la varianza. 20

21 EJERCICIOS 1) Sumando 5 a cada número del conjunto 3, 6, 2, 1, 7, 5, obtenemos 8, 11, 7, 6, 12, 10. Probar que ambos conjuntos de números tienen la misma desviación típica pero diferentes medias cómo están relacionadas las medias?. 2) Multiplicando cada número 3, 6, 2, 1, 7 y 5 por 2 y sumando entonces 5, obtenemos el conjunto 11, 17, 9 7, Cuál es la relación entre la desviación típica de ambos conjuntos? Y entre las medias? 3) Tenemos una variable X de la que sabemos que: CV = 0,5 y que Sx = 3. Cuál es el valor de la media de X?. 4) Tenemos dos variables X e Y con el mismo recorrido y media, siendo sus varianzas 4 y 9 respectivamente. Para cual de las dos variables el valor de la media es más representativo? 2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Una variable aleatoria X se llama binomial si su valor es igual al número de éxitos que ocurren en n pruebas independientes, teniendo todas ellas la misma probabilidad de éxito, que designamos por p. Su función de probabilidad es: Si una variable X sigue la distribución binomial de parámetros n y p suele designarse como: Las constantes n y p son los parámetros de la distribución; obviamente, n > 0 es un número entero y 0 p 1. La probabilidad de obtener fracaso es 1 p y se designa con la letra q de forma que p + q = 1. El cálculo de la media, la varianza y la desviación típica es algo laborioso y resulta: Experiencias binomiales. Toda experiencia aleatoria que presenta dos resultados posibles, uno que fijamos como exito y lo contrario como fracaso se suele denominar de tipo Bernouilli. Por ejemplo las siguientes experiencias son de tipo Bernouilli: Jugar a cara o cruz. El nacimiento de un niño (varón o mujer) Obtener un 4 en el lanzamiento de un dado. Obtener un número par en el lanzamiento de un dado. Obtener copas al extraer una carta de la baraja española. La fabricación de una pieza en una factoría (aceptable o defectuosa). El resultado de una operación (éxito o fracaso). El lanzamiento a una canasta (encestar o fallar). Aprobar o suspender un examen. Cuando se realizan n pruebas independientes de tipo Bernouilli decimos que es una experiencia aleatoria de tipo Binomial. Por ejemplo las siguientes experiencias son de tipo Binomial: Jugar 10 veces a cara o cruz. Observar 30 nacimientos de un bebé (niña o niño) Obtener el 4 en el lanzamiento de 15 dados. Obtener copas al extraer una carta 8 veces de la baraja española. La fabricación de 1000 piezas en un factoría (aceptable o defectuosa). El resultado de 50 operaciones (é o fracaso). El lanzamiento a una canasta n veces (encestar o fallar). 21

22 EJERCICIOS 1. La probabilidad de que cierto jugador de baloncesto enceste una canasta de 3 puntos es 0.3. Cuál es la probabilidad de que enceste, exactamente dos canastas de cinco lanzamientos? 2. La probabilidad de que un estudiante que ingresa en la universidad se licencie en 5 años es de 0.4. Se eligen al azar 10 estudiantes. Calcular la probabilidad de que: a) Ninguno se licencie en 5 años. b) Todos se licencien en 5 años. c) Un único estudiante se licencie en 5 años. 3. Una máquina produce 12 piezas defectuosas de cada mil que fabrica. Hallar la probabilidad de que al examinar 40 piezas: a) Solo haya una defectuosa. b) No haya ninguna defectuosa. 4. En un grupo de 20 estudiantes de un instituto se ha comprobado que cada alumno falta a clase el 4% de los días. Calcular la probabilidad de que en un día determinado: a) No se registre ninguna falta. b) Falten a clase menos de 3 estudiantes. c) Falte a clase un único estudiante. 5. En una determinada ciudad, la probabilidad del nacimiento de una niña es del 56%. Seleccionamos una familia de cinco hijos. Calcular la probabilidad de que: a) Tenga exactamente 3 niñas. b) Tenga al menos dos niñas. c) Cuál es el número medio de hijas en las familias con cinco hijos?. 3. DISTRIBUCIÓN DE POISSON En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo. Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles) PROPIEDADES La función de masa de la distribución de Poisson es donde k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces). λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10 4 = 40. e es la base de los logaritmos naturales (e = 2, ) 22

