Módulo de aprendizaje

Transcripción

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2 COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA Módulo de aprendizaje Geometría y Trigonometría Hermosillo, Sonora, enero del 2010

3 COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Calle La escondida no. 34, Col. Santa Fe, Hermosillo, Sonora, México. C.P Geometría y trigonometría Módulo de aprendizaje Copyright, 2010 por Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora Todos los derechos reservados Primera edición Impreso en México Registro ISBN:

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6 DIRECTORIO MTRO. Martín Alejandro López García Director General M.C. José Carlos Aguirre Rosas Director Académico ING. José Francisco Arriaga Moreno Director Administrativo L.A.E. Martín Francisco Quintanar Luján Director de Finanzas LIC. Alfredo Ortega López Director de Planeación Lic. Gerardo Gaytán Fox Director de Vinculación C.P. Rafael Pablos Tavares Director del Órgano de Control

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8 Geometría y Trigonometría Datos del alumno Nombre Plantel Grupo Turno Domicilio Teléfono Celular

9 COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA. DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Calle La Escondida #34, Col. Santa Fe, Hermosillo, Sonora, México. CP Geometría y trigonometría Módulo de aprendizaje Segundo semestre Elaboradores Eneida Domínguez Gracia Francisco Javier Cruz Barra Jorge Luis Figueroa Arce Ranulfo González Olivas Ma. Asunción Santana Rojas Supervisión académica Ma. Asunción Santana Rojas Eneida Esmeralda Montaño Martínez Jesús Enrique Córdova Bustamante Coordinación técnica Sandra Elivia Becerril López Coordinación general José Carlos Aguirre Rosas

10 BACHILLERATO TECNOLÓGICO UBICACIÓN CURRICULAR COMPONENTE: de formación básica CAMPO DE CONOCIMIENTO: Matemáticas CRÉDITOS: 8 HORAS SEMANALES: 4 ASIGNATURA ANTECEDENTE: Álgebra ASIGNATURA CONSECUENTE: Cálculo

11 ESTRUCTURA GENERAL DE LA MATERIA DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA Figuras Geométricas Generalidade s Ángulos Triángulos Polígonos Circunferencia TRIGONOMETRÍA Funciones Trigonométricas Identidades Trigonométricas Relaciones Trascendentes Ecuaciones Trigonométricas Ecuaciones Exponenciales Ecuaciones Logarítmicas

12 INDICE Presentación.. Recomendaciones para el alumno... Competencias. UNIDAD I: GEOMETRÍA Evaluación diagnóstica Generalidades Antecedentes Históricos y conceptos básicos Conceptos básicos Método deductivo Método inductivo Ángulos Notación y clasificación Sistemas de Medición Conversiones Teoremas Triángulos Notación y Clasificación Rectas y puntos notables Teoremas Autoevaluación Instrumentos de evaluación 72 UNIDAD II: POLIGONOS, CIRCUNFERENCIAS Y FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. 75 Evaluación diagnóstica Polígonos 79 11

13 Notación y Clasificación Ángulos interiores y exteriores Diagonales Perímetros y áreas Teoremas Circunferencia Elementos Ángulos en la circunferencia Área del Círculo Perímetros Áreas de Figuras circulares Teoremas Funciones Trigonométricas Relaciones trigonométricas Funciones en el triángulo rectángulo Funciones en el triángulo rectángulo Funciones en el círculo unitario Resolución de triángulos rectángulos Autoevaluación Instrumentos de evaluación UNIDAD III: TRIGONOMETRÍA 141 Evaluación diagnóstica Triángulos Oblicuángulos Ley de senos Ley de cosenos

14 3.2 Identidades trigonométricas Identidades fundamentales Demostración de identidades Ecuaciones Trigonométricas Propiedades Procedimientos de solución Ecuaciones Exponenciales Propiedades Procedimientos de solución Ecuaciones Logarítmicas Propiedades Procedimientos de solución Autoevaluación Instrumentos de evaluación Criterios de evaluación Respuestas de las autoevaluaciones Glosario. 192 Bibliografía

15 PRESENTACIÓN El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, comprometido con la calidad educativa, ha implementado acciones que apoyan tu desarrollo académico, siendo una de estas, la elaboración del presente módulo de aprendizaje, el cual pertenece a la asignatura de Álgebra, que cursarás durante este tu primer semestre. La asignatura de Geometría y Trigonometría, tiene como propósito desarrollar la capacidad de la orientación espacial, mediante el análisis y representación de problemas que implican figuras geométricas en un clima de participación y responsabilidad. Para lograr lo anterior, éste módulo de aprendizaje se conforma de tres unidades, descritas a continuación: UNIDAD I. Geometría UNIDAD II. Polígonos, circunferencia y funciones trigonométricas UNIDAD III. Trigonometría En el contenido de estas unidades, se relaciona la teoría con la práctica, a través de ejercicios, encaminados a apoyarte en el desarrollo de las competencias requeridas para los alumnos que cursan esta asignatura. Seguros de que harás de este material, una herramienta de aprendizaje, te invitamos a realizar siempre tu mayor esfuerzo y dedicación para que logres adquirir las bases necesarias, para tu éxito académico. 14

16 RECOMENDACIONES PARA EL ALUMNO El presente módulo de aprendizaje, representa un importante esfuerzo que el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, ha realizado, para brindarte los contenidos que se abordarán en la asignatura de Geometría y Trigonometría. Los contenidos de Geometría, serán abordados a través de diversos textos, ejercicios, evaluaciones, entre otras actividades. Cabe mencionar, que algunas de las actividades propuestas las deberás realizar de manera individual mientras que en algunas otras, colaborarás con otros compañeros formando equipos de trabajo bajo la guía de tu profesor. Para lograr un óptimo uso de este módulo de aprendizaje, deberás: Considerarlo como el texto rector de la asignatura, que requiere sin embargo, ser enriquecido consultando otras fuentes de información. Consultar los contenidos, antes de abordarlos en clase, de tal manera que tengas conocimientos previos de lo que se estudiará. Participar y llevar a cabo cada una de las actividades y ejercicios de aprendizaje, propuestos. Es muy importante que cada una de las ideas propuestas en los equipos de trabajo, sean respetadas, para enriquecer las aportaciones y lograr aprendizajes significativos. Considerarlo como un documento que presenta información relevante en el área de las Matemáticas, a ser utilizado incluso después de concluir esta asignatura. Identificar las imágenes que te encontrarás en los textos que maneja el módulo de aprendizaje, mismas que tienen un significado particular: Esperando que este material de apoyo, sea de gran utilidad en tu proceso de aprendizaje y así mismo, despierte el interés por conocer y aprender más sobre esta ciencia, te deseamos el mayor de los éxitos. 15

17 Evaluación diagnóstica que cada estudiante debe responder al inicio de cada unidad para saber su grado de conocimiento. Ejercicio que se elaborará en equipo. Ejercicio que se elaborará de manera individual. Ejemplo del tema tratado en clase. Tarea que se elaborará en casa, relacionada con el tema visto en clase. Tarea de investigación. Material recortable que utilizará para resolver algunas de las tareas a elaborar en casa. Ejercicios que se elaborarán para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana. Examen de autoevaluación que se resolverá al final de cada unidad. Aprendizajes a lograr, descritos al inicio de cada subtema. 16

18 COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA Desarrollar la capacidad de la orientación espacial, mediante el análisis y representación de problemas que implican figuras geométricas, en un clima de participación y responsabilidad. Utiliza reglas modelos algebraicos para resolver problemas geométricos Resuelve problemas cotidianos utilizando operaciones algebraicas. 17

19 COMPETENCIAS Genéricas: Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Disciplinarias: Construir e interpretar modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formular y resolver problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explicar e interpretar los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 18

20 Unidad I GEOMETRÍA 19

21 COMPETENCIAS Al término de esta unidad, el estudiante: Construir e interpretar modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formular y resolver problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explicar e interpretar los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. TEMARIO 1.1. GENERALIDADES Antecedentes Históricos Conceptos básicos Método deductivo Método inductivo 1.2. ÁNGULOS Notación y clasificación Sistemas de medición Conversiones Teoremas 1.3. TRIÁNGULOS Notación y clasificación Rectas y puntos notables Teoremas

22 Evaluación diagnóstica 1.- Rama de las Matemática que estudia las figuras y sus propiedades. a) Álgebra b) Probabilidad c) Aritmética d) Geometría e) Cálculo 2.- Figura formada por tres lados y tres ángulos a) Rectángulo b) Circunferencia c) Triángulo d) Rombo e) Trapecio A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción múltiple relacionadas con operaciones básicas y algunos temas de álgebra que profundizarás con más detalle a lo largo a las actividades del cuaderno de trabajo. Esfuérzate por contestarlas subrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final del cuaderno de trabajo. 3.- Un ángulo recto es aquel cuya medida corresponde a: a) 180 b) 90 c) 45 d) 360 e) Se les llama así a las líneas que nunca se juntan o intersectan por más que se prolonguen. a) Oblicuas b) Paralelas c) Perpendiculares d) Concurrentes e) Divergentes 5.- Nombre que recibe el ángulo que mide menos de 90 a) Completo b) Llano c) Entrante d) Recto e) Agudo 21

23 6.- Dos figuras que tiene la misma forma pero diferente tamaño se llaman: a) Congruentes b) Equivalentes c) Semejantes d) Opuestas e) Excluyentes 7.-Las líneas que al cortarse forman ángulo de 90 reciben el nombre de: a) Paralelas b) Perpendiculares c) Concurrentes e) Divergentes e) Equivalentes 8.- Nombre que recibe el ángulo que mide el ángulo de 180 a) Colineal o llano b) Recto c) Obtuso d) Entrante e) Agudo 9.- Nombre que recibe el triángulo con tres lados iguales. a) Triángulos b) Equiángulo c) Obtusángulo d) Equilátero e) Isósceles 10.- Es la medida de los ángulos interiores de todo triángulo. a) 45 b) 90 c) 180 d) 360 e)

24 1.1. GENERALIDADES Antecedentes Históricos Aprendizajes a lograr Sesión 3 Conoce y diferencia las aportaciones más relevantes que hicieron culturas como los babilonios, asirios, egipcios y los griegos Identificar personajes que le dieron el carácter de ciencia a la geometría. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Sin duda alguna, ya estás familiarizado con figuras geométricas y algunas propiedades características de cada una de ellas, sin embargo el propósito de este tema es que conozcas algunos hechos trascendentales a lo largo de la historia; y como algunas culturas de la antigüedad hicieron aportaciones importantes a la geometría. Posteriormente tendrás la oportunidad de profundizar con más detalle reuniéndote en equipo y de forma individual resolverán situaciones donde apliquen las propiedades y teoremas importantes en la solución de problemas reales. Como podrás recordar, la Geometría es una ciencia que estudia las propiedades de las figuras geométricas, sin embargo es considerada como una de las Ramas de las Matemáticas más intuitivas y relacionadas con la realidad y que ha evolucionado en forma creciente en abstracciones y generalidades. EJEMPLO. En la historia de la humanidad se han hecho inventos que se basaron en propiedades y características de distintas figuras y cuerpos geométricos; como la rueda cuya aplicación inicial fue al transporte y posteriormente se aplicó a los molinos de granos. En Egipto la construcción de las pirámides requirió de conocimientos de la Geometría. 23

