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2 Cuando se termina de delimitar objetos en una imagen usando los operadores de búsqueda de bordes aparece el problema de definir dichos objetos dentro del sistema.

3 Supongamos que definimos una característica que definió cual pixel está adentro y cual está afuera de cada objeto Creamos así imágenes binarias (un bit para la cuantificación) blanco 0 negro 1 Sea el objeto A definido por A={a ij / propiedad de a ij == True } Creo entonces una matriz binaria AB en la que queda resaltada el/los objetos hallados en la imagen inicial. 3

4 Obtenida la imagen binaria se ve que quedan pixeles o pequeños grupos de ellos que sabemos que deberían pertenecer al objeto pero que por diferentes motivos no quedaron identificados. Otra posibilidad es que aparezcan pixeles que sabemos que no deberían haber aparecido.

5 Para incorporar estos pixeles al objeto conviene hacer una operación que se corresponde con alguna de los siguientes conceptos: Si alguno de los pixeles vecinos al pixel en estudio pertenece al objeto entonces el pixel de estudio también pertenece al objeto. A esta operación lógica se la llama operación de dilatación.

6 Dilatado

7 Para quitar pixeles que no pertenecen al objeto conviene hacer otra operación: Si todos los pixeles vecinos al pixel de estudio pertenecen al objeto, entonces el pixel de estudio también pertenece al objeto. (Si alguno de los pixeles vecinos al pixel de estudio no pertenece al objeto entonces ese pixel de estudio tampoco pertenece al nuevo objeto). Esta operación se llama erosión.

8 Erosionado

9 Este par de operaciones se puede restringir con algún elemento de estructura. Antes dijimos: si todos los vecinos Ahora diremos si estos vecinos (los que cumplen la vecindad según una forma determinada)

10 Dilatación con estructura de vecinos N=4 y N=8 Cuando no se define la estructura se da por entendido que es de vecindad de orden 8 (N=8)

11 Mostrar con ejemplos las dilataciones y erosiones. presentar apertura y cierre. Extender a vecinos de orden 4 o 2 verticales u horizontales o en diagonal o cualquier juego de vecinos. Ampliar el concepto de conexión desde una matriz binaria a tonalidades de gris. Dilataciomes y erosiones múltiples. Adelgazamiento. Esqueletización.

12 Parte del plano de Madrid dilatado y erosionado

13 13

14 Acá usamos el concepto de vecino Conviene recordar la definición de vecindad y conectividad. Vecino lo es según una estructura de pixeles alrededor del central. Dos pixeles estarán conectados cuando haya alguna propiedad que comparten ambos pixeles. Vecinos de orden 4 o de orden 8. También se lo puede definir a partir de alguna estructura particular dando el origen y definiendo el/los puntos vecinos {[0,0],[1,1]}

15 Sea un objeto A= {a i,j /propiedad de a i,j ==verdad} Y un elemento de estructura por ejemplo B={[0,0] [1,0] [0,1]}

16 Para formalizar el recorrido sobre la vecindad conviene hacer las siguientes definiciones. Al objeto. A = {a ij para todo a ij de A} Lo desplazaremos en ß A + ß = {a ij + ß para todo a ij de A} O será desplazado según una estructura B={[0,0];ß 1 ;ß 2 } A + B = {a ij + ß k para todo a ij de A y para todo ß k de B}

17 Entonces la operación de dilatación resultará de desplazar todo el cuerpo A (o sea cada pixel de A) según cada uno de los elementos ß k de la estructura B. Y por último se toma la unión de todos estos desplazamientos

18 Dilatado

19 En tanto que la erosión resultará de desplazar todo el cuerpo A (o sea cada pixel de A) según la inversa de cada uno de los elementos de la estructura B o sea en -ß k. Y por último se toma la intersección de todos estos desplazamientos

20 Erosionado

21 La dilatación será entonces La erosión será entonces Con las dilataciones agrandamos los objetos en tanto que con las erosiones los achicamos. 21

22 Con las dilataciones y erosiones se modifica el volumen del objeto, es por eso que se decide combinar ambas operaciones. Es decir hacer tantas de una como de otra. Se definen la Apertura y Cierre como:

23 O sea que en la Apertura primero se hace una erosión y luego una dilatación (si había un hueco en el interior de un objeto en la imagen A, se lo abre y si hay un objeto del tamaño de un pixel, se lo borra) En cambio en el Cierre primero se hace una dilatación y luego una erosión (si había un hueco en el interior de un objeto en la imagen A, desaparece también se quitan rugosidades huecas de los bordes de los objetos). El objeto de estas operaciones es el de mantener el tamaño del objeto 23

24 The opening of A by B, is given by the erosion by B, followed by the dilation by B, that is The opening (given by the dark dashed lines) of A (given by the solid lines. The structuring element B is a disc. The internal dashed structure is A eroded by B. 24

25 Apertura y Cierre Cierre Apertura

26 26

27 27

28 28

29 Segunda vuelta. Los operadores morfológicos son Operacioes Booleanas. Generalización.

30 Esto significa que al sumar sobre m y n estoy recorriendo la matriz, observo la característica del pixel (i,j) y si la cumple la dejo ( o pongo un uno en la matriz binaria que construyo) y si no, pongo un cero.

31 31

32 El concepto de operador morfológico es estudiado y formalmente definido dentro de los espacios de Minkowski. Pero vamos a tratar de hacer una presentación menos formal y más práctica de ellos. Definiremos el operador dilatación basado en criterio: Si alguno de los vecinos del pixel en estudio está conectado con él entonces ese pixel permanece en el objeto. D(A,B)=A B=

33 Para que esto quede claro conviene saber que significado le damos al concepto de vecino y al concepto de conección. Por simplicidad comencemos suponiendo que los vecinos son los ocho pixeles que rodean al que estamos considerando. Y por conexión supongamos que tienen el mismo valor. La metodología de su aplicación es la misma de la convolución salvo que en vez de sumar y multiplicar se usan las operaciones AND y OR.

34 Entonces el primero de los operadores tenderá a agrandar el objeto completando agujeros pequeños internos y extendiendo los bordes. Lo llamaremos OPERADOR DILATACIÓN D(A,B)=A B Y el segundo de los operadores tenderá a achicar el objeto agrandando agujeros pequeños internos y contrayendo los bordes. Lo llamaremos OPERADOR EROSIÓN.

35 Vecinos de orden 4 o de orden 8. También se lo puede definir a partir de alguna estructura particular {[0,0],[1,1]}

36 Sea un objeto A= {a i,j /propiedad de a i,j ==verdad} Y un elemento de estructura B={[0,0] [1,0] [0,1]}

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44 Supongamos que para alguna figura determinada hemos obtenido su imagen binaria. El contorno será el conjunto de puntos que resultan de hacer la resta entre una dilatación y la imagen binaria o de la imagen original binaria menos su erosión E= B S= {x, y S x, y B} 1 1 B=[1 1] D= B S= {x, y S x, y B}

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