23 Tanto el valor esperado como la varianza de una Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número variable aleatoria con distribución de Poisson son de particiones de tamaño n. iguales a λ. Los momentos de orden superior La moda de una variable aleatoria de distribución de son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatoria. De hecho, Poisson con un λ no entero es igual a, el mayor cuando el valor esperado de la distribución de de los enteros menores que λ (los símbolos Poisson es 1, entonces según la fórmula de representan la función parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ 1. La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles. La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ 0 a otra de parámetro λ es 3.2. RELACIÓN CON OTRAS DISTRIBUCIONES Sumas de variables aleatorias de Poisson. La suma de variables aleatorias de Poisson independientes es otra variable aleatoria de Poisson cuyo parámetro es la suma de los parámetros de las originales. Dicho de otra manera, si manera que se mantenga constante, la distribución límite obtenida es de Poisson Aproximación normal. Como consecuencia del teorema central del límite, para valores grandes de, una variable aleatoria de Poisson X puede aproximarse por otra normal dado que el cociente son N variables aleatorias de Poisson independientes, entonces: Distribución binomial. La distribución de Poisson es el caso límite de la distribución binomial. De hecho, si los parámetros n y de una distribución binomial tienden a infinito y a cero de converge a una distribución normal de media nula y varianza Distribución exponencial. Supóngase que para cada valor t > 0, que representa el tiempo, el número de sucesos de cierto fenómeno aleatorio sigue una distribución de Poisson de parámetro λt. Entonces, los tiempos discurridos entre dos sucesos sucesivos sigue la distribución exponencial. 23

24 EJEMPLO: Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de Poisson. En este caso concreto, k es 5 y, λ,, el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo tanto, la probabilidad buscada es Este problema también podría resolverse recurriendo a una distribución binomial de parámetros k = 5, n = 400 y =0, PROCESOS DE POISSON La distribución de Poisson se aplica a varios fenómenos discretos de la naturaleza (esto es, aquellos fenómenos que ocurren 0, 1, 2, 3,... veces durante un periodo definido de tiempo o en un área determinada) cuando la probabilidad de ocurrencia del fenómeno es constante en el tiempo o el espacio. Ejemplos de estos eventos que pueden ser modelados por la distribución de Poisson incluyen: El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente distantes de los semáforos) durante un periodo definido de tiempo. El número de errores de ortografía que uno comete al escribir una única página. El número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto. El número de servidores web accedidos por minuto. El número de animales muertos encontrados por unidad de longitud de ruta. El número de mutaciones de determinada cadena de ADN después de cierta cantidad de radiación. El número de núcleos atómicos inestables que decayeron en un determinado período El número de estrellas en un determinado volumen de espacio. La distribución de receptores visuales en la retina del ojo humano. La inventiva de un inventor a lo largo de su carrera. 24

25 EJERCICIOS 1. Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de estos fallos es ocho, a) cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas? b) y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas? c) cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas? 2. Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribución Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por milímetro. a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un milímetro de alambre. b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 milímetros de alambre. c) Determine la probabilidad de al menos una imperfección en 2mm de alambre 3. La contaminación constituye un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico. El número de partículas de contaminación que ocurre en un disco óptico tiene una distribución de Poisson y el número promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del disco es 0.1. El área de un disco bajo estudio es 100 centímetros cuadrados. a) Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco bajo estudio. b) La probabilidad de que ocurran cero partículas en el área del disco bajo estudio c) Determine la probabilidad de que 12 o menos partículas ocurran en el área del disco bajo estudio 4. DISTRIBUCIÓN NORMAL La función de distribución normal juega un papel central en la estadística ya que, además de sus interesantes propiedades de reproductividad y de aproximación de otras distribuciones, sirve para modelizar una gran cantidad de situaciones prácticas. La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes. De hecho, la estadística es un modelo matemático que sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional. La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos. Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son: caracteres morfológicos de individuos como la estatura; caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco; caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos; caracteres psicológicos como el cociente intelectual; nivel de ruido en telecomunicaciones; errores cometidos al medir ciertas magnitudes; etc. La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es 25

26 aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal. Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una supuesta "normalidad". En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas. En la figura se muestran dos distribuciones normales, con media µ = 0 y desviaciones típicas σ = 1 y σ = 0.5. Como las dos tienen la misma media µ = 0, la función n roja es mas alargada pues tiene menos variabilidad que la azul. Una variable aleatoria X se dice que tiene una distribución de probabilidades normal con media µ y varianza σ 2 y se denomina N(µ, σ 2 ) si su función de densidad es de la forma: donde µ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviación estándar (σ 2 es la varianza). Se llama distribución normal "estándar" a aquélla en la que sus parámetros toman los valores µ = 0 y σ = 1. En este caso la función de densidad tiene la siguiente expresión: 4.1. LA NORMAL N(0; 1) La normal típica, tiene media µ = 0 y desviación típica σ = 1, N(0; 1) y se designa con la letra z. Para calcular las probabilidades P(Z z0) = Φ(z0) En la figura se muestra la función n de densidad y se aprecia que es simétrica respecto de x = µ y los puntos de inflexión de la función n de densidad se encuentran a una distancia σ de la media. se diseña una tabla que proporciona las respectivas probabilidades. 26

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28 Ejemplo: Si z es normal N z (0; 1) hallar: P(z 0) P(z 1) P(z 2) Solución: Ahora vas a manejar la tabla en forma inversa. Nos dan la probabilidad y calculamos culamos el valor de la variable z 0 que acumula dicha probabilidad. Ejemplo: Hallar z 0 de la normal N z (0; 1) en cada caso: P(z < z 0 ) = P(z < z 1 ) = P(z < z 2 ) = Solución: 28