25 Ejercicio no. 1 Individual Realiza la siguiente lectura y contesta el cuestionario localizado al final de esta actividad. Etapas de la Geometría Según escritos encontrados a lo largo de la historia de la humanidad, los hechos más importantes referidos a la ciencia de la Geometría apuntan a las culturas de los babilonios, egipcios y los griegos. Sumerios Babilonios. Las culturas que se desarrollaron alrededor de los ríos Tigris y Éufrates de la antigua Mesopotamia fueron los sumerios, acadios, asirios y babilonios; en base a las necesidades de resolver algunos problemas comunes, ya calculaban áreas de algunas figuras geométricas, como el rectángulo y el triángulo; se les atribuye la invención de la rueda y la obtención del grado sexagesimal como proceso de dividir la circunferencia en 360 partes iguales, establecieron las primeras aproximaciones de pi ( mediante la relación numérica entre el diámetro y su circunferencia. Egipcios Debido a que la población vivió prácticamente en los márgenes del rio Nilo, su principal actividad fue la agricultura, uno de los problemas que enfrentaron fue los desbordamientos del ríos en época de lluvia por lo que literalmente arrasaba con las tierras de cultivo y que constantemente tenías que realizar medidas de perímetros y áreas para delimitar sus parcelas con la finalidad de calcular el nuevo pago de impuestos que debían hacer como dueños del terreno, de aquí que Geometría provenga del vocablo Griego Geo (tierra) y metría( medida) y que significa medidas de tierras, así que prácticamente se le atribuye el descubrimiento de la geometría a raíz de ese fenómeno. Además calcularon áreas de triángulos como el isósceles, trapecio y círculo así como volúmenes de poliedros como el caso de las pirámides; dieron un valor aproximado para igual a , como herramienta de medición característica de esa fecha surge el cordel como regla y compás para la construcción y diseño de las pirámides. Griegos Los primeros tratados formales de la geometría datan de la época de Tales de Mileto; famoso por su teorema de las rectas paralelas y por haber hecho las primeras aproximaciones de las alturas de las pirámides de Egipto mediante la proporcionalidad entre los lados de los triángulos semejantes, fundó la escuela Jónica distinguiéndose entre los discípulos más destacados Pitágoras de Samus famoso por su teorema del triángulo rectángulo. Otro personaje famoso fue Arquímedes de Siracusa quién descubrió diversas formas de medir la superficie de algunas figuras curvas, así como el área y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas como los cilindros, aunque sobresalieron otros personajes 24

26 famoso por sus contribuciones, sin duda el personaje considerado por algunos como el que le dio un orden lógico a todas las aportaciones de la Geometría fue Euclides de Alejandría quién escribió la obra cumbre llamada los Elementos y que consiste en 13 tomos o volúmenes considerados como la base de la Geometría Elemental o Euclidiana dichos manuscritos contiene todas las contribuciones en orden lógico compuestos por toda la base axiomática, sus postulados, teoremas y lemas. Cuestionario 1.- Nombre de las culturas que se establecieron en la antigua Mesopotamia y que se les atribuye la invención de la rueda. 2.- La significa medida de tierras. 3.- Los le dieron carácter de ciencia a la geometría. 4.- fue quién estableció el teorema entre las rectas paralelas y realizó las primeras aproximaciones de la altura de las pirámides de Egipto. 5.- En se realizaban cálculos de perímetros y áreas debido al desbordamiento del rio 6.- Este personaje estableció el teorema que lleva su nombre y que relaciona los cuadrados de los lados del triangulo fue quien organizó toda la teoría de la Geometría agrupándola en volúmenes. 9.- Esta cultura dividió la circunferencia en obteniendo así el grado 10.- Es el nombre que recibió la obra más famosa de la antigüedad y donde se organiza y establece toda la teoría axiomática de la Geometría. 25

27 Conceptos Básicos Sesión 4 Dentro de la Geometría existen algunos elementos considerados por algunos, como conocimientos primitivos, por no poderse definir apropiadamente y que se consideran como la base de la construcción de todas las figuras y cuerpos geométricos. Aprendizajes a lograr Define los elementos básicos en la construcción de figuras geométricas. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.. EJEMPLO. Para poder trazar una línea siempre partimos de un punto, para dibujar un ángulo utilizamos dos líneas que parten de un mismo punto, para dibujar un plano o superficie es necesario utilizar por lo menos tres líneas; para construir un cuerpo geométrico utilizamos superficies o planos Tarea de investigación no. 1 Investigar de manera individual, cuáles son los elementos básicos de la geometría y realiza el ejercicio No. 1 de manera individual 26

28 Ejercicio no. 2 Individual Sesión 5 En base a lo investigado previamente, completa la siguiente tabla y comenta tus resultados ante el grupo. Elemento Geométrico Idea o concepción Representación Notación Se considera carente de dimensiones y se determina a partir de la huella que deja la punta del lápiz o pluma Se caracteriza por medio de una sucesión continua de puntos con una misma dirección Plano Segmento de recta A B 27

29 Método Deductivo Aprendizajes a lograr Describe las características principales del método deductivo Describe las distintas proposiciones lógicas que hacen del método deductivo su consistencia Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Sin duda alguna; fue el razonamiento adoptado por los griegos permitiéndole construir de forma lógica toda la teoría axiomática de la Geometría logrando alcanzar el carácter de ciencia. Describe las características del razonamiento deductivo Este método consiste en encadenar de forma lógica enunciados o proposiciones verdaderas de tal forma que se puedan obtener nuevos conocimientos verdaderos a partir de ellos. Aunque no todas las proposiciones son posibles deducirse de otras, la validez o veracidad de estas, las hace clasificarse en axiomas, teoremas, postulados, corolarios, lemas y escolios. Una característica significativa de este razonamiento es que comúnmente parte de leyes generales para aplicarlas a casos particulares. Enunciados escritos en forma deductiva: EJEMPLO. a. Los ángulos interiores de un triangulo suman 180 b. El triangulo rectángulo tiene un ángulo recto. d. Tarea de investigación no. 2 c. Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo suman 90 Investiga en qué consiste el método deductivo y cuales son el tipo de proposiciones utilizadas y en qué consiste cada una de ellas. Reúnete en equipo con la ayuda de tu profesor y contesta el ejercicio No. 2 de manera individual 28

30 Ejercicio no. 3 Individual En base a lo investigado previamente, coloca sobre las líneas la palabra axioma, postulado, teorema, lema y corolario según tu información obtenida. 1.- El es una proposición que sirve de base a la demostración de un teorema considerado en ocasiones como un teorema preliminar a otro que se considera más importante. 2.- Esta proposición se deduce de un teorema como consecuencia del mismo Es una proposición tan sencilla y evidente que se admite sin ninguna demostración. 4.- El es una proposición que puede ser demostrada mediante el uso de un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición. 5.- Se le llama así a la proposición que a pesar que no es tan evidente se admite sin demostración Método Inductivo Aprendizajes a lograr Sesión 6 Definir el método inductivo. Generalizar una propiedad a partir de situaciones particulares Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Prácticamente es lo opuesto al método deductivo por partir de situaciones particulares y llegar a conclusiones que. generalizan una situación determinada. Aunque en ocasiones suele ser un poco impreciso debido a que no todo el tiempo se puede generalizar una situación particular o sacar predicciones o conjeturas verdaderas. 29

31 En Matemáticas puede ser útil para inducir alguna expresión que generaliza una situación particular. Enunciados que implican la forma inductiva: La suma de los primeros números impares naturales: 1 = = 1 EJEMPLO. 1+3 = = = = = = = = 25 Entonces podemos concluir que para los primeros n números naturales: n = n 2 Otro ejemplo que genera una conjetura falsa es el caso siguiente: Supongamos que un alumno se ha dado cuenta que el último viernes de cada mes, durante los últimos tres meses, el maestro ha venido poniendo exámenes sorpresa. Esto no garantiza que el último viernes del próximo mes el maestro aplicará un examen sorpresa. Tarea de investigación no. 3 Investiga en qué consiste el método inductivo. 30

32 Ejercicio no. 1 Grupo Considerando la investigación realizada y reúnete en parejas resolver las situaciones siguientes y comenta los resultados de manera grupal. 1.- Explica brevemente en qué consiste el método inductivo y da un ejemplo. 2.- Cuántos cuadros tendrá la figura siguiente? 3.- Observa la situación siguiente y concluye cuantos apretones de mano se darán 7 personas? 1 persona 2 personas 3 personas 4 personas 0 apretones de manos 1 apretones de manos 3 apretones de manos 6 apretones de manos 31

33 Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana Nombre Grupo Turno Fecha Instrumento de evaluación Página Escribe sobre la línea, las palabras: Línea horizontal, líneas paralelas, línea vertical, ángulo, plano y líneas perpendiculares; según lo indique cada una de las letras en la vivienda. a: B: C: D: E: F: a D F C B E 32

34 1.2. ÁNGULOS Notación y clasificación Aprendizajes a lograr Sesión 7 Define y representa de forma simbólica y geométrica a los ángulos Diferencia con efectividad a los ángulos de acuerdo a su medida y comparación con otro. Nombra a los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una secante o transversal. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. En la vida cotidiana, estamos rodeados de figuras geométricas y muchas de ellas tienen como elementos a los ángulos. EJEMPLO. 33

35 Ejercicio no. 4 Individual Revisa la siguiente información referente a la definición, notación y clasificación de los ángulos y contesta la actividad al final de la lectura. Cuando dos rectas se cortan o intersectan, dividen al plano en cuatro regiones llamadas ángulos. En particular si nos referimos a uno de ellos, entonces un ángulo es el que se forma por dos semirrectas que parten del mismo punto. Las semirrectas reciben el nombre de lados del ángulo y el punto de partida se llama vértice. Lado Vértice Ángulo Lado En la notación de los ángulos se utiliza el símbolo precedido de una letra mayúscula que se coloca en el vértice; o tres letras mayúsculas cuidando que la que se encuentra en el vértice quede en medio de las otras dos; también se utiliza una letra minúscula o un número arábigo que se coloca dentro del ángulo.; la letra minúscula también puede ser una letra del alfabeto griego. A BAC ó CAB a 34

36 En base a su medida los ángulos reciben diferentes nombres Agudo menos de 90 menomenos Recto = 90 Obtuso mayor 90 de Colineal o llano = 180 Entrante o cóncavo mayor a 180 Perígono o completo = 360 Actividad: Escribe el nombre correspondiente en torno su medida de cada uno de los ángulos identificados en la vivienda. A D E B C C = D = E = 35

37 Cuando un ángulo comparte elementos en común con otro, entonces estos ángulos reciben diferentes nombres dependiendo a la posición y amplitud de cada uno de ellos. Una recta que corta a dos rectas paralelas, forma con ella 8 ángulos. Por la posición que tiene cada uno de ellos reciben diferentes nombres. Los ángulos a y b reciben el nombre de b a ángulos externos c d g f e h Tarea de investigación no. 4 Investiga en qué consisten los ángulos adyacentes, consecutivos, opuestos por el vértice, complementarios, suplementarios, conjugados y los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante o transversal y con ella resuelve el ejercicio No. 4 de la siguiente sesión. Ejercicio no. 2 Grupo Reúnete en pareja y tomando como referencia la tarea de investigación No. 4, realiza la siguiente actividad y compara tus respuestas ante el grupo. I.- Identifica los ángulos que correspondan en cada figura y escribe en la segunda columna el número o números que correspondan al tipo de ángulos de acuerdo a su definición a b a b a b 36

38 5 6 a 4 b a b a b c ÁNGULOS Complementarios Adyacente Suplementarios Consecutivos Conjugados Opuestos por el vértice 2 y FIGURA No. 2.- Escribe en los espacios en blanco la palabra que concuerde con el enunciado. a) Son dos ángulos que sumados equivalen a 90 b) Los ángulos suman 360 c) Los ángulos son los que están formados de tal manera que un lado es común y los otros dos pertenecen a la misma recta. d) tienen el mismo vértice y los lados de uno son las prolongaciones del otro además son iguales. e) Los ángulos suman 180 f) Son aquellos que tiene un lado en común y el mismo vértice. 37

39 3.- Identifica en la siguiente figura el nombre que corresponda a los siguientes b a c d g f h e NOMBRE DEL ÁNGULO Externos LETRAS a Internos e Alternos externos a = g Alternos-internos c = e Correspondientes a = e 38

40 Sistemas de medición Aprendizajes a lograr Sesión 9 Identifica y diferencia las características propias de cada sistema de medición Realiza conversiones de la forma sexagesimal a decimal y viceversa. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Las unidades de medidas angulares más comunes son los grados sexagesimales y lo radianes. El sistema sexagesimal consiste en la división de la circunferencia en 360m partes iguales, una de esas partes corresponde a un grado 1. A su vez cada grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos ( ) y cada minuto en 60 partes iguales llamados segundos ( ). Un ángulo que mida 23 grados con 15 minutos y 12 segundos se escribe como: El sistema Circular: su unidad de medida es el radián (rad), consiste en la abertura de un ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia y sus lados cortan un arco cuya longitud es igual al radio de la misma. 39

41 EJEMPLO. Generalmente utilizamos medidas angulares como la cual llamaremos forma común o decimal. Para expresarla a la forma sexagesimal, se multiplica la parte decimal por 60. (0.42 ) x 60 =25.2 entonces tenemos 25 minutos (25 ) y la parte decimal (0.2 ) x 60 = 12. Por lo tanto la medida = Si se tiene un ángulo en forma sexagesimal para convertirlo a la forma común, dividimos 42 /60 = 0.7 y lo sumamos a los minutos = 25.7 y dividimos de nuevo entre /60 = y se lo sumamos a lo grados obteniendo = Ejercicio no. 5 Individual Realiza las siguientes conversiones como se te indica en cada parte. I. Convierte cada medida a la forma sexagesimal. a) = b) 56.5 = c) = II. Convierte las siguientes medidas a la forma decimal. a) = b) = c) = 40

42 Conversiones Aprendizajes a lograr Sesión 10 Conoce y aplica la equivalencia en la conversión de unidades angulares Realiza conversiones de grados a radianes y radianes a grados. Realiza conversiones entre el sistema de radianes a grados como múltiplos de Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. De acuerdo a definición del radián; hay 2 rad en la circunferencia, entonces como Consecuencia 2 rad = 360 ó rad = 180 Si rad = 180 cuántos grados equivale 1 radián? EJEMPLO. Utilizando una regla de tres simple: 1 rad = 180/ = = Para convertir 1.5 rad a grados solo se multiplica por (57.29 ) = Para convertir 200 a radianes solo se divide entre /57.29 = 3.49 rad 41

43 Ejercicio no. 6 Individual Realiza las siguientes conversiones como se te indica en cada parte y comparte tus respuestas ante el grupo. I. Utiliza la equivalencia 1rad = y convierte las siguientes medidas a grados. a) 6 rad = b) 1.4 rad = c) 4.5 rad = II. Utiliza la equivalencia 1rad = y convierte las siguientes medidas a radianes. d) 400 = e) 160 = f) 80 = 42

44 Sesión 11 Cuando la medida de un ángulo está como múltiplo de radianes, se sustituye este valor por 180. Si queremos convertir rad simplemente sustituimos por 180 en este caso Otro caso Ejercicio no. 3 Grupo Reúnete en parejas y completa la tabla siguiente utilizando los ejemplos anteriores, posteriormente comparte tus respuestas ante el grupo Radianes Grados

45 44

46 Tarea no. 1 Nombre Grupo Turno Fecha Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios: 1.- Al expresar en grados a se obtiene: a) 60 b) 170 c) 360 d) 270 e) Expresar 3/2 radianes en grados, nos da como resultado: a) 100 b) 720 c) 270 d) 150 e) Al cambiar 4π/5 a grados se obtiene como resultado: a) 144 b) 414 c) 414 d) 414 e) 144 Resultado Recomendaciones y observaciones 45

47 46

48 1.2.4 Teoremas Aprendizajes a lograr Sesión 12 Conoce los teoremas relacionados con ángulos Resuelve problemas donde aplica los distintos teoremas relacionados con los ángulos Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Teorema No.1 Dos ángulos adyacentes son suplementarios. EJEMPLO. Por definición dos ángulos son adyacentes si tienen el mismo vértice y tienen un lado en común, estando los lados no comunes sobre la misma recta. Teorema No.2: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. 47

49 En la figura se muestran dos ángulos adyacentes, determina el valor de x. Solución: Los ángulos 2x y x+60 son suplementarios, por lo tanto suman 180 ; es decir tendremos la ecuación 2x +x + 60 = 180 Reduciendo los términos semejantes y transponiendo 60 ; la ecuación se convierte en: 3x = =120. Despejando el 3 resulta: x = 120 /3 = 40 2 X X + 60 Ejercicio no. 4 Grupo Reúnete en equipo de tres y determina el valor de la incógnita en cada uno de los siguientes ejercicios 1 2 x x

50 Teorema No.3: Los ángulos consecutivos alrededor de una recta suman 180 Sesión 13 Teorema No.4: Los ángulos consecutivos alrededor de un punto suman 360 Solución: Los ángulos son consecutivos y por lo tanto la suma Determina equivale el a valor 360. de x, en la siguiente figura. En este caso la suma de los ángulos se obtiene de la expresión: X X 2x+ (x+12 ) + (x-6 ) =360 ; reduciendo los términos semejantes y eliminando paréntesis se obtiene: 4x = 360, despejando x se tiene: 110 X

51 Ejercicio no.5 no.11 Grupo Reúnete en equipo de tres y determina el valor de la incógnita en cada uno de los siguientes ejercicios 1 2 2x x+30 x x+4 Procedimiento 50

52 Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana Nombre Grupo Turno Fecha Instrumento de evaluación Página Resuelva cada uno de los siguientes problemas: 1.- En la figura el ángulo que forma la escalera con la pared es de Determina el a) 47 b) c) d) e) Un clavo se encuentra insertado justo en la parte superior de un neumático; cuántos grados tiene que girar la rueda para que el neumático se encuentre justo entre el neumático y el suelo? a) 90 b) 360 c) 270 d) 45 e)

53 1.3 TRIÁNGULOS Sesión Notación y clasificación El triángulo es una figura formada por tres lados y tres ángulos; sus propiedades y teoremas relacionados, son una pieza importante en la solución de problemas reales. Aprendizajes a lograr Conoce la diferentes formas de representarlos Define a los triángulos en base a la medida de sus lados y sus ángulos Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. EJEMPLO. Las propiedades de rigidez de los triángulos son de suma importancia en la construcción de estructuras por que le dan firmeza y estabilidad. 52

54 Tarea de investigación no. 5 Investiga el concepto de triángulos, la notación y su clasificación en términos de los lados y sus ángulos y resuelve el ejercicio No.8 Ejercicio no. 6 Grupo En base tarea de investigación No.5 de la Reúnete en equipos de tres integrantes y resuelve los siguientes ejercicios. I. Relaciona las dos columnas, escribiendo en el paréntesis de la columna de la izquierda la clave de la respuesta localizada en la columna de la derecha ( ) Es la figura formada por tres lados y tres ángulos SON Escaleno ( ) Se le llama así al triángulo con tres lados iguales BEU Obtusángulo. ( ) Es el nombre del triángulo con un ángulo recto. ROS Equilátero ( ) Nombre del triángulo con todos sus ángulos OLD Isósceles agudos. ( ) Nombre del triángulo con dos lados iguales y uno WE Triángulo diferente. S ( ) Nombre del triángulo con sus tres lados diferentes NAV Rectángulo ( ) Nombre del triángulo con un ángulo obtuso y dos agudos. HER Acutángulo 53

55 II. Escribe sobre la línea el nombre que corresponda a cada triángulo de acuerdo a su clasificación Rectas y puntos notables Aprendizajes a lograr Sesión 15 Nombre e identifique las rectas y puntos notables en el triángulo. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 54

56 Tarea de investigación no. 6 Investiga los conceptos relacionados con rectas y puntos notables en el triángulo y contesta de manera individual los ejercicios No. 9 EJEMPLO. En determinada región, existen varias comunidades que se vinculan a través del comercio. Si se quisiera construir un centro de salud que estuviera a la misma distancia de las tres comunidades marcadas en la figura; el circuncentro sería el más apropiado. Centro de Salud 55

57 Ejercicio no. 7 Grupo En base tarea de investigación No.5 de la Reúnete en equipos de tres integrantes y resuelve los ejercicios siguientes. I. Relaciona las dos columnas, escribiendo en el paréntesis de la columna de la izquierda la clave de la respuesta localizada en la columna de la derecha ( ) Semirrecta que pare del vértice y divide al ángulo en dos partes iguales ( ) Se le llama así al punto de intersección de las medianas del triángulo. ( ) Nombre que recibe la línea que parte de uno de los vértices y es perpendicular al lado opuesto o a su prolongación. SON JLF ENG Mediana Incentro Mediatriz ( ) Nombre del punto de intersección de las alturas del triángulo. ROG Ortocentro ( ) Se le llama así al la recta que es perpendicular a un lado del triángulo en su punto medio. ( ) Nombre que recibe el punto de intersección de las mediatrices. BEU OLD Baricentro Altura ( ) Recibe por nombre a la línea que parte del vértice y pasa por el punto medio del lado opuesto. TWN Bisectriz ( ) Es el punto de intersección de las bisectrices. MAR Circuncentro 56

58 II. Identifica en cada una de las siguientes figuras las rectas y puntos notables indicados. 57

59 Teoremas Sesión 16 Aprendizajes a lograr Conocer los teoremas relacionados con los ángulos en los triángulos. Aplicar los teoremas en la solución de problemas para determinar ángulos en los triángulos. Se conoce y valora así mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Teorema 1: La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180 Teorema 2: En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos, son complementarios. Teorema 3: En todo triángulo, cualquier ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él. 58

60 Determinar el valor del a partir de los ángulos EJEMPLO conocidos. Solución: El = ( ) = = Ejercicio no. 8 Grupo Reúnete en equipos de tres y determina el valor del ángulo A en cada uno de los siguientes triángulos x x ABC Isósceles 59

61 Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos Sesión 17 En la figura los lados a y b se llaman catetos y c es la hipotenusa. En el triángulo los lados a y b se llaman catetos y el lado c se llama hipotenusa Algebraicamente se expresa por la fórmula c 2 = a 2 + b 2 EJEMPLO Determinar el valor de la hipotenusa a partir de los catetos conocidos en el triángulo 3 c Solución: Despejando c de la fórmula se tiene la expresión ; sustituyendo los valores de a y b en la formula Se tiene 4 La hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo son 15 y 9 respectivamente. Determinar la medida del otro cateto. En esta caso el valor de c = 15 y uno de los catetos es 9. Consideremos en este caso el cateto a = 9. De la expresión c 2 = a 2 + b 2 despejamos la letra b, pasando el término a 2 contrario; en este caso obtenemos b 2 = c 2 -a 2. al miembro 60

62 Por último despejamos el exponente y tenemos la expresión: Sustituyendo los valores de c y a respectivamente obtenemos el valor de b como se indica a continuación. En el caso que se hubiera tomado el valor de b; el cateto a quedaría determinado por: Ejercicio no. 9 Grupo Reúnete en parejas y determina el valor de lado desconocido en cada uno de los siguientes casos 1.- Determina el valor de la hipotenusa si los catetos de un triángulo rectángulo son: a= 6 y b= Determina el valor del cateto a partir de los datos que se te indican si la hipotenusa es c = 13 y uno de los catetos vale 6 61

63 3.- Determina el valor de x en la figura en cada una de la siguiente figura. 12 x Ejercicio no. 7 Individual Realiza las siguientes conversiones como se te indica en cada parte y comparte tus respuestas ante el grupo. 1. Determina el valor de la hipotenusa si los catetos de un triángulo rectángulo son: a= 7 y b = 7 2. Determina el valor del cateto a si la hipotenusa c= 34 y el cateto b = Determina el valor de x en la figura. x

64 Tarea no. 2 Nombre Grupo Turno Fecha INSTRUCCIONES: Resolver cada uno de los siguientes problemas, aplicando el teorema de Pitágoras. 1.- Calcular la base del triángulo rectángulo que tiene como hipotenusa 5 y como altura 4. a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de 5m por lado? a) 7 m b) 5.72m c) 7.07m d) 25m e) 6.17 m 3.- Cuánto mide el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 8m? a) 6.55 m b) 5.65 d) 7.35 m d) 5.56m e) 5.75 m Resultado Recomendaciones y observaciones 63

65 64

66 Semejanza de triángulos Sesión 18 Definición: En general decimos que dos figuras son semejantes, cuando tiene la misma forma pero diferente tamaño. En particular, la semejanza de triángulos se da en los siguientes casos: Cuando sus ángulos correspondientes son respectivamente iguales Cuando sus lados correspondientes son respectivamente proporcionales En ambos casos una condición implica la otra. El triángulo ABC es semejante al triángulo A B C y se escribe ABC A B C En este caso los él A= A, B = B y C = C La proporcionalidad de los lados correspondientes está dada por la expresión: EJEMPLO. Los triángulos mostrados a continuación, son semejantes. Determina el lado faltante. Solución: Como los triángulos son semejantes, los lados correspondientes son proporcionales; es decir: ; despejando el valor de x se tiene: 65

67 Otro ejemplo: Supongamos que un árbol, proyecta una sombra de 25 m. en el suelo; en ese mismo instante, una estaca de 1.2 m. de altura, proyecta una sombre de 2 m. Como se muestra en la figura, determinar la altura del árbol. Solución: Como los rayos solares son paralelos, los triángulos que se forman por los objetos y las sombras en el suelo son semejantes. En este caso: Algebraicamente equivale a la expresión: valores: ; despejando h y sustituyendo Ejercicio no.10 Grupo Reúnete en equipos de tres y resuelve cada uno de los siguientes ejercicios; posteriormente comenta con el grupo tus respuestas 1.- Determinar el valor del segmento CD de la figura mostrada a continuación. a) 9 b) 4 c) ½ d) 2 e)

68 2.- En la figura DE 4 CD 5 y BC 9. Determina el valor de x a) 7.2 b) c) 1.8 d) 2.25 e) Un poste de la luz proyecta una sombra de 5.8 m en el suelo; en el mismo instante que una persona de 1.8 m de altura proyecta una sombra de 1.2 m. Determine la altura del poste. a) 3.8 m b) 8.7 m c) 9.6m d) 6.5 m e)

69 Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana Nombre Grupo Turno Fecha Instrumento de evaluación Página Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios. 1.- Se cuenta que con una escalera de 25 m y se desea subir al extremo de una torre de 10 m de altura A qué distancia se necesita colocar la base de la escalera para que el otro extremo coincida con la punta de la torre? a) m b) m c) m d) m e) 23.54m 2.- Una montaña proyecta una sombra de 536 m sobre el suelo, en el momento que un poste de un cerco que tiene 2.3 m de altura proyecta una sombra de 1.4 m. Qué altura tiene la montaña? a) 789.2m b) 912.4m c) m d) m e) m 68

70 Autoevaluación Nombre Grupo Turno Fecha Instrucciones: Subraya la respuesta correcta en cada caso: 1.- Rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las figuras y sus propiedades. a) Álgebra b) Trigonometría c) Geometría d) Cálculo e) Aritmética 2.- Personaje que organizó la geometría y le dio carácter de ciencia. a) Euclides b) Platón c) Tales de Mileto d) Pitágoras e) Aristóteles 3.- Es una línea recta que tiene un punto inicial y no tiene punto final a) Quebrada b) Segmento c) Curva d) Semirrecta e) Mixta 4.- Nombre del triángulo que tiene todos sus ángulos agudos. a) Obtusángulo b) Isósceles c) Rectángulo d) Acutángulo e) Oblicuo 5.- Es una semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales. a) Mediatriz b) Bisectriz c) Altura d) Paralela e) Mediana 69

71 6.- Ángulo que mide 90 a) Recto b) Agudo c) Llano d) Entrante e) Adyacente 7.- Nombre que recibe el método que parte de casos particulares para llegar a conclusiones que generalizan una situación determinada. a) Inductivo b) Deductivo c) Científico d) Empírico e) Experimental 8.- Dos ángulos que suman 90 se llaman? a) Rectos b) suplementarios c) Congruentes d) Complementarios e) Conjugados 9.- A cuál de las siguientes opciones? Corresponde el uso del símbolo AB a) Semirrecta b) Segmento de recta c) Ángulo d) Recta e) Triangulo 10.- En la figura siguiente que letras representarían a dos ángulos correspondientes a) a y h b) c y d c) e y d d) b y h e) f y g 11.- De acuerdo a la figura cuál de los siguientes valores correspondería al valor de x? a) 9.16 b) 6 c) d) e)

72 12.- Cuál de los siguientes valores correspondería al valor que x representa en la figura? a) 9 b) 7.8 c) 10 d) e) Determinar el valor del segmento CD de la figura mostrada a continuación. a) 9 b) 4 c) ½ d) 2 e) En la figura, los triángulos ECD es semejante al triángulo ABC ;, y. Determina el valor de x a) 7.2 b) c) 1.8 d) 2.25 e) Históricamente fue en esa cultura donde inician los primeros trabajos empíricos de la geometría, debido a las inundaciones del Rio Nilo. a) Grecia b) Arabia c) Egipto d) Mesopotamia Babilonia 71

73 INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN Evaluación del desempeño (ejercicios) En equipo No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones Sí No Ponderación Calif. 1 Se integró al equipo Mostró interés por el 0.4 tema. 3 Mostró conocer los 0.4 conceptos que utilizó 4 Mostró habilidad para 0.43 responder a los ejercicios 5 Aplicó correctamente 0.43 el procedimiento Calificación de esta evaluación 2.06 Individual No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones Sí No Ponderación Calif. 1 Mostró interés por el tema Mostró conocer los 0.5 conceptos que utilizó 3 Mostró habilidad para 0.53 responder a los ejercicios 4 Aplicó correctamente 0.53 el procedimiento Calificación de esta evaluación 2.06 Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación 72

74 Evaluación de productos (tareas y ejercicios aplicados a la vida cotidiana): No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones Sí No Ponderación Calif. 1 Resolvió el total de los 0.3 ejercicios 2 Resolvió 0.4 correctamente los ejercicios 3 Entregó en tiempo y 0.3 forma indicada los ejercicios. 4 Realizó correctamente 0.36 las operaciones. Calificación de esta evaluación 1.36 Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación Evaluación de Productos (investigaciones): No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones Sí No Ponderación Calif. 1 Entregó en tiempo y 0.36 forma 2 La información fue 0.5 clara y acorde al tema 3 Presentación del 0.5 trabajo Calificación de esta evaluación 1.36 Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación 73

75 74

76 Unidad II POLÍGONOS, CIRCUNFERENCIA Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 75

77 Al término de esta unidad, el alumno: COMPETENCIAS Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Temario 2.1. POLÍGONOS Notación y clasificación Ángulos interiores y exteriores Diagonales Perímetros y áreas Teoremas 2.2. CIRCUNFERENCIA Elementos Ángulos en la circunferencia Área del círculo Perímetro Áreas de figuras circulares Teoremas 2.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Relaciones trigonométricas Funciones en el triángulo rectángulo Funciones en el plano cartesiano Funciones en el círculo unitario Resolución de triángulos rectángulos 76

78 Evaluación diagnóstica A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción múltiple relacionadas con los temas de la unidad II, los cuales profundizarás con más detalle a lo largo a las actividades del cuaderno de trabajo. Esfuérzate por contestarlas subrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final del cuaderno de trabajo. 1. Un rectángulo es? a) Regular b) Irregular c) Cóncavo d) Complejo e) Equilátero 2. Un rectángulo 72 m 2 de área y 18 m de base Cuánto mide de altura? a) 6 m b) 4 m d) 2 m c) 9 m e) 7 m 3. En una circunferencia: el ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y está formado por dos cuerdas, se llama a) Ángulo central d) Ángulo interior b) Ángulo exterior e) Ángulo semi inscrito c) Ángulo inscrito 4. Cuál es el área de la región sombreada? a) 7.14 m 2 b) 0.86 m 2 c) m 2 d) 1.27 m 2 e) 8.57 m 2 5. Si en un hexágono se trazan diagonales desde uno de sus vértices cuántas diagonales se obtienen? a) 6 e) 3 m b) 12 c) 36 d) 2 m 77

79 6. Calcula el perímetro de una circunferencia que mide 5 m de diámetro a) m b) m c) 7.85 m d) 25 m e) m 7. Las ruedas de un coche tienen 70 cm de diámetro. Calcula cuantas vueltas dan en un viaje de 80 Km de distancia. a) 57, b) 78, c) 36, d) 32, e) 23, Halla el valor numérico de 2 sen 20 cos 70. a) 5.71 b) c) d) e) Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sus catetos miden a = 6m y b = 8 m. a) 48 m d) 24 m b) 10 m e) 5 m c) 4 m 10. Dada Tan A = 2/5 halla el valor de Cot A a) Cot A = 4/7 b) Cot A = 5/2 c) Cot A = 3/7 d) Cot A = 2/6 e) Cot A = 7/4 11. Halla el valor de Sen 10 a) Sen 90 b) Cot 10 c) Cos 80 78

80 2.1. POLÍGONOS Sesión Notación y clasificación Aprendizajes a lograr Define un polígono. Clasifica los polígonos de acuerdo al número de lados. Identifica propiedades generales de los polígonos. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita. En este nuevo tema se abordará una clasificación de los polígonos regulares e irregulares. Se identifican sus respectivas propiedades que se aplican en su búsqueda de dimensiones. Se obtiene el perímetro y área correspondiente. Como podrás recordar la Geometría Plana es una parte de la geometría elemental que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano, es decir, estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como el triángulo o el circulo. Los ejercicios que se involucran en esta actividad te ayudarán a entender dichas propiedades y aplicarlas en el mundo que te rodea. Ánimo! Y a cumplir con las actividades, recuerda que la fórmula del triunfador, en cualquier actividad de la vida, es: Optimismo + Atención + Dedicación = ÉXITO. Polígono: Es una figura plana delimitada por una poligonal cerrada donde los segmentos son los lados del polígono y los puntos de intersección de los segmentos son los vértices del polígono. La palabra polígono viene del griego polígono. De polys que significa muchos y de gonia que significa ángulos. Digamos que la "traducción" más precisa de la palabra polígono sería "figura que tiene muchos ángulos". Para nombrar los polígonos se nombran sus vértices en forma ordenada según el giro de las manecillas del reloj, o bien, en sentido contrario. Otra forma de nombrar a los polígonos es con la abreviación Poly seguido de un número. EJEMPLO Polígono ABCDEFA, ó Polígono AFEDCBA Poly1 79

81 Tarea de investigación no. 1 Los polígonos se clasifican según el cuadro sinóptico adjunto. Investiga y anota en tu cuaderno cada una de las subclasificaciones que se te presentan. Esta actividad será evaluada por la lista de cotejo que se encuentra en la página 135. Polígono convexo: Polígono regular. Polígono irregular. Polígono simple: Polígono cóncavo: Polígono Polígono complejo 80

82 Ejercicio no. 1 Grupo Reúnete en pareja y clasifica el polígono de acuerdo a los lados que tenga. Esta actividad se trabajará en tu cuaderno y evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 131. Número de lados Polígono 3 Triángulo Heptágono Hexadecágono 20 81

83 Ejercicio no. 2 Grupo Reúnete en pareja y identifica las propiedades generales de cada polígono y clasifícalo de acuerdo al cuadro sinóptico dado. Para lograrlo puedes tomar como referencia la investigación de la sesión anterior y el ejemplo dado en la primera columna. Esta actividad se trabajará en tu cuaderno y evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 131. Polígono: Simple Complejo Cóncavo Convexo Equilátero Equiángulo Regular Irregular 82

84 Ángulos interiores y exteriores Aprendizajes a lograr Sesión 20 Define los ángulos interiores y exteriores de polígonos Identifica los ángulos interiores y exteriores en los polígonos Calcula la medida de ángulos interiores y exteriores en los polígonos. Identifica las relaciones referentes a los ángulos de los polígonos. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita. Los ángulos internos o interiores de un polígono están formados por cada dos lados consecutivos, mientras que los ángulos exteriores o externos de un polígono, son ángulos adyacentes a los interiores, obtenidos al prolongar los lados en un mismo sentido. Ángulos interiores: α, β, ε, δ, γ Ángulos exteriores: ζ, ε, δ, κ, I La suma de los ángulos exteriores de un polígono de n-lados es de 360, así que para un polígono regular (todos sus ángulos son iguales), cada uno mide 360 /n Por otro lado, recuerda que al abordar el tema de triángulos concluimos que: Los ángulos interiores de un triángulo suman 180. Por otro lado, sabemos que los cuadriláteros se pueden dividir dos triángulos, de lo cual podemos deducir que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero (cuadrado, rectángulo, paralelogramo, etc.), es 2 180º = 360º. 83

85 Y si es regular, cada uno mide 360 / 4 = 90 EJEMPLO Cuál es la suma de los ángulos interiores de un pentágono?. Si el polígono es regular cuánto mide cada ángulo interior? Respuesta: Sabemos que los pentágonos tienen 5 lados, y se puede dividir en tres triángulos, así que sus ángulos interiores suman = 540. Pentágono irregular Pentágono regular Si es regular (todos los ángulos son iguales), cada uno mide 540 / 5 =

86 Ejercicio no. 3 Grupo Organizados en equipos de tres, complementar las tablas adjuntas. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 131. Si es regular... Figura Lados Suma de los ángulos interiores Forma Cada ángulo Triángulo Cuadrilátero 4 90 Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Polígono de n- lados Si es regular... Figura Lados Suma de los ángulos exteriores Forma Cada ángulo exterior Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Polígono de n- lados 85

87 Diagonales Sesión 21 Aprendizajes a lograr Define y diferenciará una diagonal Calcula el número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice en polígonos. Calcula el número total de diagonales que pueden trazarse en un polígono Comunícate en forma oral y escrita. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Cuando vas adquirir un computadora, laptop o televisor es importante que analices sus características para que elijas la mejor opción, una de las características más comunes en estos productos es la medida de la pantalla, así por ejemplo decir que tiene monitor o pantalla de 10.1 ó 22, significa que la medida se toma de la siguiente manera: Laptop con Monitor de 10.1 T.V. con pantalla de 22 de igual forma los polígonos también tienen diagonales 86

88 Diagonales de un polígono Diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos Una de las diagonales de un pentágono sería: EJEMPLO Por otro lado, observa que el número total de diagonales del pentágono es igual a cinco. Observa cómo se traza cada una de éstas paso a paso: De igual forma puedes calcular el número total de diagonales de cualquier polígono. Grupo Ejercicio no. 4 Grupo Organizados en parejas completar la tabla adjunta. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 131. Polígono No. de lados No. de diagonales Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono 87

89 Octágono Eneágono Decágono Polígono de n- lados Un razonamiento más sencillo para determinar el número de diagonales de un polígono cualquiera es el siguiente: Supongamos que tenemos un polígono de n lados (n vértices), de cada vértice salen n-3 diagonales, ya que a él mismo y a los dos contiguos no hay diagonal. Tenemos entonces, n vértices por (n-3) diagonales de cada vértice. Con esta cuenta cada diagonal la contamos dos veces, entonces debemos dividir entre dos. Por tanto un polígono de n lados tiene d n = n.(n-3)/2 diagonales. Puedes hacer el cálculo con la expresión que se ha deducido en el ejercicio 4 Cuántas diagonales tiene un polígono de 20 lados? 88

90 Perímetros y áreas. Aprendizajes a lograr Sesión 22 Calcula perímetros y áreas de polígonos, mediante la aplicación y el análisis de teoremas de perímetros y áreas de figuras geométrica conocidas. Diferencia el perímetro y el área de un polígono. Comunícate en forma oral y escrita. El perímetro y área de los triángulos ya ha sido tratado, por lo que ahora se verá lo relacionado con el perímetro y área de algunos cuadriláteros en particular y de los polígonos regulares en general. Perímetro: Se le llama así a la longitud del contorno de una figura geométrica plana y cerrada. Superficie: Se llama así a la porción del plano limitada por un perímetro de acuerdo a la forma de la superficie, recibe el nombre de superficie triangular, cuadrada, rectangular, etc. Área: Es la medida de la superficie. El área se refiere al tamaño, en unidades de área. Como se observa a continuación, se dan las fórmulas necesarias para hacer los cálculos directamente y no se dice como se llago a ellas. Se debe aquí, en muchos casos, la obtención de la fórmula es complicada y requiere de conocimientos que se adquirirán en cursos más avanzados de matemáticas. De momento, lo importante es aplicar correctamente la fórmula y, de ser necesario, efectuar correctamente el despeje de la fórmula. Perímetros y áreas de los polígonos Nombre Dibujo Perímetro rea Triángulo P = Suma de los lados P = b + c + d p = semi perímero 89

91 Cuadrado P = 4 a Rectángulo P = 2(b + a) A = b a Rombo P = 4 a Romboide P = 2(b + c) A = b a Trapecio Trapezoide A = Suma de las áreas de los dos triángulos Área de un polígono regular En un polígono regular, si de su centro se trazan segmentos a cada uno de sus vértices, se forman tantos triángulos iguales como lados tenga el polígono. El área del polígono regular será igual al área de un triángulo multiplicada por el número de triángulos. Si el lado del polígono es l y la altura de cada triángulo es a (apotema del polígono), el área es: Si el polígono tiene n lados se forman n triángulos, entonces: 90

92 Como es el perímetro P del polígono, el área de éste es:, o bien, (Fórmula) El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto que resulta de multiplicar su perímetro por su apotema Nombre Dibujo Perímetro Área Polígono regular Calcular el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 8.5 cm. EJEMPLO Datos Fórmula Sustitución Resultado d 1 = 12 cm d 2 = 8.5 cm. 91

93 Ejercicio no. 1 Individual De forma individual determina el perímetro y el área de los siguientes polígonos. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página Calcular el área de un romboide de 173 cm de base y 216 cm de altura 2. Calcular el perímetro de un trapecio cuyos lados miden 13cm, 5cm, 8cm y 6 cm. 3. Calcular la medida del lado de un cuadrado que tiene perímetro 15 m. 4. El área de un rombo es de 22.5 m 2 y una de sus diagonales mide 9 m. Calcular la longitud de la otra diagonal. 5. El área de un trapecio es de m 2 y las bases miden 28m y 17m. Calcular la altura. 6. El área de un trapecio es 35 m 2, su base mayor mide 28 m y su altura mide 1.55 m. Calcular la base menor. 7. Cada una de las figuras siguientes (no están necesariamente a escala) tienen el perímetro que se indica. Encuentre el valor de x. a). P = 58 b). P = 42 C). P = 38 92

94 Teoremas Aprendizajes a lograr Sesión 23 Mediante la aplicación y el análisis de teoremas, calcula la medida de ángulos interiores y exteriores de cualquier polígono regular. Mediante la aplicación y el análisis de teoremas, calcula el número de diagonales de polígonos regulares. Comunícate en forma escrita. Los ángulos interiores y exteriores, el número de diagonales que se le pueden trazar desde un vértice y el número total de diagonales en los polígonos ya ha sido tratado, por lo que ahora se verán las generalidades en los polígonos en general. Generalidades en un polígono de n lados: 1. Número de diagonales desde un vértice (d) Si n es el número de lados de un polígono, d es el total de diagonales que se pueden trazar desde uno de sus vértices del polígono, entonces: d= n Número total de diagonales (D) Si n es el número de lados de un polígono y D es el total de diagonales que se pueden trazar desde todos los vértices del polígono, entonces: D= ½ n(n 3) EJEMPLO Dado un polígono regular de ocho lados (octágono), calcular: Solución: a) El número de diagonales que se pueden trazar desde uno de los vértices. b) El número total de diagonales. d = n 3= 8 3 = 5 D = ½ n(n 3) = (½) (8) (8-3)= 20 93

95 3. Medida de un ángulo interior (i) Si n es el número de lados de un polígono regular, e i es la medida de cada uno de los ángulos internos, entonces: i= 180 (n 2) / n 4. Suma de los ángulos interiores (Si) Si n es el número de lados de un polígono y Si es la suma de las medidas de sus ángulos internos, entonces: Si= 180 (n 2) La suma de los ángulos de un triángulo es 180º y de un cuadrilátero es 360º. 5. Medida de un ángulo exterior (e) Si n es el número de lados de un polígono regular, entonces la medida de cada ángulo exterior es: 6. Suma de los ángulos exteriores e = 360 /(Se) n Si n es el número de lados de un polígono, entonces la suma de los ángulos exteriores es siempre 360 : Se= 360 POLÍGONO n SUMA ÁNGULOS Triángulo Cuadrilátero = 360 Pentágono =540 Polígono n 180 (n-2) La suma de los ángulos de un polígono de n lados es 180 (n-2) Cuánto suman los ángulos interiores de un este polígono? 94

96 Ejercicio no. 2 Individual De forma individual determina lo que se te indica en cada ejercicio. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página Cuál es el número de diagonales que, desde un vértice, se pueden trazar en un dodecágono? 2. Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores suman 1260? 3. Cuántos lados tendrá un polígono regular, si sabemos que cada ángulo interior mide 140? 4. Cuánto suman los ángulos interiores de un heptágono? 5. Cuál es la medida de cada ángulo exterior de un polígono regular de 15 lados? Polígono Regular Número de lados n Ángulo Interior /n Divisor de 360 Triángulo Equilátero 3 60º SI Cuadrado 4 Pentágono Reg. 5 Hexágono Reg. 6 Heptágono Reg. Octógono Reg. Eneágono Reg. Decágono Reg. Undecágono Reg. Dodecágono Reg. Indica si el ángulo interior es divisor de 360º. 95

97 Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana Nombre Grupo Turno Fecha Instrumento de evaluación Página INSTRUCCIONES: Resuelve de forma individual determina el perímetro y el área de los siguientes polígonos 1. Se quiere vallar una propiedad cuyo terreno es de forma de polígono regular. Si se sabe que la longitud de cada lado del terreno mide 150m y que la suma de los ángulos interiores es de 900º. Cuántos metros de valla se necesitan? 2. Se quiere vallar una propiedad cuyo terreno es de forma de polígono regular. Si se sabe que cada ángulo interior del terreno regular mide 140º. Cuántos lados tiene? 3. Si los ángulos interiores de un terreno de forma de polígono regular mide 90 y de lado mide 200m. Cuántos metros de tela se necesitan para cercarlo? 4. Si los ángulos exteriores de un terreno de forma de polígono regular mide 40 y de lado mide 250m. Cuántos lados tiene dicho terreno? Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página

98 2.2. CIRCUNFERENCIA Sesión Elementos Aprendizajes a lograr Define una circunferencia. Diferencia el círculo de la circunferencia. Diferencia el semicírculo del círculo Diferencia la semicircunferencia de la circunferencia Identifica los elementos de una circunferencia. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita. La naturaleza ofrece múltiples ejemplos de círculos y circunferencias. La sección transversal de la tierra es circular, un corte transversal a un tallo también es circular. Se puede observar la gran variedad de aplicaciones que tienen los objetos circulares: Una llanta de un automóvil, en los componentes de un reloj se encuentran bastantes piezas circulares; podría enumerarse una infinidad de objetos de forma circular. Es común que se utilicen circunferencia y círculo como sinónimos, sin embargo, aun cuando estos conceptos están estrechamente vinculados, tienen significados que es preciso distinguir para poder aplicarlos correctamente. Para partir con este amplio e importante tema, primero aclararemos que es la circunferencia: CIRCUNFERENCIA: La circunferencia es una curva plana, cerrada, cuyos puntos equidistan de un punto fijo e interior llamado centro, es decir, es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro). SEMI-CIRCUNFERENCIA: Es un arco de longitud igual a la mitad de la circunferencia CÍRCULO: La superficie limitada por la circunferencia, es decir, la parte interior, es el círculo. SEMI-CÍRCULO: Es la región del plano comprendida entre un diámetro y la semicircunferencia correspondiente. Circunferencia círculo semi-circunferencia semi- círculo 97

99 Principales elementos de las circunferencias: Radio: Es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Es decir, es el segmento que tiene por extremos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro es de longitud dos veces el radio. D = 2R La longitud de la circunferencia dividida entre la longitud del diámetro es una constante que se llama Cuerda: Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. Arco: Es una parte de la circunferencia. El símbolo se lee: arco AB Tangente: Es la recta que toca a la circunferencia en un punto. El punto único se llama punto de tangencia o punto de contacto. Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos (partes). El centro y el radio son los elementos característicos de la circunferencia y del círculo. 98

100 Ejercicio no. 3 Individual De forma individual responde lo que se te indica en cada problema. En una discusión grupal dirigida por tu profesor compara tus repuestas con el resto del grupo. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página Dar el nombre que corresponde a cada uno de los puntos y/o rectas que se te indica AB: CD: EF: GH: OI: O: 2. En la circunferencia siguiente de centro O: P: Nombra 3 cuerdas : Nombra 4 radios Nombra la cuerda mayor Qué arco subtiende el ángulo DOC? Qué arco subtiende el ángulo CAB? 99

101 Tarea no. 1 Individual Qué arco es subtendido por el ángulo AOB? Nombre: Grupo: Turno: Fecha: INSTRUCCIONES: Con la ayuda de un compás y un transportador realiza en tu cuaderno de apuntes y en forma individual, las actividades que se proponen a continuación: Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 132. I. Trazar dos circunferencias de 2 cm y de 3 cm de radio cada una, y en ellas dibújese los elementos solicitados: a) un diámetro b) una tangente c) una cuerda de 1.5 cm d) una cuerda que subtienda un arco de 120º y otra que subtienda un arco de 45º e) Inscribir un cuadrado f) Inscribir un hexágono en una de las circunferencias y circunscribir otro en la segunda circunferencia. Resultado Recomendaciones y observaciones 100

102 Ángulos en la circunferencia Aprendizajes a lograr Sesión 25 Diferencia los diferentes ángulos en la circunferencia. Formula y resolver problemas. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita. Principales ángulos de la circunferencia: A). Ángulo central: Sus lados son dos radios. Su vértice es el centro de la circunferencia. B). Ángulo inscrito: Sus lados son cuerdas. Su vértice es un punto de la circunferencia. C). Ángulo interior: Sus lados son dos cuerdas que se cortan. Su vértice es un punto dentro la circunferencia. D). Ángulo exterior: Sus lados pueden ser dos secantes; una secante y una tangente o dos tangentes que se cortan en un punto fuera del círculo. Su vértice es un punto fuera de la circunferencia. E). Ángulo semiinscrito: Sus lados son una tangente y una cuerda. Su vértice es un punto de la circunferencia. 101

103 Los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales. La medida del ángulo inscrito es la mitad del ángulo central correspondiente. El ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. Grupal Ejercicio no. 5 Grupo Organizados en parejas identificar los ángulos que se te indican. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 131. I. Dada la circunferencia siguiente identificar los ángulos que se te indican 1. Cuál de las siguientes opciones representa un ángulo central? a) <JKN b) <OLM c) <OML d) <KNO e) <JON 2. Cuál de las siguientes opciones representa un ángulo inscrito? b) <JKN b) <OLM c) <OML d) <LOM e) <JON 102

104 3. Cuántos ángulos inscritos hay en la figura? c) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) más de 5 4. Cuántos ángulos centrales hay en la figura? d) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) más de 5 II. En la circunferencia siguiente de centro O: Nombra 4 ángulos del centro Nombra dos ángulos inscritos Nombra dos ángulos que subtienden el arco BC III. Un ángulo central mide 80 Cuánto mide el ángulo inscrito que comprende el mismo arco? a) 80 b) 40 c) 160 d) Todos los ángulos inscritos miden

105 Área del círculo Aprendizajes a lograr Sesión 26 Calcula el área del círculo a partir de datos dados. Formula y resolver problemas. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita. Las fórmulas para encontrar el área del círculo son: Calcular el área del círculo que mide: Solución: a). EJEMPLO a) 3 m de radio. b) 1.5 m de diámetro. b). El área de un círculo es igual al valor de su radio elevado al cuadrado multiplicado por. 104

106 Grupal Ejercicio no. 6 Grupo Organizados en parejas resuelve en tu cuaderno de apuntes los siguientes ejercicios. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página Calcular el área de un círculo que mide: a) 2.5 m de radio. b) 7.5 cm de diámetro. c) 1.75 km de radio. 2. Dado un círculo que tiene un área de: a) m 2, hallar el radio. b) m 2, hallar el diámetro. c) 324π, hallar el diámetro. d) 25π, hallar el radio Perímetro Aprendizajes a lograr Sesión 27 Calcula el perímetro del círculo. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita. Longitud de la circunferencia Sabías que: Una rueda, al dar una vuelta completa, describe una trayectoria cuya longitud es el perímetro de la circunferencia de la rueda. 105

107 A trabajar 1. Dibuja una línea de dos centímetros. 2. Abre tu compás con esa medida. 3. Dibuja una circunferencia, en un papel, utilizando esa medida, que será de radio 2 centímetros y por lo tanto 4 centímetros de diámetro. 4. Recorta la circunferencia. 5. Coloca una lana o pitilla pegada sobre el molde de la circunferencia. 6. Mide la extensión de la lana utilizada con una regla, la medida corresponde al perímetro de la figura. 7. Luego dibuja y recorta circunferencias (perímetro del círculo) con las siguientes medidas a) 6 cm. de diámetro (radio 3 cm.) b) 8 cm. de diámetro (radio 4 cm.) c) 10 cm. de diámetro (radio 5 cm.) d) 12 cm. de diámetro (radio 6 cm.) 8. Mide la longitud de la circunferencia o perímetro del círculo 9. Completa la tabla con las medidas obtenidas. Perímetro encontrado Diámetro de la circunferencia 4 cm. Cociente entre el perímetro y el diámetro: P/d 6 cm. 8 cm. 10 cm. 12 cm. Te darás cuenta que el cociente entre el perímetro y el diámetro de la circunferencia es un valor que es independiente del tamaño de la circunferencia. 106

108 El cociente es constante y corresponde aproximadamente a 3, veces en la longitud de la circunferencia. A este número se le llama con la letra griega pi. ( ) Así, Diámetro = AB = AC =CD = DE Radio = OA = O 1 G Concluimos entonces que el perímetro de un círculo es una circunferencia y su ecuación es: donde: o P es el perímetro es la constante matemática pi (π = ) es el radio es el diámetro del círculo La longitud de una circunferencia es igual al valor de su diámetro multiplicado por 107

109 EJEMPLOS 1. Calcular el perímetro de la circunferencia que tiene por diámetro 12 cm. Solución: = (12 cm) (π)= cm 2. Calcular el perímetro de la circunferencia que tiene por radio 25 m? Solución: = (2)(25 cm) (π)= cm 108

110 Tarea no. 2 Individual Nombre: Grupo: Turno: Fecha: INSTRUCCIONES: De forma individual determina lo que se pide. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página Si la circunferencia mide de perímetro cm. Cuánto mide su diámetro? 4. Si la circunferencia mide de perímetro m. Cuánto mide su radio? 5. Qué símbolo hace referencia a π? 6. Calcular el perímetro de la circunferencia que tiene por diámetro 5 m? 7. Si el radio de una circunferencia es 10 m. Cuánto mide el perímetro del cuadrado circunscrito a ella? 8. Determina la longitud de una circunferencia si el perímetro del cuadrado que la circunscribe es de 40 cm. Resultado Recomendaciones y observaciones 109

111 110

112 Áreas de figuras circulares Aprendizajes a lograr Sesión 28 Calcula el área de figuras circulares. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunicarte en forma oral y escrita. Para calcular el área del círculo basta con conocer su radio. Del resto de figuras circulares, como el sector, el segmento, la corona o el trapecio, habrá que conocer otros elementos identificativos. Longitud y área de figuras circulares Nombre Dibujo Longitud Área Circunferencia L = 2πR Arco Círculo A = πr 2 111

113 Sector circular Corona circular A = π(r 2 r 2 ) Ejercicio no. 7 Grupal Organizados en parejas encuentren el valor del área sombreada en cada una de las siguientes figuras. En una discusión grupal dirigida por tu profesor compara tus repuestas con el resto del grupo. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página a) Cuánto mide el diámetro? b) Cuánto mide el radio? c) Cuál es el área total del círculo? d) Cuánto mide cada lado del cuadrado? e) Cuál es el área del cuadrado? f) Cuál es la diferencia entre las áreas? g) Cuánto mide el área sombreada? 112

114 2. a) Cuánto mide cada lado del cuadrado? b) Cuál es el área total del cuadrado? c) Cuánto mide el radio del círculo? d) Cuál es el área del círculo? e) Cuál es la diferencia entre el área del cuadrado y la del círculo? f) Cuánto mide el área de la región sombreada? 3. a) Cuánto mide cada lado del cuadrado? b) Cuál es el área total del cuadrado? c) Cuánto mide la diagonal del cuadrado? d) Cuál es el radio del círculo? e) Qué parte del círculo es cada sector circular? f) Qué parte del círculo completas con los dos sectores circulares? g) Cuál es la diferencia entre el área del cuadrado y la de los sectores circulares? h) Cuánto mide el área de la región sombreada? 113

115 4. Encuentre analítica y gráficamente el área de los sectores circulares siguientes. Empléese π = a) Ángulo central 50 y radio 3 cm. b) Ángulo central 75 y radio 5.8 m. 5. Encuentre el área de los sectores circulares sombreados. Responda en función de π 6. Unos círculos tangentes exteriormente uno a uno, con radios congruentes, están colocados en un rectángulo como lo ilustra la figura. Cuál es el área de la región sombreada? 114

116 Teoremas Aprendizajes a lograr Sesión 29 Calcula la medida de ángulos en figuras circulares. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita. Principales teoremas de ángulos de la circunferencia: A). Teorema: B). Teorema: Todo ángulo central se mide por el arco comprendido entre sus lados. Todo ángulo inscrito en la circunferencia tiene por medida la mitad del arco comprendido entre sus lados. COROLARIO 1. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. COROLARIO 2. Todos los ángulos inscritos que comprenden un mismo arco o arcos son iguales. Ejercicio no. 8 Grupal Organizados en parejas encuentren el valor de los ángulos en cada una de las siguientes figuras. En una discusión grupal dirigida por tu profesor compara tus repuestas con el resto del grupo. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página Si <BDC es un ángulo inscrito y <BOC es un ángulo central, como se ilustra, hallar < BOC, si <BDC = Si <GRT y <GST son ángulos inscritos, como se ilustra, hallar < GRT y <GST si GT es el diámetro 115

117 Sesión 30 C). Teorema: D). Teorema: Todo ángulo formado por dos cuerdas que se cortan (ángulo interior) tiene por medida la semisuma de las medidas de los arcos comprendido entre sus lados. Todo ángulo formado por dos secantes que se cortan fuera de la circunferencia (ángulo exterior) tiene por medida la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendido entre sus lados. E). Teorema: Todo ángulo formado por una tangente y una cuerda (ángulo semiinscrito) tiene por medida la mitad de la medida de su arco subtendido por la cuerda Ejercicio no. 9 Grupal Organizados en parejas encuentren el valor de los ángulos en cada una de las siguientes figuras. En una discusión grupal dirigida por tu profesor compara tus repuestas con el resto del grupo. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 134. i. Si AB y CD son cuerdas que se cortan en E, como se ilustra, hallar: a) <x si b) <x si c) <x si d) 116

118 Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana Nombre Grupo Turno Fecha Instrumento de evaluación Página 1. Qué medida en grados, tiene el ángulo formado por las manecillas del reloj mostrado en la siguiente figura? Hora 6:00 equivale a ii. Cuánto mide cada ángulo central del timón de la figura? iii. Un guardabosque alcanza a ver, desde su torre de observación, hasta una distancia de 24 kilómetros (km) en todas direcciones. Cuál es la superficie, en kilómetros cuadrados (km 2 ), que puede vigilar? iv. Una regadora automática de agua cubre una distancia de ocho metros de radio. Cuántos metros cuadrados (m 2 ) puede regar en una vuelta completa? v. Una estación de televisión envía su señal en un radio de 89 km. Qué superficie total puede cubrir?. 117

119 2.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Sesión Relaciones trigonométricas Aprendizajes a lograr Conoce las relaciones trigonométricas. Diferencia las relaciones trigonométricas. Describe las relaciones trigonométricas. Calcula relaciones trigonométricas Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Las relaciones entre los Expresar lados y los ideas ángulos y de conceptos un triángulo mediante rectángulo representaciones se expresan en lingüísticas, matemáticas o gráficas. términos de las relaciones Trigonométricas. En trigonometría los ángulos se expresan por medio de las letras griegas, como por ejemplo el símbolo ζ que se llama theta. Se han agrupado las seis relaciones trigonométricas para el ángulo ζ como sigue: 118

120 Lado opuesto al Ángulo θ Donde a las funciones de Cscζ, Secζ y Cotζ se llaman funciones recíprocas de las funciones del Senζ, Cosζ y Tanζ respectivamente. Para los triángulos: Hipotenusa r r α α α y θ θ Lado adyacente al Ángulo θ (A) x (B) Existen expresiones que relacionan el seno, el coseno y la tangente de un ángulo, de modo que a partir de una de ellas podemos obtener el resto de razones trigonométricas. EJEMPLO En un triángulo rectángulo isósceles, sus ángulos agudos miden 45 cada uno. La hipotenusa, c, de este tipo de triángulo rectángulo es: c = 2 2 a a = de cada cateto. Y los valores de las razones de seno, coseno y tangente son: 2 2a = 2 a, siendo a la longitud sen 45 = c a = cos 45 = c a = a 1 2 a = 2 a 1 2 a = 2 a tan 45 = a =1 119

121 Ejercicio no. 10 Grupo Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar el valor de las seis razones trigonométricas para los diferentes triángulos formados considerando los valores de a, b, c y el ángulo θ indicados.: a) Sen ζ = Csc ζ = Cos ζ = Sec ζ = Tan ζ = Cot ζ = b) Sen ζ = Csc ζ = Cos ζ = Sec ζ = Tan ζ = Cot ζ = c) Sen ζ = Csc ζ = Cos ζ = Sec ζ = Tan ζ = Cot ζ = 120

122 Ejercicio no. 4 Individual Resolver los siguientes triángulos encontrando el valor de las razones trigonométricas en cada triángulo: a) Sen ζ = Csc ζ = Cos ζ = Sec ζ = Tan ζ = Cot ζ = b) Sen ζ = Csc ζ = Cos ζ = Sec ζ = Tan ζ = Cot ζ = 121

123 Funciones en el triángulo rectángulo Aprendizajes a lograr Sesión 32 Calcula el valor de las funciones trigonométricas para diferentes ángulos en el triángulo rectángulo. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. El propósito será calcular el valor de las funciones trigonométricas para diferentes ángulos en el triángulo rectángulo. Encontrar el valor de las funciones trigonométricas del ángulo agudo del triángulo rectángulo. Para encontrar el valor de las seis funciones trigonométricas, se necesita el valor de ángulo agudo del triángulo, para buscarlo se utilizan las funciones trigonométricas básicas: Sen ζ = a c Cos ζ = b c a Tan ζ = b a En donde Tan ζ = b 6 Tan ζ = 8 es la función que relaciona los datos del triángulo, entonces: ζ = Tan -1 ( 8 6 ) ζ = 36.86º Entonces, utilizando la calculadora se obtiene: Sen(36.86º) = 0.6 Cos(36.86º) = 0.8 Tan( = Ahora para obtener el valor de las funciones secante, cosecante y cotangente, se utilizan las relaciones trigonométricas recíprocas: 1 Sec ζ = Cos 1 Csc ζ = Sen 1 Cot ζ = Tan 122

124 En donde al sustituir, se obtiene: 1 Sec (36.86º) = Cos (36.86 º ) = Csc (36.86º) = Sen (36.86) = Cot (36.86º) = Tan (36.86 º ) = 1.33 Ejercicio no. 11 Grupo Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar el valor de las seis funciones trigonométricas para los diferentes triángulos formados considerando los valores de a, b, c y el ángulo ζ indicados. a) b) c) 123

125 Funciones en el plano cartesiano Aprendizajes a lograr Sesión 33 Describe las funciones trigonométricas en el plano cartesiano. Conoce los signos de las funciones trigonométricas en el plano cartesiano. Halla el valor de las funciones trigonométricas para ángulos de inclinación de diferentes rectas en el plano cartesiano. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. Para saber los signos de las funciones trigonométricas de un ángulo cuyo lado terminal está en cualquiera de los cuatro cuadrantes del plano cartesiano bidimensional, es bueno tener presente que los catetos de los triángulos que contienen el ángulo al cual se hallarán los valores de las funciones trigonométricas son la abscisa u ordenada y como tales se consideran positiva y negativa con respecto al origen de coordenadas. Si ζ es el ángulo, P(x,y) es el punto del lado terminal del ángulo y r, es la distancia OP, definida como r x 2 y 2 Donde x 0 y y 0 Ejercicio no.12 Grupo 124 Reunidos en equipos de dos integrantes, encontrar el valor de las funciones trigonométricas para los diferentes ángulos de rectas que forman con el eje x.

126 Ángulo en grados Ángulo en radianes Seno Coseno Tangente Secante Cosecante Cotangente 0º 0 45º /4 90º /2 135º 3 /4 150º 6 / º 5 /4 270º 3 /2 315º 7 /4 360º 2 Ejercicio no. 13 Grupo 125 Reunidos en equipos de dos integrantes, indicar el signo de las seis funciones trigonométricas que toman en cada uno de los cuatro cuadrantes.

127 Cuadrantes I II III IV Seno Coseno Tangente Secante Cosecante Cotangente Funciones en el círculo unitario 126 Sesión 34

128 Aprendizajes a lograr Utiliza las funciones trigonométricas en el circulo unitario para encontrar las coordenadas de puntos sobre la circunferencia, Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. El círculo unitario se llama así porque el radio mide una unidad, el centro del círculo esta en el origen del plano cartesiano, los ángulos se generan de derecha a izquierda, quedando distribuidos de la siguiente manera: En el primer cuadrante tienes ángulos que van de 0 a 90 grados en el segundo de 90 a 180, en el tercero de 180 a 270, y en el cuarto de 270 a 360. Si utilizamos las funciones trigonométricas se puede encontrar las coordenadas de los puntos sobre la circunferencia conociendo el radio y el ángulo que forma con el eje x. Encontrar las coordenadas del punto P(x,y) sobre la circunferencia unitaria, cuando el radio forma un ángulo de α = 60º con el eje x. Solución: Primeramente localizamos el punto P(x,y) sobre la circunferencia en el plano y le trazamos el triángulo correspondiente mediante proyecciones del punto P sobre los ejes x e y. Formando un triángulo rectángulo, donde la hipotenusa coincide con el radio igual a uno y utilizando las razones trigonométricas: 127

129 Cos α = r x x Cos(60º) = 1 Cos(60º) = x Sen α = r x x Sen(60º) = 1 Sen(60º) = x x = 0.5 y = 0.86 Solución: Las coordenadas del punto P son P(0.5,0.86) Ejercicio no. 14 Grupo Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar las coordenadas del punto P sobre la circunferencia unitaria cuando el radio forma el ángulo indicado con el eje x. Trazar la gráfica correspondiente. Ángulos en grados Oº 45º 90º 135º 180º 225º 270º 315º 360º x y (x,y) Trazar las gráficas correspondientes en este espacio, en tu cuaderno de trabajo. 128

130 Resolución de triángulos rectángulos Aprendizajes a lograr Sesión 35 Utiliza las funciones trigonométricas para que dados un ángulo y uno de los lados determine los lados que faltan. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. El propósito es utilizar las funciones trigonométricas para que dados algunos elementos de triángulos rectángulos, encontrar los que faltan. EJEMPLOS Encontrar un lado del triángulo cuando se conoce un ángulo agudo y uno de los lados: a) Dado a = 6 y ζ = 30º, hallar los valores de b y c. Para iniciar se tiene que decidir cuál de los lados, si el cateto adyacente b o bien la hipotenusa c se ha de encontrar primero. Para encontrar el valor del lado b, se busca cuál de las seis relaciones trigonométricas contiene los datos conocidos, además de que contenga lo que se quiere buscar (lado b ). 129

131 De las seis relaciones, la que contiene estos datos es la tangente, entonces: a Tan ζ = b Al sustituir datos: 6 Tan 30º = b despejar b y resolver operaciones. 6 b = Tan 30º b = Para encontrar la hipotenusa, de nuevo se busca la relación trigonométrica correspondiente que la contenga los datos mostrados del triángulo, en este caso con la relación del seno. Al sustituir datos en la expresión se tiene: a Sen ζ = c 6 Sen30º = c ahora solo basta despejar c 6 C = Sen 30º C =

132 Ejercicio no. 15 Grupo Reunidos en equipos de tres integrantes, revisar y analizar la forma del cómo se encuentran los lados que faltan en un triángulo para resolver los ejercicios propuestos. a) b) 131

133 Sesión 36 EJEMPLOS Encontrar un ángulo agudo del triángulo cuando se conocen dos de los lados: a) Dado b = 6 y c = 72 hallar los valores de ζ y a. Para encontrar el ángulo agudo θ, tomar la función que contenga la información conocida, en este caso: b Cos ζ = c sustituir datos 6 Cos ζ = 72 Cos ζ = aplicando la función recíproca del coseno ζ = 45º 132

134 Ejercicio no. 16 Grupo Reunidos en equipos de tres integrantes, revisar y analizar la forma del cómo se encuentran los lados que faltan en un triángulo para resolver los ejercicios propuestos. a) b) Ejercicio no. 5 Individual De manera individual, resuelve los triángulos encontrando valores que faltan. los a) b) 133

135 Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana Nombre Grupo Turno Fecha Instrumento de evaluación Página 1) Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60º con respecto al piso. 2) El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de 12. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del mar. Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio? 134

136 3) Un árbol de hoja perenne está sostenido por un alambre que se extiende desde 1.5 pies debajo de la parte superior del árbol hasta una estaca en el suelo. El alambre mide 24 pies de largo y forma un ángulo de 58 con el suelo. Qué altura tiene el árbol? 135

137 Autoevaluación Nombre Grupo Turno Fecha A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción múltiple relacionadas con los temas de la Unidad. Esfuérzate por contestarlas subrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final del cuaderno de trabajo. 1. Un cuadrado es? a) Regular b) Irregular c) Cóncavo d) Complejo e) Equilátero 2. Un triángulo 36 m 2 de área y 12 m de base Cuánto mide de altura? a) 6 m d) 2 m b) 4 m e) 6 m c) 9 m 3. En una circunferencia: el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y está formado por dos radios, se llama a) Ángulo interior d) Ángulo central b) Ángulo exterior e) Ángulo semi inscrito c) Ángulo inscrito 4. Cuál es el área de una circunferencia de 16 π de longitud? a) m 2 b) m 2 c) m 2 d) m 2 e) m 2 136

138 5. Si en un decágono se trazan diagonales desde uno de sus vértices cuántas diagonales se obtienen? a) 6 d) 7 m b) 12 e) 10 m c) Calcula el perímetro de una circunferencia que mide 8 m de radio. a) m d) 25 m b) m e) m c) m 7. Halla el valor numérico de csc 68. a) 5.71 b) c) d) e) Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sus catetos miden a = 3.6m y b = 4.2 m. a) 4.78 m b) 2.10 m c) 5.53 m d) 2.4 m e) 7.8 m 9. Dado Sin A = 2/5 halla el valor de Cot A a) 2.29 b) 3.23 c) 3.57 d) 6.65 e) Halla el valor de sec 25 a) 2.36 b) 2.14 c) 3.57 d) e)

139 INSTRUMENTOS DE EVALAUCIÓN Evaluación del desempeño (ejercicios) En equipo No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones Sí No Ponderaci ón Cali f. 1 Se integró al equipo Mostró interés por el 0.2 tema. 3 Mostró conocer los 0.3 conceptos que utilizó 4 Mostró habilidad para 0.5 responder a los ejercicios 5 Aplicó correctamente 0.5 el procedimiento Calificación de esta evaluación 1.7 Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación Evaluación del desempeño (ejercicios): Individual No. Indicador Cumplió Ejecución Observacione s Sí No Ponderación Calif. 1 Mostró interés por el tema Mostró conocer los conceptos que utilizó 3 Mostró habilidad para responder a los ejercicios 4 Aplicó correctamente el procedimiento Calificación de esta evaluación Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación 138

140 Evaluación de productos (tareas y ejercicios aplicados a la vida cotidiana): No. Indicador Cumplió Ejecución Observacione s Sí No Ponderación Calif. 1 Resolvió el total de los 0.5 ejercicios 2 Resolvió correctamente 1.5 los ejercicios 3 Entregó en tiempo y 0.5 forma indicada los ejercicios. Calificación de esta evaluación 2.5 Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación Evaluación de Productos (investigaciones): No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones Sí No Ponderaci ón Cali f. 1 Entregó en tiempo y 0.8 forma 2 La información fue 0.8 clara y acorde al tema 3 Presentación del 0.9 trabajo Calificación de esta evaluación 2.5 Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación 139

141 140

142 Unidad III TRIGONOMETRÍA 141

143 Al término de esta unidad el estudiante: COMPETENCIAS Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. TEMARIO 3.1 TRIANGULOS OBLICUANGULOS Ley de senos Ley de cosenos 3.2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Identidades fundamentales Demostración de identidades 3.3. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Propiedades Procedimientos de solución 3.4. ECUACIONES EXPONENCIALES Propiedades Procedimientos de solución 3.5 ECUACIONES LOGARITMICAS Propiedades Procedimientos de solución 142

144 Evaluación diagnóstica A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción múltiple relacionadas con los temas de la unidad III, los cuales profundizarás con más detalle a lo largo a las actividades del cuaderno de trabajo. Esfuérzate por contestarlas subrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final del cuaderno de trabajo. 1. Los triángulos oblicuángulos pueden ser: a). Acutángulos y rectángulos b). Acutángulos y obtusángulos c). Rectángulos y Equiláteros d). Escaleno y equilátero e). Escalenos y obtusángulos 2. Determina el valor de x que satisface la siguiente ecuación exponencial 2 x = 8 a). 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. La ley de cosenos se representa por: a). c). e). 4. La ley de senos se representa por: a). c). b). d). b). d). e). 5. Es una ecuación a). x 2 = (x)(x) b). 2x +2 = 6 c). a 2 + b 2 = ( a+b)(a-b) d). Cot x = 1 / tanx e). Tan x Senx Cosx 6. Es una identidad a). x = 7 b). Sen x = 180 c). 2x = 3 d). 3 x = 81 e). Tan x Senx Cosx 7. es igual a a). b). c). d). Cos e). 143

145 3.1. TRIANGULOS OBLICUANGULOS Ley de senos Sesión 37 Aprendizajes a lograr Usa adecuadamente la ley de los senos para resolver triángulos oblicuángulos. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados de un triángulo cualquiera y que se utiliza para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. La ley de los Senos dice: a Sen b Sen c Sen Donde a, b y c son los lados del triángulo y,, y son los ángulos del triángulo apuestos a los lados correspondientes. Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que faltan, a partir de los datos que te dan. Si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa le ley de los senos. 144

146 Resolver el siguiente triángulo. EJEMPLOS Datos del problema: a= 5 = 43º b = = 27º c = = El ángulo es más fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180º, entonces = 180º - -. Al sustituir los ángulos en esta expresión se obtiene: = 180º - 43º - 27º = 180º - 70º = 110º Para encontrar los lados que faltan utilizamos la ley de los Senos, sustituyendo los datos: a Sen b Sen c Sen 5 b c Sen 43º Sen27º Sen110º Tomamos los dos primeros términos. 5 b Sen 43º Sen27º Despejamos b pasando Sen (27º) multiplicando 5Sen27º Sen43º = b b Calcular la expresión realizando las operaciones. Y esto es lo que vale b. Nada más falta calcular c. para encontrarla, volvemos a utilizar la ley de los Senos 145

147 c Sen 43º Sen27º Sen110º Tomamos la igualdad que contenga a c 5 c Sen 43º Sen110º Despejamos c pasando Sen(110º) multiplicando. 5Sen110º Sen43º = c c Y con este resultado queda resuelto el triángulo. Ejercicio no. 1 Grupo Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar el valor de los datos que faltan en los triángulos, utilizando la Ley de los Senos a) b) 146

148 Ejercicio no. 1 Individual Sesión 38 Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos, encontrando el valor de las partes desconocidas: a) b) 147

149 148

150 Tarea no. 1 Nombre: Grupo: Turno: Fecha: INSTRUCCIONES: Resolver los siguientes problemas de aplicación para ley de los senos, de manera individual. (Entregar la próxima sesión de clase) 1) Dos piedras se encuentran a la orilla de una playa a una distancia uno de otro de 1.8 Km. en los puntos A y B, y se encuentra una bolla situada en un punto C. Si la piedra A mide un ángulo CAB igual a 79.3 y el que está en B mide un ángulo CBA igual a 43.6, a qué distancia está la bolla de la costa? 2) Un poste forma un ángulo de 79 con el piso. El ángulo de elevación del sol desde el piso es de 69. Encuentre la longitud del poste si su sombra es de 5.9 m. Resultado Recomendaciones y observaciones 149

151 150

152 Ley de cosenos Aprendizajes a lograr Sesión 39 Usa adecuadamente la ley de los cosenos para resolver triángulos oblicuángulos. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. La Ley de los Cosenos, es una expresión que te permite conocer un lado de un triángulo cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado que se quiere conocer. Se describe de la siguiente forma, supongamos que se quiere conocer el lado C y se tienen conocidos los valores de los lados a y b, además del ángulo. C 2 = a 2 + b 2 2abCos EJEMPLOS Resolver el siguiente triángulo rectángulo encontrando el valor de lado C, si a = 6, b = 10 y = 130º. 151

153 Solución: Utilizando la ley de los cosenos y sustituyendo: C2 = a2 + b2 2abCos C2 = a2 + b2 2abCos C2 = (6)2 + (10)2 2(6)(10)Cos (130) ahora resolver las operaciones. C2 = (-0.642) C 2 = C = C = Que es la solución al problema al encontrar C = Ejercicio no. 2 Grupo Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar el valor que falta indicado en los triángulos, utilizando la Ley de los Cosenos a) b) 152

154 Ejercicio no. 2 Individual Sesión 40 Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos, encontrando el valor de lo que se indica. a) b) 153